,
CAPITOLO QUINTO
MOTI DI FILTRAZIONE NELLE TERRE
CAP. V - MOTI DI FILTRAZIONE NELLE TERRE
71
così che la quota piezometrica costituisce l'energia totale dell'acqua.
Una fondamentale relazione tra la velocità di filtrazione e il carico idrau­
lico è stata trovata sperimentalmente da d'Arcy ("Les fontaines publiques de
la Ville de Dijon", 1856). Per la legge di d'Arcy, la velocità di fIltrazione si
esprime nella forma:
-+
-t
v= -k \1 h= -kl
ovvero, in componenti,
Vx
=-
ah
k x ·ax
vy
-
-
ky
Vz
=-
kz
(5.7a)
ah
(5.7b)
ay
ah
(5.7c)
az
dove h è il carico idraulico posseduto da un elemento liquido e k x , ky e kz so­
no detti "coefficienti di permeabilità". Le derivate parziali
ix
=
ah
ah
ah
y
z
ax ' i = ay , i = az
-+
rappresentano le componenti del gradiente idraulico i.
Sostituendo le (5.7) nella (5.5) si ottiene l'equazione
a2 h
k x -.-2ax
+
ky
a2 h
-a
2
y
+
a2 h
k z - 2a =
z
o
(5.8a)
che prende il nome di "equazione di Laplace" e che, risolta per le assegnate
condizioni al contorno, permette di ricavare la distribuzione dei carichi idrau­ lici in ogni punto del terreno in cui è presente un moto di fIltrazione. Ottenuti
i valori di h, mediante la (5.6) si determina immediatamente la distribuzione
delle pressioni interstiziali u.
'
Nel caso in cui k x = k y = kz = k = cost, la (5.8a) si riduce alla equazione:
a2 h
ax 2
-
a2 h
ay 2
a2 h
az 2
+ -- + -
=O
e, per un moto di ftltrazione piano, alla equazione
.~.
(5.8b)
5.1 - Introduzione
Il principio delle tensioni efficaci stabilisce chiaramente il ruolo delle
pressioni interstizial i nella definizione del comportamento meccanico delle
terre. Ha pertanto interesse esaminare in dettaglio i fenomeni connessi con la
presenza dell'acqua nel terreno, sia in condizioni di quiete che di moto relati­
vo tra le fasi (filtrazione). L'acqua a cui ci si riferisce è quella cosidetta "libe­
ra", non adsorbita dai granuli, in grado cioè di muoversi per effetto di una va­
riazione delle tensioni totali applicate o della pressione interstiziale.
L'obbiettivo dello studio è quello di descrivere geometricamente il moto
dell 'acqua nel terreno, di valutare le portate in gioco e di conoscere lo stato di
sforzo nella fase liquida e in quella solida. Nel far ciò ii terreno viene schema­
tizzato con un modello di mezzo poroso che soddisfi l'ipotesi, verificate in
pratica entro ampi limi ti, di incompressibilità del fluido interstiziale e dei gra~
nuli solidi; di conseguenza, se il mezzo poroso è saturo ogni sua variazione
volumetrica è accompagnata, per il principio di conservazione della massa, da
una identica variazione del contenuto volumetrico d'acqua.
5.2 - Equazioni generali della filtrazione
La descrizione del moto di un fluido in un mezzo poroso richiede che sia­
no soddisfatte le condizioni di continuità e le equazioni di stato sia per la fase
fluida che per quella solida. TI principio delle tensioni efficaci consente, inol­
tre, di completare la descrizione dello stato di sforzo nel mezzo.
Prima di illustrare in dettaglio le condizioni anzidette è necessario intro­
durre il concetto di "velocità di filtrazione". Nel moto di filtrazione, l'acqua
percorre gli spazi -intergranulari attraverso sezioni di dimensioni molto variabi­
li. Risultano di conseguenza variabili i valori locali delle velocità nei diversi
.punti del mezzo poroso. E' quindi necessario descrivere il moto del fluido in
termini di quantità medie, riferite all'area lorda della sezione attraversata o al­
la frazione di area lorda corrispondente ai vuoti.
Indicando con Q la portata passante attraverso un elemento di lunghezza
L e sezione lorda A, si definisce "velocità di filtrazione" il rapporto
~
v-+ = -Q
-.
A
Si definisce inoltre "velocità media effettiva" il rapporto
~
Q
v ---
~,
A v
68
LEZIONI DI MECCANICA DELLE TERRE
dove Av è la somma delle aree degli spazi intergranulari (media lungo L). Dal­
la definizione di porosità, n, risulta
A v =nA
e quindi tra la velocità di filtrazione e quella media effettiva sussiste la relazio­
ne
.....
-.
v = n v'.
Se si assume indicativamente per i terreni n =0.5, si ricava che la velocità me­
dia effettiva è circa il doppio della velocità di filtrazione.
Per semplicità, nel descrivere il moto di un fluido- nei mezzi porosi ~si fa
st'neralmente riferimento alla velocità di filtrazione.
La. condizione di continuità per la fase liquida si esprime mediante il
principio di conservazione della massa.
Considerando un elemento di terra, completamente saturo, di dimensioni
dx, dy, dz (fig. 5.l),
z
H
G
I
I
I
D
Yw V x
-~
lE
,--
/
C
Ò
dz
­
Yw Vx + -<-r w Vx )
òx
F
/
/
A
B
dx
,
o
x
Fig. 5.1 - Filtrazione in un volume elementare di terra.
in un assegnato intervallo di tempo l'acqua può entrare o uscire dall'elemento
attraverso le sue facce, così come può accumularsi (con segno positivo e nega­
CAP. V - MOTI DI FILTRAZIONE NELLE TERRE
69
tivo) nel suo interno per effetto, ad esempio, della compressibilità dello sche­
letro solido.
li rispetto del principio di conservazione della massa impone che, in tale
intervallo di tempo, la quantità d'acqua che entra nell'elemento meno la quan­
tità di acqua che ne esce sia uguale alla quantità d'acqua accumulata nell'ele­
mento stesso.
Se si indica con Vx la componente della velocità di filtrazione lungo la di­
rezione x, la quantità d'açqua che nell'unità di tempo entra nella faccia ADHE
è pari a 'Yw Vx dy dz, mentre la quantità d'acqua che esce dalla faccia BCGF è
data dalla espressione
[. 'Yw Vx
+
_a_ ('Yw vx ) dx] dy dz
ax .
_
-
La quantità netta d'acqua che entra o che esce dall'elemento attraverso le fac­
ce ADHE e BCGF risulta di conseguenza:
+
['Yw V x
a~
('Yw vx) dx ] dy dz - 'Yw Vx dy dz
= a~
('Yw
V(l:)
dx dy dz
(5.l)
Quantità analoghe alla (5.1) possono essere ricavate per le componenti della·
velocità di filtrazione lungo gli assi y 'e z.
Indicando con Pw il peso dell'acqua accumulata nell'elemento di terra, il
principio di conservazione della massa si esprime mediante l'equazione:
a
[- ax
('Yw vx)
a
a
y
z
]
apw
+ -a' ('Yw vy ) + -a- ('Yw vz) <ix dy dz + - - =
at
°
(5.2)
ap
Nel caso particolare in cui __w_ = 0, l'equazione si semplifica nella
at
a
-
ax
)
.­
.
('Yw vx)
a
+-
ay
('Yw Vy)
+~
a
az
('Yw vz)=O.
(5.3)
che esprime il principio di conservazione della massa in asse~za di variazioni
nel tempo delle grandezze in gioco. Qu~ste condizioni -sono dette di moto
permanente o stazionario.
L'impiego dell'equazione (5.2) o (5.3) richiede la conoscenza delle equazioni
di stato della fase fluida, cioè delle relazioni che legano la densità del fluido al­
la pressione e alla temperatura.
70
LEZIONI DI MECCANICA DELLE TERRE
Per i liquidi, e in particolare per l'acqua, può ess~re impiegata la semplice
espressione (che non considera, perchè trascurabile, l'effetto della temperatura)
(5.4)
dove u è la pressione relativa (riferita a quella atmosferica, u a ), 'Ywo è il peso
specifico dell'acqua per u = U a e {J è la compressibilità dell'acqua (l/{J =
= 21.000 kg/cm 2 ).
L'ipotesi di incompressibilità dell'acqua, fatta all'inizio del capitolo,
comporta la riduzione della (5.4) alla condizione
cost
'Yw = 'Ywo =
~
quindi ad una ulteriore semplificazione della equazione (5.3) che diviene:
av x
ax
+
3vy·
. 3y
+
3vz
az
= O
(5.5)
Poiché al momento l'interesse è rivolto ai moti di filtrazione in regime penna~
nente (ap~ /at = O), non è necessario introdurre la condizione di continuità e
descrivere l'equazione di stato per la fase solida.
Le componenti vx , Vy, Vz della velocità di filtrazione possono essere mes­
se in relazione alle caratteristiche del mezzo e alle variazioni deile condizioni
idrauliche al contorno.
Prima di far ciò è però opportuno definire alcune grandezze legate al con­
tenuto di energia che possiede un elemento liquido in moto. L'energia totale
di un elemento liquido, per unità di peso, è espressa dalla relazione seguente,
in termini di quote rispetto ad un arbitrario riferimento
e),
h
=r + -
u
'Yw
v2
+-
2g
(5.6)·
dove h rappresenta l' "altezza di energia totale" o "carico totale" o, più spesso
e semplicemente, "carico idraulico";'r è la "quota geometrica"; u/'Yw è l'''al­
tezza piezometrica" e v2 /2g è l' "altezza cinetic~".La somma dei termini
r + ul'Yw· è detta "quota' piezometrica". Poiché nei problemi di fIltrazione le
velocità del fluido sono molto piccole, l'altezza cinetica può essere trascurata
(1) Il riferimento può essere arbitrario perchè nei campi di forze conservativi quello che conta sono· solo
le differenze di energia.
72
li
LEZIONI DI MECCANICA DELLE TERRE
a2 h
ax 2
+
a2 h
az 2
= O.
(5.8c)
La risoluzione delle equazioni (5.8) permette di ricavare due famiglie di
superfici (o curve): la prima è costituita dalle superfici o linee equipotenziali,
per le quali si ha h = cost; la seconda dalle superfici o linee di flusso la cuitan­
gente in ogni punto determina la direzione della velocità di filtrazione. Se il
mezzo è isotropo rispetto a k, la distribuzione dei carichi idraulici è indipen­
dente dalle caratteristiche di permeabilità del mezzo; inoltre le linee di flusso
e le linee equipotenziali sono ortogonali tra loro.
5.3 - Moti di fIltrazione in regime permanente
. La condizione di moto permanente, definita nel paragrafo 5.2, comporta
che la velocità di filtrazione sia, in ogni punto, costante nel tempo. In altre pa­
role, indicando con V il vettore velocità di filtrazione, la condizione di moto
permanente implica av/at = O.
Un particolare moto permanente è quello per cui vale anche la condizio..
. ne av/as =0, cioè il vettore velocità è uguale in tutti i punti. A tale moto si dà
il nome di "moto uniforme" e, in questo caso, le linee di flusso sono rettilinee
e parallele tra loro. Ne consegUe che i moti uniformi sono descritti da una sola
variabile geometrica e, per tale motivo, sono detti anche moti di filtrazione
monodimensionale. In queste condizioni l'equazione di Laplace (5.8) si sem­
plifica e assume la forma seguente:
..
.
a2 h
~=O.
(5.9)
Integrando una prima volta la (5.9), si ottiene
dh
dz
-- = i=
cost.
Quindi, in un moto di filtrazione uniforme, il gradiente idraulico è co­
stante, ovvero il carico idraulico varia linearmente lungo le linee di flusso.
Per chiarire meglio i concetti esposti si riportano due esempi di filtrazio~
ne monodirezionali in semplici esperienze dimostrative (figg. 5.2 e 5.3). Le
velocità dell'acqua sono molto basse, così che si può ritenere nullala perdita
di carico nei tubi che collegano le vaschette con il mezzo poroso: tutta l'ener­
gia è dissipata nella filtrazione. Nelle figure sono diagrammati i carichi idrauli­
ci h, le altezze piezometriche u/'Yw e le quote geometriche lungo la verticale ..
In tutti i casi le linee di flusso sono verticali e parallele tra loro.
73
CAP. V - MOTI DI FILTRAZIONE NELLE TERRE
3c)
: di
ali,
an­
~
il
en­
sso
,rta
riferimento
pa­
arbitrario
~.~.h
i'w
ato
do- ..
i dà
Fig. 5.2 - Schema di filtrazione monodimensionale con flusso rivolto verso
il basso.
nee
;ola
one
em­
.
).9)
/
/
/
'"
~//
co­
.sso..
zio­
. Le
/
./
/
'"
dita
ner­
lUli­
:ale..
arbitrario
~.~.h .
.
i'w
Fig. 5.3 - Schema di filtrazione monodimensionale con flusso rivolto verso
l'alto.
74
LEZIONI DI MECCANICA DELLE TERRE
La portata d'acqua in un moto di filtrazione monodimensionale si ricava
immediatamente dalla legge di d'Arcy:
...
....
-+
Q=Av=kAl
...
dove A è la sezione lorda attraversata, i è il gradiente idraulico e k il coeffi­
ciente di permeabilità.
Alcuni valori caratteristici del coefficiente di permeabilità sono riportati nella
tabella seguente:
TIPO DI TERRA
COEFFICIENTE DI PERMEABILITA' (cm/s)
Sabbie e ghiaie
Sabbie limose
Limi
Argille
10-2
10-3
10-5
10-7
10-4
10-5
10-7
10-10
Come si vede, il campo dei valori del coefficiente di permeabilità per le divers"e
terre è molto esteso e copre una decina di ordini di grandezza. E' interessante
allora mostrare cosa accade quando si stabilisce un moto di filtrazione unifor­
me in due terreni di permeabilità diversa. Ci si riferisca allo schema di fig. 5.4.
t=~~--r--""""--~--------
Fig. 5.4 - Filtrazione uniforme. Distribuzione dei carichi idraulici in un mez­
zo poroso d.isomogeneo.
CAP. V - MOTI DI FILTRAZIONE NELLE TERRE
75
La distribuzione dei carichi idraulici nei mezzi di permeabilità k. e k 2 si ricava
facilmente come segue. Per la legge di d'Arcy devono valere le uguaglianze:
= k. i. A.
= k 2 i 2 A 2·
Q.
Q2
Se la sezione lorda è costante risulta A. = A 2 ; inoltre per la condizione di con­
tinuità devé essere Q. =Q2. Di conseguenza si ottiene:
(5.10)
Dalla definiziorie di gradiente idraulico si ha
.
l.
.
12
fili.
= --o
.
L.
=
. fili 2
--o
~.
La (5.1 O) diviene allora
fili 2
K fili.
- - = - 1- - - ­
~
K2
L.
Tenendo conto che 6h.
&.
+ 6h2 = H si ottiene infine
l
=H
L2
. L.
1+­
~
--
L.
k.
k2
k.
-k2
&2 - H --=---..........;;--­
L 2 k.·
1+­
L.
k2
Supponendo L. = L 2 e k. = 100 k 2 (come-se, ad esempio, il mezzo l fosse
costituito da ghiaia e il mezzo 2 da sabbia) la variazione di carico idraulico nei
due mezzi vale:
.
­
l
,
&. =lOlH
&2
100
- - - H.
101
76
LEZIONI DI MECCANICA DELLE TERRE
Si può pertanto concludere che tutta la perdita di carico è localizzata nel mez­
zo 2, mentre il mezzo l, che non è in pratica interessato dal fenomeno della
filtrazione, agisce come un prolungamento del serbatoio di monte.
Questo esempio ha lo scopo di mostrare l'importanza della permeabilità
nella localizzazione degli strati in cui la filtrazione può produrre effetti rileva­
bili. Di ciò si deve accuratamente tener conto, come si vedrà in seguito, nella
definizione delle condizioni al contorno in problemi di filtrazione geometrica­
mente più complessi.
La soluzione di problemi di filtrazione unifonne non mostra, come si è
visto, alcuna difficoltà analitica in quanto l'equazione di Laplace si riduce ad
un solo termine.
.
Altrettanto non può dirsi quando le variabili geometriche aumentano; an­
che in condizioni piane !'integrazione dell'equazione di Laplace per via analiti­
ca è praticamente impossibile se non nel caso di condizioni al contorno parti­
colarmente semplici. Si preferisce allora usare metodi risolutivi diversi, nume­
rici, grafici e analogici. L'obiettivo da raggiungere è comunque quello di deter­
minare la distribuzione dei carichi idraulici, ovvero l'insieme delle linee di flus­
so e delle linee equipotenziali. Si darà ora un breve cenno ai metodi numerici
e ai metodi grafici, che sono i più usati nella risoluzione dei problemi applica­
tivi.
Uno dei metodi numerici più impiegati per la risoluzione delle equazioni
differenziali in generale, e dell'equazione di Laplace in particolare, è quello
delle differenze finite. La derivazione di tale metodo è pàrticolarmente sem­
plice e prende l'avvio da una discretizzazione geometrica del mezzo continuo.
Riferendosi ad un problema piano e allo schema di fig. 5.5, il mezzo continuo
è sostituito da un insieme discreto di punti per ciascuno dei quàli si deve rica­
vare il valore del carico idraulico h.
Se il problema è piano, l'equazione di Laplace assume la forma
a2 h
kx
·a 2 h
ax 2 + kz az 2 = O.
(5.11)
La variazione del carico idraulico può essere espressa mediante uno svi­
luppo in serie di Taylor e cioè, con riferimento alla figura 5.5:
3
h =h +& (~) + (&)2 (a~h) + (&)3(a h}
1
o
a
2,
a 2
3,
a 3 +.
(5.12)
xo
ah)
h 3 =h o -& (-a-
xo
.
+
x o
2
(&)2(a h)
-2-'- -a
2
.
x
.
-
o
x o
2
(&)3 (a h )
-3-'- -a
3
.
x
+
o
.
(5.13)
77
CAP. V - MOTI DI FILTRAZIONE NELLE TERRE
h~hl
2
... ---.....----.....,
I
I
I
I
~O
3
I
TT
Liz I
I
.1
I
I
I
'4
I
1 ~---~----'
I
.
Lix
I·
-I
Fig. 5.5 - Discretizzazione del mezzo continuo per la risoluzione alle
differenze finite dell'equazione di Laplace.
Sommando le (5.12) e (5.13) tra loro si ottiene:
(
a2h ) =
ax 2 o
hl - 2h o + h 3
(box)2
2 (box)4
4 !
(
a4~
. ox
) _ •••
o
(5.14)
hl - 2h o + h 3
(box)2
Analogamente
2
a
( 2h )
.az
o:::
~
h l - 2h o
(&.)2
+ h4
(5. 15)
L'errore che si commette trascurando le derivate di ordine superiore è tanto
minore quanto minori sono i valori di 6x e 6z scelti nella discretizzazione geo­
metrica del mezzo.
Sostituendo la (5.14) e la (5.15) nella (5.11) si ottiene:
kx · .
(box)2 (hl - 2ho
+ h3)
k y
+ (&.)2 (h2 - 2ho
+ h 4 ) = O
ovvero, ordinando i termini,
~
(box)2
+
h
1_
+~
(&.)2
kx
(box)2 h 3
+
h - 2 [~
2
(&)2
ky·
(&.)2 h 4
+ (L),y)
~2 J h o +
(5.12)
= O.
L'insieme delle equazioni (5.12), scritte ciascuna per ogni punto, e delle con­
dizioni al contorno costituiscono un sistema di equazioni lineari che, risolto,
l
----­
78
LEZIONI DI MECCANICA DELLE TERRE
fornisce la distribuzione dei carichi idraulici. Tale metodo numerico, così co­
me altri basati ad esempio sulla tecnica degli elementi finiti, richiede l'impiego
dell 'elaboratore elettronico.
Un altro metodo di risoluzione dei problemi di filtrazione piana è basato
sulla costruzione grafica della cosiddetta "rete idrodinamica", cioè di un insie­
me finito di linee di flusso e di linee equipotenziali. Per la derivazione del me­
todo ci si riferisca allo schema di fig. 5.6.
~r
a
~r
E
.
Fig. 5.6 - Rete idrodinamica in un problema di filtrazione piana.
Si considerano le maglie ABCD e GADH, appartenenti allo stesso tubò di •
flusso. cioè .limi tate entrambe dalle .stesse linee di flusso .. Supponendo çhe il
coefficiente di permeabilità sia costante e tenendo conto che in ogni tubo. di
flusso la portata è per definizione costante, la legge di d?Arcy pennette ~i scri­
vere le uguaglianze
q= k
Mi
bi
ai . l
lili·
q = k _ J _ aj • l
bj
avendo considerato uno spessore unitario nella direzione normale aI" piano del
disegno. Risulta di conseguenza:
Mi
= Lilij
-
a·J
b·J
-
b'l
a'l
Se i rapporti tra le dimensioni medie delle maglie appartenenti ad uno stesso
tubo di flusso sono costanti, cioè se ai/bi = aj /bj, ne deriva che le linee equipo­
tenziali ripartiscono la perdita dI carico totale H in parti uguali tra loro. Quindi,
indicando con n s il numero di salti equipotenziali, in queste condizioni risulta
(5.13)
CAP. V - MOTI DI FILTRAZIONE NELLE TERRE
79
Analoghe considerazioni possono essere svolte riferendosi alle maglie ABCD e
CEFD comprese tra due stesse linee equipotenziali. In questo caso le maglie
hanno in comune la stessa perdita di carico. Di conseguenza, per la legge di
d'Arcy, si ha:
fili
qi = k - - ai· 1
bi
qr = k
fili
br
ar • 1
e quindi
qi = qr
~_bi
br
ai
Se le linee di flusso e quelle equipotenziali sono tracciate in modo da avere
ai/bi = ar/br risulta qj = qr, cioè la portata è la stessa in tutti i tubi di flusso.
Indicando con Q la portata totale, se è soddisfatta la condizione precedente,
si ha
(5.14) "
.1, .
1
.i
i­
,
dove nt è il numero dei tubi di flusso .
In conclusione, se la rete idrodinamica è costruita in modo da rispettare
~e condizioni geometriche anzidette, e cioè ai/bi = cost, valgono entrambe le
condizioni (5.13) e (5.14). Di consèguenza si ha: .
Q=ntq =ntk -
H
ns
~l
;0
)­
li,
ta
-
a
b
= k HC
(5.15)
avendo indicato con C = nt /n s a/b un coefficiente di forma che tiene conto
della geometria definita dalla particolare rete idrodinamica disegnata. L'espres­
sione della portata totale (5.15) risulta tanto più a,pprossimata quanto maggio­
re è il numero delle linee di flusso e delle linee equipotenziali considerate. In
pratica si ottengono risultati più che accettabili anche còn un numero relativa­
mente modesto di maglie, te~uto conto ~he i risultati dipendono anche, e so­
prattutto, dai valori del coefficiente di permeabilità che, anche per uno stesso
terreno, mostrano spesso una notevole dispersione.
Nota la rete idrodinamica, la distribuzione dei carichi idraulici si ricava
Pélrtendo dalle condizioni al contorno, owero dai valori di h sulle linee equi­
potenziali a - a e b - b e sfruttando la condizione di uguaglianza dei salti idrau­
lici tra tutte le linee equipotenziali contigue. Dai valori dei carichi idraulici si
ricava, tramite la (5.6), la distribuzione delle pressioni interstiziali.
P§
80
LEZIONI DI MECCANICA DELLE TERRE
5.4 - Effetti della filtrazione sullo stato tensionale
Le perdite di carico che l'acqua interstiziale subisce nel moto di filtrazio­
ne producono una interazione tra le fasi. Si manifestano, cioè, delle forze det­
te "di filtrazione" dovute alla resistenza dell'acqua all'avanzamento negli spazi
intergranulari. Queste forze possono essere ricavate sulla base di considerazio­
ni di equilibrio.
Se il peso proprio è l'unica forza di volume presente, le equazioni indefi­
nite dell'equilibrio per un volume elementare di terra assumono la fonna
aa x
ax
+ aT xy + aT xz
ay
az
=0
(5.16a)
aT yx
ax
+ aa y + aT yZ
=0
(5 .16b)
aT zx
ax
+ ~ + -+1==0
oa z
(5.16c)
ay
az
ay
az
dove (J e T sono le tensioni totali agenti sull'elemento e 'Y il peso dell'unità di
volume:
In presenza di un moto di filtl1lzioJlt la pre5SÌO'W Ìltfm*We vate
u = 1w (h - z)
e, quindi, per il principio delle tensioni efficaci
aij = aij
+ 1w
(5.17)
(h - z) Oij .
Sostituendo la (5.17) nelle (5.16) si ottiene
aa~
ah
xy + aT xz
+ aT
- - +1 az
w ax
ax
òy
aT yx
+
òx
ar zx
ax
+
aa'
aT yZ
ah
+
+1 az
w ay
ay
..::2
=0
(5.18a)
=0
(5.18b)
aa~
- ah
aT Zy
=0 •
+ -az +1 w -+1
az
b
ay
(5.18c)
Le equazioni (5.18) mostrano che lo scheletro solido è, in generale, in equili-
CAP. V - MOTI DI FILTRAZIONE NELLE TERRE
ZlO­
jet­
JaZl
zio­
lefi­
81
brio sotto l'azione delle tensioni efficaci e delle forze "di filtrazione" ('Yw ahi
aXi) che l'acqua in moto esercita su di esso. Se la filtrazione avviene in direzio­
ne verticale e il flusso dal basso verso l'alto, all'aumentare della perdita di cari­
co, le forze "di filtrazione" possono equilibrare la forza peso. In queste condizio­
ni, le tensioni efficaci si riducono fino ad annullarsi e la terra può mostrare un
decadimento brusco delle proprie caratteristiche meccaniche, in particolare
della resistenza.
Tale fenomeno può essere mostrato con riferimento allo schema di
fig. 5.7.
6a)
H
6b)
/
s
/
/
/
.6c)
:à di
L
l'
R
/
/
-~,~,h
Yw
Fig. 5.7
.17)
l8a)
Si consideri lo stato tensionale nel punto M nel caso di condizioni idro­
statiche, supponendo cioè chiuso il rubinetto R. La tensione totale verticale
vale
Ov
l8b) _
l8c)
= 'Yw
S
+ 'Y L
e la pressione interstiziale è
-u = 'Yw(S
+ L).
La tensione efficace risulta, di conseguenza,
luili-
o; = Ov - U ='Yw S + 'YL -
'Yw (S
+ L) ='Yb L.
82
LEZIONI DI MECCANICA DELLE TERRE
Se il rubinetto R viene aperto si stabilisce un moto di filtrazione e varia quindi
la distribuzione delle pressioni interstiziali nel mezzo poroso. Nel punto M si
ha allora:
Il moto di filtrazione non altera la distribuzione delle tensioni totali; quindi la
tensione efficace in M risulta
ovvero
a~
= L ( 'Y b
-
~
'Y w )
= L ('Y b
-
i 'Yw).
(5.17)
Si vede pertanto come la presenza di un moto di filtrazione può modifi­
care lo stato di sforzo efficace in un terreno. In particolare, con riferimento
all'esempio illustrato, se il gradiente idraulico i è sufficientemente elevato, può
verificarsi la condizione a.J = 0, cioè
(5.19)
ovvero
.
1
'Y
.
b
= -= lcrit.
'Yw
Il gradiente idraulico per cui si verifica la condizione (5.19) è detto "gra­
diente critico". Per i fini applicativi è necessario controllare che, in presenza
di un moto di filtrazione, i valori massimi del gradiente idraulico siano suffi­
cientemente più bassi di quelli critici e ciò al fine di evitare, particolarmente
per i terreni granulari fini, il rischio del fenomeno del "sifonamento" che, per
terreni incoerenti, corrisponde infatti al raggiungimento in uno o più punti
della condizione a' = O.
Dall'esempio precedente risulta evidente che l'unico modo di evitare le
condizioni critiche è quello -di aumentare la tensione totale e di diminuire il
gradiente idraulico. Dall'esempio illustrato nella fig. 5.4 e per effetto della
condizione (5.10), si vede -come sia necessario aumentare la permeabilità per
ridurre il gradiente idraulico. Ciò può attenersi mediante l'impiego di un co~
siddetto "filtro", costituito da materiale più grossolano e di granulometria
CAP. V - MOTI DI FILTRAZIONE NELLE TERRE
indi
\tI si
83
appositamente studiata, posto al di sopra del terreno naturale, per il quale i
sia inferiore a Ìerit.
Per realizzare queste. due condizioni sono state proposte alcune regole
empiriche di cui si ricorda quella di Terzaghi:
D 15 (filtro)
DS5 (terra)
ii la
D 15 (filtro)
<4+5 < - - - - ­
D15 (terra) .
e quella dell'U.S.B~R.:
4<
.17)
}
uffi­
ente
, per
,unti
re le
re il
jella
l per
l co­
etria
5
D1S (filtro)
D 1S (terra)
<
20
dove D 1S ,
al 15,50 e 85% di passante.
Se mediante un solo mtro non è possibile ottenere i requisiti necessari, si utiliz­
zano più strati di granulometria via via crescente ("filtri rovesci").
.19)
'gra­
<
Dso (filtro) < 25
. Dso (terra)
Dso e DS5 rappresentano rispettivamente i diametri corrispondenti
difi­
mto
può
~nza
D15 (filtro)
DS5 (terra)