Tangram
Le forme e le misure
A
B
H
M
O
P
L
D
K
C
Sezione Mathesis – Pesaro
2012
1
SCHEDA DI LAVORO 1
Materiali: carta quadrettata da 1 cm; righello, matita, gomma; forbici; goniometro
ATTIVITA’ 1 – COSTRUZIONE DEL TANGRAM
Utilizzando la quadrettatura, disegna lo schema del tangram seguendo le istruzioni qui
sotto:
1. Disegna un quadrato ABCD di lato 12 cm.
2. Traccia la diagonale BD.
3. Indica con K il punto medio del lato DC; indica con M il punto medio del lato CB.
4. Unisci K con M.
5. Chiama P il punto medio di KM e uniscilo con A.
6. Chiama O il punto di intersezione tra AP e BD.
7. Chiama H il punto medio di OB e uniscilo con P.
A
B
8. Chiama L il punto medio di DO e uniscilo con K.
H
Riflessione sulle parole utilizzate nell’attività: Cosa significa…
Diagonale?
Punto medio?
Punto di intersezione?
M
O
P
L
D
K
C
2
•
•
•
•
•
In classe
Termini tecnici devono essere interpretati e
spiegati (primo approccio alla definizione –
sovrabbondanza di proprietà da parte degli
alunni)
Servono controesempi (es. per la diagonale)
Uso dell’argomentazione per selezionare le
affermazioni
Considerazioni su rette, segmenti, semirette,
linee …
Confusione sul significati dei termini (punto
medio / metà … )
3
SCHEDA DI LAVORO 2
Ritaglia i pezzi del Tangram, seguendo le linee che hai tracciato
Osserva i pezzi (si chiamano “TAN”) che hai ottenuto; rispondi sul foglio:
A
B
H
M
O
P
L
quanti sono i TAN?
che figure sono? Scrivi i loro nomi, se li conosci; ci sono figure dello stesso
tipo? Quali e quante sono?
(Ad esempio: la figura AOB è ……..; altre figure dello stesso tipo sono……)
D
K
C
Per ciascun tipo di figura, scrivi le caratteristiche che ti hanno permesso di
riconoscerla
(Ad esempio: riconosco che la figura OPKL è …… perché ha …..)
Adesso, con i TAN che hai ritagliato, ricostruisci il quadrato di partenza senza
guardare lo schema
4
•
•
•
•
•
In classe
Riconoscimento di figure legato alla posizione
Necessario distinguere tra muovere e articolare
Gli alunni delle elementari percepiscono le
figure simili come diverse
La visione inclusiva delle figure viene
acquisita attraverso l’argomentazione
Si scopre che ogni oggetto può avere più
definizioni (a seconda del riferimento)
5
SCHEDA DI LAVORO 3 (scuola media)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Con quale TAN sarebbe possibile ricoprire tutto il quadrato di partenza (usando
sempre lo stesso pezzo e solo quello)?
Quanti ne occorrerebbero?
Si può esprimere questo confronto con una frazione? Prova a completare questa
frase: “Il pezzo ………………… è
del quadrato di partenza “
Quale frazione del quadrato di partenza (intero) è il triangolo piccolo?
Quale frazione del quadrato di partenza (intero) è il triangolo medio?
Quale frazione del quadrato di partenza (intero) è il triangolo grande?
Quale frazione del quadrato di partenza (intero) è il quadrato?
Quale frazione del quadrato di partenza (intero) è il parallelogramma?
9.
Confrontiamo adesso i vari pezzi tra loro:
a) esprimi con una frazione il confronto tra le aree di : TAN quadrato e triangolo
grande
b)
“
triangolo piccolo e Tan quadrato
c)
“
triangolo piccolo e triangolo grande
10. Scegli due TAN che hanno stessa area ma diversa forma. Secondo te, hanno anche
lo stesso perimetro? Come pensi di poter controllare?
6
SCHEDA DI LAVORO 3 (scuola elementare)
Osserva i pezzi (TAN), confrontali, sovrapponili e rispondi:
- Con quali altre figure puoi ricoprire perfettamente il quadrato?
- Con quali altre figure puoi ricoprire perfettamente il triangolo medio?
- Con quali altre figure puoi ricoprire perfettamente il parallelogramma?
- Cosa osservi?
- In quanti modi puoi ricoprire perfettamente il triangolo grande?
Con quali altre figure?
Indica tutti i modi possibili (puoi aiutarti con il disegno).
Ora rifletti sulle osservazioni che hai fatto e rispondi:
Con quale TAN sarebbe possibile ricoprire tutto il quadrato di partenza(usando sempre lo stesso
pezzo e solo quello)?
Quanti ne occorrerebbero?
Con quale frazione si potrebbe esprimere questo rapporto?
Quale frazione del quadrato di partenza (intero) è il triangolo piccolo?
Quale frazione del quadrato di partenza (intero) è il triangolo medio?
Quale frazione del quadrato di partenza (intero) è il triangolo grande?
Quale frazione del quadrato di partenza (intero) è il quadrato?
Quale frazione del quadrato di partenza (intero) è il parallelogramma?
7
In classe
Scuola media
• Tendenza a legare la ricopertura alla forma
• Sono portati a generalizzare e a scoprire leggi
• Emergono diversi stili di lavoro (operare concretamente,
riflettere su numeri ..)
• Usano l’implicazione e l’argomentazione
Scuola elementare
• Usano l’argomentazione e il controllo concreto per sostenere
le proprie affermazioni
• Si stupiscono che il destino del perimetro non sia quello
dell’area
• L’uso della implicazione è spesso “inconsapevole”
• La generalizzazione ha bisogno di essere “guidata”
8
Gli alunni attraverso la manipolazione e le
percezioni visive:
• Fanno scoperte
• Riconoscono figure
• Imparano l’uso di termini e il loro significato
• Si avviano alla definizione
• Argomentano
• Utilizzano lo schema logico .. se … allora
• Generalizzano
• Costruiscono collettivamente la conoscenza
con una costante attenzione ai linguaggi
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Lavoro in classe e costruzione collettiva delle
conoscenze
• l’osservazione è il punto di partenza per la
costruzione della conoscenza
• Tutte le risposte, della classe, vengono
discusse
• nel corso della discussione viene individuato
ciò che è corretto e perché
• Si usano anche contro esempi per controllare
la correttezza di una affermazione
• Gli alunni si abituano a considerare
criticamente ogni singola affermazione
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Gli errori riguardano:
• Riconoscimento e applicazione di regole
• scoperta di regole
• padronanza dei registri di rappresentazione
(linguaggi)
• individuazione di strategie e loro messa in atto
• Operare concretamente
• conoscenza di termini specifici
• uso degli strumenti della geometria
• previsioni e congetture
• padronanza del “calcolo” e della struttura degli
insiemi numerici
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Scoperta
• Sofia: Non si possono tracciare perché se le
traccio in un quadrilatero ottengo triangoli…
• IR: Da dove devo partire per tracciare una
diagonale?
• Sofia: Da un vertice.
• IR: E dove devo arrivare?
• Molti: Ad un altro vertice… IR disegna un
segmento che passa su un lato…
• Sofia: Così tracci il perimetro…
• Andrea V: il vertice opposto.
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•
•
•
•
•
•
•
Riconoscimento figure
Tutti parlano di triangoli e parallelogramma, 4
indicano rombo e 17 quadrato.
I: Cosa pensate del fatto che non c’è stata
unanimità sul quadrato?
…………………
Alberto: Si è ingannato perché nel tangram il
quadrato è girato…
……………..
Mustafa: Perché la posizione era in punta.
Mattia: Il rombo può essere messo come
parallelogramma…. Ma il parallelogramma ha i
lati uguali due a due… il rombo li ha tutti uguali.
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•
•
•
•
•
•
•
•
•
Significato delle parole
I: …Avete mai sentito la parola definire?
Luca: Cercare il significato di una parola…
Alex: Saper spiegare la parola…
Medi: Precisare un significato.
Alberto: Fare capire cosa è quella cosa …
Alex: Approfondire… I invita gli alunni a
definire “tavolo”
Luca: Si può indicare. IR Fa notare che indicare
implica essere tutti presenti….
Anna: Ci vuole una descrizione molto
dettagliata….
Alex: Si può dire a cosa serve…
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Generalizzazione e linguaggio
• Emma : Il perimetro del TM non è fatto dagli stessi elementi… I indica alla
lavagna gli elementi di un quadrato, diviso da una diagonale, con l e d, e
chiede come esprimere il perimetro del quadrato con simboli…
• I: Passiamo al perimetro del TM usando i simboli…
• Sara: l + d ) × 2 ..ma non sa dove aprire la parentesi.. poi opta per l + (d ×
2)
• Mattia: Non serve perché la moltiplicazione ha la precedenza. I mostra di
nuovo il modello…
• Sara: l × 2 + d × 2
• Anna: Quella di prima andava bene, basta spostare le parentesi.
• I: Quale proprietà c’è in (l + d) × 2 = 2l + 2d? Vengono citate tutte le
proprietà di cui hanno sentito parlare…
• Anna: Metto assieme due addendi… due fattori.. associativa?
• I: Ci sono due operazioni…
• Anna: Vale quando ci sono due operazioni…
• Alex: La distributiva: se distribuisco un fattore su addendi il risultato non
cambia. I fa un esempio numerico e molti riconoscono la proprietà.
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Implicazione logica
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•
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•
•
perché un TG rappresenta ¼ del quadrato di partenza?
Sofia: Se prendiamo il Q di partenza e lo dividiamo a metà, nella metà vengono 2
TG. Se lo dividiamo ancora a metà 2 TM…
IR: Perché il TM è 1/8 del Q di partenza?
Luca S: 2 TM formano 1 TG e quindi ce ne sono 4, 4 × 2 = 8
IR: Perché un TP è 1/16 del Q di partenza? Ci sono più modo per gistificarlo…
AndreaB: Perché il TP Ci sta 16 volte…
Ludovico: Se 4 TP fanno un TM allora 8 TP sono la metà del Q, quindi 16 fanno il
Q di partenza.
IR: Quindi per stabilire quale frazione dell’intero rappresenta ogni T devo vedere…
Alcuni: Quante volte ci sta.
IR: Quale frazione è il Q tan di quello di partenza? Un alunno ha scritto 1/32,
alcuni 1/8, uno 1/9…Laura non sa dire perché ha scritto 1/32. IR mostra che TM e
Q hanno la stessa superficie
Laura: Avevo contato 16 TP, poi ho pensato che nel Q ce ne stanno 2… ho
moltiplicato per 2….
Alcuni: Doveva dividere.
IR: Come si può giustificare 1/8?
Andrea V: Il Q e il TM hanno la stessa superficie e allora sono tutti 1/8.
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Costruzione collettiva della conoscenza
• Emma: Se un T equilatero ha 3 lati uguali, allora è
anche isoscele perché ne ha sicuramente due. Molti
concordano..
• IR: Provate a ribaltare la frase… Le frasi vengono
scritte alla lavagna.
• Emma: Se un T isoscele ha almeno due lati uguali
allora il T equilatero è anche isoscele.
• Milena: Se un T isoscele ha 2 lati uguali allora non può
essere equilatero
• I: Se un T isoscele ha almeno 2 lati uguali allora il T
equilatero ne ha tre uguali. Molti hanno dubbi sulla
frase di I e si rendono conto che non segue lo schema
se … allora …
• Martina: C’è lo schema ma non è giusta, non è giusta
perché il T equilatero ne ha sempre due uguali…
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