Lezioni di fisica
Per TWM, 2008, Hans Grassmann,
[email protected]
La fisica e’ semplice, e sta diventando sempre più semplice: si spera di arrivare nel
futuro alla formula di tutto – una unica formula semplice da cui segue tutto.
Basterebbe capire questa unica formula, per sapere tutta la fisica.
Non ci siamo ancora, ma siamo
abbastanza vicini:
Oggigiorno la fisica può essere
riassunta
in ca. 10 o 20 formule semplici:
E  h ,
S  ln( W ),
p  0,
E  m,...
La fisica è complicata solo dove non la capiamo ancora bene.
1
Essendo all’ inizio dell’ 21. secolo
in 24 lezioni non si può fare tutta la fisica in modo completo.
Alternative: o
1) fare una parte piccola in modo completo o
2) fare tanto, ma in modo incompleto
Scegliamo alternativa (2), perchè vedendo le connessioni fra i diversi campi della fisica,
si capisce meglio la fisica e si vede meglio che é facile.
Per l’esame bastano questi lucidi
Non sono permesso libri e appunti durante l’esame, chi copia verrà escluso
2
Alcune persone credono, che la fisica sia difficile
perché spesso vengono confuse fisica e matematica:
tanti problemi che le persone incontrano nella lezione di fisica non sono di fisica,
ma di matematica. Ma visto che si incontra il problema in una lezione di fisica, si
pensa sbagliatamente che sia un problema di fisica.
Se si identifica un problema in modo sbagliato, la sua soluzione é meno facile.
Perciò : quando incontrerete un problema, cercate sempre di capire di che tipo di
problema si tratta.
Se si tratta di un problema di matematica è inutile cercare nel libro di fisica….
Libri consigliati:
• Ugo Amaldi, Fisica per Temi, Zanichelli, Bologna (molto di base)
• D.Halliday, R.Resnick, J.Walker, Fondamenti di Fisica, Casa Editricie Ambrosiana,
Milano (Fundamentals of Physics, John Wiley&Sons) (2 volumi)
• Paul A. Tipler, Corso di Fisica, Zanichelli, Bologna (Physics for Scientists and
Engineers, Worth Publishers) (3 volumi)
• wikipedia
• Gli appunti di questa lezione, li trovate sulla mia pagina web
http://www.fisica.uniud.it/~grassmann/lezioni.htm
3
Fisica e studio TWM
Ormai computer e internet esistono,
E programmatori, system manager, designer web etc esistono in grande quantità
In particolare in India (etc.) dove gli stipendi sono bassi …
Io penso :
la prossima rivoluzione accadrà quando il computer incontrerà il mondo fisico –
oggi i computer sanno comunicare fra di loro, ma non con il mondo fisico, non capiscono
cosa sentono e non capiscono cosa vedono.
Nei prossimi anni i computer e internet cominceranno a capire cosa vedono e sentono, e
chi accompagnerà questa rivoluzione avrà buone prospettive di carriera.
E per questo serve un po’ di fisica …
4
Un esempio dimostrativo (non scientifico), che aiuta ad immaginare cosa vuol
dire “il computer capisce il mondo fisico” si trova nel film fantascientifico
“Terminator 2” con A. Schwarzenegger, dove il regista fa finta di vedere il mondo
fisico con gli occhi di un robot autonomo, che capisce cosa sta vedendo.
5
Il filmato mostrava effetti speciali, con la tecnologia attuale (senza fisica) un
Terminator non sarebbe possibile.
Infatti, il film “terminator” prevedeva la nascita di questa tecnologia
fantascientifica per l’anno 2029.
Con un po' di fisica, si può arrivare anche prima del 2029:
6
Programma
1) Requisiti di matematica
Integrazione e differenziazione, trigonometria, vettori, calcolo di errore
2) Spazio e tempo
Misura di spazio e tempo – che movimenti sono/non sono possibili
v= dx/dt, Fa=-Fr , F=m∙a, w=dj/dt, I=m∙r2 , leggi di conservazione
3) campi: Forza di gravità ,forza elettrica
4) Relatività: c=const
5) Elettromagnetismo: potenziale, capacità, corrente,campi magnetici
6) Onde: se cosa si muove non è un punto, interferenza, diffrazione
6) Termodinamica di base
7) “La Fisica di TWM”
7
Tutto è connesso con tutto
1) Requisiti di matematica
Integrazione e differenziazione, trigonometria, vettori, calcolo di errore
2) Spazio e tempo
Misura di spazio e tempo – che movimenti sono/non sono possibili
v= dx/dt, Fa=-Fr , F=m∙a, w=dj/dt, I=m∙r2 , leggi di conservazione
3) campi: Forza di gravità ,forza elettrica
4) Relatività: c=const
5) Elettromagnetismo: potenziale, capacità, corrente,campi magnetici
6) Onde: se cosa si muove non è un punto, interferenza, diffrazione
6) Termodinamica di base
7) “La Fisica di TWM” brevi cenni, non per l’esame
=> Più facile
8
1) Prerequisiti matematici
Differenziazione e integrazione
Sviluppato da Newton e Leibniz (e Gregory): importante per la
• fisica fondamentale
• applicazioni di fisica
• TWM (filtro di differenza)
f
f (x )
f
f ( x)
“pendenza” di f nel
 “punto” x
x
Che punto x ?? =>
f ( x)
df ( x)


x 0
x
d ( x)
x
differenziale
x
9
Esempi
f (x )
df ( x )
dx
x
1
x2
2 x
x
n
n  x n 1
sin( x )
cos(x)
cos(x)
 sin( x )
ex
ex
10
df
: f 
dx
df 
 f 
dx
Per fare il differenziale di funzione composte, ci sono alcune regole
a  b  a  b
a  b  a  b  a  b
a(b)  a(b)  b
sin( w  t )'  w  cos(w  t )
sin( w  t )  w 2  sin( w  t )
11
Il “contrario” della differenziazione è l’integrazione
f
f (x )
x2

f ( x)dx  F ( x)x12  F ( x2 )  F ( x1 )
x
x1
con
x1
F ( x)  f ( x)
esempio:

f ( x)dx   xdx
x2
x
 F ( x)  1  x 2
2
12
Esempio pratico: la seconda derivata del “Udine Terminator”
(parte dell’ immagine rimossa usando trasformazioni vettoriali)
13
j
Estrarre i contorni di una
figura: “difference filter”
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
2
3
guardando lungo questa
riga (quindi i = 5)
4
5
6
7
=0
8
9
= 255
250
intensity
200
150
100
50
0
1
2
3
4
j
5
6
7
14
12
1° derivata dell’intensità
j
250
i
intensity
200
150
100
50
0
1
2
3
4
5
6
7
j
180
first_der (i,j) =
abs (intensity(i,j-1) –
intensity(i,j+1))
first derivative
160
140
Soglia
120
100
255
80
60
40
0
20
0
La stessa cosa si fa anche
per le righe!
1
2
3
4
j
5
6
15
Migliorare il risultato..
j
Si cercano massimi locali nella prima derivata
i
180
first derivative
160
140
120
100
80
60
40
20
0
1
2
3
4
5
6
j
IF (
first_der(i,j) > first_der(i,j-1) AND
first_der(i,j) > first_der(i,j+1)) THEN
result (i,j) = 255
ELSE
result (i,j) = 0
16
Funzioni trigonometriche
Asse y
y
r
j
0
y
 sin j
r
y
 tan j
x
x
 cos j
r
x
 cot j
y
Un giro completo: 360 gradi o 2p
x
Asse x
Da Pitagora (570 a.C.):
x2  y2  r 2
sin 2 j  cos 2 j  1
17
Vettori
Importanti per
• La fisica fondamentale,
• in particolare la fisica di TWM,
• per applicazioni, sia di fisica, sia di software.
Per studenti di TWM molto ambiziosi, uno studio più profondo della matematica
degli vettori assolutamente si raccomanda.
Per noi e per adesso vettori sono “frecce” nello spazio:
18
In due dimensioni:

a  (a x , a y )
y
Si riferisce nel nostro caso a un
certo sistema di riferimento, da
definire

a
ay

ey

ex
ax
x
19
Due vettori


a  (a x , a y ), b  (bx , by )
Sono uguali quando
y

a 
a
ax  bx , a y  by

a

a

ey

ex
x
20

a  ax2  a y2

ey

ex
modulo

b
Somma di due vettori
  
c  a  b  (ax  bx , a y  by )  (cx , c y )

a

c
21
E: Un robot parte da una base militare e cammina per 4.0 km a N, per
3.5 km a E, per 2.7 km a SE. In che direzione deve muoversi, e per
che distanza deve camminare per tornare alla stessa base?
• Definiamo i vettori spostamento

s1  (0.0,4.0)

s2  (3.5,0.0)
  2.7 2.7 
s3  
,
  1.9,1.9
2
 2
•
Lo spostamento finale è la somma dei tre
   
s  s1  s2  s3  (0.0  3.5  1.9,4.0  0.0  1.9)  5.4,2.1
•
Per tornare alla casa, lo spostamento totale e’:
•
Con modulo:
s

 s  (5.4,2.1)
 5.4   2.1
2
2
 5.8
(km)
22

  a  (  a x ,   a y )
Moltiplicazione con uno scalare

b
 
a  b  a  b  cos j  ax  bx  a y  by
Prodotto scalare
j

a

b
b  cos j

a

ey
23
ex
E: Calcoliamo il prodotto scalare fra i
vettori

v1  1.5,2.3

v2  2.5,4.3
 
v1 v2  1.5  2.5  2.3  4.3  13.6
E quindi i loro moduli e l’angolo
compreso fra di essi.
•
La definizione ci dà subito
•
I moduli dei vettori si calcolano
come prodotti scalari dei vettori
per sé stessi. Dunque:
 
v1  v2  v1  v2  cos j
 
v1  v1  1.52  2.32  2.75
 
v2  v2  2.52  4.32  4.97
 
v1  v2
13.6
cos j 

 0.998
v1  v2
2.75  4.97
j  3.60
j  0.063
24


a  3.0,4.0,0.0 b   1.0,3.0,2.0
E : Siano dati i vettori
Trovare la componente di a nella direzione di b.
•
Effettuiamo il prodotto scalare
 
a b  3.0 12.0  0  15.0
Il modulo di b è:
Infine:

a

b

a

b

b  1.0  9.0  4.0  3.74
 
a b
 15.0
ab 

 4.0
b
3.74
25
Prodotto vettoriale

b
  
a  b  c  a  b  sin j
j

a
Adesso anche

c

c
È normale su
e’ un vettore.
 
a, b
  
a, b , c
:indice, medio, pollice
  



a  b  c  (a y  bz  az  by )ex  (az  bx  ax  bz )ey  (ax  by  a y  bx )ez
  
a  b  c  (( a y  bz  az  by ), (az  bx  ax  bz ), (ax  by  a y  bx ))
Formula solo per completezza, non serve per l’esame

ey

ex
26
 
a  b  a  b  sin j :

b
j

b  sin j

a

b

c

a
27
Il prodotto vettoriale è importante per discutere in modo più facile il moto
rotatorio e per discutere forze che agiscono su una asse.
Esempio: un punto è in rotazione intorno ad
un’asse.

v
Il tempo di cui ha bisogno per viaggiare
per un certo angolo j

perpendicolare con
r 
Una eventuale componente di v

Parallelo a r non importa

dipende solo dalla componente di

v
j

r

Si usa il prodotto vettoriale r  v
per descrivere un moto rotatorio
28

v
j

r
Simile ad una leva: il peso che si può
alzare dipende solo dalla forza

perpendicolare alla leva: r  F

r
peso
forza

F
Fparallelo
29
Prodotto matrice-vettore
M=
m11 , m12 , m13
m21 , m22 , m23
m31 , m32 , m33
v’ = M * v =
v=
v1
v2
v3
m11 v1 + m12 v2 + m13 v3
m21 v1 + m22 v2 + m23 v3
m31 v1 + m32 v2 + m33 v3
30
v=
1
0
0
Rz() =
Rz(p/4) =
cos(-), sin(- ),
-sin(- ), cos(- ),
0,
0,
0.711, -0.703,
0.703, 0.711,
0,
0,
0
0
1
0
0
1
v’ = Rz(p/4) * v = (0.711, 0.703, 0)
31
32
La riflessione di onde elettromagnetiche (luce) è regolata da due
leggi fondamentali:
- Il raggio incidente ed il raggio riflesso giacciono sullo stesso piano
- L'angolo di incidenza e l'angolo riflesso sono equivalenti
33
34
array plane
Drawing plane = solar plane
Axis “A”
Focal area
south
Vector
Normal
to mirror
Sun ray
j
mirror
Axis “A”
(normal to
solar plane)
h
Axis A
35
36
array plane
Drawing plane = solar plane
Axis “A”
Focal area
south
Vector
Normal
to mirror
Sun ray
j
mirror
Axis “A”
(normal to
solar plane)
h
2h
Axis of rotation
mirror
h
axis “A”
Axis A
37
38
Calcolo di errore
La variabile x possa assumere un numero n di valori x1 , x2 ,...xn
con frequenza
Media degli
f1 , f 2 ,... f n
xx
x1  f1  x2  f 2 ... xn  f n
f1  f 2 ... f n
Con numero totale di misure
N  f1  f 2  ...  f n
Misura della deviazione dal
valore medio:
f
Varianza
da la “incertezza” o l’ “errore” o la
“precisione” della misura
x1 x2 x3 x4 x5
39
Varianza di x =
( x1  x ) 2  f1  ( x2  x ) 2  f 2  ...  ( xn  x ) 2  f n
var( x) 
f1  f 2  ...  f n
Deviazione standard di x = s =
var( x)
La deviazione standard si riferisce a una certa misura, che viene ripetuta N
volte per determinare un valore fisico.
Spesso il risultato di un esperimento non si ottiene da una sola misura, ma
da alcune misure diverse, di cui ognuna ha una sua deviazione standard.
Per ottenere il risultato complessivo di queste misure, si deve eseguire una
propagazione degli errori.
Una teoria completa della propagazione degli errori si deriva dalla
matematica differenziale.
Per noi e per tante applicazione pratiche bastano alcuni casi semplificati:
40
Incertezza su una somma di misure
Abbiamo misurato :
a  a  a
Vogliamo sapere valore e incertezza di
b  b  b
c  a b
c  a b
c  a  b
L’incertezza di una somma di grandezze e’ pari alla somma delle incertezze
Esempio: La testa cilindrica di una vite e risultata alta a=(1.85±0.01)mm. La vite
viene fissata su una lamiera piana, interponendo una rondella spessa
b=(0.95±0.05)mm. Di quanto sporgerà la testa della vite?
a+b=(1.85+0.95)mm = 2.80 mm
(a+b)=a+b=(0.01+0.05)mm = 0.06 mm
risulatato: c=(2.80±0.06) mm
41
Incertezza su una differenza di misure
Come sopra:
sia
a  a  a b  b  b
c  a b
c  a b
c  a  b
<= non cambia!
Anche l’incertezza di una differenza di grandezze è pari alla somma delle incertezze
Esempio:Si vuol trovare la quantità netta di birra contenuat in una lattina. La
lattina piena è risultata di massa a=(350±2)g e, quandoi è stata pesata vuota,
ha dato il valore b=(15±1) g.
(a-b)=a+b=(2+1)g=3g
Risultato: c=(335±3)g
42
Incertezza su un prodotto di misure
sia
c  a b
c  a b ,
c a b


c
a
b
L’incertezza relativa di un prodotto è pari alla somma delle incertezze
relative
Incertezza su un quoziente di misure
a
c 
b
a
c
b
c a b


c
a
b
L’incertezza relativa del quoziente e’ pari alla somma delle incertezze relative
43
Un esempio particolare per una media:
Distribuzione di punti di massa su
una asse
xcdm
m2 m3
m1
x1
centro di massa:
In generale:
xcdm
xcdm
x2
x3
x
m1  x1  m2  x2  m3  x3

m1  m2  m3
1 n

  mi  xi
M i 1
con
M  m1  m2  ...  mn
44