CORSO DI
MODELLI DI SISTEMI
BIOLOGICI
LAUREA IN
INGEGNERIA CLINICA E
BIOMEDICA
MODELLI DEL SISTEMA CARDIOVASCOLARE
L’apparato cardiocircolatorio assolve ad una funzione di trasporto,
nell’ambito dei meccanismi che contribuiscono al mantenimento della
“costanza dell’ambiente interno” (omeostasi). L’attività di trasporto
riguarda: i gas respiratori (ossigeno ed anidride carbonica); gli elementi
nutrizionali (glucosio, aminoacidi, grassi) ed i loro prodotti di
degradazione; gli elementi che trasportano messaggi chimici (ormoni); il
calore.
L’attività di trasporto avviene attraverso il sangue, che si muove in un
sistema chiuso (sistema cardiovascolare). La caratterizzazione del sistema
cardiovascolare si può effettuare per mezzo di tre elementi fondamentali: il
sangue, la pompa (il cuore) e l’insieme dei vasi che formano il circuito.
MODELLI DEL SISTEMA VASCOLARE
Elementi Del Sistema Vascolare
Il sangue. È costituito da una sospensione di cellule (per la maggior parte eritrociti) immerse in un mezzo
acquoso contenente proteine ed elettroliti (plasma). Il sangue si comporta come un liquido non newtoniano, cioè
a viscosità non costante, in quanto questa diminuisce con l’aumentare della velocità e con la riduzione del
diametro dei vasi. La viscosità è dovuta in parte alla componente plasmatica del sangue (abbastanza costante) ed
in parte alla componente cellulare (più variabile). Il rapporto tra parte cellulare e liquida, denominato
ematocrito, varia da soggetto a soggetto. Un valore normale di viscosità è quello compreso nel range 0.03-0.04
Poise.
Il sistema delle arterie e delle vene . Il sistema circolatorio si divide in due grosse sezioni: il grande circolo e il
piccolo circolo. Il grande circolo origina dal ventricolo sinistro (arteria aorta) e ritorna al cuore attraverso le
vene cave (atrio destro). Il piccolo circolo origina dal ventricolo destro (arteria polmonare) e ritorna al cuore
attraverso le vene polmonari (atrio sinistro). Il piccolo circolo ha la funzione fondamentale di permettere
l’ossigenazione del sangue che irrorerà, attraverso il grande circolo, tutti i distretti periferici.
Il grande circolo ha origine dal ventricolo sinistro con l’arteria aorta. Essa è la più grande arteria del corpo, ha
un diametro medio di 25-30 millimetri e, con i suoi rami, raggiunge i vari siti dell’organismo. Tutte le diramazioni
arteriose che partono dall’aorta si ramificano successivamente dando origine alle arteriole e ai capillari
arteriosi. Questi confluendo in capillari venosi e in vene di calibro sempre maggiore tornano all’atrio destro
attraverso le vene cave.
Si vuole sottolineare che vengono denominate arterie i vasi che escono dai ventricoli (nei quali il sangue ha
decorso centrifugo) e vengono denominate vene i vasi che ritornano al cuore (nei quali il sangue ha decorso
centripeto -cioè verso il cuore, centro dell’apparato circolatorio-). In tale definizione si prescinde pertanto dal tipo
di sangue che essi trasportano (ossigenato o non ossigenato). Infatti l’arteria polmonare porta sangue venoso che
deve raggiungere i polmoni per essere ossigenato, le vene polmonari portano il sangue arterioso che passando
dall’atrio sinistro al ventricolo sinistro sarà immesso nell’aorta per raggiungere tutti i distretti periferici.
MODELLI DEL SISTEMA VASCOLARE
La rete vascolare è costituita essenzialmente da arterie vene e capillari che si
distinguono sia per le loro caratteristiche anatomiche che per le funzioni svolte.
La modellistica relativa a tale sistema è estremamente vasta e va dalla descrizione del
tratto di vaso e della sua interazione con il fluido che l’attraversa, alla rappresentazione
di particolari sottosistemi o di interi sistemi (albero arterioso).
La scelta di un modello più o meno complesso dipende dal contesto in cui lo stesso deve
essere utilizzato. Ad esempio se lo scopo dell’indagine è quello di analizzare il moto del
sangue all’interno dei capillari, è necessario, dato il diametro di questi ultimi,
rappresentare l’interazione tra la parete del capillare e i globuli rossi, dando origine ad
un modello a parametri distribuiti in cui si deve tenere conto della natura discontinua
del contenuto del vaso. Se invece la rete dei capillari entra a far parte di un modello
dell’intero circolo sistemico, questa può essere rappresentata molto più semplicemente
con una sola resistenza.
Ci soffermeremo principalmente sulla modellistica dell’albero arterioso in quanto
questa è stata quella più sviluppata sia per l’importanza (dal punto di vista
fisiopatologico) del sistema di distribuzione del sangue, sia per la possibilità di
effettuare ipotesi semplificative che non sono possibili nel caso degli altri sottosistemi.
MODELLI DEL SISTEMA VASCOLARE
Albero arterioso sistemico (Windkessel). Il primo modello
dell’albero arterioso sistemico (e dell’albero arterioso
polmonare) risale alla fine del XIX secolo (Frank 1899) che
sviluppò un modello ancora oggi diffusamente utilizzato
nelle sue differenti formulazioni. In tale modello viene
utilizzata un’analogia elettrica in base alla quale il tratto
arterioso di cui si vogliono sintetizzare le caratteristiche
viscose, inerziali e elastiche viene rappresentato con il
modello elettrico di figura in cui R è la resistenza (di
Poiseuille) per unità di lunghezza, C è la compliance per
unità di lunghezza, m è la viscosità del fluido, r è il raggio
della sezione del vaso, h è lo spessore della parete, E è il
modulo di Young. In tale rappresentazione (Windkessel
semplice o classico) la resistenza (R) tiene conto dell’effetto
viscoso e inerziale e la compliance (C) dell’effetto elastico.
Impedenza [Z(j)]
R
1  jωRC
8μ
R
π  r4
2  μ  r3
C
hE
Q
C
P
R
QR
MODELLI DEL SISTEMA VASCOLARE – Albero arterioso sistemico
p(t)
Il modello windkessel semplice,
utilizzato
per
rappresentare
l’impedenza di ingresso dell’albero
sistemico
si
discosta,
però
dall’impedenza d’ingresso ottenuta
sperimentalmente misurando pressione
P (nell’analogia elettrica equivalente
alla tensione V) in aorta (a cui viene
sottratta la pressione venosa se
necessario) e portata Q (equivalente
alla corrente I) all’ingresso dell’aorta e
utilizzando le trasformate in  di tali
grandezze.
Aorta
t
Ventricolo
Sinistro
q(t)
T
t
Z
Z ( j ) 
P( j )
Q ( j )
f
Z
f
MODELLI DEL SISTEMA VASCOLARE – Albero arterioso sistemico
Per rendere più simili gli andamenti dell’impedenza d’ingresso ottenuti dal modello e dal sistema
reale il Windkessel semplice è stato modificato introducendo, in serie, un elemento resistivo Rc
(resistenza caratteristica), il cui valore ammonta al 5-10% della resistenza periferica totale.
L’aggiunta della resistenza caratteristica non modifica sostanzialmente il comportamento
dell’impedenza d’ingresso alle basse frequenze ma consente di tenere conto della costanza del
modulo alle alte frequenze. Tuttavia anche questo modello (Windkessel modificato) non permette
di riprodurre le oscillazioni del modulo e l’attraversamento dello zero osservabili nell’impedenza
d’ingresso misurata.Il modello descritto è stato ulteriormente complicato aggiungendo nel ramo
serie una inertanza, in questo modo le proprietà viscose ed inerziali vengono rappresentate
dall’insieme resistenza R più inertanza L. Modelli più complessi si possono ottenere disponendo in
cascata più Windkessel
Q
Impedenza [Z(j)]
Rc
P
C
R QR
Rc 
R
1  jωRC
Q
P
Rc
Impedenza [Z(j)]
L
C
R QR
Rc  jωL 
R
1  jωRC
Fase
Hz
Hz
Hz
MODELLI DEL SISTEMA VASCOLARE – Albero arterioso sistemico
Modello di Womersley
Il modello di Womersley rappresenta il moto pulsato del sangue all’interno di un’arteria. È
un modello lineare a parametri distribuiti e quindi richiede che siano verificate alcune
ipotesi semplificative inerenti le caratteristiche del vaso e del sangue.
Il sangue viene considerato come un mezzo continuo, incomprimibile, e newtoniano
(viscosità costante). Le ipotesi fatte sono applicabili a vasi di grosso calibro (arterie). Si
assume inoltre che il moto del sangue sia laminare, che soddisfi le condizioni di aderenza
alla parete del vaso e che sia irrotazionale; infine viene supposta la temperatura costante.
Le equazioni di moto e di continuità per il sangue e per le pareti del vaso sono equazioni
differenziali alle derivate parziali nelle tre coordinate spaziali dove il tempo è la variabile
indipendente. L’equazione di stato, che lega la pressione, la densità e la temperatura del
sangue, in condizioni fisiologiche può essere omessa (fluido incomprimibile avente densità
r a temperatura costante). Verificate le condizioni di simmetria cilindrica le equazioni che in
generale devono essere prese in considerazione sono: 1) l’equazione del moto del fluido di
Navier-Stokes; 2) l’equazione di continuità; 3) l’equazione di moto delle pareti.
Ulteriori ipotesi aggiuntive sono: moto del fluido stazionario in un tubo cilindrico
orizzontale di lunghezza infinita, con pareti sottili e piccole variazioni elastiche del
raggio.
MODELLI DEL SISTEMA VASCOLARE – Albero arterioso sistemico
Modello di Womersley
Equazione di moto del fluido (Navier-Stokes).
Rappresenta il bilancio delle forze che
agiscono sul fluido e nella formulazione generale viene scritta come:
r·Dv/Dt = -p - m x ( x v)
D/Dt = / t + v·
Nelle ipotesi fatte la velocità del sangue e la pressione p sono funzione di sole due
coordinate spaziali (oltre che del tempo), una coordinata longitudinale (z) e una coordinata
radiale (r), le equazioni di moto diventano:
  2 v z 1 v z  2 v z
v z
v z
v z
1 p
 vr
 vz
 Fz 
  


2
t
r
z
r z

r
r

r
z 2




  2 vr 1 vr vr  2 vr
vr
vr
vr
1 p
 vr
 vz
 Fr 
   2 
 2
t
r
z
r r

r
r

r
r
z 2

r
z
n



t=tempo, p=pressione, r=densità del sangue, =viscosità cinematica del sangue (=m/r), vz=velocità istantanea
parallela all’asse del vaso, vr=velocità istantanea del fluido lungo la coordinata radiale, F=somma delle forze
esterne (gravità etc.). Nel modello di Womersley le forze esterne agenti sul vaso sono considerate nulle.
MODELLI DEL SISTEMA VASCOLARE – Albero arterioso sistemico
Modello di Womersley
Equazione di moto del fluido (Navier-Stokes). Nel caso in cui si consideri prevalente la
componente della velocità in direzione assiale le equazioni vengono ulteriormente
semplificate e si riducono all’unica equazione di seguito rappresentata:
vz
v
1 p
 vz z  
t
z
r z
Dove sono state trascurate le perdite per attrito. Tenendo conto della relazione sulla
portata Q=vz·S (S è la sezione del vaso) si ricava:
r Q
S

p
 r v 
 Q   z   
t
z
 S z 
Si ricava che il gradiente di pressione su un segmento di vaso (avente sezione S) è
dovuto essenzialmente alla somma di due termini: il primo legato all’inerzia del fluido,
il secondo alla resistenza per unità di lunghezza dovuta alla sua viscosità.
MODELLI DEL SISTEMA VASCOLARE – Albero arterioso sistemico
Modello di Womersley
Equazione di continuità.
forma:
Nella forma generale l’equazione di continuità assume la
·Q=0
Nel caso di condotto (vaso) deformabile, avente sezione S e attraversato da una portata Q
l’equazione assume la forma:
G' p 
dS p
Q


dp t
z
La variazione di portata tra due sezioni del vaso è dovuta essenzialmente alla perdita di
fluido attraverso le pareti per fenomeni di filtrazione (primo addendo - G’ è la
dispersione per unità di lunghezza dovuta a filtrazioni) e alla perdita di portata dovuta
alla deformazione del vaso (secondo addendo –assumendo che la S sia funzione di t
solo attraverso la p, cioè S(p(z,t),z))
MODELLI DEL SISTEMA VASCOLARE – Albero arterioso sistemico
Modello di Womersley
Equazione di moto delle pareti. Si assuma
l’ipotesi per cui il vaso possa essere
rappresentato come un tubo rigido avente
sezione costante, pareti sottili e uniformi
e caratterizzato dalle seguenti condizioni:
•
•
•
•
•
•
•
lo spessore della parete h è << del
raggio interno R del vaso
gli spostamenti radiali della parete e
le loro derivate sono infinitesimi
le proprietà fisiche (viscoelastiche)
della parete sono lineari
il materiale della parete è isotropo e
omogeneo
le forze elastiche in gioco nella
parete sono >> di quelle viscose
la densità della parete è uguale a
quella del sangue
sono trascurabili i moti longitudinali
della parete rispetto a quelli radiali
u
ur
uz
MODELLI DEL SISTEMA VASCOLARE – Albero arterioso sistemico
Modello di Womersley
Equazione di moto delle pareti. Assumendo che lo spostamento del generico punto della
parete rispetto alla sua posizione di riposo sia caratterizzato dalle componenti radiale (ur)
e longitudinale (uz), le equazioni di moto delle pareti assumono la forma:

 2u r
E  h ur
 2
 r h 2  p 
2
t
1 R



 2u z
 v z 
r

h

K

u

m




z
2

t

r

 r R

dove K=costante elastica del vincolo assiale esterno, E=modulo di elasticità di Young,
=coefficiente di Poisson.
Queste insieme alle equazioni di Navier-Stokes, di continuità, alle condizioni iniziali,
alle condizioni di congruenza (vz|r=R=uz/t e vr|r=R=ur/t) e alle condizioni al
contorno (vz/r|r=0=0 e vr|r=0=0) costituiscono il modello matematico del vaso
proposto e risolto da Womersley.
MODELLI DEL SISTEMA VASCOLARE – Albero arterioso sistemico
Modello di Womersley
Equazioni di propagazione dell’onda di pressione e di portata
Le equazioni di Navier-Stokes e di continuità danno luogo al sistema costituito dalle
equazioni di propagazione dell’onda di pressione e di portata capace di descrivere il
comportamento di un tratto di arteria:
r
 p


W
'

Q

 z
S


dS
 Q

G
'

p

 z
dp


Q
t

p
t
Simili alle equazioni che si
ottengono per lo studio del
comportamento di una linea
elettrica a conducibilità uniforme
(problema del telegrafo).
dove z=coordinata spaziale, t=tempo,
p=pressione, Q=portata, r=densità del
sangue, S=sezione del condotto
circolare avente raggio r, W’=resistenza
per unità di lunghezza, G’=dispersione
per unità di lunghezza dovuta a
filtrazione, dS/dp=compliance per unità
di lunghezza.
i
 V


R
'

i

L
'

 z
t


V
 i V



C
'

 t R'
t
l

dove
V=tensione,
i=corrente,
R’=resistenza per unità di lunghezza
C’=capacità per unità di lunghezza,
1/R’l=conduttanza per unità di
lunghezza.
MODELLI DEL SISTEMA VASCOLARE – Albero arterioso sistemico
Modello di Womersley
Pressione
p
Tensione
V
Portata
Q
Corrente
I
Volume
 Qdt
Carica
 idt
Resistenza per unità di lunghezza
W’
Resistenza per unità di lunghezza
R’
Inertanza per unità di lunghezza
r
S
Induttanza per unità di lunghezza
L’
Compliance per unità di lunghezza
dS
dp
Capacità per unità di lunghezza
C’
Dispersione per unità di lunghezza
G’
Conduttanza per unità di lunghezza
1
Rl '
Studiare il comportamento di un fluido avente moto unidirezionale è
equivalente a studiare il passaggio di corrente in una linea elettrica.
MODELLI DEL SISTEMA VASCOLARE – Albero arterioso sistemico
Modello di Womersley
Le relazioni ottenute, possono essere modificate considerando, anziché un tratto
infinitesimo di vaso, un tratto di lunghezza finita Dz. In queste nuove ipotesi le
equazioni perdono la dipendenza dalla coordinata spaziale, mantendo la dipendenza
dalla variabile temporale. Una ulteriore semplificazione, valida dal punto di vista
fisiologico, si ottiene supponendo che non vi sia dispersione di flusso (filtrazione)
tra due sezioni delimitanti un tratto di vaso. Questa ipotesi permette di annullare, nel
circuito idraulico, il termine G’, ovvero nell’analogo elettrico permette di
considerare la R’l infinitamente grande
r
 p


W
'

Q

 z
S


dS
 Q

G
'

Q

 z
dp


Q
t

p
t
r
 Dp


W
'

Q

 Dz
S


dS
 DQ

G
'

Q

 Dz
dp


Q
t

p
t
r  Dz Q


D
p

W
'

Q



S
t


dS
p

D
Q


D
z


dp
t

Per risolvere analiticamente il modello, bisogna scegliere una delle due possibili
rappresentazioni (elettrica o idraulica) e un metodo approssimante (ad esempio
Eulero, Runge-Kutta etc.) per la risoluzione del sistema di equazioni differenziali.
MODELLI DEL SISTEMA VASCOLARE – Operatori in coordinate cilindriche
.
D F  2 F
, =
=