Sistemi di riferimento
Dal “De Rerum Natura” di Lucrezio:
La nave da Qua
cui siamo
vehimur
trasportati,
navi, fertur,
si muove,
cum stare
mentre
videtur;
sembra star ferma;
quella che rimane
quae manet
immobile
in statione,
all'ormeggio,
ea praeter
si crede
creditur
che ire.
proceda oltre.
E sembra che
et fugere
a poppaadfuggano
puppim colline
colles campique
e pianure videntur,
oltre le quali
quos
conduciamo
agimus praeter
la navenavem
e con velisque
le vele voliamo.
volamus.
Gli astri sembrano
Sideratutti
cessare
restare
aetheriis
immobili,
adfixa
fissicavernis
alle eteree cavità,
cunctaevidentur,
tuttavia son
et adsiduo
tutti in sunt
assiduo
omnia
movimento,
motu,
giacché, dopo
quandoquidem
esser sorti, rivedono
longos obitus
i lontani
exorta
tramonti,
revisunt,
quando hanno
cumpercorso
permensa
il cielo
suo sunt
col loro
caelum
corpo
corpore
lucente.
claro.
E il sole e lasolque
luna parimenti
pari ratione
sembra
manere
cheetrimangano
luna videtur
immobili, essi
in statione,
che il fatto
ea stesso
quae ferri
mostra
resin
indicat
movimento.
ipsa.
La descrizione del moto dipende dal sistema di riferimento scelto !!!
Un sistema di riferimento è costituito da un
insieme di corpi posti a distanze relative fisse
Una descrizione matematica del sistema di riferimento si ottiene introducendo
un sistema di coordinate che permettono di esprimere la posizione dei punti
dello spazio rispetto agli oggetti di riferimento
Coordinate cartesiane nel piano
y
P2
P
O
P1
y
x
x
 Si fissa un’origine e si introduce una coppia di assi cartesiani ortogonali x e y
 Le coordinate (x,y) del punto P sono date dai segmenti OP1 e OP2
Coordinate polari nel piano
P
r
φ
0
Si fissano un’origine e un asse polare
asse polare
Le coordinate (r,φ) di un punto sono la distanza r del punto
dall’origine e l’angolo φ che la retta OP forma con l’asse
polare
le coordinate polari variano nei range 0 ≤ r <+∞ e 0≤φ<2π
l’origine ha coordinata r=0 e coordinata φ non definita
Relazioni fra coordinate polari e cartesiane
y
P
r
y
φ
0
x
x ≡ asse polare
Assumendo le origini coincidenti e che l’asse polare coincida
con l’asse x si hanno le relazioni seguenti:
2
2

r

x

y
 x  rcos



y
y

rsin




arctg

x

Coordinate cartesiane nello spazio
z
P3
P
z
y
x
P2
y
O
P1
x
P’
 Si fissano un’origine O ed una terna destrorsa di assi ortogonali x,y,z
 Le coordinate (x,y,z) del punto P sono date dai segmenti OP1 , OP2 e OP3
Coordinate polari nello spazio (sferiche)
asse polare
P
piano polare
θ
O
φ
r
 Si fissano un’origine, un asse
polare ed un semipiano polare,
delimitato dall’asse polare
 Le coordinate polari (r,θ,φ) di
un punto P sono il modulo r del
raggio vettore OP, l’angolo θ
che OP forma con l’asse polare
(zenith) e l’angolo φ che il
semipiano contenente P e l’asse
polare forma con il semipiano
polare (azimuth)
 le coordinate polari hanno range 0 ≤ r < +∞ , 0 ≤ θ ≤π e 0 ≤ φ < 2π
 i punti dell’asse polare hanno coordinata θ=0 (semiasse positivo) o θ=π
(semiasse negativo) e coordinata φ non definita
 L’origine ha coordinata r=0, mentre θ e φ non sono definite
Coordinate polari e coordinate cartesiane
z
P
z
θ
r
x
Assumendo che l’asse z
coincida con l’asse polare ed
il piano xz sia il piano polare
si hanno le relazioni
seguenti:
θ
z
O
φ
y
x
 x  r sinθ cos

 y  r sinθ sin
 z  r cosθ

y
y
K

r  x 2  y 2  z 2

z

θ  arccos
r

y

  arctg

x

Coordinate cilindriche
asse polare
P’
r
P
piano polare
z
O
φ
r
 Si fissano un’origine, un asse polare
ed un semipiano polare, delimitato
dall’asse polare
 Le coordinate cilindriche (r,φ,z) di un
punto P sono la distanza r di P dal
piano polare (PP’), l’angolo φ che il
semipiano contenente P e l’asse
polare forma col semipiano polare e
la distanza z dall’origine della
proiezione P’ di P sull’asse polare
 Le coordinate cilindriche variano nei range 0 ≤ r < +∞ , 0 ≤ φ < 2π , -∞ < z < +∞
 I punti dell’asse polare hanno coordinata r=0 e coordinata φ non definita
 L’origine ha coordinata r=0, φ non definita e z=0
Coordinate cilindriche e coordinate cartesiane
z
z
P
z
x
O
φ r
y
y
y
Assumendo che l’asse z
coincida con l’asse
polare ed il piano xz sia
il piano polare, la
coordinata z è la stessa.
Per le altre coordinate
si hanno le relazioni
seguenti:
x
 x  r cos

 y  r sin
r  x 2  y 2


y
  arctg
x
