Cenni a calcolo di probabilità
elementare
La probabilità che un evento possa verificarsi, nella ipotesi che
siano tutti equiprobabili (senza trucchi..) si calcola con il rapporto
tra il numero dei casi favorevoli a un evento e il numero totale degli
eventi possibili
Px = nx / ntotali
Esempio : un dado a sei facce con numeri 1, 2 ,3, 4, 5, 6
eventi totali possibili = 6
eventi favorevole all’uscita di uno specifico numero :uno per numero
P1 = 1/6
P2= 1/6
P3 = 1/6
P4 = 1/6
P5 = 1/6
P6 = 1/6
Contenitore con 10 palline( non visibili): 5 rosse e 5 azzurre
Probabilità di estrarre come prima pallina una rossa ? Una azzurra ?
PR = nRosse / nTotale
5 / 10 = ½ = 0.5
PA= nAzzurre/nTotale
5 / 10 = ½ = 0.5
Probabilità X = eventi favorevole a X / eventi totali possibili (X + Y)
Eventi favorevoli a X (rossa= = 5
eventi favorevoli a Y (azzurra=5)
eventi totali = 10
Contenitore con 10 palline( non visibili): 2 rosse e 8 azzurre
PR = nRosse / nTotale
2 / 10 = 1/5 = 0.2
PA= nAzzurre/nTotale
8 / 10 = 4/5 = 0.8
Probabilità di estrarre come prima pallina una rossa ? Una azzurra ?
Contenitore con 10 palline( non visibili): 2 rosse e 8 azzurre
PR = nRosse / nTotale
2 / 10 = 1/5 = 0.2
PA= nAzzurre/nTotale
8 / 10 = 4/5 = 0.8
Probabilità di estrarre come prima pallina una rossa ? Una azzurra ?
Contenitore 1 : 3 rosse, 4 azzurre
Contenitore 2 : 5 rosse, 2 azzurre
Palline non visibili: da quale contenitore estrarre una pallina per
avere la più grande probabilità che sia rossa ?
PR= 3/7 = 0.43
PA = 4/7 = 0.57
PR= 5/7 = 0.71
PA= 2/7 = 0.29
Si osserva evidentemente che conviene estrarre da C2
Contenitore 1 : 3 rosse, 4 azzurre
Contenitore 2 : 5 rosse, 6 azzurre
Palline non visibili: da quale contenitore estrarre una pallina per
avere la più grande probabilità che sia rossa ?
PR= 3/7 = 0.43
PA = 4/7 = 0.57
PR= 5/11 = 0.45
PA= 6/11 = 0.55
Si osserva che, anche se con piccola differenza, conviene estrarre da C2
In un contenitore, opaco, ci sono 10 monete:
sette da 100 lire, due da 50 lire , una da 20 lire
È sempre certa la estrazione di una moneta
è decrescente la probabilità di estrarre una
determinata moneta P100 > P 50 > P20
manca la possibilità che venga estratta una
moneta diversa da 100, 50, 20
PC = 10/10 = 1 massima probabilità
P100 = 7/10 = 0.7
P50 = 2/10 = 0.2
P20 =
Px
= 0/10 = 0
Esempio: mazzo di 40 carte da gioco (4 tipi diversi)
Probabilità che la prima carta scelta sia un asso ?
Eventi possibili = 40 carte
evento favorevole , asso(a), = 4
Pa = 4 / 40 = 0.1
Probabilità che la prima carta sia un asso di spade ?
Eventi possibili = 40 carte
evento favorevole , asso(s), = 1
Ps = 1 / 40 = 0..25
Probabilità che la prima carta scelta sia diversa da un asso ?
Eventi possibili = 40 carte
evento favorevole , diverso da asso(d) = 36
Pd = 36 / 40 = 0.9
Lancio contemporaneo di tre monete (testa/croce)
Probabilità che escano insieme almeno 2 croci ?
testa
croce
TTT
CCC
TCT
CTC
TCC
CTT
Eventi possibili = 8
eventi favorevoli
(CC, CCC) = 4
probabilità = 4 /8 = 0.5
TTC
CCT
Numero successi (frequenza assoluta):
numero di esiti positivi su totale prove :x
Es.dado lanciato 60 volte : uscita 4 = 15 volte : x = 15
Frequenza relativa = numero successi / numero prove
f=x/n
Lanciando un dado 10000 volte, numero di volte prevedibile che esca 4 ?
F = x / n = 15 / 60 = ¼ = 0.25
4
Lancio singolo:
eventi possibili = 6
evento favorevole a 4 = 1
P3 = 1 / 6 = 0.1666
0.1666/ 1 = x /10000
x = 1666
È prevedibile che aumentando il numero delle prove aumenti in proporzione
anche il numero degli esiti positivi in funzione della probabilità dell’evento
Legge dei grandi numeri (casuale):la frequenza con la quale si presenta
un evento si avvicina al valore della sua probabilità in funzione del
numero di prove: tali valori sono tanto più simili quanto maggiore è il
numero delle prove eseguite Fx = Px * n
Il rapporto tra il
numero dei successi
e il numero di prove
va aumentando con
il numero delle prove
e il rapporto tra
successi e prove
si avvicina al valore
della probabilità
Esemplificazione lancio di un dado, con excel e numeri casuali tra 1 e 6
Per un lancio la probabilità che esca un numero tra 1 e 6 risulta 1/6 = 0.166
Simulazione con 499 lanci: ricerca esiti e frequenza sul totale
Ricerca su totale 499 e parziale 399
Osservare come la frequenza si approssima alla probabilià (0.166)
con l’aumentare delle prove eseguite 1, 99, 199, 299, 399, 499
Ricerca su parziale 299 e 199
Osservare come la frequenza si approssima alla probabilià (0.166)
con l’aumentare delle prove eseguite 1, 99, 199, 299, 399, 499
Ricerca su parziale 99 e 1
Osservare come la frequenza si approssima alla probabilià (0.166)
con l’aumentare delle prove eseguite 1, 99, 199, 299, 399, 499
Simulazione lanci successivi , sempre 499
ricerca su totale
Osservare come in ogni prova (499 lanci) cambiano le frequenze
pur rimanendo sempre abbastanza simili alla probabilità (0.166)
Simulazione lanci successivi , sempre 499
ricerca su totale
Osservare come in ogni prova (499 lanci) cambiano le frequenze
pur rimanendo sempre abbastanza simili alla probabilità (0.166)
Simulazione lanci successivi , sempre 499
ricerca su totale
Osservare come in ogni prova (499 lanci) cambiano le frequenze
pur rimanendo sempre abbastanza simili alla probabilità (0.166)
Simulazione lanci successivi , sempre 499
ricerca su totale
Osservare come in ogni prova (499 lanci) cambiano le frequenze
pur rimanendo sempre abbastanza simili alla probabilità (0.166)
Osservare rapporto tra numero di prove , frequenza e probabilità