I.P.I.A. “A. Leone” Nola - (NA)
Appunti di fisica per le 1° classi
Modulo n° 2
L’equilibrio dei corpi – Le macchine semplici
Prof. Giardiello
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INTRODUZIONE
La ricerca delle condizioni di equilibrio di un corpo è importante per lo studio e la soluzione di
molti problemi pratici che si incontrano soprattutto nel campo ingegneristico.
Il problema consiste nel determinare le condizioni per cui un corpo rimane in equilibrio sotto
l'azione di forze interne o esterne ad esso applicate.
Per lo studio delle condizioni di equilibrio bisogna distinguere il caso di corpi tanto piccoli da
poter essere assimilati a punti materiali dal caso di corpi estesi.
Equilibrio di un punto materiale
Nel caso di punti materiali la condizione di equilibrio si realizza quando la risultante delle forze
ad essi applicate è uguale a zero (R=0).
Però, raramente capita, che la risultante di un sistema di forze applicato ad un corpo sia zero,
anzi, quasi sempre essa è diversa da zero.
In tal caso, per equilibrare il corpo si procede come segue:
1) bisogna ricercare la risultante R;
2) bisogna applicare al corpo una forza uguale e contraria ad R che si
chiama equilibrante e si indica con E.
Così facendo risulta soddisfatta la condizione d'equilibrio e cioè che la risultante totale delle
forze applicate al punto materiale è uguale a zero.
La Fig 1 esemplifica il concetto appena espresso.
Come si può osservare, la risultante delle forze F1 e F2 applicate al punto materiale A è
diversa da zero e sotto l'effetto di tale risultante il punto materiale si sposterebbe verso l'alto
se non applicassimo ad esso una forza E uguale e contraria ad R.
Equilibrio dei corpi rigidi liberi
La condizione d'equilibrio R=0, valida per un punto materiale, è necessaria ma non sufficiente
quando si tratta di un corpo esteso.
Infatti, la condizione R=0 ci assicura che il corpo non trasla ma non ci garantisce l'immobilità
alla rotazione.
Perciò, perchè un corpo esteso sia in equilibrio devono essere verificate entrambe le seguenti
condizioni:
1) R=0 ; 2) M=0
e cioè occorre che la risultante di tutte le forze ad esso applicate sia uguale a zero e anche la
risultante dei momenti di tutte le forze sia uguale a zero.
La Fig 2, ad esempio, rappresenta due ruote di diametro diverso calettate sullo stesso albero
La ruota più grande è tenuta in moto dalla coppia (F1;-F1) che, come è noto ha risultante
uguale a zero e momento diverso da zero.
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Per immobilizzare il sistema occorre che anche la somma dei momenti sia uguale a zero,
quindi, bisogna applicare all'altra ruota una coppia il cui momento sia di pari intensità e di
verso opposto a quello generato dalla prima coppia.
Equilibrio dei corpi vincolati
Un corpo si dice vincolato quando non può compiere alcuni movimenti.
Un quadro appeso ad un muro, ad esempio, può solo ruotare intorno al punto di sospensione
ma non può traslare, una porta può ruotare intorno all'asse passante per i cardini ma non può
traslare, un libro poggiato su un tavolo non può essere spostato verso il basso, ecc.
Le condizioni di equilibrio dei corpi vincolati sono sempre date dalle due relazioni: R=0 e M=0
a patto però che si considerino anche le reazioni vincolari.
Equilibrio dei corpi sospesi
Adesso vediamo quali e quante possibilità di equilibrio si possono verificare per un corpo
sospeso, sottoposto alla sola sua forza peso.
Un quadro attaccato al muro si può trovare in tre differenti posizioni di equilibrio (vedi fig 3a,
fig 3b e fig 3c), perchè in tutte e tre le posizioni sono verificate le equazioni: R=0 e M=0.
Infatti, in tutti e tre i casi la risultante è uguale a zero perchè la forza peso (Fp) è uguale ed
opposta alla reazione vincolare (Rv) e la sommatoria dei momenti è uguale anch'essa a zero
perchè le due forze agenti (Fp) e (Rv) passano entrambe per il punto di sospensione (O).
La prima posizione di equilibrio si chiama stabile perchè se ruotiamo il corpo di un angolo @
intorno al punto di sospensione, esso, sotto l'effetto raddrizzante del momento (Mr), ritorna
nella posizione di equilibrio iniziale.
La seconda posizione di equilibrio si chiama instabile perchè se facciamo ruotare il corpo di un
angolo @ intorno al punto di sospensione, esso non ritorna da solo nella posizione che aveva
inizialmente ma, per effetto del momento (Mb), si ribalta.
La terza ed ultima posizione si dice indifferente perchè il corpo è in equilibrio per qualsiasi
valore dell'angolo @.
Le figure: 4a, 4b e 4c esemplificano quanto detto in precedenza.
Determinazione del baricentro di un corpo.
Il baricentro di un corpo è il punto di applicazione della forza peso e per corpi omogenei e
simmetrici esso coincide con il centro di simmetria.
Ad esempio, il baricentro di una lastra sottile a forma rettangolare è il punto di incontro delle
due diagonali, il baricentro di una piastra sottile a forma triangolare è il punto d'incontro delle
tre mediane, il baricentro di una piastra sottile a forma circolare coincide con il centro della
circonferenza e così via.
Però, non è altrettanto semplice determinare il baricentro di una piastra sottile di forma
irregolare.
In quest'ultimo caso si adotta un metodo che discente dalle considerazioni fatte sull'equilibrio
dei corpi sospesi e cioè:
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1) si sospende il corpo per un punto (O) e si traccia, con un filo a piombo, la perpendicolare
(n) passante per (O), vedi Fig 5a;
2) si sospende una seconda volta il corpo per un punto (O') e con il solito sistema si traccia
la perpendicolare (n'), vedi Fig 5b.
Il baricentro (G) è individuato dall'intersezione delle due perpendicolari (n) ed (n'), vedi Fig 5b.
Il baricentro di corpi solidi omogenei coincide, come detto in precedenza, con il centro di
simmetria del corpo perciò si ha, ad esempio, che il baricentro di un parallelepipedo è dato
dalla intersezione dei tre piani di simmetria @, @' e @'', vedi Fig 6, mentre il baricentro di una
sfera coincide con il suo centro e così via.
MACCHINE SEMPLICI
Le macchine semplici sono le prime macchine inventate dall'uomo per poter compiere lavoro
in condizioni vantaggiose.
Una macchina si dice vantaggiosa quando, in condizioni di equilibrio, la forza motrice (Fm) è
minore della forza resistente (Fr).
Per forza motrice intendiamo la forza esplicata dall'uomo con i suoi muscoli e per forza
resistente quella opposta dal corpo da spostare.
Per vedere se una macchina è vantaggiosa o meno bisogna, quindi, imporre le condizioni di
equilibrio e verificare se Fm è minore di Fr.
Questo metodo di indagine verrà applicato a tutte le macchine che di seguito andremo a
studiare.
Alle macchine semplici appartengono le leve, le carrucole, il verricello, l'argano, il piano
inclinato, ecc.
Le leve.
Le leve sono costituite da un'asta rigida che può ruotare intorno ad un punto detto fulcro.
Esse si suddividono in leve di primo, secondo e terzo genere a seconda della posizione del
fulcro rispetto alla forza motrice e alla forza resistente.
Leve di primo genere.
Le leve di primo genere hanno il fulcro (F) posizionato tra la forza resistente (Fr) e la forza
motrice (Fm).
Esse sono vantaggiose quando il fulcro è più vicino alla forza resistente (Fig 7a), sono
svantaggiose quando il fulcro è più vicino alla forza motrice (Fig 7b) e sono neutre quando il
fulcro è posizionato esattamente al centro (Fig 7c).
Infatti, imponendo le condizioni di equilibrio si ottiene che la risultante delle forze Fr ed Fm è
equilibrata dalla reazione vincolare del fulcro e, per l'equilibrio alla rotazione, il momento della
forza resistente (Mr) deve essere uguale e contrario al momento della forza motrice (Mm).
In altre parole deve essere verificata l'equazione: Fr x a = Fm x b.
Dalla suddetta equazione si ricava la seguente formula:
Fm = a/b x Fr.
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Analizzando la precedente formula risulta che quando il rapporto a/b è minore di uno, come
nel caso di Fig 7a, Fm è minore di Fr e la leva è vantaggiosa, quando a/b è maggiore di uno,
come nel caso di Fig 7b, Fm è maggiore di Fr e la leva è svantaggiosa, quando, infine, a/b è
uguale ad uno, come nel caso di Fig 7c, Fm = Fr e la leva è neutra.
Leve di secondo genere
Le leve di secondo genere hanno la forza resistente (Fr) posizionata tra il fulcro (F) e la forza
motrice (Fm), vedi Fig 8.
Esse sono sempre vantaggiose perchè il rapporto a/b risulta sempre minore di uno e di
conseguenza, dalla formula ricavata in precedenza imponendo l'equilibrio alla rotazione,
valida anche in questo caso, si evince che Fm è minore di Fr.
Leve di terzo genere
Le leve di terzo genere hanno la forza motrice (Fm) posizionata tra il fulcro (F) e la forza
resistente (Fr), vedi Fig 9.
Esse sono sempre svantaggiose perchè il rapporto a/b risulta sempre maggiore di uno e di
conseguenza, dalla solita formula Fm = a/b x Fr, risulta che Fm è maggiore di Fr.
CARRUCOLE
Le carrucole sono costituite da ruote sulle cui circonferenze esterne scorrono, all'interno di
una gola, delle corde.
Ai due estremi delle corde sono applicate rispettivamente, da una parte, la forza resistente
(Fr) e dall'altra la forza motrice (Fm).
Esse sono state inventate dall'uomo per risolvere alcuni problemi pratici come il sollevamento
di corpi pesanti e possono essere di due tipi: fisse e mobili.
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Carrucole fisse.
Le carrucole fisse sono chiamate così perchè l'asse della ruota che costituisce la carrucola
non si sposta insieme al corpo da sollevare, vedi Fig 10.
Esse sono neutre perchè possono essere immaginate simili ad una leva di primo genere con il
fulcro al centro, vedi Fig 10b.
Infatti, i due bracci (a) e (b) sono uguali perchè corrispondono entrambi al raggio della ruota,
mentre il fulcro coincide con l'asse della ruota.
Carrucole mobili.
Le carrucole mobili si chiamano così perchè si spostano insieme al corpo da sollevare.
Esse sono macchine vantaggiose, ma per poter funzionare devono essere accoppiate ad una
carrucola fissa, vedi Fig 11a.
Il funzionamento di una carrucola mobile può essere assimilato a quello di una leva di
secondo genere avente la forza resistente (Fr) posizionata esattamente nel punto di mezzo tra
il fulcro (F) e la forza motrice (Fm), vedi Fig 11b.
Infatti, il braccio (a) è esattamente la metà di (b) perchè (a) corrisponde al raggio della ruota e
(b) al diametro in quanto, istante per istante, il fulcro si realizza in F.
Di conseguenza, dalla formula Fm = a/b x Fr, risulta che, in condizioni di equilibrio, Fm è
esattamente la metà di Fr e quindi la macchina è vantaggiosa.
PIANO INCLINATO
Il piano inclinato è costituito da un piano rigido inclinato di un angolo @ rispetto al piano
orizzontale.
Una strada in pendenza, uno scivolo a mare per il tiro e il varo di una imbarcazione, ecc. sono
tutti esempi di piani inclinati.
Il piano inclinato può essere schematizzato con un triangolo rettangolo la cui ipotenusa
rappresenta la traccia del piano.
Servendoci della schematizzazione di Fig 12 è possibile dimostrare che il piano inclinato è una
macchina vantaggiosa.
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In condizioni di equilibrio la forza resistente (Fr), che si ottiene decomponendo la forza peso
(Fp) del carrello lungo una direzione parallela al piano inclinato, deve essere equilibrata dalla
forza motrice (Fm) in quanto la componente ortogonale al piano inclinato (Fo) è equilibrata
dalla reazione del piano.
Di conseguenza è sufficiente determinare (Fr) per conoscere anche (Fm).
Dalla similitudine dei triangoli A,B,C e ,d,e,f possiamo scrivere la proporzione:
Fr : Fp = h : l
che risolta rispetto a Fr da la formula: Fr = h/l x Fp, dove h è l'altezza del piano inclinato, l è la
sua lunghezza, Fp è la forza peso del carrello da sollevare e Fr è la forza resistente.
Come si può constatare la forza resistente è sempre minore della forza peso perchè il
rapporto h/l è sempre minore di uno.
Di conseguenza, essendo Fm = Fr, la macchina è vantaggiosa e lo è tanto di più quanto
minore è h e maggiore è l.
Verricello
Il verricello è costituito da un cilindro (tamburo) che può ruotare intorno al proprio asse e sul
quale è avvolta una fune.
La forza resistente è applicata all'estremità della fune, mentre la forza motrice è applicata ad
una manovella collegata all'asse di rotazione del tamburo.
La macchina è vantaggiosa quando il raggio della manovella è maggiore del raggio del
tamburo, vedi Fig 13.
Argano
Il principio di funzionamento dell'argano è simile a quello del verricello, il suo tamburo, però, è
disposto con l'asse in verticale (vedi Fig. 14).
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