FOURIER
Il matematico francese François Marie
Charles Fourier (1772- 1837) inventò una
teoria matematica attraverso cui è possibile
provare che ogni onda periodica può essere
rappresentata per mezzo di una somma di
onde sinusoidali aventi ampiezze, frequenze
e fasi appropriate.
Una rappresentazione di Fourier di un’onda
può richiedere molte componenti,
addirittura un numero infinito, tuttavia è
possibile approssimare un’onda utilizzando
un numero finito di componenti.
FUNZIONI PERIODICHE
Dopo un
tempo 2 si
ripete la
stessa
funzione f()
TEOREMA DI FOURIER
Il teorema di Fourier afferma che:
«qualunque funzione periodica, finita, continua può essere
rappresentata mediante una somma di funzioni sinusoidali
pure, pesate da opportuni coefficienti, nei cui argomenti
compaiono tutte le frequenze (le armoniche) multiple di una
frequenza fondamentale»
FORME D’ONDA
Ogni strumento musicale si porta dietro una forma d’onda particolare.
Questa forma d’onda risulta dalla combinazione dell’armonica
fondamentale e delle armoniche superiori.
E’ proprio la forma d’onda, risultante dal contenuto spettrale delle
armoniche, a determinare il timbro di uno strumento musicale.
CHITARRA
TROMBA
VIOLINO
FLAUTO
FORME D’ONDA PARTICOLARI
Esiste un gruppo di forme d’onda di particolare simmetria che possono
essere realizzate con opportune sintesi additive:
DENTE DI SEGA
In quest’onda sono presenti tutte le
armoniche con ampiezza decrescente
ONDA QUADRA
In quest’onda sono presenti solo le
armoniche dispari con ampiezza
decrescente
FORME D’ONDA PARTICOLARI
DOPPIO DENTE
TRIANGOLARE
In quest’onda sono presenti solo le
armoniche pari con ampiezza decrescente
In quest’onda sono presenti solo le
armoniche dispari con ampiezza
decrescente prese con segni alterni
L’interesse di queste forme d’onda particolari, generabili soltanto
elettronicamente, sta nel fatto che esse vengono usate nell’ambito della
sintesi del suono.
FORME D’ONDA PARTICOLARI
Esempi di diverse forme d’onda
risultanti dalla sintesi additiva di
armoniche scelte in maniere
diverse
Spettro di un segnale
SPETTROGRAMMA
Lo spettrogramma è una rappresentazione grafica dell’intensità del
suono alle varie frequenze che lo costituiscono
SERIE DI FOURIER
Consideriamo la serie trigonometrica
senza curarci di problemi di convergenza, questa definisce
una funzione periodica
una funzione periodica, qualunque sia il suo periodo, può essere
considerata come una somma infinita di seni e di coseni
COEFFICIENTI DI FOURIER
Per ricostruire una funzione periodica è necessario conoscere i
coefficienti della serie trigonometrica:
Ricostruzione delle funzioni periodiche con la
Trasformata di Fourier
Esempio n.1: Onda
quadra
Pulsazione fondamentale (rad)
(quella dell’onda quadra)
w0=2/T
(*) a
0
fa eccezione rispetto agli altri ak in quanto, pur calcolato tramite un integrale di funzione pari, risulta pari a zero. Ciò si spiega in quanto il
significato fisico di tale termine è il valor medio del segnale nel periodo. Se l’onda quadra fosse centrata su un valore diverso da zero (traslata
verso l’alto o il basso), pur rimanendo pari, avrebbe il termine a0 non nullo.
Ricostruzione dell’onda quadra tramite somma di 4 armonich
x(t ) 
4A
senw0t
x(t ) 
4A
sen3w0t
3
4A
sen5w0t
5
x(t ) 
4A
sen 7w0t
7
x(t ) 

Prime 4 armoniche
riportate in un
unico grafico
Somma delle
prime
4 armoniche e
segnale originale
Altri esempi: componenti elettronici sottoposti a un ingresso armonico
Esempio n.2
(diodo)
x (t ) 
A

2
2
2
cos 4w 0t 
cos 5w 0t ...
 1  cosw 0t  cos 2w 0t 



2
3
15
35
Esempio n.3
(raddrizzatore)
x (t ) 
2A
2
2
2
cos 6w 0t .............
 1  cos 2w 0t  cos 4w 0t 

 
3
15
35
Altri esempi: componenti elettronici sottoposti a un ingresso armon
Esempio n.4
(triangolare)
x (t ) 
8A
1
1
cos
w
t

cos
3
w
t

cos 5w 0t .............


0
0
2 

9
25

Esempio n.5
(dente di sega)
x(t ) 
2A 
1
1
1

 sen w 0t  sen 2w 0t  sen 3w 0t  sen 4w 0t............. 
 
2
3
4

Seconda parte
Risposta in frequenza
Sistemi lineari
Si(t)
sistema
So(t)
• Si considerano i sistemi lineari.
• Per essi è applicabile il principio di Sovrapposizione degli effetti.
• Se il segnale elettrico di ingresso è sinusoidale, allora anche
quello di uscita dovrà essere tale, alla stessa frequenza di quello
di ingresso, ma con differente ampiezza e fase.
Deduzioni
•
Secondo Fourier il segnale di ingresso è scomponibile come somma di segnali
sinusoidali ciascuno di opportuna ampiezza, frequenza e fase.
•
Il sistema lineare, modifica ciascuna componente armonica di ingresso in ampiezza e
fase, in funzione della frequenza dell’armonica di ingresso stessa.
•
Il segnale di uscita può essere determinato attraverso la sovrapposizione degli effetti
sulle singole componenti armoniche di ingresso, essendo il sistema lineare.
Funzione di Trasferimento
DEFINIZIONE
“Il rapporto fra la trasformata di Fourier del segnale di uscita So(t) e la
trasformata di Fourier del segnale di ingresso Si(t) è una funzione complessa,
indipendente dalla forma dei segnali Si(t) ed So(t), caratteristica del quadripolo,
detta Funzione di Trasferimento.”
Nota la FdT di un quadripolo e la trasformata di Fourier del segnale Si(t) è possibile risalire alla
trasformata di Fourier del segnale So(t).
La FdT di un quadripolo rende conto delle modifiche degli spettri del segnale Si(t), che determinano
gli spettri del segnale So(t).
Modulo e fase della FdT
“Le funzioni G(f) e θ(f) rappresentano la variazione in ampiezza e fase
rispettivamente, introdotte dal quadripolo sul segnale si ingresso.”
VALE:
G( f )  FdT
 ( f )  ( FdT )
Si ricordi che dato il numero complesso Z=a+jb vale:
Z  a 2  b2

b
 Z  arctg  
a