Carlo Gregoretti – Corso di Idraulica ed Idrologia – Idrologia – Moti di filtrazione
1
MOTI DI FILTRAZIONE
Filtrazione: generalità
Con il termine filtrazione si intende il moto di un fluido in un mezzo permeabile, ovvero poroso. Il
fluido si muove in una rete di canalicoli irregolari incontrando una resistenza elevata sicchè il moto
è in genere molto lento ed il contributo dell’ energia cinetica all’ energia posseduta dal fluido è
trascurabile. Per ogni punto dello spazio attraversato dal fluido si esprime quindi l’ energia o quota
piezometrica h*:
h* = h +
p
&
(1)
L’ energia piezometrica è costante lungo la verticale al moto poiché si ha distribuzione idrostatica
della pressione. Il secondo membro della seconda equazione di Eulero risulta infatti nullo perché il
quadrato della velocità è trascurabile rispetto agli altri termini dell’ equazione.
Il moto di filtrazione avviene poiché vi è un gradiente di quota piezometrica h * nella direzione del
moto.
Lo studio del moto di filtrazione è globale e riguarda il moto che si ha contemporeanamente in un
insieme di canalicoli perché risulta impossibile determinare il moto in ogni singolo canalicolo. Si
definisce velocità apparente la velocità media in una sezione generica comprensiva di vuoti e mezzo
poroso. Data una piccola sezione A del mezzo poroso comprensiva di vuoto e fase solida la
velocità apparente è V = Q/ A, essendo Q la portata transitante in quella sezione. La velocità
apparente è inferiore a quella effettiva che si ha in un singolo canalicolo. La velocità apparente
viene denominata velocità di filtrazione V. Il gradiente di energia, denominato anche idraulico, è
supposto uniformemente distribuito nella direzione del moto. Alla scala dei vuoti tale assunzione
non ha validità perché il gradiente di energia dipende dalla velocità che varia con la dimensione dei
meati (più è esteso il meato, più è elevata la velocità e maggiore è l’ energia dissipata dal fluido).
Alla scala di un piccolo volume del mezzo invece i piccoli meati possono invece essere considerati
uniformemente distribuiti giustificando l’ ipotesi di gradiente idraulico uniformemente distribuito
nella direzione del moto.
Introducendo l’ energia piezometrica, la velocità di filtrazione ed il gradiente idraulico si sostituisce
l’ andamento discreto (per la presenza del mezzo) delle varie grandezze che rappresentano il moto
lungo una qualsiasi direzione con un andamento continuo ovvero si considera un campo di moto
continuo.
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Regimi di moto
Esistono secondo il punto di vista delle applicazioni tecniche tre regimi di moto: laminare, di
transizione e turbolento. Si introduce il numero di Reynolds di grano:
Re d =
8Vd
µ
(2)
avendo indicato con d il diametro caratteristico degli elementi costituenti il mezzo poroso. I tre
regime di moto sono quindi definiti in base al valore assunto dal numero di Reynolds di grano:
1 < Red
10 < Red
10
200
200 < Red
regime di moto laminare
regime di moto di transizione
regime di moto turbolento
La caratterizzazione dei tre regimi di moto può essere studiata tramite il comportamento del numero
di resistenza f in funzione del numero di Reynolds di grano Red . Le esperienze di Veronese
distinguono:
f = 1150 Red-1 moto laminare; f = 750 Red-0.72
moto di transizione; f = 15
moto turbolento
Per il regime di moto laminare esiste la legge di resistenza empirica di Darcy:
i = V/k
(3)
essendo i il gradiente idraulico e k il coefficiente di filtrazione (o di conducibilità idraulica)
La legge di Darcy è una legge lineare che relaziona la velocità alla dissipazione di energia tramite
una costante k. La costante k è dimensionalmente una velocità i cui possibili valori sono indicati
nella tabella sottostante:
mezzo poroso
Ghiaia
Sabbia mista a ghiaia minuta
Sabbia pulita
Argilla
Limo
-2
10 - 10
10-3 – 10-2
10-5 – 10-3
10-8 – 10-4
10-8 – 10-6
k (m/s)
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Un valore approssimato del coefficiente di filtrazione k può essere stimato sostituendo la legge di
Darcy_Weissbach (eq. 7.14) nell’ espressione del numero di resistenza f per regime laminare:
2 g di 1150
=
8Vd/µ
V2
(4)
2 8 g d2
i
1150 µ
(5)
esplicitando V dall’ equazione (4) si ha:
V=
dal confronto con la legge di Darcy si ha:
k=
2 8 g d2
1150 µ
(6)
Per il regime non laminare esistono delle leggi di resistenza empiriche:
i = aV + bV2
n
i = mV
legge di Forcheimer
legge di Izbash
per n = 1 la legge di Izbash coincide con quella di Darcy.
Stima del coefficiente di filtrazione k
La stima del coefficiente di filtrazione può essere eseguita in laboratorio od in sito. In laboratorio si
utilizza un dispositivo denominato permeametro. Il permeametro è costituito da un campione del
mezzo poroso prelevato evitando il più possibile rimaneggiamenti e posto in un tubo alimentato con
una portata liquida per gravità (figura 1). All’ inizio ed alla fine del tratto del condotto occupato dal
mezzo poroso si dispongono due piezometri. Il fluido nell’ attraversare il mezzo poroso subisce una
dissipazione di energia per cui il gradiente idraulico è dato dal rapporto tra la differenza di energia,
ovvero il dislivello delle quote dei piezometri (h1–h2) , e la lunghezza del condotto occupato dal
campione del mezzo poroso(L):
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i=
h1
h2
L
4
(7)
Figura 1. Permeametro
La velocità di filtrazione è determinata dividendo il valore della portata Q misurata con idoneo
strumento per l’ area A della sezione del condotto. Tramite la legge di Darcy si determina il valore
del coefficiente di filtrazione:
k=
V
QL
=
i A (h 1 h 2 )
(8)
In sito il coefficiente di filtrazione k può essere determinato con diversi metodi. Un metodo è quello
di misurare le quote piezometriche della falda in tre pozzi relativamente vicini in modo da
determinare per interpolazione (figura 2) l’ andamento della falda. In particolare si uniscono le
coordinate dei tre pozzi con delle rette in modo da creare un triangolo e su ogni lato del triangolo si
equispaziano uguali differenze di quota. Si quindi congiungono i punti del triangolo ad egual quota
ottenendo le linee di ugual quota denominate linee isofreatiche. Le linee isofreatriche permettono
una rappresentazione della superficie della falda sul piano. Il moto avviene in direzione
perpendicolare alle linee isofreatriche. Si deduce quindi la direzione della velocità (e/o del moto) ed
il gradiente idraulico. La velocità di filtrazione viene stimata introducendo del tracciante nel pozzo
di monte e misurando il tempo che occorre al passaggio del tracciante negli altri due pozzi. Nota la
distanza tra i due pozzi ed il tempo impiegato al tracciante per raggiungerli discende la componente
della velocità (spazio/tempo) lungo le linee congiungenti i pozzi. Note le componenti della velocità
discende il valore della stessa. Tramite la legge di Darcy l’ unica incognita, stimato il gradiente
idraulico mediante le linee isofreatiche e nota la velocità è il coefficiente di filtrazione k. Altro
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metodo per determinare il coefficiente di filtrazione k in campo è mediante delle prove di
pompaggio nei pozzi, metodo qui non presentato.
Figura 2. Tracciamento delle linee isofreatiche.
Forza di filtrazione
Un fluido in moto attraverso un mezzo permeabile è rallentato per attrito dalle pareti dei canicoli e
per il terzo principio della dinamica esercita sul mezzo permeabile una forza uguale e contraria.
Questa forza di attrito esercitata dal fluido sul mezzo permeabile è denominata forza di filtrazione.
Due serbatoi con quote del pelo libero h1 > h2 costanti sono posti in comunicazione mediante un
cilindro di area A ed altezza L, riempito con un mezzo poroso (figura 3). Tra il serbatoio di monte
con quota del pelo libero h1 ed il serbatoio di valle con quota del pelo libero h2 si instaura un moto
di filtrazione. Le perdite di energia consistono nelle perdite di carico per attrito per attraversamento
del mezzo permeabile. Tra le basi del cilindro si ha una differenza
P tra le forze di pressione
esercitate dal fluido dovuta alla perdita di energia per attrito:
P = h1 A - h2 A =
hA
(9)
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Figura 3. Forza di attrito agenti su di un mezzo poroso.
essendo h = h1 - h2. La differenza delle forze di pressione P è dovuta all’ attrito fluido-mezzo
poroso che si oppone al moto ed è uguale e di segno opposto alla forza che il fluido esercita per
attrito sulla matrice solida che costituisce il mezzo poroso. Dall’ equazione precedente si ha:
P=
hA=
h/ L A L
(10)
Introducendo nell’ equazione (10) il gradiente idraulico, ovvero la dissipazione di energia per unità
di lunghezza dell’ unità di peso i = h/ L, la forza di filtrazione FS, pari alla differenza delle forze
di pressione, assume la seguente espressione di carattere generale:
FS = i Vl
(11)
essendo Vl = A L il volume del mezzo permeabile sede del moto di filtrazione.
Regime di moto laminare
Assumendo per semplicità un valore del coefficiente di filtrazione k costante in ogni direzione ed in
ogni punto del mezzo poroso sede di un moto di filtrazione è possibile per una qualsiasi direzione s
generica scrivere la legge di Darcy nel seguente modo:
V =ki=k
h
kh
=
s
s
(12)
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La genericità della direzione s permette l’ introduzione della funzione potenziale di velocità:
= k h + costante
(13)
per cui essendo
s
=
kh
h
=k
s
s
si può esprimere la velocità con la seguente espressione:
V=
Una linea per cui
(14)
s
= cost è denominata linea equipotenziale. Indicata con n una linea ad egual
equipotenziale si ha:
M
=0
n
(15)
Con riferimento alla figura 4 per i due percorsi s1 ed s2 si hanno due valori di velocità diversi. Infatti
il salto di potenziale
> V2 (
=
1
-
2
per i due percorsi s1 ed s2 è uguale ma s1 < s2 per cui V1 (
/s2) ed i1 (V1/k) > i2 (V2/k). Poiché l’ acqua, a parità di dissipazione di energia (
/s1)
= k h)
segue la strada a maggior pendenza, ovvero a maggior gradiente idraulico, la velocità di filtrazione
è diretta perpendicolarmente alla linea equipotenziale: le linee di corrente sono normali alle linee
equipotenziali.
1
2
1
2
Figura 4.
L’ introduzione delle linee equipotenziali e delle linee di corrente permette di tracciare il reticolato
di flusso. Il reticolato di flusso è costituito dall’ inviluppo di tutte le linee equipotenziali e di
corrente relativo ad un determinato moto di filtrazione.
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Date due linee equipotenziali (fig. 5) con potenziali
1
>
2
8
tracciando due linee di corrente
distanti tra loro L si ottiene una maglia del reticolato di flusso. La maglia del reticolato di flusso
ha la proprietà di avere le diagonali (fig. 6) congiungenti i vertici opposti tra loro perpendicolari in
modo che la larghezza e la lunghezza media della maglia coincidano: L
n.
1
2
Figura 5.
1
2
Figura 6. Maglia di reticolato di flusso.
La maglia poiché delimitata da due linee di corrente è un tubo di flusso. Per la proprietà della
maglia
V=k
/ s=
NM12
Nn
12/
n=(
1
-
2)/
n e la velocità di filtrazione si può esprimere come:
(16)
la portata q che attraversa la superficie di profondità unitaria L è:
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q=V L =k
NM12
L
Nn
9
(17)
Se il campo di moto in esame è caratterizzato da n tubi di flusso di sezioni L, la portata totale per
unità di profondità è:
Q=nk
NM12
L
Nn
(18)
Se il reticolato di flusso ha N salti equipotenziali con maglie per cui L = n, posta la differenza
dei potenziali ad inizio ed alla fine del reticolato di flusso
Q=nk
= h, si ha:
Nh
N
(19)
Una traversa fluviale (fig. 7) ritiene un invaso di acqua con un dislivello h = hO. Si realizza un
moto di filtrazione dalla posizione di monte caratterizzata da un potenziale più alto (
cost) alla posizione di valle caratterizzata da un potenziale più basso (
= k hO +
= cost). Il tracciamento del
reticolato di flusso viene eseguito a partire dal contorno. Le posizioni del piano campagna a monte
della traversa sono caratterizzate da un potenziale
= k hO, quelle a valle da un potenziale
= 0 (si
assume la costante nulla per semplicità).
Figura 7. Reticolato di flusso.
La superficie inferiore della traversa ed il fondo impermeabile non possono essere attraversati dal
moto di filtrazione e costituiscono quindi una linea di corrente. Note le condizioni al contorno è
possibile tracciare il reticolato di flusso per tentativi ricordando che le linee di corrente ed e
quipotenziali sono tra loro ortogonali e che le maglie devono avere le diagonali congiungenti i
vertici opposti perpendicolari tra loro. La portata totale che passa da valle a monte è secondo l’ eq.
(19):
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Q=nk
hO
N
10
(20)
Il reticolato di flusso permette inoltre il calcolo della spinta dell’ acqua sulla superficie di
fondazione dell’ opera, denominata sottospinta ed il calcolo per la verifica al sollevamento del
terreno al piede dell’ opera (sifonamento). Tracciare il reticolato significa delineare l’ andamento
del potenziale
nel terreno. Noto il valore del potenziale
carico idraulico h* =
della pressione p =
rimangono determinati il valore del
/k (si pone nullo il valore della costante in modo che per h = hO,
= k hO) e
h*. Ipotizzando un andamento lineare del valore del potenziale attraverso un
salto di pressione è possibile determinare il grafico delle sottopressioni agenti sulla superficie di
fondazione dell’ opera (fig. 8). La risultante delle sottopressioni viene determinata sommando
vettorialmente le spinte idrostatiche calcolate per ogni singolo salto di potenziale.
L’ utilizzo del reticolato di flusso per la verifica al sifonamento (sollevamento del terreno al piede
dell’ opera idraulica) viene spiegato nel paragrafo seguente.
La funzione potenziale è stata introdotta ipotizzando un coefficiente di permeabilità del terreno k
costante in tutte le direzioni ed in tutto il terreno (terreno omogeneo ed isotropo). Se il terreno è
relativamente omogeneo si può assumere che il valore di k sia costante in tutto il terreno ma non in
tutte le direzioni (terreno anisotropo). In genere si ha un coefficiente di permeabilità nella direzione
orizzontale maggiore di quello nella direzione verticale (kORIZ > kVERT).
L’ equazione di continuità q/ s = 0 relativa alla conservazione della massa in un tubo di flusso può
essere scritta con valore puntuale in forma differenziale:
V
V
V
+
+
=0
x
y
z
(21)
essendo x, y ed z le coordinate cartesiane. In ipotesi di moto bidimensionale (costante in una
direzione), con x direzione orizzontale ed z direzione verticale si ha V/ y = 0. Sostituendo la legge
di Darcy nell’ equazione (21), con kX ed kZ coefficienti di filtrazione nelle direzioni x ed z si ha:
x
kX
h
h
+
kZ
=0
z
z
x
Per terreno di caratteristiche omogenee kX ed kZ sono costanti e l’ equazione (22) diventa:
(22)
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2
h
h
k
=0
+
Z
2
x
z2
11
2
kX
(23)
Nel caso di terreno isotropo si ha k = kX = kZ e l’ equazione (23) diventa:
k
2
h
x
2
+
2
h
z
2
2
2
kh
+
x2
=
kh
=0
z2
(24)
sostituendo il potenziale nell’ equazione (24) si ha:
2
x2
+
2
z2
=0
(25)
il reticolato di flusso è la soluzione grafica di questa equazione che è inoltre equivalente all’
equazione che si ottiene dividendo ambo i membri dell’ equazione (25) per k:
2
2
h
h
=0
+
2
x
z2
(26)
Si può dimostrare che l’ equazione appena scritta può descrivere il campo di moto per un terreno
anisotropo adottando un opportuno coefficiente di permeabilità.
Adottando le seguenti coordinate cartesiane:
x' =
z'=
x
kX
z
kZ
(27)
(28)
si ha:
x = x' k X
(29)
z = z' k Z
(30)
che sostituiti nell’ equazione (23) permettono:
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2
kX
(x'
h
)
2
kX
2
+ kZ
(z'
h
kZ
)
2
=0
12
(31)
assumendo un terreno di caratteristiche uniformi si possono togliere dal termine della derivata i
coefficienti di filtrazione ottenendo:
2
kX
h
k X (x')
2
+ kZ
2
h
k Z (z')
=0
2
(32)
che diventa:
2
2
h
h
=0
+
2
x'
z' 2
(33)
La stessa equazione può essere determinata utilizzando le seguenti coordinate cartesiane:
x
x'=
(34)
kX / kZ
z’ = z
(35)
per cui:
x = x' k Z /k X
(36)
z = z’
(37)
che sostituiti nell’ equazione (23), , in un terreno omogeneo, permettono:
2
kX
h
(k X /k Z )
(x')
2
+ kZ
2
h
(z')2
=0
(38)
e quindi
2
kZ
h
+k
(x')2 Z
2
h
=0
(z')2
(39)
In questo caso si risolve il reticolato di flusso e si modifica la sola coordinata orizzontale (figura 9).
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Figura 9. Aggiustamento di scala per reticolato di flusso per mezzo poroso anisotropo.
Il reticolato di flusso della figura 10 diventa quello in figura 11. Un modo per controllare se nell’
operazione di passaggio da un reticolato all’ altro non si siano commessi errori è di osservare le
maglie del reticolato: devono essere allungate nel verso della direzione in cui si ha un coefficiente
di permeabilità maggiore. Ad esempio se kX = 4 kZ la maglia deve essere costituita da quadrilateri la
cui dimensione maggiore è quella orizzontale.
Figura 10. Reticolato di flusso per coefficiente di filtrazione costante.
Figura 11. Reticolato di flusso per coefficiente di filtrazione non costante.
Il reticolato di flusso trasformato permette il calcolo delle pressioni. Per conoscere il valore della
portata si può sempre utilizzare l’ equazione (19) con un coefficiente di permeabilità medio pari a:
k = k ORIZ k VERT
(40)
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Sifonamento
Il sifonamento in un mezzo poroso sede di un moto di filtrazione consiste nella rimozione di una
parte delle particelle solide che lo compongono quando la forza di filtrazione agente sulle particelle
costituenti il mezzo supera le forze di resistenza intrinseca dello stesso.
Per sifonamento di un opera idraulica soggetta a moto di filtrazione si intendono due fenomeni
diversi.
Nel caso di opera idraulica con corpo non filtrante per sifonamento si intende il sollevamento del
terreno al piede di valle (nel verso del moto di filtrazione) della stessa.
Nel caso di opera idraulica con corpo filtrante o di terreno di appoggio di opera idraulica a corpo
non filtrante per sifonamento si intende la rimozione da parte del moto di filtrazione delle particelle
più piccole costituenti il corpo filtrante (od il terreno di appoggio di un opera idraulica a corpo non
filtrante) con la conseguente formazione di una zona a permeabilità maggiore che agisce da
richiamo di acqua con conseguente aumento della velocità di filtrazione che diventa capace di
erodere e trasportare via le particelle più grandi del mezzo creando veri e propri canali (piping). Il
processo di erosione e trasporto del materiale si amplifica determinando il collasso della parte
sovrastante.
Sifonamento di opera idraulica con corpo non filtrante
Il sifonamento si realizza al piede di valle della struttura (fig 12) dove il moto di filtrazione è
diretto verticalmente verso l’ alto. In questo caso il terreno è soggetto ad una forza di filtrazione
diretta verticalmente verso l’ alto ed alla forza peso in condizioni sommerse (alla forza peso viene
sottratta la spinta di galleggiamento di Archimede) diretta verticalmente verso il basso. Il
sifonamento avviene quando la forza di filtrazione uguaglia e/o supera il peso sommerso del
terreno. Questo significa che la pressione effettiva a causa dell’ attrito dovuto alla filtrazione si
annulla ed il terreno perde consistenza ed ogni capacità di portanza e di resistenza. Con riferimento
alla figura 12 indicata con h la pressione dell’ acqua all’ estremo inferiore del diaframma di valle
della struttura di profondità d. La pressione effettiva in condizioni sommerse per un volume
cilindrico di terreno di base unitaria ed altezza d è:
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Figura 12. Sifonamento del piede di valle di un opera idraulica.
’
Z
essendo
SAT
ed
=(
SAT
- )d
(41)
rispettivamente il peso specifico del terreno in condizioni di saturazione e quello
dell’ acqua. La pressione dovuta alla forza di filtrazione è:
’’
Z
= di
(42)
la dissipazione di energia è:
i = h/d
(43)
per cui sostituendo la (43) nella (42) questi diventa:
’’
Z
= h
(44)
L’ annullamento della pressione effettiva si ottiene dalla seguente relazione:
’
Z
-
’’
Z
=0
(45)
sostituendo le (41) ed (42) nella (45) si ha:
(
SAT
- )d- h=0
da cui si ottiene la condizione di annullamento della pressione effettiva
(46)
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(& SAT
&) d
=1
&
h
16
(47)
La condizione di annullamento della pressione effettiva può anche essere espressa tramite il
gradiente idraulico critico iC. Sostituendo la (42) nella (47) si ottiene:
iC =
(& SAT
&
&)
(48)
La stima del gradiente idraulico critico viene eseguita calcolando il carico idraulico h. Per
configurazioni relativamente semplici il calcolo di h e di iC sono disponibili nei grafici disegnati
nelle figure sottostanti.
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Per configurazioni non relativamente semplici come quella in figura 8 il valore di h viene calcolato
mediante il tracciamento del reticolato di flusso.
Il fenomeno di sollevamento del fondo scavo si estende secondo Terzaghi (1943) al volume di
terreno profondo d e largo d/2 (fig. 12).
Per tener conto di eventuali zone di terreno diverse da quelle di progetto a causa di fenomeni
eterogeneità ed anisotropia e di eventuali difetti costruttivi si introduce un fattore di sicurezza pari a
4 - 5 (Harr, 1962; Taylor 1948; Cedergren, 1989) nella stima delle condizione di annullamento delle
pressioni effettive per cui le (47) ed (48) diventano:
(& SAT
&) d
=4
&
h
i C = 0.25
(& SAT
(49)
&)
&
(50)
Se nelle condizioni di progetto (o di verifica di un opera già esistente) il gradiente idraulico è
prossimo a quello critico si possono utilizzare tre possibili accorgimenti:
1) aumentare la profondità di infissione del diaframma in modo da aumentare il percorso dell’
acqua e quindi diminuendo il valore del carico idraulico h;
2) caricando la superficie del terreno con materiale di grossa pezzatura. In questo modo non si
modifica la filtrazione e si aumenta il valore della pressione effettiva dovuta al peso;
3) diminuendo il carico idraulico mediante operazioni di drenaggio eseguite con dreni o pozzi
di sfogo;
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Sifonamento del terreno di fondazione di opera idraulica a corpo non filtrante
In questo caso non è possibile esprimere la forza di resistenza dovuta al mutuo incastro delle
particelle in modo da confrontarla con quella di filtrazione per ottenere una relazione riguardo le
condizioni critiche per l’ instaurarsi del fenomeno. Si fa quindi riferimento al gradiente idraulico
critico, relativo al percorso di una particella a contatto con la fondazione, determinato
empiricamente da Lane.
Con riferimento alla figura a il gradiente idraulico è:
i=
h
h 1 + h 2 + h 3 + h 4 + (l1 + l 2 + l 3 )/3
(51)
Le distanze in orizzontale o con angolo rispetto alla verticale minore di 45° sono divise per tre per
uniformarle a quelle lungo la verticale perché la resistenza al moto in direzione orizzontale è minore
che in direzione verticale (il coefficiente di permeabilità in direzione verticale è minore di quello
orizzontale ed a parità di velocità si ha quindi un maggior gradiente idraulico in direzione verticale).
Figura a. Criterio di Lane.
Secondo Lane il gradiente idraulico calcolato secondo la (51) non deve essere superiore ad un
valore critico dipendente dalla natura del terreno e presentato nella sottostante tabella:
tabella Valori del gradiente idraulico critico per sifonamento del terreno di sottofondazione
Terreno
Gradiente idraulico critico
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Sabbia molto fine o limo
Sabbia fine
Sabbia media
Sabbia grossa
Ghiaia fine
Ghiaia media
Ghiaia grossa con ciottoli
Massi con ciottoli e ghiaia
Argilla molle
Argilla media
Argilla compatta
Argilla molto compatta
19
0.1176
0.143
0.167
0.2
0.25
0.286
0.333
0.4
0.333
0.5
0.556
0.625
Trincea filtrante
Per trincea filtrante si intende uno scavo rettilineo di sezione costante al di sotto della linea di falda
freatica per cui l’acqua riempie lo scavo fino alla superficie della falda (fig. b).
Figura b. Trincea filtrante.
Se si emunge una portata mediante una o più pompe si realizza un moto di filtrazione piano (fig. c).
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Figura c. Moto di filtrazione in trincea filtrante.
Si introduce l’ ipotesi di Dupuit che assume una distribuzione idrostatica delle pressioni lungo la
verticale che equivale ad assumere verticali le linee equipotenziali che in realtà sono curve (fig.d).
L’ ipotesi di Dupuit è tanto più valida quanto minore è la curvatura della superficie della falda.
In questo caso la direzione del moto s è unidirezionale e normale alla trincea e la velocità può essere
espressa secondo la legge di Darcy in termini di derivata totale:
Figura c. Moto di filtrazione
V =ki=
k
h
=
s
k
dh
ds
Figura d. Schematizzazione del moto secondo l’ ipotesi di Dupuit.
La portata per unità di larghezza q diventa:
(52)
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q=Vh =
kh
dh
ds
21
(53)
da cui
q ds = - k h dh
(54)
integrando la (54) tra s1 ed s2, essendo L = s2 – s1 si ha:
s2
s1
q ds =
q (s 2
h2
h1
(55)
k h dh
s1 ) = k
h 22
h 12
2
(56)
esplicitando la portata a primo membro si ottiene:
h 12 h 22
q=k
2L
(57)
Noti i valori di h2 ed h1 tramite l’ equazione (57) è possibile calcolare la portata emunta.
Nel caso di un pozzo in falda freatica da cui si emunge una portata Q il moto è a simmetria radiale
(fig e), ovvero si hanno stessi valori di velocità V e carico piezometrico h ad ogni distanza r dal
centro del pozzo.
Figura e. Simmetria radiale del campo di moto.
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22
In questo caso la portata Q è:
Q=V2
rh
(58)
Per la simmetria radiale in ipotesi di Dupuit il gradiente idraulico è:
i=
dh
dr
(59)
Sostituendo la (59) nell’ espressione della velocità secondo la legge di Darcy (eq. 3) e quest’ ultima
nella (58) si ha:
Q = -2Vrhk
dh
dr
(60)
da cui
Q
dr
= 2 k V h dh
r
(61)
integrando la (61) tra r1 ed r2 si ha:
r2
r1
Q
dr
= 2V
r
h2
h1
(62)
k h dh
(
Q ln (r2 / r1 ) = V k h 22
h 12
)
(63)
esplicitando la portata a primo membro della (63) si ottiene:
Q= Vk
h 12 h 22
ln(r2 /r1 )
(64)
Le equazioni (57) e (64) sono state ottenute tramite l’ ipotesi di Dupuit ed i punti in cui stimare i
valori del carico idraulico h1 ed h2 devono essere in una zona della falda la cui superficie presenti
una bassa curvatura. Da risultati empirici il carico h2 può essere preso pari ad hO mentre il carico h1
può essere preso ad una distanza:
R = C (H – hO) k1/2
(65)
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23
Essendo C una costante che nel caso del pozzo vale C = 3000, mentre nel caso di trincea filtrante
vale C = 1500÷2000. k è il coefficiente di permeabilità in m/s, H è il valore del carico idraulico
relativo alla superficie piezometrica indisturbata. La dimensione di R è in metri.
Falda Artesiana
La falda artesiana è una falda compresa tra due strati di terreno impermeabili. Il moto di filtrazione,
in analogia a quello in tubo, avviene in pressione (fig g).
Figura g. Schema di moto di filtrazione per emungimento di portata in falda artesiana
Indicata con b lo spessore della falda artesiana il moto di filtrazione in un pozzo da cui si emunge
una portata Q è a simmetria radiale. In questo caso la portata Q è:
Q=V2
rb
(66)
Per la simmetria radiale in ipotesi di Dupuit il gradiente idraulico è dato dalla eq. (59) che sostituito
nella legge di Darcy e questa nella (66) permette:
Q= 2V krb
dh
dr
(67)
da cui
Q
dr
= 2 kV b dh
r
(68)
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24
integrando la (68) tra r1 ed r2 si ha:
r2
r1
Q
dr
= 2V
r
h2
h1
(69)
k b dh
Q ln(r2 / r1 ) = V k (h 2
h1 )
(70)
esplicitando la portata a primo membro si ottiene:
Q= Vk
h1 h 2
ln(r2 /r1 )
Per il calcolo di h2 ed h1 si assume h1 = hO (r1 = rO) ed r2 tale che ln (r2/rO)
(71)
6. Il valore massimo
della portata da emungere deve essere tale che la velocità di filtrazione V sia minore di k1/2/15 con k
coefficiente di filtrazione espresso in m/s.
Argini
L’ argine è un opera di difesa posta ai lati di un corso d’ acqua per evitare fenomeni di esondazione
durante eventi di piena. Le opere arginali, di solito sono costituite da rilevati in terra.
Gli argini o rilevati con altezza inferiore a 10 m devono essere realizzati con materiale di bassa
permeabilità per evitare un moto di filtrazione attraverso il corpo arginale caratterizzato da alti
valori di velocità e quindi di portata che comporterebbero:
1) allagamento del terreno da proteggere dall’ esondazione
2) rottura per sifonamento
In genere si utilizzano materiali omogenei caratterizzati da un coeffciente di permeabilità 10-6
k
10-4 che vengono compattatti in opera per aumentarne la stabilità. Se è possibile e se è necessario si
dispone all’ interno dell’ argine uno strato di materiale meno permeabile (fig. h) denominato nucleo.
Il nucleo ha la funzione di abbattere il carico idraulico di almeno il 35% e riduce quindi
notevolmente la portata di filtrazione perché impone basse velocità di filtrazione. Il nucleo deve
essere sufficientemente plastico per adattarsi a eventuali cedimenti od assestamenti senza che si
creino fratture al suo interno.
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25
Figura h. Corpo arginale con nucleo.
In ipotesi di Dupuit la portata di filtrazione è, analogamente alla trincea filtrante:
q=Vh =
kh
dh
ds
(72)
La linea di filtrazione in un corpo arginale è diversa in presenza o meno del nucleo (fig. i).
Figura i. Linea di filtrazione in corpo arginale con e senza nucleo.
Nel caso di presenza di nucleo caratterizzato da un coefficiente di permeabilità k2 la portata che
filtra attraverso la zona di confine tra il materiale omogeneo principale (caratterizzato da un
coefficiente di permeabilità k1) ed il nucleo può essere scritta con riferimento alla figura (l) in due
diversi modi:
q=
q=
k1 h1
dh 1
ds
k2 h2
dh 2
ds
Dall’ uguaglianza dei primi membri delle equazioni (73) e (74), considerando inoltre h1
(73)
(74)
h2 si ha:
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k1
dh 1
dh 2
= k2
ds
ds
26
(75)
poiché k1 > k2 dalla (75) discende:
dh 1 dh 2
<
ds
ds
(76)
Figura l. Filtrazione in corpo arginale con nucleo.
La presenza del nucleo che abbatte del 35% il carico di monte hO di fatto impone bassi valori del
gradiente idraulico nella zona a monte del nucleo che comporta bassi valori di velocità e quindi
della portata filtrante.
A valle del nucleo è posto uno strato di materiale molto permeabile denominato dreno che ha la
funzione di raccogliere ed incanalare l’ intera portata di filtrazione compresa quella sottoarginale. Il
dreno è costituito quindi di materiale ad elevata permeabilità contribuendo imponendo un ulteriore
abbattimento del carico idraulico nel nucleo. L’ acqua drenata dai dreni viene raccolta in
canalette/tubi dotate di fessure di forma circolare o rettangolare tali che:
D 85
> 1.2
b
(77)
D 85
> 1.0
d
(78)
essendo D85 il passante all’ 85% del materiale costituente il dreno, b ed d rispettivamente la
larghezza (se rettangolare) ed il diametro della fessura (se circolare) delle cabalette. Le relazioni
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27
(77) e (78) sono date dall’ US Army et al. (1971) e riportate in Cedergren (1989, p160) ed hanno la
funzione di evitare migrazioni di materiale dal dreno nelle canalette.
Il nucleo (od il materiale omogeneo costituente l’ argine) ha permeabilità molto inferiore a quella
del dreno ed è composto da particelle la cui dimensione media è inferiore a quella delle particelle
costituenti il dreno. Sorge il pericolo che parte del materiale fino costituente il nucleo (od il terreno
omogeneo dell’ argine) migri nel dreno creando un fenomeno di sifonamento all’ interno del nucleo
(o del corpo arginale).
Per evitare questo inconveniente, quando si pongono a contatto strati di materiale a permeabilità
differente li si separa con un filtro costituito da uno strato di materiale che permette il passaggio
dell’ acqua impedendo al tempo stesso il passaggio di materiale da uno strato all’ altro.
Per prevenire il passaggio di materiale da uno strato all’ altro occorre che la dimensione dei vuoti
del filtro sia sufficientemente piccola da bloccare la gran parte delle particelle dello strato da
proteggere:
D15 filtro
<5
D 85 strato
(79)
la relazione (79) è un criterio empirico anche denominato rapporto di sifonamento. Inoltre deve
anche essere:
D15 filtro
>5
D15 strato
(80)
quest’ultima relazione garantisce una permeabilità sufficiente al filtro (20÷25 volte superiore a
quella del materiale) atta ad eliminare elevati carichi idraulici e forze di filtrazione all’ interno del
filtro stesso. Nel caso in cui il materiale dello strato da proteggere abbia un ampia curva
granulometrica con presenza di elementi di pezzatura elevata questi ultimi devono essere esclusi
dalla curva granulometrica da cui si ottengono i parametri D15 e D85 altrimenti la matrice fine
potrebbe essere non protetta, ovvero potrebbe migrare nel filtro. Alle due relazioni precedenti US
Army et al. (1971) aggiunge per prevenire il movimento delle particelle dallo strato al filtro la
seguente relazione:
D 50 filtro
D 50 strato
25
(81)
Una se pur piccola migrazione di materiale fine tra lo strato da proteggere ed il filtro avviene con il
risultato che il materiale migrato si incastra tra i vuoti della parte del filtro immediatamente a
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28
contatto con lo strato da proteggere costituendo uno strato di materiale a metà tra i due che
impedisce una erosione successiva e/o continuata.
Le relazioni (79), (80) e (81) devono essere applicate anche alla coppia filtro-dreno a parti invertite
(ad esempio D15 dreno < D85 filtro).
In ogni caso il filtro deve essere dimensionato, ovvero il suo coeffciente di permeabilità deve essere
tale che:
k=
Q
iA
(82)
essendo Q la portata drenata dal filtro, i il gradiente idraulico ed A la sezione del filtro normale alla
direzione del moto di filtrazione.
Per le dighe in terra Sherard ha fissato ulteriori criteri (più restrittivi) per la scelta del D15 ed D85 del
filtro in funzione della composizione granulometrica dello strato di materiale da proteggere. Questi
criteri sono riassunti nell’ USBR (1987).
US Army, US Navy and US Air Force (1971) “Dewatering and Groundwater Control for Deep
Excavations” TM 5-818-5, NAVAC P418, AFM 88-5, Chapter 6
US Bureau of Reclamation (1987) “Design Standards No. 13, “Embankment dams”, Chap.5,
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