Teoria Cinetica dei gas
Una esposizione semplice
La teoria cinetica stabilisce un collegamento tra il
comportamento macroscopico di un gas e il suo
comportamento microscopico.
Le grandezze macroscopiche Pressione e Temperatura sono
strettamente dipendenti dalle grandezze microscopiche N
Numero delle molecole e Velocità delle molecole.
1
Il modello meccanico di un gas
Al contrario di quel che avviene per i liquidi ed i solidi, il comportamento dei gas appare
indipendente dalla specie chimica. La bassissima densità, la capacità di espandersi
illimitatamente, il comportamento semplice e regolare al variare di temperatura e pressione
portano a concludere che, nello stato gassoso, le molecole siano sostanzialmente indipendenti e
libere, che le forze fra di esse agiscano, a breve distanza, solo nell’urto.
Ciò conduce a formulare un primo modello meccanico fondato sulle seguenti ipotesi:
• Le molecole sono assimilabili a sfere rigide piccolissime (punti materiali) di massa m
• Il loro numero N è così elevato da essere statisticamente significativo
• Le molecole si muovono in modo completamente casuale obbedendo alle leggi di
Newton
• L’urto delle molecole con le pareti del contenitore è elastico
(si conserva l’energia cinetica)
• Le loro dimensioni sono trascurabili rispetto alla distanza media fra esse; in altri
termini il volume complessivo delle molecole è trascurabile rispetto al volume totale
occupato dal gas
2
• L’urto delle molecole contro le pareti rispetta le leggi della riflessione
• Tutte le molecole sono di ugual massa
• il moto delle molecole non ha direzioni privilegiate
e infine:
• * le molecole non si urtano fra loro
L’abbandono di quest’ultima ipotesi porta ad
un sostanziale raffinamento del modello, con
conseguenze estremamente significative
il modello di gas
3
L’origine della Pressione
La pressione esercitata dal gas è dovuta agli urti
delle molecole contro le pareti del contenitore.
Ricordiamo dalla meccanica che:


F  ma



Δv
F m
Δt
Modello di gas



Δp
F 
Δt
L
v
L
L
Si pensi ad 1 sola molecola di massa m in moto
con velocità v entro una scatola cubica di lato L
4
Nell’urto contro la parete di destra, perpendicolare all’asse X,
essa subisce una variazione della quantità di moto:
L
v
 

p  p f  pi  mvx  mvx   2mvx
L
forza agente sulla particella in 1 urto:
L
Fx  
vx
z
v
y
-vx
x
v
2mvx
t
La variazione della q. di moto della parete in 1 urto:

p  2mvx
forza agente sulla parete in 1 urto:
2mvx
Fx 
t
( 3° principio della dinamica)
5
Esaminiamo attentamente l’urto contro la parte 1
Urto
L’urto rispetta le leggi della riflessione:
z
vx
1- raggio incidente, raggio riflesso, normale
alla sup. riflettente, nel punto d’ìncidenza,
sono complanari,
v
2- angolo incidenza = angolo riflessione
x
-vx
L’urto è elastico:
Ec iniziale = Ec finale  Viniziale = V finale
v
Ec f  Eci 
1
1
2
2
2
2
mv f  mvi  v f  vi  v f  vi
2
2
Consideriamo la variazione della q. di moto della molecola:
p f  m(v x  v y  v z ); p i  m(v x  v y  v z )
allora
 p  2mv x
La variazione della q. di moto della parete in 1 urto:

p  2mvx
6
Dopo l’urto la molecola si muove verso la parete opposta con
velocità vx, e, dopo un altro urto, torna indietro verso la parete 1
L
v
L
Quindi percorre la distanza 2L con velocità vx impiegando un
tempo t = 2L/vx
Pertanto la forza media esercitata dalla molecola contro la parete
1è
L
m  vx
p 2  m  v x 2  m  v x
F



2L
t
2L
L
vx
2
2
Che determina la pressione
F F m  vx2 m  vx2
Pressione   2  3 
A L
L
V
7
La formula precedente fa riferimento ad una sola molecola. Per la pressione totale
dovremo tener conto del contributo di tutte le molecole che però hanno velocità diverse
e in generale variabili nel tempo. Tuttavia la distribuzione delle velocità rimane costante
e, quindi, anche la velocità media rimane costante, pertanto invece della velocità vx
faremo riferimento alla velocità media
Distribuzione velocità
 
m  vx
P
V
2
E tenendo conto di tutte le molecole
   N m  v 
V
m vx
PN
V
2
2
x
8
Siccome vx è una delle tre componenti della velocità v
 


v  vx  v y  vz
e le tre componenti vx, vy, vz sono mediamente equivalenti, cioè, ogni
direzione è ugualmente probabile,
v  vx  v y  vz  3vx
2
2
2
2
2
1 2
v v v  v
3
2
x
2
y
2
z
(teorema di Pitagora)
avremo
v
vz
   1 N m  v 
3V
vy
m vx
PN
V
2
2
vx
9
(ove
v2
Indicando con
è il valore medio del quadrato della velocità.
Ec =
1
 m  v 2 l’energia cinetica media di una molecola )
2
2 N 1
2N
2
P
Ec
 mv  
3 V 2
 3V
Allora, in un gas ideale, la pressione è direttamente
proporzionale al numero delle molecole,
inversamente proporzionale al volume e
La pressione di un gas è direttamente proporzionale
all’energia cinetica media delle sue molecole.
10
2 N 1
2N
2
P
Ec
 mv  
3 V 2
 3V
E portando al primo membro il volume V
2 1
2
2
PV  N  m  v   NEc
3 2
 3
11
Energia cinetica e temperatura
Teoria Cinetica
(ipotesi teorica)
Equazione di stato dei gas
(risultato sperimentale)
2
PV  N E c
3
PV  NkT
2
N Ec  NkT
3
3
3 R
Ec  kT 
T
2
2 N AV
12
La temperatura assoluta è (se la deduzione è corretta !),
direttamente proporzionale alla sola energia cinetica media
molecolare.
Scaldando un gas aumentiamo la velocità media delle sue molecole,
raffreddandolo diminuiamo la velocità media delle molecole.
Energia cinetica media di
una molecola
3
E c  kT
2
Si ha anche: Energia di una mole
Energia totale gas
Emol 
3
3
k  N AV  T  R  T
2
2
Etot gas 
3
 n  R T
2
Acquista un significato chiaro la nozione di temperatura assoluta !
13
Calcolo delle velocità molecolari
A che velocità si muove, in media, una molecola di Ossigeno ( O2 )
alla temperatura di 27 °C ?
3
E c  kT 
2
(T=27 °C = 300 K)
1
3
2
mv  kT
2
2
se:
2
v  v v
2
Velocità quadratica media
(radice quadrata della media
dei quadrati delle velocità)
vqm 
3kT

m
Massa di 1 molecola
3kN AvT

mN Av
3RT
M
massa molecolare
14
per l’Ossigeno :
vqmO2
M
3RT
v 
M
 32 10 3 kg  mol 1
O2
3  8,31(J/(mol  K))300( K )

 485 m/s
3
32 10 Kg / mol
…e una molecola d’Idrogeno ( H2 ) ?
MH2

1

M
O2
16
vH

2
3RT
M H2

3RT
1
16 M O 2

16  3RT
M O2
 4
vO
 2000 m/s
2
(a parità di temperatura l‘energia cinetica media è la stessa, ma la
velocità media è inversamente proporzionale alla radice quadrata della
massa molecolare)
In una miscela di gas diversi (es. Azoto 14N e Ossigeno 16O) tutte le
molecole possiedono la stessa en. cinetica media, ma le molecole di
azoto, essendo più leggere, sono mediamente più veloci. 15
Energia interna di un gas ideale
L’energia interna di una sostanza è la somma di tutte le
energie: potenziali, cinetiche, rotazionali, delle molecole
che la compongono
3
Ec  kT 
2
1

m 3v x2 
2
 
1 2 3
mv  kT
2
2
3
1
1
2
kT 
m v x  kT
2
2
2
 
Ad ogni grado di libertà “componente dell’energia” di una
molecola è associata un’energia pari a ½ kT
16
In un gas ideale (monoatomico) le uniche interazioni sono gli
urti perfettamente elastici, non c’è energia potenziale e le
molecole hanno solo energia traslazionale nelle tre direzioni
dello spazio. L’energia totale del sistema è la somma
dell’energia cinetica nelle tre direzioni di moto, 3 gradi di libertà
U  energia in terna 
1
 3( gradi di libertà ) N (numero totale molecole ) kT 
2
3
 NkT
2
oppure
3
3
3
U  NkT  nN A kT  nRT
2
2
2
vz
vy
vx
17
Nel caso di un gas biatomico si hanno 5 gradi di libertà
complessivi: 3 traslazionali nelle tre direzioni dello spazio e 2
rotazionali.
U  energia in terna 
1
 5(gradi di libertà ) N (numero totale molecole ) kT 
2
5
 NkT
2
vz
quindi
vy
5
5
5
U  NkT  nN A kT  nRT
2
2
2
vx
18
Alcune considerazioni sulle velocità molecolari
1a considerazione
•La velocità di fuga dalla Terra  11,2 km/s
• la velocità vqm di H2= 1,93 km/s  1/6 velocità di fuga
•Composizione dell’aria
azoto 78%, ossigeno 21%, altri gas tra cui l’idrogeno
0,0062%
Distribuzione m axw elliana delle velocità m olecolari
Idrogeno
dN/dv per mole
0,00
T=300 k
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0
200
400
600
800
1000
velocità (m/s)
19
Allora,……
2a considerazione:
Abbiamo calcolato che la velocità media dell’ossigeno a
27 °C è di circa 485 m/s
Se le cose
stanno così
allora ….
una molecola 100 volte più
pesante di quella di ossigeno
avrebbe comunque la rispettabile
velocità di circa 50 m/s e
percorrerebbe un locale di 5
metri di lunghezza ben 10 volte
in 1 secondo !!!!…………che sia
proprio così ?
20
Fai clic sulla
foto
L’esperienza ci dice che il
profumo del caffè non ci
arriva così in fretta !!
[prova tu ad immaginare altre analoghe situazioni]
Questo fenomeno di propagazione di un gas in
un altro (diffusione) appare in realtà
decisamente più lento.
Come si possono conciliare queste osservazioni con le previsioni
della teoria cinetica ?
Rinunciando all’ipotesi che le
dimensioni delle molecole siano
infinitamente piccole , tanto
piccole da rendere trascurabile la
probabilità di un urto fra esse
21
Se si assume che le dimensioni delle molecole siano finite , per esempio
sfere di raggio r , allora il percorso di ciascuna molecola sarà una
successione casuale di moti rettilinei uniformi, di lunghezza e direzione
differenti, tra un urto e l’altro, percorsi ciascuno con velocità diversa,
dipendente dalle modalità con cui avviene l’urto con un’altra molecola.
Più grandi
sono le
molecole, più è
probabile
l’urto
reciproco !
22
Si può dimostrare che
la frequenza d’urto
(numero di collisioni
al secondo) è data da:
e che il libero cammino
medio (distanza media
percorsa tra un urto e il
successivo) è :
f  4πr nv
r = raggio molecolare
2
n = numero di molecole
per unità di volume
v
1
l 
2
f 4πr n
v
= velocità media
Nel 1856 R.Clausius determinò, proprio in base alle velocità
di diffusione dei gas e ad altri dati sperimentali, l’ordine di
grandezza delle dimensioni molecolari:
r  10
9
 10
-10
m
Si tratta della prima misura indiretta delle dimensioni di particelle
microscopiche, fino ad allora solamente ipotizzate ! 23
Negli urti tra molecole si hanno continui scambi di energia cinetica ma il valore
medio per molecola di tale energia e quello complessivo restano costanti.
Si deve a J.C.Maxwell il calcolo della distribuzione statistica delle velocità
molecolari in un gas, il cui andamento dipende solo dalla temperatura :
Distribuzione m axw elliana delle velocità m olecolari
Ossigeno
dN/dv per mole
0,00
T=300 k
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0
200
400
600
800
1000
velocità (m/s)
24