Usura di tipo “adesivo” su un albero di trasmissione
Effetti del “fretting” su un albero di trasmissione
1
Effetti del “pitting” su un ingranaggio
Contatto con rotolamento puro
o accompagnato da strisciamento relativo
Contatto tra sfera e pista
nei cuscinetti a rotolamento
Cuscinetto assiale a sfere
Cuscinetto radiale a a sfere
Cuscinetto radiale a rullini
2
Contatto con rotolamento puro
o accompagnato da strisciamento relativo
Contatto tra denti di un ingranaggio
Contatto tra camma e rullo
Contatto con rotolamento puro
o accompagnato da strisciamento relativo
Riduttore epicicloidale
3
Contatto con rotolamento puro
o accompagnato da strisciamento relativo
Contatto di rotolamento e strisciamento
negli elementi rotanti di un compressore a vite
Teoria di Hertz
Contatto tra corpi
La teoria di Hertz permette la determinazione delle
tensioni e deformazioni che si producono premendo
l’uno contro l’altro due corpi elastici curvi.
Le ipotesi che sono alla base di tale teoria sono:
a) perfetta elasticità del materiale
b) assenza di forze d’attrito
c) superficie di contatto piccola rispetto
alle dimensioni dei corpi a contatto
4
Teoria di Hertz
Il contatto sotto carico non avviene in un punto
ma su un’area di dimensioni finite
Contatto tra corpi
La forza di contatto è in relazione con
la pressione e l’area di contatto
2
F = π ab pmax
3
Nel caso di contatto tra due sfere
o tra sfera e piano
a=b
Teoria di Hertz
Contatto sfera-sfera o sfera-piano
Il contatto sotto carico non avviene in un punto
ma su un’area di dimensioni finite
F
2a
2
F = π a 2 pmax
3
Nel caso di contatto tra due sfere
o tra sfera e piano
a=b
5
Teoria di Hertz
Contatto sfera-sfera o sfera-piano: pressione massima
2
F = π a 2 pmax
3
3 F
pmax =
2 π a2
pmed =
F
F
=
area π a 2
pmax =
3
pmed
2
sup. concava
sup. piana
sup. convessa
In assenza di carico
Deformazione delle
superfici sotto carico
Teoria di Hertz
Contatto sfera-sfera o sfera-piano: area di contatto
F
a=
R1
a=
R2
π
m + m2
pmax 1
4
B
π  3 F  m1 + m2
4  2 π a 2  B
a3 =
3 m1 + m2
F
8
B
3 m + m2
a=3 F 1
8
B
1 − ν 12
E1
m2 =
Nel caso di contatto
tra sfera e piano si ha:
1
=0
R2
Nel caso di contatto tra sfera e
superficie concava si ha:
1 −ν 22
E2
1 1
1 
B =  + 
2  R1 R2 
pmax =
3 F
2 π a2
L’andamento della pressione
nell’area di contatto è data
dalla funzione:
p( x , y ) = pmax 1 −
F
R2 = ∞
m1 =
x2 y 2
−
a2 a2
R2 = negativo
6
Teoria di Hertz
z
y
Contatto sfera-sfera o sfera-piano: stato di tensione
F
R1

σ z = pmax − 1 +


σz
max


3
a 2 + z 2 
(
z3
)
x
2a
= − pmax
R2

p 
z
z
− 
σ x = σ y = max  − (1 + 2ν ) + 2(1 + ν )
2
2
2
2 
a + z  a + z2

σx
max
= σ ymax = −
(1 + 2ν ) p
2
F




3



max
Nel caso di contatto
tra sfera e piano si ha:
R2 = ∞
1
=0
R2
Teoria di Hertz
z
y
Contatto sfera-sfera o sfera-piano: stato di tensione
F
R1

σ z = pmax − 1 +


σz
R2
max
F
Nel caso di contatto
tra sfera e piano si ha:
R2 = ∞
max
(
)
x
2a
= − pmax
p
τ 13 = max
2
τ 13


2
2 3 
a +z 
z3
=
1 − 2ν
3
z
z

+ (1 + ν )
− 
2
2
2
2  a + z2
 2
a +z




3



pmax 1 − 2ν 2

+ (1 + ν ) 2(1 + ν )
2  2
9

z(τ max ) = a
2 + 2ν
7 − 2ν
1
=0
R2
7
Teoria di Hertz
Contatto sfera-sfera o sfera-piano: stato di tensione

σ z = pmax − 1 +


τ 13 =
pmax
2


3
a 2 + z 2 
(
z3
)
σx =σy =

pmax 
z
z
− (1 + 2ν ) + 2(1 + ν )
− 
2
2
2
2 
+
+ z2
a
z
a


1 − 2ν
z
3
z

+ (1 + ν )
− 
 2
a2 + z2 2  a2 + z2




3




3






τ 13
1 1 − 2ν 2

=
+ (1 + ν ) 2(1 + ν )
9
pmax 2  2

max
z(τ max )
a
=
2 + 2ν
7 − 2ν
Teoria di Hertz
Contatto sfera-sfera o sfera-piano: stato di tensione
L’analisi fotoelastica del contatto tra
due corpi elastici mette in evidenza
che la massima tensione si raggiunge
in una zona interna alla superficie,
anche se molto prossima ad essa.
8
Teoria di Hertz
Contatto cilindro-cilindro o cilindro-piano
interni
esterni
Contatto tra cilindri
Teoria di Hertz
Contatto cilindro-cilindro o cilindro-piano: pressione massima
1
F = π a L pmax
2
2F
pmax =
πaL
pmed =
F
F
=
area 2 a L
pmax =
4
pmed
π
9
Teoria di Hertz
Contatto cilindro-cilindro o cilindro-piano: area di contatto
a=
2 m1 + m2 F
π
B
L
essendo, anche in questo caso:
m1 =
1 − ν 12
E1
m2 =
1 −ν 22
E2
1 1
1 
B =  + 
2  R1 R2 
Con la stessa avvertenza sul valore di R2
nel caso di contatto cilindro-piano
e nel caso di cilindri interni
L’andamento della pressione nell’area di contatto è data dalla funzione:
p( x ) = pmax 1 −
x2
a2
Teoria di Hertz
Contatto cilindro-cilindro o cilindro-piano: area di contatto
a=
2 m1 + m2 F
π
B
L
essendo, anche in questo caso:
m1 =
1 − ν 12
E1
m2 =
1 −ν 22
E2
1 1
1 
B =  + 
2  R1 R2 
Indicando con
E' =
E
1
=
1 −ν 2 m
il modulo di elasticità a
contrazione laterale impedita
Il valore massimo della pressione di
contatto è dato dalla relazione:
pmax = σ H =
F 1
1  E'E'
 +  ' 1 2 '
πL  R1 R2  E1 + E2
10
Contatto ruota rotaia
Teoria di Hertz
Stato di tensione
Teoria di Hertz
Esempio di calcolo
Dati:
diametro d =300
R
spessore L =20
forza F =20
mm
mm
kN
Materiale: E =200
F
Si vuol conoscere
l’area di contatto e lo
stato tensionale
GPa
ν = 0.28
L
2a
R1 =0.15 m
R2 =∞
a=
pmax
m1 = m2 =
1 −ν 2
E
=
1 − 0.282
200 E 9
= 4.608 E − 12
1 1
1  1 1
1
B =  +  = 
+  = 3.3334
2  R1 R2  2  0.15 ∞ 
2 m1 + m2 F
2 2 ⋅ 4.608E − 12 20000
=
= 1.326 mm
π
B
L
π
3.3334
0.02
2F
2 ⋅ 20000
=
=
= 480 MPa
πaL
π 1.326 E − 3 ⋅ 0.02
11
Fatica di contatto
A causa della ripetuta sollecitazionedi contatto possono svilupparsi sia cricche superficiali
sia cricche sub superficiali, generalmente disposte parallelamente alla superficie.
Fatica di contatto
pmax =
σ H2 =
2F
πaL
σ H = − pmax
2F
B
π L m1 + m2
F = σ H2 (m1 + m2 )π
F=K
L
2B
a2 =
L
2B
log K =
=K
L
2B
ζ − log N
λ
2 m1 + m2 F
π
B
L
K = σ H2 (m1 + m2 )π
Dati del materiale
(ricavati sperimentalmente)
12
Fatica di contatto
log K =
ζ − log N
λ
Fatica di contatto
log K =
ζ − log N
λ
13
Fatica di contatto
Contatto ruota rotaia
Esempio di calcolo
Dati:
diametro d =300 mm
spessore L =20 mm
forza F =20 kN
R
GPa
acciaio 1020 - HB 170
K = 1450 ζ = 28.23
ν = 0.28
Materiale: E =200
F
L
R1 =0.15 m
R2 =∞
λ = 6.38
10 anni di vita
200 giri/min, 24 h/giorno, 300 giorni/anno
Ipotesi: 9% slittamento
200 ⋅ 60 ⋅ 24 ⋅ 300 ⋅10 = 864 E 6
1 − 0.28
σ H = 480 MPa = 69532 psi
m=
= 3.072 E − 8
3E 7
K = π 2m σ H2 = π 2 ⋅ 3.02 E − 8 ⋅ (69532 )2 = 933
N° di cicli richiesto =
N = 10
N = 10
(ζ − λ ⋅ log K )
(28.23 − 6.38 ⋅ log 933)
Xs =
= 1915E 6
1915 E 6
= 2.2
846 E 6
14