Campo magnetico
Alcuni fenomeni
S
N
S
N
S
Ago magnetico: tende ad allinearsi con il campo magnetico.
N
S
S
S
N
N
N
S
S
N
S
N
N
N
S
Forze fra 2 calamite.
Momento delle forze
le calamite tendono ad allinearsi ...
Ago magnetico
Magnete di forma sferica (P. de Maricourt, 1269)
Campo magnetico
L’ago magnetico si dispone parallelamente al campo magnetico: consente di
visualizzare le linee di forza
Con molti aghetti si ottiene una visualizzazione immediata.
ad esempio con limatura di ferro
(v. materiali ferromagnetici)
Il campo magnetico B è un campo vettoriale.
Forza di Lorentz
Una carica in moto in un campo magnetico subisce una forza, con queste proprietà:
♦ F proporzionale a v
♦ F proporzionale a q
♦ F ortogonale a B e v .
F ∝v
F∝q
r
r
F ⊥ B
r
r
F ⊥ v
♦ F=0 se v parallela a B.
♦ regola della mano destra (v.) F=0 se v=0 (agisce solo se q è in moto)
♦
F ∝ sin θ
(θ angolo fra v e B)
Tutto ciò si riassume nella
r
r r
F = qv × B
F
F
B
B
F = qvB sin θ
v
v
Forza di Lorentz
Relazioni per una carica positiva. Se q<0 F si inverte.
Forza di Lorentz
Dalla forza di Lorentz si ricava l’unità di misura di B.
[B ] =
N
J
=
Am
Am
2
=
Wb
=T
2
m
Tesla o Weber/m2
Wb =
J
= Vs
A
Note
• il Tesla è un’unità piuttosto grande;
• a temperatura ambiente il campo di un ferromagnete è B ≤ 2.5 T
• magneti superconduttori B ≤ 25 T (8 T su volumi grandi)
• campo magnetico terrestre ~ 0.5.10-4 T
• ma sulle stelle a neutroni i campi sono molto intensi. 1011-1014 T
un’unità pratica molto usata è il Gauss (1T = 104 G)
Proprietà molto importante:
La forza di Lorentz compie lavoro nullo: modifica solo la direzione di v, ma non il modulo:
(
)
r r
r r r
dL = F ⋅ ds = q v × B ⋅ v dt = dK = 0
Moto di una carica in un campo B uniforme.
. .
. .
. .
. .
r
. B.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Se
r
r
v ⊥ B
il moto è circolare uniforme
v2
F = qvB = m
R
qB
mv
ω =
R =
m
qB
la velocità angolare ω e il periodo T, non dipendono dalla velocità della particella.
(frequenza e/o periodo di ciclotrone)
(per grandi velocità intervengono effetti relativistici e allora R dipende da v)
A parità di velocità è più facile deflettere un elettrone che un protone, o
un atomo molto ionizzato rispetto ad uno con ionizzazione +/- 1 (rigidità magnetica).
Per velocità generiche si ha traiettoria elicoidale: circonferenza nel piano ortogonale a B,
moto uniforme nella direzione di B.
mv ⊥
R=
qB
T =
2π
ω
= 2π
m
qB
v||
costante.
Forza agente su un conduttore percorso da corrente.
Somma delle forze di Lorentz sulle cariche di conduzione. Si consideri un elemento
di conduttore percorso da corrente:
N° di cariche
B
r
r r
dV=dSdl
d F = ndV q v × B
r
r r
r
r r
d F = nqv dS d l × B ⇒ d F = id l × B
v
dS
dl
1a legge di Ampère
B
r
r r
r
F = i d l × B = i AB × B
∫
Se B è uniforme
A
C
In un campo magnetico uniforme,
la forza totale dipende solo dagli estremi A e B:
B
A
D
r
r
r
FACB = FADB = FAB
Su un circuito chiuso (spira) in un campo uniforme F = 0. Ma il momento non è nullo.
Spira piana in un campo magnetico uniforme
i “uscente”
r
F2
Le forze raffigurate sono uguali in modulo
(FTOT=0) ma le rette d’azione sono diverse:
costituiscono una coppia di braccio
θ
b = l sin θ
r
n
F1 = F2 = ilB
r
F1
τ = il 2 B sin θ
uscente
i “entrante”
Il momento tende ad «allineare la normale n» con il campo B. In assenza di altre forze,
la spira è in equilibrio stabile quando
• il piano della spira è ortogonale al campo B
• il verso della corrente nella spira è legato al verso di B dalla regola della mano destra
Si dice che il momento di dipolo magnetico della spira è allineato con il campo.
Spira piana in un campo magnetico uniforme
i “uscente”
r
τ = µ×B
r
r
F2
formalmente:
r
r
dove
θ
r
n
r
µ = iS n
è il momento (di dipolo) magnetico della spira
r
per una bobina di N spire
r
F1
i “entrante”
r
µ = iNS n
il momento delle forze tende ad allineare il
momento di dipolo magnetico della spira
con il campo magnetico esterno
il momento di dipolo magnetico di una bobina ha modulo
µ = NiS
[µ ] = Am2
direzione e verso definiti dal verso della corrente mediante la regola della mano destra
In questo senso, spira e calamita si comportano allo stesso modo e c’è perfetta analogia con il dipolo
elettrico immerso in un campo elettrico uniforme
Sorgenti del campo magnetico.
Non esistono “cariche magnetiche”.
Teorema di Gauss per il campo B.
ΦB = 0
Flusso di B attraverso una superficie chiusa.
Il campo B è generato da cariche in movimento (nella pratica: correnti elettriche)
Si consideri un tratto infinitesimo di circuito, di lunghezza dl, percorso da corrente i.
In un punto P, a distanza r da dl, questo elementino di circuito genera un campo magnetico
r r
r
µ0 dl× r
dB =
i
4π
r3
P
r
r
r
dl
i
2a legge di Ampère
Se dll e r sono nel piano del disegno, dB è uscente.
µ 0 = 4π ⋅10
−7
Tm
−7 H
= 4π ⋅10
A
m
e 1 Henry vale
nel vuoto.
H=
Wb
A
µ0 è la permeabilità magnetica del vuoto. In un mezzo si sostituisce µ0 con µ=µ0µR
In genere
µR ≅ 1
µ R − 1 ≈ 10 −5
tranne che per i materiali ferromagnetici.
Legge della circuitazione di Ampère
“La circuitazione del campo magnetico (statico) B nel vuoto è uguale al prodotto
della permeabilità magnetica del vuoto (µ0) per la somma algebrica delle correnti
concatenate. “
r r
∫ B ⋅ d l = µ0 I
circuitazione di B: integrale lungo
somma algebrica delle correnti
concatenate al percorso chiuso
r r
un percorso chiuso di: B ⋅ d l = Bdl cos α
i1
i2
i4
i3
linea chiusa
I = i1 − i2 + i3
Campo generato da un filo rettilineo «infinito»
P
Campo generato in P (a distanza R dal filo)
dal tratto di lunghezza dl:
r
r
ψ
dB =
R
l
dl
µ 0i dl
cos ψ
2
4π r
dB tutti paralleli fra loro e tangenti alla circonferenza
passante per P e coassiale con il filo
sommando tutti i contributi, e tenendo conto che
r
d=
cosψ
µ0 i
B=
4π R
l = r tanψ
dl =
π /2
∫ cos ψ d ψ
−π / 2
B =
r
dψ
2
cos ψ
µ0 i
2π R
Legge di Biot e Savart
Campo generato da un filo rettilineo infinito.
Allo stesso risultato si può giungere usando la Legge di circuitazione di Ampère
osserviamo che le linee di forza sono dei cerchi
ortogonali e concentrici al filo
corrente
uscente
R
B
r r
∫ B ⋅ d l = B ⋅ 2π R = µ0i
da cui
B =
µ0 i
2π R
il verso del campo magnetico è legato al verso della corrente dalla regola della mano destra
Forza fra due fili rettilinei paralleli percorsi da corrente.
Su un tratto l2 del 2° filo agisce una forza:
i1
h
F1
F2
i2
r
r
r
F2 = i2 l 2 × B 1
(B1 ha lo stesso valore lungo l2)
Si verifica che la forza è attrattiva (se le correnti hanno lo stesso verso)
repulsiva (se le correnti hanno verso opposto)
i2
i1
h
µ 0 i1 i 2
F
=
l
2π h
di qui la definizione dell’unità di misura “Ampère” nel S.I:
Corrente che, passando in due conduttori rettilinei paralleli, alla distanza di 1m, genera una
forza F = 2.10-7 N su un tratto il lunghezza 1m.
Campo magnetico generato da una spira circolare (sull’asse)
dBZ =
r
dB
2
r2
r
z
θ
R
i
µ 0i ds cos θ
ds
r
µ0
R 2i
B(z ) =
2 R2 + z2
(
)
3/ 2
a grande distanza (z >> R)
B(z ) =
r
µ0 µ
2 z2
zˆ
Campo magnetico sull’asse di una spira circolare
in un solenoide ideale, “infinito”
dal teorema di Ampère
B = µ 0 ni
in un solenoide finito, di lunghezza l, il campo sull’asse si trova sommando il campo
di tutte le spire:
µ 0 ni 



B(z ) =
+
2
2 
2  (l 2 − z )2 + R 2
(
)
l
2
z
R
+
+


l 2− z
l 2+ z