UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CATANIA
FACOLTÀ DI INGEGNERIA
DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE
IDRAULICA DEI TERRENI
Esercizi svolti
SALVATORE GRASSO
CORSO DI GEOTECNICA
CORSO DI
Catania, Maggio 2011
STATO DI MOTO E DI QUIETE QUIETE
Allo stato naturale o in conseguenza di perturbazioni dell’equilibrio, l’acqua nel terreno può trovarsi in condizioni di: QUIETE (
)
STAZIONARIO (PERMANENTE) Parametri del moto costanti nel tempo Condizione tipica dei PROBLEMI DI FILTRAZIONE Velocità, V MOTO (flusso mono‐, bi‐, tridimensionale) Linea di flusso (o filetto fluido) NON STAZIONARIO (VARIO) Parametri del moto variabili nel tempo tempo
Condizione tipica dei PROBLEMI DI CONSOLIDAZIONE Def. La p
portata d’acqua
q q che attraversa una superficie,
p
dA, ovvero “il volume d’acqua che attraversa la superficie dell’elemento nell’unità di tempo”, vale: q = Vn•dA
Vn V
dA P PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA MASSA MASSA
Nel moto stazionario la quantità di acqua che entra in un elemento di terreno è p
pari alla q
quantità di acqua
q
che esce dallo stesso elemento,, p
per il principio di conservazione della massa (filtrazione in regime permanente). Nel moto vario la quantità di acqua entrante in un elemento di terreno è diversa da quella uscente (filtrazione
uscente (filtrazione in regime vario).
vario) Se il terreno è saturo, la la
differenza tra le due quantità può produrre il fenomeno della consolidazione o del rigonfiamento. Si consideri
id i un elemento
l
t infinitesimo di
i fi it i
di terreno
t
di
di dimensioni dx dy dz, attraversato da un flusso di acqua, di velocità V (di componenti Vx, Vy e Vz). y x L portata
La
t t d’acqua
d’
entrante
t t nell’elemento,
ll’ l
t qin, d
dx
dy
vale: z V
x q =v ‫ڄ‬dy‫ڄ‬dz+v ‫ڄ‬dx‫ڄ‬dz+v ‫ڄ‬dx‫ڄ‬dy in x y z dz e quella uscente, qout, nella stessa direzione:
∂v y ‫ۊ‬
∂v x ‫ۊ‬
‫ۇ‬
v x +
q out = ‫ۇ‬
‫ڄ‬
dx.dy‫ڄ‬dz+
v y +
‫ڄ‬dy‫ڄۋ‬dx‫ڄ‬dz ‫ۈ‬
‫ی‬
∂
∂x ∂
∂y ‫ۉ‬
‫ۉ‬
‫ی‬
‫ ۇ‬+ ∂v z ‫ڄ‬dz‫ڄۋ‬dx‫ڄ‬dy
‫ۊ‬
+‫ۈ‬v z
∂z
‫ۉ‬
‫ی‬
V y + ∂V y dy
∂y
Vy Vz v x +
∂V dz
∂z
Vz+ z
∂v x dx x ∂
CARICO PIEZOMETRICO E GRADIENTE IDRAULICO I moti di filtrazione di un fluido avvengono sempre tra un punto a cui compete energia maggiore ad un punto ad energia minore. minore
L’energia, espressa in termini di carico, o altezza (energia per unità di peso del liquido) è data dalla somma di tre termini: ⌦ altezza geometrica, z * (la distanza verticale del punto considerato da un piano orizzontale di riferimento arbitrario, z = 0, misurata positivamente se al di sopra,
p
p negativamente
g
al di sotto) )
⌦ altezza di pressione, u/γw (l’altezza di risalita dell’acqua rispetto al punto considerato considerato, per effetto della sua pressione, u))
⌦ altezza di velocità, v2/2g
g (l’energia dovuta alla velocità, v, delle particelle del fluido dove g è l’accelerazione di gravità). H=z
*
u v
+ +
γ
w
h = z* + u
γw
2
2g
CARICO EFFETTIVO o TOTALE TOTALE
CARICO PIEZOMETRICO* N.B: h = ‐z+u/γw nel caso in cui l’asse z, come accade di solito in Geotecnica, sia orientato verso il basso (z*=‐z) Legge di Darcy TEOREMA DI BERNOULLI BERNOULLI
“Per un fluido perfetto, incomprimibile, in moto permanente, soggetto solo alla forza di gravità,
gravità il carico totale è costante
è costante lungo una traiettoria (linea di flusso)
flusso)” ∆H12 = 0 Essendo v = cost, tra i punti 1 e 2 (principio
(p
p
di conservazione della massa): ∆h12 = ∆H12 carico totale per fluido ideale ideale
u2 u1 γw 1 γw A 2 ∆h12 = 0 0
A’ N.B L
N
B L’acqua
acqua non è un
è un fluido fluido
perfetto, quindi la perdita di energia totale in realtà è piccola ma non nulla. nulla.
∆h12 ≅ 0 ≅0
z1 L Piano di riferimento (z* = 0) z2 TEOREMA DI BERNOULLI Nel tubo contenente terreno invece
terreno invece si osserva una perdita del carico totale H: H:
H2 < H1 Essendo v = cost, tra i punti 1 e 2 2
∆h12 = ∆H12 ed essendo nei terreni v ؆ 0 ֜ H ؆ h h
carico totale per fluido ideale ideale
∆h u1 γw 1 x A γw 2 Def. Si definisce GRADIENTE IDRAULICO : ∆h x i x = L x N.B. Il moto è monodimensionale (direzione di V costante) costante)
u2 A’ z1 z2 Lx x Pi
Piano
di riferimento
if i
t (z* =
( * 0) 0)
Legge di Darcy LEGGE DI DARCY DARCY
E’ utile identificare una relazione tra caratteristiche del moto (velocità), proprietà
p
p
del terreno e p
perdita di carico, con riferimento al caso di moto monodimensionale: Q
A
=v=k‫ڄ‬
∆h
L
v = velocità apparente di filtrazione = k‫ڄ‬i
k = coefficiente
ffi i t di permeabilità bilità
Nel caso più generale di moto tridimensionale:
∂h
=−k
v x =−k x ‫ڄ‬
∂x
r
r
v =− ‫׏ڄ‬h
vy
vz
=−k
=−k
y
z
‫ڄ‬
‫ڄ‬
∂h
∂y
∂h
∂z
=−k
‫ڄ‬i
x x
‫ڄ‬i
y y
Caso bi‐tridimensionale =−k
z
‫ڄ‬i
z
anisotropia Il moto si sviluppa sempre da punti con h maggiori verso punti con h inferiori
LEGGE DI DARCY Esercizio 1 Determinare il coefficiente di permeabilità k
permeabilità k del campione e la velocità di velocità di
filtrazione reale, vr, dell’acqua attraverso un campione cilindrico di sabbia, avente porosità n = 60% a cui è applicato un gradiente di carico idraulico h0 = 30 cm. Il provino ha diametro D pari a 5 cm e lunghezza L di 15 cm.
cm Durante la prova viene viene
raccolto un volume d’acqua C pari a 40 cm3 in 5 sec, alla temperatura di 20°C. h
L
0
A
C
Permeabilità 1 Dati: Lunghezza del campione (L) = 15 cm h
Di
Diametro
d l campione
del
i
(D) = 5 cm L
Volume di acqua raccolta (C) = 40 cm3 W
z=0 2 A
h
h h
0
3 z ∆h Tempo di raccolta (∆t) = 5 s s
C
Carico idraulico (h0) = 30 cm ) 60% Porosità ((n) =
Moto stazionario
Principio di conservazione della massa
Svolgimento: Per determinare il coefficiente di permeabilità si utilizza la legge di Darcy: v=k‫ڄ‬i dove v è la velocità di filtrazione (apparente) attraverso il campione e i il gradiente
di
id li
idraulico.
N ll’i
Nell’ipotesi
i che
h la
l perdita
di di carico,
i
h0, avvenga tutta all’interno del campione e assumendo come piano di riferimento z = 0 l’estremità superiore del campione (in genere il piano z=0 coincide col p.c): h2 = ‐z +u/γw = (0)+(hw) = hw
h3 = ‐z +u/γw =(‐L)+ (L+hw‐h0) = hw ‐ h0
Permeabilità Svolgimento: L’acqua filtra attraverso il campione da punti a cui compete un carico maggiore (2) a punti in cui il carico è inferiore (3) e il gradiente idraulico risulta: ∆h h0 = 30 cm/15cm = 2 i =
L
=
L
e quindi: quindi:
v = k∙i = k ∙h0/L La portata attraverso la sezione A del campione è: Q = v∙A vA
e nell’ipotesi che il volume d’acqua che filtra attraverso il terreno sia lo stesso che viene raccolto nel serbatoio per il principio di conservazione della massa ((moto
oto sta
stazionario
io a io o pe
permanente): a e te)
Q = C/∆T da cui: Q = C/∆t =
C/∆t = v∙Α= k∙(h0/L)∙πD2/4 /4
e infine (essendo A = π D2/4 = 3.14x52/4 = 19.6 cm2): C‫ڄ‬L k=
k = (40 cm3x15 cm)/(30cmx19.6cm
cm)/(30cmx19 6cm2x5 s) = 0.2
0 2 cm/s = 2x10‐
2x10 3 m/s
m/s* h‫ڄ‬A‫∆ڄ‬t *Valore tipico di una sabbia pulita
Permeabilità Svolgimento: La velocità di filtrazione (apparente) è data da: v = k∙i = 0.2 cm/s x 2 = 0.4 cm/s e la velocità di filtrazione reale è data da: vr = v/n = (0.4/0.6)cm/s = 0.67cm/s > v N.B.
N
B Lo strumento e la procedure descritte nell
nell’esercizio
esercizio rappresentano uno dei dei
metodi di misura della permeabilità in laboratorio per i terreni a grana grossa (PERMEATRO A CARICO COSTANTE) Permeabilità Esercizio 2 Per determinare la permeabilità media
permeabilità media di uno strato di sabbia di spessore S = 12.5 12 5
m, sovrastante uno strato impermeabile, è perforato un pozzo ed è eseguita una prova di emungimento. La falda freatica è alla profondità zw = 1.95 m dal p.c. A regime la portata emunta
emunta è q
è q = 850 lt/min, e gli abbassamenti del livello acquifero
acquifero in due piezometri posti a distanza x1 = 15.2 m e x2 = 30.4 m dallʹasse del pozzo sono rispettivamente y1 = 1.625 m e y2 = 1.360 m. Stimare il coefficiente di permeabilità medio della sabbia, k ((in m/sec)) ed il suo diametro efficace D10. Dati: Portata emunta (q) = 850 lt/min = 850/60000 m3/s = 0.014167 m3/s Spessore dello strato di sabbia (S) = 12.5 m x2 Profondità della falda dal p.c. (zw) = 1.95 m x1 = 15.2 m y1 = 1.625 m x2 = 30.4 m y2 = 1.360 m zw x1 p.c. y1 y2 S Permeabilità Svolgimento: permeabilità media dello strato di sabbia p
può essere determinata sulla La p
x2
base della formula:
x
k =
q
q ln( ‫ڄ‬
2 x 1 x π (h2 1 −h )
2
x1 ) [m/s] q [m3/s] p.c. 2
zw y1 y2 dove: S h1 = S ‐zw ‐y1 = (12 5 1.95 ‐
(12.5 ‐
1 95 1.625)m
1 625)m = 8.925
8 925 m m
h2 = S ‐zw ‐y2 = (12.5 ‐ 1.95 ‐ 1.360)m = 9.19 m
3 0.014167m k =
π
/s h1 h2 30.4m ) 15.2m = 6.5∙10‐4 m/s ‫ڄ‬
2 (9.19 −8.925 2 )m 2 ln( Permeabilità Per determinare il diametro efficace, D10, si utilizza la formula di Hazen, che, per sabbie sciolte uniformi, fornisce una stima del coefficiente di p
permeabilità: k = C‫( ڄ‬D10)2
con k [cm/s], D10 [cm], C = 100 ÷ 150
da cui, assumendo C = 100:
D10 = √(k/C) = √(6.5
√(6.5∙10‐
10 2 /100) = 0.026 cm
Permeabilità Esercizio 3 Determinare il rapporto tra la permeabilità equivalente
permeabilità equivalente orizzontale kH e verticale verticale
kV di un deposito costituito da strati orizzontali di argilla , dello spessore medio di 1.5 m, alternati a strati sottili di limo argilloso, dello spessore medio di circa 1 cm e aventi permeabilità circa
permeabilità circa 100 volte maggiore di quella dell
dell’argilla.
argilla. Dati: Spessore degli strati di argilla (Ha) = 1.5 m m
Spessore degli strati di limo (Hl) = 1 cm Coefficiente di permeabilità dell’argilla = ka Coefficiente di permeabilità del limo (kl) = 100 ka Ha a
H l p.c. Argilla
Argilla Limo Argilla Limo Li
PERMEABILITÀ DI TERRENI STRATIFICATI STRATIFICATI
Per terreni stratificati, il valore medio del coefficiente di permeabilità è fortemente condizionato dalla direzione del moto di filtrazione filtrazione
FILTRAZIONE IN PARALLELO kh1, H1
q1
kh2, H2
q2
q
H Il gradiente idraulico i è lo stesso per tutti g
gli N strati. Applicando
pp
la legge
gg di Darcy: vi = kHi i ‫׊‬i qi = vi ‫ ڄ‬Hi i
qn
kn , H n
‫׊‬i i
La portata di filtrazione totale è: q = ∑ q q i =∑
∑ (v
(vi ‫ ڄ‬Hi) =
∑(kHi ∙H
Hi ∙i)
i) q = v ‫ ڄ‬H =kH ∙H ∙ i dove v = kH i è la velocità media e kH è il Eguagliando si ottiene: kH=
∑
‫ڄ‬H i
H
coefficiente coefficiente
orizzontale di permeabilità medio medio
((kH influenzato dallo strato p
più p
permeabile) )
Misura della permeabilità FILTRAZIONE IN SERIE q
kv2, H2 La p
portata (e q
quindi la velocità) di filtrazione è la stessa per tutti gli strati. Applicando la legge di Darcy: v = kv1 i1 = kv2 i2 = . . . . . = kvn in kvn, Hn v = kV im = kV ∙ (h/H) (h/H)
dove kV è il coefficiente di permeabilità medio verticale, im il gradiente idraulico medio e h la perdita di carico totale,
totale che è pari
è pari a: a:
kv1, H1 H q
h = ∑ h i =
∑
(
S i
Sostituendo
d sii ottiene: i
v = kV ∙ (h/H) = (kV/H)∙ v ∙∑(Hi/kvi) k V=
H ‫ڄ‬
i )i = ∑
i ‫ۇ‬
v ‫ۊ‬
‫ۉ‬
k vi ‫ۋ‬
k ‫ی‬
H ‫ڄ‬i = v‫ڄ‬
∑
H i k vi k H
(kv influenzato dallo strato Hi
meno permeabile) permeabile)
∑
k vi
grani nella fase di deposizione,
p
, kH, risulta OSS. A causa dell’orientamento dei g
generalmente maggiore, anche di un ordine di grandezza, di kV. Permeabilità Svolgimento: Nell’ipotesi che i singoli strati siano omogenei e isotropi
(kh = kv), il
coefficiente di permeabilità equivalente orizzontale,
orizzontale per una singola coppia di
strati è:
kh1, H1
q1
kh2, H2
q2
k q
=
eq ,H H kn, Hn
∑ k k hi ‫ڄ‬H
H
H i = (kaxHa+klxHl)/(Ha + Hl) = = (150cm ka + 100 ka∙1cm)/(150+1)cm=
= 250/151 ka = 1.66 ka qn
q
kv1, H1 kv2, H2 k eq ,V V =
k H = (Ha + Hl)/(Ha/ka+ Hl/kl) = (150cm+1cm)/[150cm/ka +
1 )/[150 /k 1cm/(100k
1 /(100ka)] )]
H i = (150
∑
k vi = 151/(150.01/ka) = 1.007 ka H kvn, Hn q
Permeabilità Svolgimento: Il rapporto tra la permeabilità equivalente orizzontale kH e verticale kV è: k eq ,H k eq ,V =
1.66‫ڄ‬ka 1.007‫ڄ‬ka = 1.6 N.B. La presenza di sottili strati di limo immersi in un deposito di argilla e con permeabilità molto più alta, influenza poco la permeabilità verticale del deposito mentre influenza sensibilmente la permeabilità orizzontale
deposito,
permeabilità orizzontale (una volta volta
e mezza quella dell’argilla). Permeabilità Esercizio 4 Un canale di irrigazione, limitatamente ad un tratto di lunghezza L = 7 km, non è rivestito e scorre parallelamente ad un corso dʹacqua come mostrato nella sezione trasversale in Figura. Il terreno sottostante è argilla attraversata da una lente di sabbia (k = 9x10‐2cm/s) di spessore S = 0.2 m. Si determini la perdita dʹacqua dovuta alla filtrazione, attraverso lo strato di sabbia, dal canale al corso dʹacqua. 57 m s.l.m.
Canale
Argilla
Lente di sabbia
37 m s.l.m.
150 m
Argilla
0.2 m
Fiume
Permeabilità Dati: Quota del livello d’acqua nel canale (h1) = 57 m (s.l.m.) Quota del livello d
d’acqua
acqua nel fiume (h2) = 37 m (s.l.m.) (s l m )
Lunghezza del canale interessato dalla filtrazione (L) = 7000 m p
dello strato di sabbia (S) = 0.2 m Spessore
Lunghezza del tratto filtrante (l) = 150 m Coefficiente di permeabilità della sabbia (k) = 9∙10‐4 m/s 57 m s.l.m.
Canale
A Argilla
Lente di sabbia
37 m s.l.m.
150 m
Argilla
B 0.2 m
Fiume
Permeabilità Svolgimento: Il gradiente di carico che attiva il moto di filtrazione dal canale verso il fiume (da A a B) è: ∆h = h1 ‐ h2 = 57m ‐ 37m = 20 m La portata che filtra attraverso
attra erso lo strato di sabbia nel tratto di canale di di
lunghezza L (nell’ipotesi di regime stazionario) è costante e pari a: Q = v∙A = v∙L∙S dove la velocità di filtrazione v, per la legge di Darcy, è: v = k∙i = k∙∆h/l = (9∙10‐4 m/s )x(20 m/150 m) = 1.2∙10‐4 m/s e quindi: Q = v∙L∙S = (1.2∙10‐4 m/s)x 7000m x 0.2 m = 0.17 m3/s RETICOLO DI FILTRAZIONE FILTRAZIONE
La soluzione dell’equazione di Laplace bidimensionale può essere rappresentata graficamente da due complessi di curve (le linee di flusso e le linee linee
equipotenziali) che si tagliano ad angolo retto (rete di filtrazione): Le linee di flusso sono i percorsi dei filetti liquidi nella sezione trasversale, ne e i to o infinite
esistono
i fi ite e lo spazio
a io tra
t a due linee
li ee di flusso
flu o successive viene
u e i e ie e chiamato hia ato
canale di flusso e vi scorre una portata costante d’acqua ∆q. Le linee equipotenziali sono le linee di eguale energia potenziale, ovvero di eguale carico idraulico, ne esistono infinite e la distanza fra d
due
li
linee
equipotenziali successive i t
i li
i
indica in quanto spazio si è dissipata una quantità costante ∆h del carico idraulico. idraulico
Lo spazio (l’area) delimitata da due linee di flusso successive e da due li
linee
equipotenziali successive
i t
i li
i
è
è detta campo. Il campo è la maglia della rete di filtrazione.
Linee di flusso
Campo
Linee equipotenziali
Moti di filtrazione Per disegnare la rete di filtrazione, una volta note le condizioni al contorno ovvero alcune linee di flusso o equipotenziali che delimitano la rete (ad es. le superfici impermeabili sono linee di flusso e le superfici libere di falda sono equipotenziali) e la perdita di carico totale, h, e scelto il numero di dislivelli N, occorre che: i canali di flusso abbiano eguale portata ∆q, la p
perdita di carico fra due linee equipotenziali successive ∆h=h/N sia costante, i campi siano approssimativamente quadrati (∆a ≅ ∆b). A
K H B
C J
L
D
E
La portata di filtrazione per ogni ogni
canale di flusso è: ∆ =v‫∆ڄ‬a
∆ =
k‫ڄ‬h‫∆ڄ‬a
N‫∆ڄ‬b
؆
k‫ڄ‬h
N
G
F
e la portata totale: totale: Q=N1‫∆ڄ‬
1 ∆q=k‫ڄ‬h‫ڄ‬
q=k h
N1
N
Verifiche idrauliche FORZE DI FILTRAZIONE Come si modifica il regime delle pressioni (totali, efficaci e interstiziali) in un punto del terreno,
terreno passando da una condizione di fluido in quiete (regime (regime
idrostatico), ad una con moto di filtrazione (in regime stazionario)? A
h1
h2
B
B
A
O
h1
O
P
h2
P
z
Sabbia satura CASO 33 CASO 2 2
CASO 1 1
h
h1
O
P
z
Serbatoio B
h
A
h2
z
Verifiche idrauliche Caso 1 (Assenza di filtrazione) Non cc’èè differenza di carico tra i due punti,
punti A e B,
B appartenenti alla due due
superfici libere
l’acqua è in quiete
h1
A
h
0
h1
h2
B
O 0
u
w 1
P
Q
1
Nel generico punto P: σz = γsat‫ڄ‬z + γw‫ڄ‬h1 γh
z
z
γw (h1+ h )
γw
u = γw‫(ڄ‬h1+z) σ’z = σz ‐ u = γsat‫ڄ‬z + γw‫ڄ‬h1 ‐ γw‫(ڄ‬h1+z) = γ’‫ڄ‬z
essendo γ’ = γsat ‐ γw
Caso 2 (Filtrazione discendente) La differenza di carico tra A e B attiva un moto di filtrazione (da
( A a B) )
A
h1
h
0
h1
h2
h 1- h
z
u
O 0
γwh 1
P
Q
u
γ zi
h
B
w
γw(h1+ h 2- h)
z
1
1
γw
γw
Hp: La perdita di carico ∆h tra
∆h tra A e B avviene tutta nel terreno (tra
terreno (tra O e Q), è è
costante nel tempo, e il carico piezometrico h varia linearmente all’interno del campione tra h1 (in O) e h1‐∆h (in Q) Nel generico punto P (a profondità z): σz (z) = γsat‫ڄ‬z + γw‫ڄ‬h1 Legge di variazione del carico: ∆h h
h( ) h 1 −
h(z)=h
‫ ڄ‬z=h −i‫ڄ‬z
1 h 2 e per definizione di carico piezometrico:
u u
h( )
h(z) =−z+
(Il
Il piano di
d riferimento
f
z*=0 coincide
d coll p.c. e perciò
ò z* = ‐z) γw
u(z) =γ
w
‫[ڄ‬z+h] =γ
w
‫[ڄ‬z + (h −i‫ڄ‬z)] =
(z+h ) ‫ڄ‬γ
1
1
w
−γ w ‫ ڄ‬i‫ڄ‬z
σ’z (z) = σz ‐ u = γsat‫ڄ‬z + γw‫ڄ‬h1 ‐ γw‫(ڄ‬z+h1) + γw ∙ i∙z = γ’‫ڄ‬z + γw ∙ i∙z *N.B. La pressione interstiziale nel generico punto P può essere anche calcolata interpolando linearmente i valori assunti nei punti O (determinato dal livello della falda superiore) e nel punto Q (determinato
Q (determinato dal livello d
d’acqua
acqua nel nel
piezometro). Caso 3 (Filtrazione ascendente) La differenza di carico tra A e B attiva un moto di filtrazione (da
( A a B) )
B
h1
h1
0
h
h
A
h2
O 0
γh1
w
γ ziw
γw(h 1+ h 2+ h)
P
Q
1
h 1+ h z
u
z
1
γw γw
Hp: La perdita di carico ∆h tra
∆h tra B e A avviene tutta nel terreno (tra
terreno (tra Q e O), è è
costante nel tempo, e il carico piezometrico h varia linearmente all’interno del campione tra h1 (in Q) e h1‐∆h (in O) Nel generico punto P (a profondità z) la tensione verticale totale non cambia: σz (z) = γsat‫ڄ‬z + γw‫ڄ‬h1 Legge di variazione del carico diventa: ∆h
h( ) h 1 +
h(z)=h
‫ ڄ‬z=h +i‫ڄ‬z
1
h2
e per definizione di carico piezometrico:
u
h( )
h(z) =−z+
(Il piano
i
di riferimento
if i
z*=0
* 0 coincide
i id coll p.c. e perciò
iò z* =
* ‐z) )
γw u(z) =γ
w
‫[ڄ‬z+h] =γ
w
‫[ڄ‬z + (h +i‫ڄ‬z)] =
(z+h ) ‫ڄ‬γ
1
1
w
+γ
w
‫ ڄ‬i‫ڄ‬z σ’z (z) = σz ‐ u = γsat‫ڄ‬z + γw‫ڄ‬h1 ‐ γw‫(ڄ‬z+h1) ‐ γw ∙ i∙z = γ’‫ڄ‬z ‐ γw ∙ i∙z *N.B. La pressione interstiziale nel generico punto P può essere anche calcolata interpolando linearmente i valori assunti nei punti O (determinato dal livello della falda superiore) e nel punto Q (determinato
Q (determinato dal livello d
d’acqua
acqua nel nel
piezometro). Verifiche idrauliche GRADIENTE IDRAULICO CRITICO In presenza di filtrazione la pressione interstiziale è data dalla somma di una componente idrostatica e di una componente idrodinamica (PRESSIONE DI DI
FILTRAZIONE): ‐ Filtrazione discendente + Filtrazione ascendente u = γw‫(ڄ‬z + h1) ± γw ∙ i∙z COMPONENTE COMPONENTE
IDROSTATICA COMPONENTE O
O E E
IDRODINAMICA La pressione efficace in presenza di filtrazione ascendente vale: σ’z = γ’‫ڄ‬z ‐ γw ‫ ڄ‬i‫ڄ‬z e sii annulla
ll quando
d il gradiente
di t idraulico
id li è pari
è
i a: ic =
γ'
γw
GRADIENTE IDRAULICO CRITICO CRITICO
OSS 1.
OSS.
1 Il valore di ic dipende esclusivamente dal peso di volume del terreno terreno
2. Essendo γ’ ؆ γw, il valore di ic è prossimo all’unità Verifiche idrauliche SIFONAMENTO
SIFONAMENTO In un terreno privo di legami coesivi, in presenza di filtrazione ascendente quando i = ic, si annullano le forze intergranulari, si annulla la resistenza del resistenza del
terreno e le particelle solide possono essere trasportate dall’acqua in movimento, dando origine ad un fenomeno progressivo di erosione che conduce al collasso della struttura del terreno. Tale fenomeno è noto come instabilità idrodinamica (o sifonamento) Il fattore di sicurezza globale nei
globale nei confronti del sifonamento è il rapporto tra il il
gradiente idraulico critico, ic, e quello presente in esercizio (gradiente di efflusso), iE : FS =
ic
iE
Verifica puntuale in termini di tensioni N.B. Essendo il sifonamento un fenomeno improvviso, senza segni premonitori, ed essendo difficile tener conto di fattori quali l’eterogeneità e l’anisotropia del terreno, si adottano valori alti di FS (> 3.5 ÷ 4) Verifiche idrauliche p.c.
A
H
B
In prima approssimazione, con riferimento al p
percorso di filtrazione p
più corto, A‐B (situazione più critica), nell’ipotesi di perdita di carico lineare con la profondità e trascurando lo spessore del diaframma, il gradiente
d
d efflusso,
di
ffl
iE, è dato da: d
d
p.c.
D
iE ≅ H/(H+2D) ≅ H/2D dove: H è la perdita
e dita di carico
a i o tra
t a i due punti u ti
A e B della superficie libera D è la profondità d’infissione del diaframma. diaframma
Verifiche idrauliche Scavo in un mezzo di Per una più precisa determinazione del gradiente di
spessore infinito efflusso, iE, e considerato che in g
genere la p
perdita di carico non è lineare con la profondità (in particolare segue andamenti differenti nel tratto discendente e ascendente) si può ricorrere ad uno dei seguenti diagrammi: diagrammi:
Scavo nastriforme in un mezzo di spessore infinito i fi i
Trincea in un mezzo di spessore limitato li i
α
h/D b/D h/D Verifiche idrauliche SOLLEVAMENTO DEL FONDO SCAVO p.c.
Il sollevamento del fondo scavo è un un
fenomeno analogo al sifonamento, dovuto alle forze di filtrazione al piede di un diaframma,, che si estende a tutta la profondità D dello scavo per una larghezza pari a D/2 D/2
H
E
Verifica a lungo termine Forza instabilizzante (forze di filtrazione filtrazione
dovute alla componente idrodinamica della pressione interstiziale): Sw = γw‫ ڄ‬Hc‫ڄ‬D/2 D/2
Forza stabilizzante (peso immerso del cuneo di terreno): terreno):
W’ = γ’ ‫ڄ‬D ‫ ڄ‬D/2 H
c
p.c
D
A
γw
SOVRAP‐ PRESSIONI H
c
(COMPONENTE
IDRODINAMICA) Verifiche idrauliche ic Fattore di sicurezza globale: FS =
Wʹ =
S w γ‫ڄ‬D‫ڄ‬D/2 γ w ‫ ڄ‬H ‫ڄ‬D/2 c =
γʹ‫ڄ‬D γ w ‫ ڄ‬H c Verifica globale in termini di forze ie Quando non si conosce il valore di Hc, nell’ipotesi che la perdita di carico vari linearmente con la profondità,
profondità essendo: essendo:
iE ≅ H/(H+2D)= Hc/D H c ؆ H‫ڄ‬D H+2D o più cautelativamente: H c ؆
H 2 Per incrementare il valore di FS si possono adottare le seguenti soluzioni: 1) aumentare la profondità di infissione in modo da ridurre il gradiente di efflusso; 2) disporre sul fondo dello scavo in adiacenza al diaframma un filtro costituito da materiale di grossa pezzatura in modo da incrementare le tensioni efficaci: γ '‫ڄ‬D 2 /2+W
d
dove
W è il peso del
d l filtro filt
FS =
γw‫ڄ‬
Hc‫ڄ‬D /2
3) inserire dei dreni in modo da ridurre le sovrappressioni.
Verifiche idrauliche Verifica a breve termine o scavo
a o iinteressa
ee a u
un terreno
e e o a
a See lo
grana fine sovrastante un terreno a elevata permeabilità deve essere considerata anche la condizione a breve termine: p.c. Sabbia Forza instabilizzante (pressione idrostatica iniziale alla base dello dello
strato di argilla) Hw pw = γw‫ ڄ‬Hw Azione stabilizzante (pressione totale alla base dello strato di argilla) Argilla NC p.c. D p = γsat‫ڄ‬D D
Fattore di sicurezza globale: FS =
p
pw
=
γ sat ‫ ڄ‬D
γ ‫ڄ‬wH
w
γwHw Sabbia Moti di filtrazione Esercizio 5 Un deposito di terreno, di cui sono riportate in figura la stratigrafia e il livello di falda (al di sopra del piano di campagna di un’altezza HW) è delimitato i f i
inferiormente
t da
d uno strato
t t di sabbia
bbi molto
lt permeabile.
bil Viene
Vi
realizzata
li
t una trincea inserendo due membrane verticali e prelevando l’acqua contenuta tra di esse fino a portare la falda al piano di campagna. Determinare in corrispondenza del fondo della trincea la portata (per unità di
unità di lunghezza della trincea),
trincea) q,
q che deve deve
essere emunta per mantenere il livello della falda al piano di campagna. L = 10m
Si supponga che, all’interno di un piezometro posto tra tra
le due membrane in corrispondenza di un Hw=4m
2/3 Hw
qualsiasi
qualsiasi punto della della
B
B’
p.c.
-3
superficie di separazione H1=1.5m
Sabbia fine: k1 = 2x10 cm/s
con lo strato di terreno -2
H2=2.0m
Sabbia media: k2 = 2x10 cm/s
permeabile (sezione A
A‐A’),
A ), -5
Limo argilloso: k3 = 4x10 cm/s
l’acqua risalga rispetto al H3=0.5m
-7
livello di falda sempre H4=1.5m
Argilla limosa: k4 = 3x10 cm/s
A
A’ Sabbia molto permeabile
della stessa quantità 2/3 HW. Moti di filtrazione Dati: Spessore degli strati: H1 = 1.5 m H2 = 2 m H3 = 0.5 m H4 = 1.5 m Coeff. di perm.*: k1 = 2x10‐3 cm/s k2 = 2x10‐2 cm/s k3 = 4x10‐5 cm/s k4 = 3x10‐7 cm/s Larghezza dello scavo (L) = 10 m Altezza d’acqua sul piano di campagna (Hw) = 4 m Altezza di risalita rispetto al p.c. al tetto dello strato più permeabile = 2/3(Hw) Principio di conservazione della massa
Moto stazionario
* N.B.
N B Si assumono i singoli
i
li strati
t ti isotropi
i t
i rispetto
i
tt alla
ll permeabilità,
bilità khi = kvi Svolgimento: I dislivello
Il
is i e o creato
ea o aall’interno
i e o della
e a trincea,
i ea, rispetto
ispe o aal livello
i e o sstatico
a i o dii falda a a
preesistente all’esterno, attiva un moto di filtrazione da punti con maggiore energia verso punti con minore energia, ovvero dall’esterno verso l’interno della trincea. Moti di filtrazione Svolgimento: Limitandoci a considerare il moto di filtrazione nel suo tratto ascendente, le sezioni A‐A’ e B‐B’ possono considerarsi superfici equipotenziali (luogo geometrico di punto ad uguale energia potenziale o carico piezometrico) a cui corrispondono rispettivamente un valore del carico (assumendo come piano di riferimento
if i
z = 0 la
l base
b
d l deposito)
del
d
i ) parii a: L
hA‐A’ = ‐z +u/γw = ‐∑Hi + (∑Hi+ 2/3 Hw) = 2/3Hw
hB‐B’ = ‐z +u/γ
/ w = ‐0+
0 0 = 0 0
Con una perdita di carico nel tratto AB di lunghezza g
H =∑Hi= 5.5 m pari a : H
B
2/3 Hw
Hw=4m
B’
B
1
∆hAB= 2/3 Hw = 2.7 m H
H
e un gradiente idraulico H
medio: 2
3
4
iAB = ∆hAB /H = 2.7/ 5.5 = 0.49
A
A’
z = 0 0
Moti di filtrazione Svolgimento: La portata q, per unità di lunghezza del diaframma, da emungere alla base della trincea (in corrispondenza della sezione A
A‐A’)
A ) è pari a: a:
q = v ∙ L ∙ 1 dove v è la velocità media di filtrazione attraverso il deposito che è uguale a quella valutata per ogni singolo strato: strato:
filtrazione in serie (moto permanente)
v=vi
principio di conservazione della massa
q = v ∙ L ∙ 1 = qi = vi∙L∙1
e la velocità (apparente) per la legge di Darcy, vale:
v = keq,v ∙iAB
Il coefficiente di permeabilità equivalente verticale del deposito è:
k eq ,V =
q,
H Hi =(5
=(5.5m)/[(1.5m/2x10‐
5m)/[(1 5m/2x10‐5m/s)+(2m/2x10‐4m/s)+(0.5m/4x10‐
m/s)+(0 5m/4x10‐5m/s)+ m/s)+
∑ H k vi (1.5m/3x10‐9 m/s)] = 5.5/[(7.5+1+125+50000)x104] = 1.1∙10‐8 m/s
e la portata per unità di lunghezza del diaframma risulta:
q = v ∙ L ∙ 1 = keq,v ∙iAB ∙L=1.1∙10‐8 m/s x 0.49 x 10 m = 5.4 ∙10‐8 m2/s
Moti di filtrazione Esercizio 6 Si consideri un deposito di argilla, la cui stratigrafia e le relative condizioni di falda sono indicate in figura e che poggia su uno strato di sabbia molto molto
permeabile. Si supponga che il livello d’acqua raggiunto in un piezometro posto al tetto dello strato di sabbia stia al di sopra del livello di falda di 7 m, generando così nel
così nel deposito di argilla un moto di filtrazione verticale ascendente ascendente
(si assuma γw = 10 kN/m3). a) Calcolare la permeabilità verticale
ti l equivalente
i l t del
d l deposito d
it
kv, e la portata che lo attraversa, q. H =3m
b) Determinare come varia al suo H =3m
i te o nei
interno
ei vari
a i strati
t ati il carico ai o
piezometrico e la pressione H =4m
interstiziale. c) Calcolare le forze agenti sulla sulla
H =10m
fase solida in ciascuno strato e verificarne la stabilità. ∆h = 7 m
A
W
B
1
p.c.
3
k 1 = 3x10
3
2
C
3
3
Argilla
g
A 1 : γ1 = 20 kN/m
3
Argilla A 2 : γ2 = 20 kN/m
Argilla A3 : γ 3 = 20 kN/m
D
Sabbia molto permeabile
-10
-10
k 2 = 1x10
3
m/s
k
3
= 5x10
m/s
-10
m/s
Moti di filtrazione Dati: Spessore
p
degli
g strati ((m) )
H1 = 3 H2 = 4 H3 = 10 Peso di volume ((kN/m3)) γ1 = 20 γ2 = 20 γ3 = 20 γw = 10 Coeff. di perm. (m/s) k1 = 3x10‐10 k2 = 1x10‐10 k3 = 5x10‐10 Altezza d
d’acqua
acqua sul piano di campagna (Hw) ) = 3 m m
Altezza di risalita al tetto dello strato più permeabile rispetto al livello di falda libera (∆h) = 7 m N.B. Si assumono i singoli strati isotropi rispetto alla permeabilità, khi = kvi Svolgimento: La presenza della falda in pressione nello strato di sabbia sottostante il deposito di argilla, determina, rispetto alla falda libera, un gradiente nel carico piezometrico, che attiva all’interno degli
p
g strati di argilla
g
un moto verticale ascendente. Moti di filtrazione Svolgimento: piano di campagna
p g p
possono considerarsi Il tetto dello strato di sabbia ((D)) e il p
superfici equipotenziali a cui corrispondono rispettivamente un valore del carico (assumendo come piano di riferimento z = 0 la base del deposito) pari a: hA = ‐z
zA +u
uA/γw = 0 + Hw = 3 m m
hD = ‐zD +uD/γw = ‐(∑Hi) + (∑Hi+Hw+∆h) = 3+7 = 10 m
∆h
Con una perdita di carico nel tratto AD di lunghezza lunghezza
H =∑Hi= 17 m pari a : ∆hAD= ∆h = 7 m e un gradiente idraulico medio: iAD = ∆hAD /H = 7/ 17 = 0.41 HW
H1
A
B
H
2
C
H3
D
Sabbia molto permeabile
p z = 0 Moti di filtrazione Svolgimento: a) Calcolare la permeabilità verticale equivalente del deposito kv, e la portata che lo attraversa,, q
q. Il coefficiente di permeabilità equivalente verticale del deposito è: H k eq ,V =
= (3
(3+4+10)m/[(3m/3x10‐
4 10)m/[(3m/3x10 100m/s)
m/s)+(4m/1x10‐
(4m/1x10 100m/s)
m/s)+(10m/5x10‐
(10m/5x10 100m/s)]
m/s)] eq V
∑ H i = 17/[(7.5+1+125+50000)x104] = 17/7x10‐10 = 2.4∙10‐10 m/s k vi
e la portata per unità di superficie attraverso gli stati del deposito risulta: q = v ∙ A = v ∙1 dove v è la velocità media di filtrazione attraverso il deposito ed è uguale a quella valutata per ogni strato, vi : :
filtrazione in serie (moto permanente) principio di conservazione della massa q = v ∙ 1 = qi = vi∙1
v=vi
e la velocità (apparente) per la legge di Darcy, vale:
v = keq,v ∙iAB
da cui risulta:
v = keq,v ∙iAB = 2.4 ∙10‐10 m/s x 0.41 = 1∙10‐10 m/s
q = v ∙ 1 = 1 ∙10‐10 m/s
Moti di filtrazione Svolgimento: b) Determinare come varia al suo interno nei vari strati il carico piezometrico e la p
pressione interstiziale. La velocità media di filtrazione attraverso il deposito, v, ed è uguale a quella valutata per ogni strato attraversato in serie, vi : principio di conservazione della massa
filt i
filtrazione
i serie
in
i (moto
( t permanente)
t )
v = vi
q = v ∙ 1 = qi = vi∙1
che, con riferimento al generico strato i‐esimo, per la legge di Darcy, vale:
v = ki ∙ ii = ki ∙∆hi/Hi = 1∙10‐10 m/s
e quindi: quindi:
∆hi = v ∙Hi / ki Partendo dallo strato più profondo del deposito (carico più alto): ∆hDC = hD ‐ hC = v ∙H
H3 / k3 = (1∙10‐
(1 10 10 m/s)x(10
/ ) (10 m)/(
)/( 5∙
5 10‐
10 10 m/s)
/ ) = 2 m da cui risulta: hC = hD ‐ ∆hDC = 10m ‐ 2m = 8 m In maniera analoga si ottiene per gli strati superiori: Moti di filtrazione Svolgimento: ∆hCB = hC ‐ hB = v ∙H2 / k2 = (1∙10‐10 m/s)x(4 m)/( 1∙ 10‐10 m/s) = 4 m z da cui risulta: hB = hC ‐ ∆hCB = 8m ‐ 4m = 4 m
= 10
InoltrH3ssendo:
∆h
‐3 m
h = ‐z +u/γw HW
si può ricavare la pressione interstiziale: )
u = γw∙((h+z) H
1
H2
A
p.c.
B
3 m C
7
7m h da cui: H3
uD = γw∙((hD+zD) = = 10kN/m3∙(10+17)m = 270 kPa uC = γw∙(hC+zC) = = 10kN/m3∙3 (8+7)m = 150 kPa kPa
1 D
Sabbia molto permeabile
17m iCD Moti di filtrazione Svolgimento: uB = γw∙(hB+zB) = 10kN/m3∙(4‐3)m = 70 kPa / 3∙((3‐0)m
) = 30 kPa uA = γw∙((hA+zA) = 10kN/m
∆h
c) Calcolare le forze HW
A
agenti
g
sulla fase solida in ciascuno strato e H1
B
verificarne la stabilità. H2
Viene calcolata la C
tensione efficace all’interno del deposito, H
3
verificando che essa sia sempre positiva, per D
garantire la stabilità del Sabbia molto permeabile
terreno. σD = γ1∙(H1+H2+H3) +γw Hw = 20x(3+4+10)+10x3 = 370 kPa
σC = γ1∙(H1+H2) +γw Hw = 20x(3+4)+10x3 = 170 kPa σB = γ1∙((H1) +γγw Hw = 20x(3)+10x3
( )
= 90 kPa σA = γw Hw = 10x30 = 30 kPa p.c.
u z
Moti di filtrazione Svolgimento: σ’D = σD ‐ uD = (370‐270) kPa = 100 kPa >0 σ’’C = σC ‐ uC = (170‐150)
(170 150) kPa
kP = 20 kPa >0 kP 0
σ’B = σB ‐ uB = (90‐70) kPa = 20 kPa >0 σ’A = σA ‐ uA = (30‐30)
(
) kPa = 0 kPa Il deposito è stabile al variare della profondità rispetto al sifonamento. Moti di filtrazione Esercizio 7 Con riferimento allo schema riportato in figura si determini il profilo, con la profondità dell
profondità,
dellʹaltezza
altezza geometrica Z,
Z dell
dellʹaltezza
altezza di pressione u/γw e del carico carico
piezometrico h, nonché la velocità di filtrazione reale ed apparente attraverso i due tipi di terreno indicati in figura. 1.2 m
A
A= 0.37 m2
n = 0.5
k = 1 cm/s
A’ = 0.186 m
n = 0.5
k = 0.5 cm/s
A
1.2 m
2
A’
A
0.6 m
0.6 m
Moti di filtrazione Dati: Spessore dello strato 1 (L1) = 1.2 m Spessore dello strato 2 (L2) =
) = 0.6
0 6 m m
Altezza d’acqua rispetto al tetto del deposito (hw1) = 1.2 m 1.2 m
A
A
1.2 m
Altezza d’acqua
q rispetto
p
alla base del deposito
p
((hw2)) = ‐ 0.6 m Area della sezione del primo campione (A1) = 0.37 m2 A’
A
Area della sezione del secondo campione (A2) = 0.186 m2 Porosità del primo campione (n1) = 0.5 Porosità del secondo campione (n2) = 0.5 Coefficiente di permeabilità del primo campione (k1) = 1∙10‐2 m/s Coefficiente di permeabilità del primo campione (k2) = 0.5∙10‐2 m/s Regime stazionario (o permanente) permanente)
principio di conservazione della massa massa
Svolgimento: Si assume come piano di riferimento il tetto dello strato superiore, in tal caso tra ll’altezza
altezza geometrica Z e la profondità z,
z sussiste la relazione: relazione:
Z = ‐z 0.6 m
06m
0.6
Moti di filtrazione Svolgimento: Il carico piezometrico nel punto B e D vale rispettivamente: hB = ‐zB +uB/γw = hw1 = 1.2
1 2 m m
hD = ‐zD +uD/γw = ‐(L1+L2) ‐ hw2 = ‐(1.2+0.6)m ‐ 0.6m = ‐ 2.4 m È presente dunque un moto di filtrazione in regime permanente da B a D (discendente) e la perdita di carico corrispondente è: B ∆h = hB ‐ hD = 3.6 m A= 0.37 m2 A
La portata di filtrazione attraverso il deposito,
p
, Q, è n = 0.5
k = 1 cm/s
uguale per ogni strato attraversato in serie 2
(principio di conservazione A’ = 0.186 m
A’
n = 0.5
d ll massa),
della
) ma non la l
velocità, avendo le sezioni k = 0.5 cm/s
attraversate area diversa: Q = v1∙A1 = v2 ∙A2 1.2 m
Z = 0 0
A
z 1.2 m
C A
D 0.6 m
0.6 m
Moti di filtrazione Svolgimento: dove: v1 = k1 ∙ ii1 = k1 ∙∆
∆h1/L1 1
v2 = k2 ∙ i2 = k2 ∙∆h2/L2 ∆h =
h=
∆h1 + ∆h2 = 3.6
3 6 m m
e sostituendo: k1 ∙A
A1 ∙∆
∆h1/L1 = k2 ∙A
A2 ∙∆
∆h2/L2 ovvero: k1 ∙A
A1 ∙∆
∆h1/L1 = k2 ∙A
A2 ∙(∆
(∆h‐∆h1)/L2 ∆h 1 =
k2 A 2∆h/L
k ‫ڄ‬A ‫∆ڄ‬h/L k ‫ڄ‬A /L +k 1
1
1
2
2
‫ڄ‬A 2 /L 2
(k1 ∙A
A1/L1 + k2∙A2/L2)∙∆h
) ∆h1 = k2 ∙A
A2∙∆h/L2 = [0.5∙10‐2m/s x 0.186m2 x 3.6m/0.6m]/[1∙10‐2m/s x 0.37 m2/1.2m + 0.5∙10‐2m/s x 0.186m2/0.6m] = 1.2 m ∆h2 = ∆h ‐ ∆h1 = 3.6 m ‐ 1.2 m = 2.4 m
Moti di filtrazione Svolgimento: Le velocità di filtrazione apparente e reale attraverso i due strati vale, rispettivamente: p
v1 = k1 ∙∆h1/L1 = 1∙10‐2 m/s x 1.2 m/1.2m = 1∙10‐2 m/s vr1 = v1 /n1 =(1∙10‐2 m/s) /0.5 = 2∙10‐2 m/s v2 = k2 ∙∆h2/L2 = 0.5∙10‐2 m/s x 2.4 m/0.6m = 2∙10‐2 m/s vr2 = v2 /n2 =(2∙10‐2 m/s) /0.5 /
= 4∙10‐2 m/s Il carico nel punto C è dunque: hC = hB ‐ ∆h1 = 1.2m ‐ 1.2m = 0 m mentre all
all’interno
interno di ciascun strato si suppone un andamento lineare. lineare
L’altezza di pressione è data da: u/γw = h(z) + z e in
i B,
B C e D vale
l rispettivamente: i
tti
t
(u/γw)B = 1.2 m
uB = 12 kPa
(u/γw)C = hC+zC = 0 + 1.2 = 1.2 m
(u/γw)D = ‐0.6 m
(posto γw = 10 kN/m3)
uC = 12 kPa
kP
uC = ‐6 kPa
con andamento lineare all’interno degli strati per l’ipotesi precedente.
Moti di filtrazione Svolgimento: 1.2 m
B Z = 0 A
2.4 m 0m 1.2 m Z, u/γw, h A
z 1.2 m
C A
A’
D
0.6 m
0.6 m
z N.B. La pendenza dei tratti che rappresentano l’andamento del carico piezometrico rappresenta il gradiente idraulico per ogni strato, e
strato e dipende in in
questo caso oltre che dalla permeabilità dall’area della sezione attraversata Verifiche idrauliche Esercizio 8 Si deve progettare una trincea di grande lunghezza in uno strato di sabbia dalle caratteristiche
tt i ti h indicate
i di t in
i figura
fi
e delimitato
d li it t inferiormente
i f i
t da uno
d
strato
t t di di
terreno impermeabile. Con riferimento alla figura si assuma: la semilarghezza della trincea b = 10 m; la profondità dello scavo d1 ‐ d2 = 10 m; il dislivello di f ld ∆h = 11 m; la
falda
l profondità dello
f dità d ll strato
t t dib sabbia
bbi T1 = 25 m. p.c.
∆h
B
∆h
A
d1
d2
T1
A
Sabbia:
T2
-5
k = 5x10 m/s
γ
γ
3
d=
16 kN/m
S=
27 kN/m
3
Terreno impermeabile
Verifiche idrauliche a) Calcolare il gradiente idraulico critico, ic (γw = 9.81 kN/m3). b) Calcolare il gradiente idraulico medio, im, nel tratto compreso tra il piede della palancola (A) e il punto aderente alla palancola verso
palancola (A)
palancola verso valle a fondo scavo (B) per: per:
d1 = 13 m e d1 = 15 m. c) Calcolare il valore minimo della profondità d’infissione d1 della palancola compatibile con ll’equilibrio
equilibrio. d) Nel caso di profondità d’infissione d1 = 15 m calcolare il coefficiente di sicurezza, FS, rispetto al sollevamento del fondo scavo e la portata, q, per metro di lunghezza,
g
, che filtra attraverso il fondo della trincea. Dati: Semilarghezza dello scavo (b) = 10 m Lunghezza dello scavo (L) >>b
Problema bi‐dimensionale
Profondità di infissione delle palancole rispetto al p.c. = d1 Profondità di infissione delle palancole rispetto al fondo dello scavo = d2 Profondità dello scavo rispetto al p.c.(d1 ‐ d2) = 10 m Di li ll di falda
Dislivello
f ld tra
t l’interno
l’i t
d ll scavo e l’esterno
dello
l’ t
(∆h) 11 m (∆h) =
Verifiche idrauliche Dati: Spessore dello strato di sabbia (T1) = 25 m C ffi i t di permeabilità
Coefficiente
bilità della
d ll sabbia
bbi (k) =
(k) 5∙10‐
5 10 5 m/s /
Peso di volume secco (γd) = 16 kN/m3 Peso specifico dei costituenti solidi (γs) = 27 kN/m3 3
Peso specifico del’acqua (γw) = 9.81 kN/m3 Svolgimento: g
Lo scavo realizzato nello strato omogeneo di sabbia e sostenuto dalle palancole infisse nel terreno, una volta che il livello di falda, all’interno dello scavo, viene abbassato fino alla base, emungendo una
g
portata costante q
p
q, attiva un moto di filtrazione in regime stazionario, dall’esterno verso l’interno dello scavo, di tipo bidimensionale, che, nelle parte in cui il moto è ascendente, può determinare fenomeni di instabilità locale (sifonamento) o globale (sollevamento del fondo scavo) Tale moto di filtrazione può essere rappresentato graficamente da due insiemi di curve ((le linee di flusso e le linee equipotenziali)
q p
) che si tagliano
g
ad angolo g
retto (rete di filtrazione): Verifiche idrauliche Le linee di flusso sono i percorsi dei filetti liquidi nella sezione trasversale e sono infinite. Lo spazio tra due linee di flusso successive viene chiamato canale
l di flusso.
fl
I ognii canale
In
l di flusso
fl
scorre una portata
t t costante
t t d’acqua. d’
Le linee equipotenziali sono le linee di eguale energia potenziale, ovvero di eguale carico idraulico e ne esistono infinite (la distanza fra due linee equipotenziali successive indica in quanto spazio si è dissipata una quantità b
costante del carico idraulico). Le p
particelle dʹacqua
q
scorrono lungo
g le linee di flusso in direzione sempre ∆h
perpendicolare alle linee equipotenziali (le linee di flusso e le linee d1
equipotenziali sono ortogonali). d2
T1
Lo spazio (l’area) delimitata da due linee di flusso successive e da due due
linee equipotenziali successive è detta campo. Il campo è la maglia della rete di filtrazione ((area campita). p )
Verifiche idrauliche Svolgimento: a) Calcolare il gradiente idraulico critico, ic. Il gradiente idraulico critico è una proprietà intrinseca del terreno ed è pari a: a:
ic = γ’/γw = (γsat‐γw)/γw dove γsat lo si determina risolvendo il seguente sistema: V = Vv+ Vs = 1m3 γd = Ps/V = 16 kN/m3 γs = Ps/Vs = 27 kN/m
kN/ 3 Terreno saturo (Vv = Vw, Sr = 100%)
Vv = Vw
γw = Pw /Vw = 9.81 kN/m3
V = Vw+ Vs = 1m3 γd = Ps/V = 16 kN/m3 3
(3)
(1) γs = Ps/Vs = 27 kN/m3 γw = Pw /V
/ w = 9.81 kN/m
k / 3 Vw= 1‐Vs = 0.407 m3 Ps= γd ∙V
V = 16 kN kN
Vs= Ps/γs = 16kN/27 kN/m3 = 0.593 m3 (4) (2) Pw= γw ∙V
Vw = 9.81
9 81 kN/m
kN/ 3x0.407 m
0 407 3 = 4.0
4 0 kN kN
Verifiche idrauliche da cui: γsat = (Ps+Pw)/V = (16+4)/1 = 20 kN/m3 e quindi: q
ic = γ’/γw = (γsat‐γw)/γw = (20‐9.81)/9.81 = 1.04 b) Calcolare il gradiente idraulico medio, im, nel tratto compreso tra il piede della palancola (A)
l
l (A) e il punto aderente
d
alla
ll palancola verso
l
l
valle
ll a fondo
f d scavo (B) per: d1 = 13 m e d1 = 15 m. b
Siamo in un caso di trincea in z=0 C materiale omogeneo,
omogeneo delimitatoC
delimitatoC’ inferiormente da uno strato ∆h
impermeabile (moto confinato), il B B’ piano di campagna (CC
(CC’)) e il fondo fondo
d1
d2
dello scavo sono superfici T1
equipotenziali limite del campo di piezometrico moto,, con carico p
rispettivamente: T2 hC‐C’ = ‐z +u/γw = 0 + [∆h‐(d1‐d2)] = 1m hB‐B
B‐B’ = ‐z
z +u/γw = ‐(d
(d1‐d2)+0 = ‐10m
10m D A D’
D’ Verifiche idrauliche La perdita di carico dell’acqua relativa all’intero percorso di filtrazione è pari a: ∆hCB= hC‐C’‐hB‐B’ =∆h = 11 m e ad
d ogni superficie
f
equipotenziale
l intermedia d
(indicata
d
in rosso) corrisponde un valore del carico compreso tra 1 e ‐10. Le linee di flusso lungo cui si sviluppa il moto sono indicate in verde, e le pareti
a eti della palancola e
ala ola e la base
ba e del deposito,
de o ito essendo
e e do impermeabili, i e eabili
rappresentano le linee di flusso limite che delimitano il campo di moto. b
Il gradiente idraulico massimo è massimo è C’ C’
raggiunto in corrispondenza del percorso di filtrazione di lunghezza inferiore,
inferiore ovvero il il
percorso CAB, di lunghezza T1
d1+d2 (trascurando lo spessore della
e a pa
parete)
e e) e iil g
gradiente a ie e
idraulico corrispondente è: imax = ∆hCB/(d1+d2) z=0 C
C ∆h
d1
B
B d2
T2 A
A D B’ B
D’ Verifiche idrauliche Il gradiente
d
idraulico
d l
d efflusso,
di
ffl
iE, è riferito
f
all percorso di
d filtrazione
fl
più ù
breve(CAB) e al solo tratto di moto ascendente (AB), è può essere approssimato con il valore medio riferito all’intero percorso di filtrazione, imax, qualora
l
l perdita
la
dit di carico
i sia
i lineare
li
rispetto
i
tt alla
ll lunghezza
l
h
percorsa (essendo in questo caso il gradiente idraulico costante al variare del tratto considerato): ∆h h
∆h
∆h ∆h h
∆h h a ∆h ؆
∆h a ؆
‫ڄ‬d 2 o più cautelativamente: i E =
؆
a d 2 d +d 2 d +d 1 2 1 2 b
Poichè la perdita di carico non z=0 C
C è mai lineare con la profondità profondità
C’
C’ (e varia in modo diverso nel ∆h
tratto di moto discendente e T2/b = 0 ∆ha ascendente),
), p
per una misura B
B B’ B
più precisa di ∆ha (e di iE), d1
d2
quando non è possibile T1
misurare direttamente ∆ha (con piezometri
i
i installati
i
ll i alla
ll base b
della parete), si può stimarlo T2 usando correlazioni empiriche A
A o abachi. abachi
D’ D Verifiche idrauliche Caso di scavo in mezzo omogeneo confinato: d1‐d2 = 10 m φ2
k‫∆ڄ‬h
‫∆ ڄ‬h;q =
∆h A =
con: T1 = 25 m con: T
m
φ1+φ
2
φ 1+φ
2
T2 = T1 ‐ (d11‐d2) = 25 ‐ 10 = 15 m ∆h = 11m T2//b = 15/10
/ = 1.5 b
z=0 C’ C ∆h
T2/b = 0 d1
T1
B ∆ha B’ d2
T2 A d1/T1 o d2/T2 2
D
D D’ D
Verifiche idrauliche Per d1 = 13 m d1/T1 = 0.52 d2 = d1‐(d1‐d2)
d d d = (13‐10) m = 3 m ∆h a =
φ 2 ‫∆ڄ‬h = [0.7/(1.3+0.7)]x11m = 3.85 m φ1 = 1.3 d2/T2 = 0.2 φ2 = 0.7 ie = ∆ha/d2 = 3.85/3 = 1.28 φ1 1 +φφ 2 2
∆h ∆h a ؆
‫ڄ‬d 2 = [11/(13+3)]x3m = 2.06 m ie,1 = ∆ha/d2 = 2.06/3 = 0.69 d +d 1 2 ∆h = [11/2]m = 5.5
5 5 m m
∆h h a ؆
ie,22 = ∆ha/d2 = 5.5/3
5 5/3 = 1.83 1 83
2 d1/T1 = 0.6 Per d1 = 15 m φ1 = 1.45 d2 = d1‐(d1‐d2) = (15‐10) m = 5 m d2/T2 = 0.3 φ2 = 0.9 ie = ∆ha//d2 = 4.21/5
/ = 0.84 ∆h a = φ 2 ‫∆ڄ‬
∆h h = [0.9/(1.45
[0.9/(1.45+0.9)]x11m
0.9)]x11m = 4.21 m m
φ1 +φ 2 ∆h ؆
∆h ‫ڄ‬d 2 = [11/(15+5)]x5m = 2.75 m a ie,1 = ∆ha/d2 = 2.75/5 = 0.55 d +d 2 h = [11/2]m
[11/2] = 5.5
55m
∆ha ؆ ∆1h ie,2 = ∆ha/d2 = 5.5/5 = 1.10
2
Verifiche idrauliche c) Calcolare il valore minimo della profondità d’infissione d1 della palancola
compatibile con l’equilibrio. FS FS = ic/ie = 1.04/1.28 = 0.8 Per d1 = 13 m FS1 = ic/ie,1 = 1.04/0.69 = 1.5 1.2 FS2 = ic/ie,2 = 1.04/1.83 = 0.6 1.0 0.8 FS = ic/ie e = 1.04/0.84
1 04/0 84 = 1.2 12
Per d1 = 15 m FS1 = ic/ie,1 = 1.04/0.55 = 1.9 d1 13 d1,min 15 FS2 = ic/ie,2 = 1.04/1.10 = 0.9 Ria u e do considerando
Riassumendo,
o ide a do il gradiente
adie te idraulico
id auli o medio
edio calcolato su
al olato u tutto il il
percorso, anziché quello relativo solo al tratto ascendente, si compie una scelta non cautelativa (ie più basso e FS più alto): FS2 (‐)
( ) FS (‐)
d1 (m) d
( ) d2 (m) i
( ) ie (‐) i
( ) ie,m (‐)
( ) FS (‐)
( ) FS1 (‐)
()
( ) più
iù realistico
li ti
13
3
1.28
0.69
0.8
1.5
0.6
FS1 (‐) meno cautelativo
09
0.9
12
1.2
19
1.9
0 84
0.84
0 55
0.55
5
FS2 (‐)
( ) più
iù cautelativo
t l ti
15
Assumendo come condizione di equilibrio quella per cui FS
= 1, la
profondità di infissione d1,min corrispondente si trova per interpolazione:
d1,min = 13+[(15‐13)/(1.2‐0.8)]∙(1‐0.8) = 14 m
Verifiche idrauliche d) Nel caso di profondità d’infissione d1 = 15 m calcolare il coefficiente di sicurezza, FS, rispetto al sollevamento del fondo scavo e la portata, q, per metro di lunghezza,
lu he a che
he filtra
filt a attraverso
att a e o il fondo
fo do della trincea. t i ea
Per d1 = 15 m Wʹ
Wʹ =
FS =
φ1 = 1.45 d2 = 5 m γ‫ʹڄ‬d ʹd ‫ڄ‬d /2 d /2
2 2 γ‫ʹڄ‬d ʹd
=
φ2 = 0.9 2 ∆ha = 4.21 m = (10.19x5)/(9.81x4.21) = 1.2 γ w ‫∆ڄ‬h a ‫ڄ‬d 2 /2 γ w ‫∆ڄ‬h a La p
portata p
per unità di larghezza
g
dello scavo è:
S w k‫∆ڄ‬h q =
= (5x10‐5m/sx11m)/(1.45+0.9) = 2.34∙10‐4 m2/s φ1+φ 2
La portata totale è:
Q = q∙2b = 1.33x10‐5m2/sx2x10m = 4.68∙10‐3 m3/s
Verifiche idrauliche Esercizio 9
Per costruire una fondazione è scavata
è scavata una trincea di profondità H
profondità H =4 m e e
larghezza B = 2 m. Lo scavo è sostenuto da diaframmi di lunghezza L = 6m. La falda freatica è a profondità zw = 0.9 m dal piano campagna e il fondo scavo è mantenuto asciutto da un sistema di pompe.
pompe Il terreno è un
è un deposito omogeneo di di
sabbia satura avente: e = 0.7 e Gs =2.64. Verificare la stabilità del fondo scavo. B
Zw
H
L
Verifiche idrauliche Dati: Profondità dello scavo dello scavo (H) = 4 m Lunghezza dello scavo >>B
Problema bi‐dimensionale
Larghezza dello scavo (B) = 2 m Lunghezza
h
d diaframmi
dei
d f
(L) = 6 m Profondità del livello di falda rispetto al pc. (zw) = 0.9 m Dislivello di falda tra l’interno dello scavo e l’esterno (H‐zw) = 3.1 m Deposito di sabbia omogeneo I di e dei vuoti
Indice
uoti della sabbia
abbia (e) =
(e) 0.7 07
Gravità specifica, Gs = γs/γw = 2.64 Peso specifico dell
dell’acqua
acqua (γ
(γw) =
) = 9.81
9 81 kN/m3 3
Svolgimento: Se si effettuano le verifiche in termini di fattore di sicurezza: B
Zw
H
L
Verifiche idrauliche a) Con riferimento alle verifica nei confronti del sifonamento bisogna calcolare il seguente fattore di sicurezza: FS = ic/ie
Il gradiente idraulico critico è una proprietà intrinseca del terreno ed è pari a: a:
ic = γ’/γw = (γsat‐γw)/γw dove γsat lo si determina risolvendo il seguente sistema: V = Vv+ V
Vs = 1m
1 3 e = VV/VS = 0.7 γs = Ps//Vs = Gs∙γw
γ = 25.9 kN/m
/ 3 Terreno saturo (Vv = Vw, Sr = 100%)
Vv = Vw
γw = Pw /Vw = 9.81 kN/m3
(3)
(3) (2) Vs= 0.588 m3 S
+V
S 1 =
0.7V
V = Vw+ Vs = 1m3 (1) Vw= e ∙VS = 0.7∙VS Vw= 0.412 m 3 e = Vw/VS = 0.7 (4) γs = Ps/Vs = 25.9 kN/m3 Ps= γs ∙Vs = 25.9 kN/m3 x 0.588 m3 = 15.23 N (5) Pw= γw ∙Vw = 9.81 kN/m
/ 3x0.412 m3 = 4.04 kN γw = Pw /Vw = 9.81 kN/m3
3 Verifiche idrauliche da cui: γsat = (Ps+Pw)/V = (15.23+4.04)/1 = 19.3 kN/m3 e quindi: q
ic = γ’/γw = (γsat‐γw)/γw = (19.3‐9.81)/9.81 = 0.97 γ’ = 9.49 kN/m3 Il gradiente idraulico di efflusso, iE, è riferito al percorso di filtrazione più
breve(CAB) e al solo tratto di moto ascendente (AB),
(AB) ed è dato dall
dall’espressione:
espressione:
∆h a i E =
L−H dove ∆ha può essere così approssimato nell
nell’ipotesi
ipotesi di perdita di carico lineare con con
B
la profondità (essendo la perdita di carico ∆h = H‐zw): ∆h a H−z w Zw C [(4‐0.9)/(6‐0.9+6‐ ∆
h
a = ؆
(L−H) L−z +L−H
L−z w+L−H
4)]∙(6‐4) = 0.87 m H
∆h a = 0.87/(6‐4) = 0.44 i E =
∆ha ∆h L
L−H o più cautelativamente: cautelativamente:
∆h A ∆h a ؆
= (4‐0.9)/2 = 1.55 m 2 ∆h h a i E =
= 1.55/(6‐4) = 0.77 L−H B Verifiche idrauliche ∆ha può anche essere determinato in modo più preciso utilizzando il seguente abaco (scavo nastriforme in mezzo omogeneo di spessore infinito): B
Zw C
H
∆h ∆ha L
A
A B dove: D = L‐H = 6 ‐4 = 2m; h = H‐zw = 3.1 m; d = H = 4m; b = B/2 = 1m; Quindi si calcolano: b/D = 1/2 = 0.5; d/b = 4/1 = 4 ; e si ricava dal grafico: α = 0.58 0 58x3 1 = 1.8
18m
e quindi: ∆ha = α∙h = 0.58x3.1
iE = α
α∙h
h /D
/D= 0.58x3.1/2
0.58x3.1/2 = 0.9
Verifiche idrauliche Il fattore di sicurezza nei confronti del sifonamento risulta quindi (con riferimento al valore più attendibile di iE): FS = ic/ie = 0.97/0.9
0 97/0 9 = 1.08
1 08 < 3.5
35
Lo scavo NON
O È STABILE
A I E nei confronti
f
del sifonamento
b) Con riferimento alle verifica nei confronti del sollevamento del fondo
scavo (a lungo termine, trattandosi di sabbia) bisogna calcolare il seguente
B
fattore di sicurezza: FS = Wʹ S w Zw C dove Sw è la forza instabilizzante
(forze di
filtrazione dovute alla componente idrodinamica H
della pressione interstiziale) : ∆h ∆ha L
Sw = γw‫∆ ڄ‬ha‫(ڄ‬L‐H)/2 =
(L H)/2 9.81
9 81 kN/m
kN/ 3 x 1.8m
1 8 x(6‐4)m/2 (6 4) /2
= 17.7 kN/m A e W’ la forza stabilizzante (peso immerso del volume
l
di terreno): t
)
W’ = γ’ ‫(ڄ‬L‐H) ‫( ڄ‬L‐H)/2 = 9.49 kN/m3 x (6‐4)m x B (6‐4)m/2 = 19 kN/m L scavo NON È STABILE nei Lo
i
e quindi: FS= W’/Sw = 19/17.7 = 1.07<3.5 confronti del sollevamento.