• MISURE
Le misure sono osservazioni quantitative
Le osservazioni possono essere qualitative o quantitative:
• qualitative: osservazioni non numeriche, rispondono
alla domanda “quale”.
• quantitative: osservazioni numeriche, rispondono alla
domande “quanto”.
Le osservazioni quantitative vengono anche chiamate misure.
• LE MISURE SONO OSSERVAZIONI QUANTITATIVE
Le misure:
• implicano sempre un confronto;
• sono sempre espresse con un’unità di misura;
• hanno un certo grado di incertezza dovuto a limiti
fisici dell’osservatore e dello strumento adoperato per
fare la misura.
I numeri sono esatti, le misure sono inesatte.
L’incertezza è anche chiamata errore.
• MISURE
Le misure sono sempre espresse con unità di
misura
In ambito scientifico viene adoperato il Sistema
Internazionale delle Unità di misura (abbreviato SI)
Il SI è basato su un gruppo di sette unità fondamentali:
• LE MISURE SONO SEMPRE ESPRESSE CON UNITÀ DI MISURA
Le unità derivate sono ricavate dalle sette unità
fondamentali:
• LE MISURE SONO SEMPRE ESPRESSE CON UNITÀ DI MISURA
Le unità fondamentali spesso sono troppo grandi o troppo
piccole per esprimere una misura.
I multipli o sottomultipli decimali permettono di adattare
le dimensioni delle unità di misura.
2. MISURE
Grandezze
e grandezze
intensive
• LE
SONO estensive
SEMPRE ESPRESSE
CON UNITÀ
DI MISURA
Grandezze estensive
massa
l’unità di misura è il kilogrammo (kg)
volume
l’unità di misura è il litro (L)
lunghezza
l’unità di misura è il metro (m)
Le grandezze
estensive, come
lunghezza, volume e
massa, dipendono
dalle dimensioni del
campione.
• LE MISURE SONO SEMPRE ESPRESSE CON UNITÀ DI MISURA
2. Grandezze estensive e grandezze intensive
Le grandezze intensive, come
densità, peso specifico,
temperatura di ebollizione e
temperatura di fusione, non
dipendono dalle dimensioni del
campione.
Grandezze intensive
densità
peso specifico
temperatura di ebollizione
temperatura di fusione
• LE MISURE SONO SEMPRE ESPRESSE CON UNITÀ DI MISURA
Ancora oggi vengono adoperate alcune unità di misura non
appartenenti al SI:
Misura
Nome
Simbolo
Valore
lunghezza
angstrom
Å
10-10 m
massa
tonnellata
t
103 kg
tempo
minuto
ora
min
h
60 s
3600 s
volume
litro
l
10-3 m3
È utile ricordare che:
1 l = 1 dm3 = 1000 cm3 = 1000 ml
• LE MISURE SONO SEMPRE ESPRESSE CON UNITÀ DI MISURA
La massa di un oggetto viene determinata con la bilancia
La temperatura viene misura con un termometro. Il suo
valore viene espresso comunemente in gradi Celsius (°C):
Rapporto tra la scala kelvin (SI),
e la scala Celsius.
− Il grado kelvin ha esattamente
la stessa ampiezza del grado
Celsius.
−Lo zero della scala Kelvin viene
detto zero assoluto.
− La conversione Kelvin-Celsius
è possibile con la seguente
espressione:
TK = (tC + 273,15 °C) (1K/1 °C)
• MISURE
Le misure hanno sempre un certo grado di incertezza
La differenza tra una misura ed il valore “reale” è detta
errore.
Gli errori sono dovuti a limitazioni intrinseche nelle procedure
di misurazione.
In campo scientifico si registrano tutte le cifre di una misura
compresa la prima cifra incerta.
Le cifre ottenute da una misurazione, di cui l’ultima a destra
non è nota con certezza, sono dette cifre significative.
• LE MISURE HANNO SEMPRE UN CERTO GRADO DI INCERTEZZA
Un maggior numero di cifre significative e quindi una minore
incertezza si ottiene adoperando uno strumento più preciso.
Il termometro a sinistra indica una
temperatura di 24.3 ºC (3 cifre
significative).
Il termometro a destra, più preciso, indica
una temperatura di 24.32 ºC (4 cifre
significative).
• LE MISURE HANNO SEMPRE UN CERTO GRADO DI INCERTEZZA
Gli errori possono derivare da:
• lettura non corretta della scala
• uso scorretto dello strumento di misura
• dilatazione o contrazioni legate a variazioni di
temperatura
Ogni misura può essere accompagnata da errori.
Ne esistono di due tipi:
•
sistematici, per esempio a causa di strumenti
cattiva qualità;
•
accidentali, a causa di cambiamenti delle
condizioni durante la misurazione.
di
Cercando di ridurre al minimo questi due tipi di errore si può ottenere
una misura accurata. Gli errori possono essere limitati effettuando
una serie di misure della stessa grandezza.
Si stima il valore centrale calcolando la media.
• LE MISURE HANNO SEMPRE UN CERTO GRADO DI INCERTEZZA
5. Misure precise e misure accurate
Il valore medio e l’errore assoluto
Spesso ripetendo le misure si ottengono valori diversi. Si
assume allora come risultato il valore medio delle varie
misure
valore medio 
somma delle misure
numero delle misure
Se la grandezza è stata misurata poche volte si assume come
errore assoluto la semidifferenza tra il massimo e il minimo
valore misurato.
errore assoluto 
valore massimo  valore minimo
2
• LE MISURE HANNO SEMPRE UN CERTO GRADO DI INCERTEZZA
Errore Relativo
Non sempre l’errore assoluto ci offre una stima
efficiente del “peso” dell’errore stesso sulla
misura. È più grave commettere un errore di 1
cm su 1 m, o di 1 m su 1 km? Sicuramente è
più grave il primo. Perché?
Chiamiamo Errore Relativo er il rapporto:
eassoluto
er 
valoremedio
• LE MISURE HANNO SEMPRE UN CERTO GRADO DI INCERTEZZA
Errore Relativo
Ora vediamo il perché della risposta precedente.
Nel primo caso abbiamo un errore relativo
0.01m
er 
 0.01
1m
mentre nel secondo caso abbiamo
1m
er 
 0.001
1000m
che è più piccolo del primo.
• LE MISURE HANNO SEMPRE UN CERTO GRADO DI INCERTEZZA
Errore Percentuale
Quando si fanno tante misure di una grandezza,
siamo in grado di scartare quelle misure che
sono fuori da un intervallo accettabile. L’Errore
Percentuale ep, definito come segue, ha
proprio questo scopo:
e p  er  100
e si esprime come percentuale, cioè col
simbolo “%”.
• LE MISURE HANNO SEMPRE UN CERTO GRADO DI INCERTEZZA
Errore Percentuale
Tornando alla domanda precedente possiamo
dire che nel primo caso avevamo
ep = 0.01×100 = 1%
mentre nel secondo caso
ep = 0.001×100 = 0.1%
• LE MISURE HANNO SEMPRE UN CERTO GRADO DI INCERTEZZA
Propagazione degli errori
Quando si eseguono misure indirette, cioè
quando si fanno calcoli con le misure di
grandezze (per esempio calcoli di aree o
volumi), gli errori si propagano nei
calcoli. Vediamo come risultano l’errore
assoluto e relativo a seguito di
operazioni matematiche.
• LE MISURE HANNO SEMPRE UN CERTO GRADO DI INCERTEZZA
Somma e differenza
Se X è una misura indiretta, ottenuta
dalla somma o dalla differenza di due
misure omogenee a e b, allora
ea(X) = ea(a) + ea(b).
Gli errori assoluti di a e b si sommano
sempre, indipendentemente dal fatto
che la misura X sia ottenuta come
somma o come differenza tra a e b.
Il tutto vale anche se le misure sono più
di due.
• LE MISURE HANNO SEMPRE UN CERTO GRADO DI INCERTEZZA
Prodotto e quoziente
Se X è una misura indiretta, ottenuta dal
prodotto o dal quoziente di due misure
a e b, allora
er(X) = er(a) + er(b).
Gli errori relativi e percentuali di a e b si
sommano sempre, indipendentemente
dal fatto che la misura X sia ottenuta
come prodotto o come quoziente tra a e
b.
Il tutto vale anche se le misure sono più
di due.
• MISURE
Le misure sono riportate secondo la
convenzione delle cifre significative
Regole per determinare il numero di cifre significative:
• Le cifre diverse da zero sono sempre significative.
• Gli zero compresi tra cifre diverse da zero sono
sempre significativi.
• Gli zeri posti all’estrema destra di una cifra decimale
sono significativi.
• Gli zeri all’estrema sinistra di un numero decimale
non sono mai significativi.
• il numero di cifre significative non varia
cambiando l’unità di misura.
• MISURE
Esempi
12.45 ha 4 cifre significative
47.3 ha 3 cifre significative
0.34 ha 2 cifre significative
0.340 ha 3 cifre significative
23.073 ha 5 cifre significative
10.0220 ha 6 cifre significative
0.001 ha 1 cifra significativa
• LE MISURE SONO RIPORTATE SECONDO LA CONVENZIONE DELLE CIFRE
SIGNIFICATIVE
Quando le misure sono espresse con la notazione
esponenziale le cifre significative sono quelle del numero
decimale che precede la potenza del 10.
Il numero di cifre significative è indipendente dall’unità
(multipli o sottomultipli) utilizzata.
Nei calcoli che coinvolgono dati sperimentali bisogna
considerare il numero di cifre significative con cui sono
espresse le misure.
• LE MISURE SONO RIPORTATE SECONDO LA CONVENZIONE DELLE CIFRE
SIGNIFICATIVE
Calcoli con le cifre significative:
• Moltiplicazioni e divisioni: il numero delle cifre
significative del risultato non deve essere più grande
del numero di cifre significative del fattore con minor
precisione.
• LE MISURE SONO RIPORTATE SECONDO LA CONVENZIONE DELLE CIFRE
SIGNIFICATIVE
Calcoli con le cifre significative:
• Addizioni e sottrazioni: il risultato deve contenere
lo stesso numero di decimali della misura che ne
contiene il minor numero
3,247
41,36
+125,2
169,8
 3 cifre decimali
 2 cifre decimali
 1 cifra decimale
 risultato arrotondato a 1 cifra decimale
Nota: i numeri sono esatti quindi i numeri derivati da una
definizione o da un conteggio diretto sono chiamati numeri
esatti e si assume che abbiano un numero infinito di cifre
significative.
• Massa e peso
2. Grandezze estensive e grandezze intensive
La massa è la misura della resistenza che un corpo oppone
alla variazione del suo stato di quiete e di moto.
Sulla Terra il peso di un corpo (misurato in newton) è pari
alla forza con cui la sua massa viene attratta dalla Terra
P=mg
dove:
P è il peso del corpo
m è la massa del corpo
g è l’accelerazione di gravità (9,8 m/s2)
• Densità
La densità è una proprietà intensiva molto utile
La densità (d) è una proprietà intensiva definita come il
rapporto tra massa (m) e volume (v), d = m/v.
Ogni sostanza pura ha un suo valore di densità caratteristico.
A temperatura ambiente:
• LA DENSITÀ È UNA PROPRIETÀ INTENSIVA MOLTO UTILE
La maggior parte delle sostanze espande quando viene
scaldata.
La densità dipende dalla temperatura.
Per l’acqua:
Il valore di 1,00 g/cm3 per l’acqua può essere usato quando
l’acqua è a temperatura ambiente e sono richieste solo tre
cifre significative.
• LA DENSITÀ È UNA PROPRIETÀ INTENSIVA MOLTO UTILE
2. Grandezze estensive e grandezze intensive
La densità (kg/m3) di un corpo è
il rapporto fra la sua massa e il suo
volume:
d = m/V
Il peso specifico (N/m3) di un corpo è
il rapporto fra il suo peso e il suo
volume, ovvero corrisponde
al prodotto della densità per
l’accelerazione di gravità
Ps = P/V = m  g/V = d  g
• LA DENSITÀ È UNA PROPRIETÀ INTENSIVA MOLTO UTILE
Il valore numerico della densità di una sostanza dipende dalle
unità di misura adoperate per esprimere la massa e il volume.
La densità relativa di una sostanza è definita come il
rapporto tra la densità della sostanza stessa e l’acqua:
La densità relativa di una sostanza:
• è minore di uno per le sostanze meno dense
dell’acqua;
• è più grande di uno per le sostanze più dense
dell’acqua;
• è indipendente dalle unità di misura.