Politecnico di Torino – Dip. di Ingegneria Strutturale e Geotecnica
Centro sui Rischi nelle Costruzioni
INDICE DELLA PRESENTAZIONE
- Concetti base di dinamica dei sistemi discreti
•  oscillazioni libere e smorzamento
•  oscillazioni con forzante esterna (periodica e impulsiva)
- Analisi modale di sistemi a più gradi di libertà
•  modi propri dei telai e vibrazioni delle travi inflesse
•  spettri di risposta
-  Effetti dei terremoti e principi di protezione sismica
Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO
Bibliografia e immagini:
A. Chopra “Dynamics of Structures”, Pearson
A. Carpinteri “Dinamica delle Strutture”, Pitagora
La trattazione teorica segue quella del testo
A. Carpinteri, “Dinamica delle Strutture”, Pitagora Ed.
Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO
Scopo principale della Dinamica delle Strutture è quello di
determinare le sollecitazioni interne e le deformazioni di
sistemi strutturali sollecitati in modo arbitrario nel tempo.
Si tratta di una estensione dei metodi dell'analisi
strutturale, che, usualmente, sono definiti solo per i
carichi statici.
I carichi diventano funzioni del tempo, così come la
risposta strutturale. Entrano in gioco le masse, con le
forze di inerzia.
I carichi dinamici agenti su di una struttura possono
essere periodici o non-periodici.
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Il carico periodico più semplice è quello di tipo sinusoidale,
anche detto sollecitazione armonica.
Altri carichi periodici di natura più complessa sono quelli
generati, ad esempio, dal vento su un edificio o dalle spinte
idrodinamiche delle eliche sulla poppa di una nave.
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I carichi non-periodici possono essere di breve durata o
impulsivi, come quelli generati da esplosioni o urti.
ovvero di lunga durata o generici, come quelli generati da
scosse sismiche.
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Se una struttura è soggetta ad un carico statico, la sua
deformazione, così come le sue sollecitazioni interne,
dipendono solo dal carico esterno, tramite considerazioni
di equilibrio interno.
Se il carico è applicato dinamicamente, la risposta
strutturale dipende anche dalle forze di inerzia, che si
oppongono alle accelerazioni, oltre che dalle forze
elastiche, che si oppongono agli spostamenti.
Se la struttura è soggetta anche a forze di smorzamento
viscoso, la risposta dipenderà anche da tali forze, che nel
caso più semplice si oppongono alle velocità.
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Il numero dei gradi di libertà di una struttura continua è
infinito. È sempre possibile discretizzare la struttura
nell'ambito dei metodi di calcolo numerico come quello degli
Elementi Finiti.
In certi casi è la geometria stessa della struttura che può
suggerire una sua discretizzazione, come nel caso dei telai
piani a traversi rigidi (shear type), ove le masse possono
venire concentrate nei singoli piani e le rigidezze possono
venire concentrate nei pilastri che connettono piano a piano.
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Vi sono casi per cui risulta possibile una discretizzazione
ancora più spinta, rendendo il sistema equivalente ad un
oscillatore semplice, con un solo grado di libertà.
Sono i casi in cui tutta la massa e tutta la rigidezza del sistema
sono concentrabili in singoli elementi rappresentativi (lumped
mass). Un classico esempio è costituito da un serbatoio
sostenuto da una struttura verticale snella.
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L'equazione del moto di una massa elementare soggetta ad
una forza di richiamo elastico e ad una forza di natura
viscosa si scrive:
ove x è l'elongazione della
molla elastica lineare, che
dipende dal tempo t, m è la
massa, c è la costante di
smorzamento viscoso, k è la
rigidezza della molla.
(derivate rispetto al tempo t )
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Essa rappresenta la nota equazione dinamica: forza = massa
x accelerazione, ove tra le forze applicate alla massa non
figurano forze esterne al sistema (oscillazioni libere).
Entrambe le forze attive:
sono negative in caso di elongazioni e, rispettivamente, di
velocità positive. Una interpretazione alternativa può essere
data alla equazione tramite il Principio di d'Alembert, il quale
afferma che ciascuna massa si trova in equilibrio nel proprio
sistema di riferimento, una volta soggetta a tutte le forze
attive e passive.
Le forze passive sono le forze di inerzia, cioè le forze che si
oppongono alle accelerazioni, ottenute moltiplicando queste
per la massa.
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Quando tra le forze applicate alla massa non figurano forze
esterne ma solo forze interne (elastiche e viscose) e passive
(inerziali), i movimenti del sistema vengono detti oscillazioni
libere.
La soluzione dell’equazione dinamica presenta la seguente
forma:
Sostituendo si ottiene:
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Dividendo per mCest e ponendo:
Si ha:
avendo definito ω la “pulsazione naturale”.
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In questo caso le due soluzioni diventano:
ove i è l'unità immaginaria, così che la risposta è data da:
“oscillatore armonico”
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Ricordando che:
la soluzione x(t) si può riscrivere come segue:
ove le costanti A e B sono esprimibili tramite le condizioni
iniziali.
Alternativamente:
x(t) = Asin(ωt − ϕ )
con ϕ detta “fase”.
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€
Poiché infatti:
l’equazione diventa:
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La precedente espressione è dimensionalmente omogenea,
poiché la pulsazione naturale (o velocità angolare) ω ha la
dimensione [T]–1, ed è misurata in radianti per unità di tempo.
La frequenza naturale f, peraltro, è misurata in Hertz (cicli per
unità di tempo):
mentre il suo inverso rappresenta il periodo naturale T :
(sec)
m
T = 2π
k
n.b. periodo proporzionale al rapporto masse/rigidezza…
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€
II moto può
espressione :
essere
descritto
anche
X = ampiezza
dalla
seguente
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ove l'ampiezza (max estensione dello spostamento a partire
dalla configurazione di equilibrio) è data da:
e l'angolo di fase iniziale da:
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In questo caso le due soluzioni della:
sono:
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Si verificano tre differenti tipi di moto, a seconda che la
quantità sotto radice quadrata sia positiva, negativa o nulla.
1° caso (Condizione di smorzamento critico): ω = c/2m
II valore critico della costante di smorzamento viscoso è:
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L'introduzione delle condizioni iniziali fornisce la risposta
dinamica:
Questa risposta non presenta oscillazioni attorno alla posizione
di equilibrio, ma soltanto un decadimento esponenziale verso
tale posizione.
La condizione di smorzamento critico è la minima viscosità per
cui non si verificano oscillazioni libere.
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2° caso: (Sistema sotto-smorzato): c < 2mω (ξ < 1)
Lo smorzamento si scrive come rapporto
e il suo valore critico cc:
ξ tra la costante c
ove ξ è detto rapporto di smorzamento.
Inserendo tale valore nell’equazione:
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ossia:
con 0 ≤ ξ ≤ 1. Essa si può anche esprimere come:
dove la pulsazione smorzata ωD in funzione della naturale è:
TD =
T
2
1−
ξ
( )
La viscosità quindi aumenta il periodo. Nei casi pratici, ove
usualmente ξ < 1/4, essa è vicina alla pulsazione naturale ω.
€
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La risposta dinamica di un sistema sotto-smorzato si ottiene
sostituendo le soluzioni precedenti nell'equazione del moto:
Si ottiene:
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In figura è rappresentata la legge del moto di un oscillatore
sotto-smorzato, con
La massa oscilla attorno alla posizione di equilibrio con
ampiezza decrescente in modo esponenziale.
Le elongazioni max e min non corrispondono esattamente agli
istanti in cui cos(ωDt – ϕ) = ±1 , ma agli istanti in cui la velocità
si annulla per cambiare poi di segno (punti stazionari).
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SPAZIO DELLE FASI
x˙ (t)
x˙ (t)
€
x(t)
€
MOTO NON SMORZATO
€
x(t)
€
MOTO SMORZATO
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SPAZIO DELLE FASI - CAOS
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Per valutare sperimentalmente il rapporto di smorzamento ξ,
prendiamo due qualsiasi picchi positivi successivi, xn e xn+1.
Il rapporto di questi due valori
è approssimativamente:
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II logaritmo naturale di entrambi i membri è detto decremento
logaritmico δ :
Si ha quindi:
essendo:
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Per bassi smorzamenti, si può scrivere:
e quindi:
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Un metodo semplice per stimare il rapporto di smorzamento
ξ è quello di contare il numero di cicli necessari per produrre
una riduzione del 50% nell'ampiezza di oscillazione.
Con ξ = 0.1 (valore tipico in molti casi pratici), l'ampiezza si
riduce del 50% in un solo ciclo.
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Nel caso in cui un oscillatore armonico sia sottoposto ad
una sollecitazione forzante armonica F sin ωFt, l'equazione
dinamica diventa non omogenea:
ωF è la pulsazione della forzante.
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La soluzione particolare xp(t) rappresenta la risposta
specifica generata direttamente dalla sollecitazione esterna,
mentre la soluzione complementare xc(t) rappresenta la
risposta di vibrazione libera del sistema:
L'ampiezza C della soluzione particolare si ottiene da:
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Dalla precedente si ricava:
L'ampiezza della soluzione particolare vale quindi:
β, detto rapporto di frequenza, è il rapporto tra la pulsazione
della sollecitazione applicata e la pulsazione propria o
naturale del sistema:
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La soluzione generale dell'equazione del moto:
è la somma delle soluzioni complementare e particolare, con
C espresso come sopra:
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I valori delle costanti arbitrarie A e B dipendono dalle
condizioni iniziali. Nel caso in cui il sistema sia a riposo
nell'istante iniziale:
le due costanti assumono i seguenti valori:
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La soluzione può quindi venire riscritta come:
IMP: Nei casi pratici lo smorzamento viscoso tende ad
annullare, al trascorrere del tempo, il secondo termine,
che è quindi detto risposta transitoria.
Il primo termine invece persiste, tenuto in vita dalla stessa
forza esterna pulsante, e amplificato dal fattore di
risonanza 1/(1 – β 2).
n.b. l’oscillazione non smorzata è in fase con la forzante
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Nel caso in cui siano presenti anche forze di natura viscosa,
l'equazione del moto diventa quindi:
Si divide per m, ricordando che c/m = 2ξω :
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La soluzione complementare è rappresentata dalla risposta di
oscillazione libera smorzata:
mentre la soluzione particolare è del tipo:
Il secondo termine dice che la risposta di un sistema
smorzato non è in fase con la sollecitazione forzante.
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Si ricava la soluzione del moto completa:
Il primo termine rappresenta la risposta transitoria (le
costanti A e B dipendono dalle condizioni iniziali). Tale
risposta tende a spegnersi con il tempo.
Al contrario, il secondo termine rappresenta la risposta
stazionaria, che ha la medesima pulsazione della
sollecitazione ma è fuori fase rispetto ad essa.
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La risposta stazionaria (a regime) può venire espressa anche
come segue:
con:
n.b F/k rappresenta la risposta statica del sistema…
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Si definisce fattore di amplificazione dinamica il rapporto D
tra l'ampiezza massima della risposta dinamica stazionaria e
lo spostamento statico prodotto dalla forza esterna F :
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Tale fattore tende all'infinito (risonanza) quando
ξ
 0
(assenza di smorzamento) e β  1 (ωF  ω).
In generale esso è funzione del rapporto di smorzamento
ξ
e soprattutto del rapporto di frequenza β .
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Per rapporti di smorzamento ξ sufficientemente piccoli:
il rapporto di frequenza per cui si ha il picco nell'ampiezza
della risposta stazionaria è:
mentre il picco vale:
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Se la frequenza della sollecitazione coincide con quella
naturale del sistema (β = 1, risonanza) si genera l'aumento
progressivo e lineare nell'ampiezza dell'oscillazione.
Oscillazioni
in risonanza
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Le nozioni suddette sono di particolare utilità nella
progettazione degli edifici antisismici, e in tutti quei casi in cui
risulti necessario isolare dinamicamente un elemento di un
sistema rispetto ad un altro elemento contiguo e vibrante.
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TACOMA NARROWS BRIDGE
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Oscillatore armonico soggetto a sollecitazione periodica F(t).
Tale funzione è esprimibile in serie di Fourier; la risposta
relativa a ciascun termine della serie sarà del tipo già
considerato per la sollecitazione armonica;
Applicando il Principio di Sovrapposizione degli Effetti, la
risposta totale sarà la somma delle risposte parziali.
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La funzione periodica nota F(t) è esprimibile come:
Nella precedente relazione TF rappresenta il periodo della
sollecitazione e i coefficienti sono forniti dalle seguenti
espressioni:
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Se ωF = 2π / TF indica la pulsazione della sollecitazione F(t),
l'armonica di ordine n possiede una pulsazione ωn = nωF.
La risposta stazionaria che si produce in un oscillatore
armonico non smorzato in relazione a ciascuna delle n
sollecitazioni armoniche della serie è fornita dalla:
con l'omissione del termine transitorio:
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ovvero:
ove:
La risposta stazionaria relativa alla componente costante
della sollecitazione, è semplicemente rappresentata dallo
spostamento statico:
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La risposta stazionaria totale è quindi data dalla somma di
tutti i contributi:
ove i coefficienti an, bn sono forniti dalle equazioni
precedenti, mentre:
ωn = nωF
βn =n (ωF/ω).
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La sollecitazione impulsiva è di durata relativamente breve,
per cui lo smorzamento viscoso non ha l'importanza che si è
vista per le sollecitazioni periodiche nel controllare la
risposta massima.
La risposta massima alla sollecitazione impulsiva viene
raggiunta entro un intervallo di tempo molto breve, prima che
le forze smorzanti possano assorbire una quantità di energia
sufficiente.
Per queste ragioni nel seguito si considererà soltanto la
risposta non smorzata rispetto a carichi impulsivi.
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Si consideri l'impulso
sinusoidale in figura.
Durante la prima fase (t < tF) l'oscillatore è soggetto alla
sollecitazione armonica, iniziando dalla condizione di quiete.
La risposta non smorzata, comprendente sia il termine
transitorio che quello stazionario, è fornita dalla:
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Nella seconda fase (t > tF) l'oscillatore è libero di vibrare e il
suo moto dipende dallo spostamento e dalla velocità che si
hanno al termine della prima fase, rispettivamente:
Tale moto può essere
oscillazioni libere:
descritto
dall’equazione
delle
ossia:
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L'entità della risposta dinamica, per β < 1 (ωF < ω, massa
piccola) dipende dal rapporto tra la durata tF della
sollecitazione impulsiva e il periodo proprio della struttura T.
Il rapporto x(t) / (F/k) dipende quindi da tF /T .
In figura è riportato il caso tF/T = 3/4 , da cui si ottiene una
risposta dinamica massima pari a 1.77 volte quella statica.
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Mentre per β > 1 (ωF > ω, massa prevalente), la risposta
dinamica massima avviene durante la seconda fase, quella di
oscillazione libera.
Lo spostamento e la velocità iniziali per questa fase sono
ottenibili ponendo ωF tF = π nell’equazione:
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L'ampiezza della oscillazione libera è data dalla:
e quindi vale:
Il fattore di amplificazione dinamica D:
dipende perciò dal solo rapporto β.
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Lo spettro di risposta alla sollecitazione impulsiva riporta il
fattore di amplificazione D in funzione del rapporto tra la
durata tF dell'impulso e il periodo naturale T dell'oscillatore.
In figura si riportano tre diversi spettri corrispondenti a tre
forme di sollecitazione impulsiva: sinusoidale, rettangolare,
triangolare.
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Per impulsi di durata particolarmente breve, il fattore di
amplificazione risulta piccolo, poiché gran parte della
sollecitazione applicata viene contrastata dall'inerzia
dell'oscillatore, così che nella struttura si producono sforzi
molto minori di quelli creati da sollecitazioni più durevoli.
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Per sollecitazioni di lunga durata (tF / T > 1), il fattore di
amplificazione dinamica dipende principalmente dalla
rapidità con cui la sollecitazione raggiunge il suo massimo
valore.
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L'analisi precedente che approssima la risposta di un
oscillatore ad un impulso di breve durata può utilizzarsi per
valutare la risposta ad una sollecitazione dinamica generica.
Si consideri una sollecitazione arbitraria F(t), e, in particolare,
l'intensità del carico F(τ) agente nell'istante di tempo t = τ.
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Tale carico, agente durante l'intervallo di tempo infinitesimo
dτ, produce l'impulso F(τ)dτ sull’oscillatore e, per valutare la
risposta a tale impulso, si utilizza la:
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Sebbene l’equazione è solo approssimata per impulsi di
durata finita, essa diviene esatta per impulsi di durata
infinitesima:
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INTEGRALE DI DUHAMEL
L'intero processo di carico può essere considerato come
formato da una successione di brevi impulsi, ciascuno con
una propria risposta differenziale della forma precedente.
Per la linearità del sistema elastico è possibile quindi
sommare tutti questi contributi e ottenere cosi la risposta
totale:
Tale equazione è generalmente nota come integrale di
Duhamel per i sistemi privi di smorzamento.
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TRASFORMATA DI FOURIER
Sebbene l’analisi nel dominio del tempo prima descritta sia
del tutto generale, talvolta risulta più conveniente effettuare
un'analisi nel dominio delle frequenze, tramite le trasformate
di Fourier.
Tale approccio è concettualmente simile alla procedura
relativa alla sollecitazione periodica prima presentata.
Entrambe queste procedure esprimono la sollecitazione
applicata in termini di componenti armoniche, valutano la
risposta dell'oscillatore a ciascuna armonica e quindi
sovrappongono le risposte armoniche per ottenere la
risposta dinamica totale.
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