Ragionare per assurdo Liceo classico statale D’Adda di Varallo Sesia 11 dicembre 2006 Cominciamo con Lucrezio Il brano che leggeremo è tratto da: Lucrezio (De rerum nat., I, 238-249) Copia del De rerum natura eseguita da Girolamo di Matteo de Tauris per Sisto V, 1483. Roma, Biblioteca Vaticana Tesi T da dimostrare Huc accedit uti quidque in sua corpora rursum dissolvat natura neque ad nihilum interemat res. Dimostrazione Denique res omnis eadem vis causaque vulgo conficeret, nisi materies aeterna teneret, inter se nexus minus aut magis indupedita. Tactus enim leti satis esset causa profecto, quippe ubi nulla forent aeterno corpore, quorum contextum vis deberet dissolvere quaeque. At nunc, inter se quia nexus principiorum dissimiles constant aeternaque materies est, incolumi remanent res corpore, dum satis acris vis obeat pro textura cuiusque reperta. Haud igitur redit ad nilum res ulla, sed omnes discidio redeunt in corpora materiai. Abbiamo letto un’argomentazione che procede per reductio ad absurdum. La sua struttura è indicata qui a destra. I passi dell’argomentazione sono: • l’antitesi ¬T • la proposizione Q1 • la proposizione Q2 • la proposizione Q3 • l’ipotesi (data per vera) H Ma ecco esattamente le parole di Lucrezio. Passiamo adesso ad Aristotele I pitagorici scoprirono, nonostante il loro motto fosse «Tutto è numero», che esistevano grandezze radicalmente diverse dai numeri ordinari. Per esempio, la lunghezza della diagonale di un quadrato non si può esprimere come multiplo della lunghezza del lato, e nemmeno come sua frazione di numeri interi. In questo consiste lo “scandalo degli irrazionali”, la cui esistenza fu tenuta segreta dalla setta dei pitagorici. Il segreto fu poi svelato da Ippaso di Metaponto che, proprio per questo tradimento, fu messo al bando dalla comunità. Anzi, gli innalzarono un monumento funebre, perché fosse chiaro che per loro Ippaso era morto. Il segreto non tarda a diffondersi, così Aristotele – negli Analytica priora – non solo lo riporta, ma ci fornisce il bandolo di una dimostrazione. Si noti che erano stati i pitagorici a introdurre il concetto di dimostrazione matematica! Qui accanto: trad. latina (di Boezio) degli Analytica Priora, 1.46-2.2. Pergamena inglese del XIV secolo. Ἀναλυτικὰ πρότερα, βιβλίον Α´, 23, 41a Niente paura, non leggiamo questo brano (che semmai potrà venire utile per un lavoro interdisciplinare). Limitiamoci a rilevare le considerazioni di metodo: la dimostrazione nasce dall’impossibilità delle conseguenze dell’antitesi. Per esempio, se la diagonale del quadrato fosse commensurabile con il lato, i numeri dispari sarebbero uguali ai pari (… τὸ δ᾽ ἐξ ἀρχῆς ἐξ ὑποθέσεως δεικνύουσιν, ὅταν ἀδύνατόν τι συμβαίνηι τῆς ἀντιφάσεως τεθείσης, οἷον ὅτι ἀσύμμετρος ἡ διάμετρος διὰ τὸ γίνεσθαι τὰ περιττὰ ἴσα τοῖς ἀρτίοις συμμέτρου τεθείσης). Ὅτι μὲν οὖν οἱ δεικτικοὶ περαίνονται διὰ τῶν προειρημένων σχημάτων, φανερόν· ὅτι δὲ καὶ οἱ εἰς τὸ ἀδύνατον, δῆλον ἔσται διὰ τούτων. πάντες γὰρ οἱ διὰ τοῦ ἀδυνάτου περαίνοντες τὸ μὲν ψεῦδος συλλογίζονται, τὸ δ᾽ ἐξ ἀρχῆς ἐξ ὑποθέσεως δεικνύουσιν, ὅταν ἀδύνατόν τι συμβαίνηι τῆς ἀντιφάσεως τεθείσης, οἷον ὅτι ἀσύμμετρος ἡ διάμετρος διὰ τὸ γίνεσθαι τὰ περιττὰ ἴσα τοῖς ἀρτίοις συμμέτρου τεθείσης. τὸ μὲν οὖν ἴσα γίνεσθαι τὰ περιττὰ τοῖς ἀρτίοις συλλογίζεται, τὸ δ᾽ ἀσύμμετρον εἶναι τὴν διάμετρον ἐξ ὑποθέσεως δείκνυσιν, ἐπεὶ ψεῦδος συμβαίνει διὰ τὴν ἀντίφασιν. τοῦτο γὰρ ἦν τὸ διὰ τοῦ ἀδυνάτου συλλογίσασθαι, τὸ δεῖξαί τι ἀδύνατον διὰ τὴν ἐξ ἀρχῆς ὑπόθεσιν. ὥστ᾽ ἐπεὶ τοῦ ψεύδους γίνεται συλλογισμὸς δεικτικὸς ἐν τοῖς εἰς τὸ ἀδύνατον ἀπαγομένοις, τὸ δ᾽ ἐξ ἀρχῆς ἐξ ὑποθέσεως δείκνυται, τοὺς δὲ δεικτικοὺς πρότερον εἴπομεν ὅτι διὰ τούτων περαίνονται τῶν σχημάτων, φανερὸν ὅτι καὶ οἱ διὰ τοῦ ἀδυνάτου συλλογισμοὶ διὰ τούτων ἔσονται τῶν σχημάτων. ὡσαύτως δὲ καὶ οἱ ἄλλοι πάντες οἱ ἐξ ὑποθέσεως· ἐν ἅπασι γὰρ ὁ μὲν συλλογισμὸς γίνεται πρὸς τὸ μεταλαμβανόμενον, τὸ δ᾽ ἐξ ἀρχῆςπεραίνεται δι᾽ ὁμολογίας ἤ τινος ἄλλης ὑποθέσεως. εἰ δὲ τοῦτ᾽ ἀληθές, πᾶσαν ἀπόδειξιν καὶ πάντα συλλογισμὸν ἀνάγκη γίνεσθαι διὰ τριῶν τῶν προειρημένων σχημάτων. τούτου δὲ δειχθέντος δῆλον ὡς ἅπας τε συλ-λογισμὸς ἐπιτελεῖται διὰ τοῦ πρώτου σχήματος καὶ ἀνάγεται εἰς τοὺς ἐν τούτωι καθόλου συλλογισμούς. L’incommensurabilità della diagonale con il lato del quadrato, cioè l’irrazionalità di si dimostra con la medesima procedura di riduzione all’assurdo che abbiamo considerato nel ragionamento di Lucrezio. L’unica differenza è che qui il ragionamento presenta una biforcazione: si assume dapprima che m sia dispari, quindi si perviene a una chiusura del discorso, indicata dal simbolo “×” (infatti, sarebbero vere simultaneamente le proposizioni H e ¬H). A un’analoga chiusura del discorso si perviene se si assume che m sia pari. 2 1 Lo schema presentato nella schermata precedente dovrebbe essere di per sé eloquente, una volta chiarito il significato dei simboli. Comunque, ecco una spiegazione diffusa della biforcazione sinistra del ragionamento. Sviluppiamo il ragionamento di dimostrazione passo passo, in base allo schema riportato nella schermata precedente, dove ogni passo del ragionamento è numerato progressivamente, da 1 a 6: il passo 1 corrisponde alla fascia verdolina in alto, il passo 2 corrisponde alla fascia cilestrina sottostante ecc. Ecco dunque il ragionamento: 1. Una proposizione P o è vera o è falsa, per il principio del terzo escluso. In logica si scrive: P ¬P dove il simbolo significa “oppure” e il simbolo ¬ significa “non”. Dunque al passo 1 del nostro ragionamento affermiamo: “La proposizione P è vera, oppure P non è vera”. Questo è un principio generale, e vale anche per la tesi T che intendiamo dimostrare: T ¬ T. 2. A questo punto affermiamo la nostra tesi T: affermiamo cioè che 2 è un numero irrazionale. In altre parole, siano m e n sono due numeri interi e positivi. Sarà allora: m/n Questa relazione significa che non è possibile esprimere 2 come rapporto di due interi. In questo senso si dice, appunto, che 2 non è razionale (ratio in latino significa “rapporto”). Poiché però non siamo capaci di dimostrare la tesi T con un’argomentazione diretta, concediamo che sia vera la tesi opposta ¬T (antitesi), che cioè 2 sia un numero razionale. Ci proponiamo di verificare che l’affermazione dell’antitesi comporta logicamente una conseguenza, o un insieme di conseguenze, in contraddizione con il resto delle nostre conoscenze (con ipotesi che sono accettate come vere). Dunque abbandoniamo (per il momento) la tesi T e spostiamoci, nella schermata precedente, a destra della linea spessa verticale, nel ramo dell’antitesi ¬T. Cioè, sia 2 = m/n e, conseguentemente, sia 2 = m2/n2. 3. Il terzo passo del nostro ragionamento fa nuovamente ricorso al principio del terzo escluso. Perciò nello schema tracciamo una seconda linea verticale (in tratto più sottile). Infatti, possiamo ipotizzare che m sia dispari, o che sia pari. Chiamiamo queste due ipotesi, rispettivamente, Q e ¬Q. Ammettiamo che Q sia vera (m è dispari) e sviluppiamo le conseguenze di questa affermazione (nello schema, a sinistra della linea verticale sottile). Lo stesso faremo in seguito per ¬Q. 4. Dunque, se m è dispari, anche m2 sarà dispari. Questa proposizione (chiamiamola H) è conseguenza di quanto si è affermato al passo 3, applicando la ben nota proprietà dei numeri, per cui il quadrato di un numero dispari è anch’esso dispari. 5. Abbiamo visto però, al passo 2, che 2 = m2/n2: dunque m2 = 2n2 e, quale che sia il valore di n, m2 risulta – in base al passo 2 – pari. Così affermiamo ¬H. 6. Dunque le proposizioni 4. e 5. sono in contraddizione, e questo è precisamente ciò che significa il crocino (×) nell’ultima fascia cilestrina del nostro schema. In altre parole, se m è dispari, l’antitesi ¬T non è accettabile. Fondamenti logici della dimostrazione per assurdo La dimostrazione per assurdo era probabilmente già conosciuta da Pitagora. Parmenide, il fondatore della scuola di Elea, fu il primo a farne uso in pubblico. Il suo discepolo Zenone, che Aristotele indicherà come l’inventore della dialettica, vi fece ricorso nei suoi celebri paradossi. Parmenide in un’illustrazione del Liber Chronicarum (o Cronaca di Norimberga), del 1493, una delle più celebri opere iconografiche del XV secolo. Fondamenti logici Lo schema di ragionamento della riduzione all’assurdo è quello di un sillogismo ipotetico Nella dimostrazione per assurdo, dovendosi dimostrare che una certa tesi T è vera, si assume invece che sia vera l’antitesi, cioè il contrario della tesi. Di qui si deduce una serie di conseguenze contraddittorie o errate. E poiché queste conseguenze sono errate, ne risulta che sono errate le premesse a partire dalle quali sono ricavate, in particolare l’antitesi. Lo schema di ragionamento è sostanzialmente quello del modus tollens: il quale – ricordiamo – è una forma di sillogismo, cosiddetto ipotetico.1 Cioè, tanto per intenderci, un sillogismo del tipo: “Se Giulia è felice, allora sorride. / Giulia non sorride / Dunque Giulia non è felice”. Lo schema generale del modus tollens è il seguente: pq ¬q –––––––– ¬p dove il segno è il simbolo logico di implicazione (se… allora…) e il segno ¬ è il simbolo logico di negazione. Una proposizione come p q è dunque una proposizione ipotetica, perciò il modus tollens è un sillogismo ipotetico. Possiamo leggere lo schema del modus tollens in questi termini: “Se la proposizione p è vera, allora è vera anche la proposizione q. Ma la proposizione q è falsa. Allora è falsa la proposizione p.” Dunque attraverso la negazione del conseguente q si perviene alla negazione dell’antecedente p. –––––––––––––––––––––––––– Numerosissime sono le varietà di sillogismo. Rivestono particolare importanza com’è noto, i sillogismi categorici (del tipo “Tutti i greci sono mortali. / Socrate è greco. / Dunque Socrate è mortale”). In linea teorica, è possibile costruire 256 tipi di sillogismi categorici, combinando opportunamente proposizioni: 1. universali affermative; 2. universali negative; 3. particolari affermative; 4. particolari negative. In realtà quelli validi sono 24, gli altri sono fallaci. 1 Fondamenti logici (segue) Sviluppo delle conseguenze logiche dell’antitesi Nel ragionamento per assurdo dall’antitesi ¬T si sviluppa una conseguenza ¬H che è in contraddizione con un’ipotesi ritenuta vera o con un’altra conseguenza ottenuta da ¬T introducendo un’ipotesi ritenuta vera. Ma H è vera. Dunque è falsa l’antitesi che comporta ¬H. Ecco lo schema del modus tollens adattato alla dimostrazione per assurdo: ¬T ¬H H ––––––––– T Anche in questo caso la negazione del conseguente (che qui è ¬H: la seconda premessa del modus tollens, H, può essere letta come ¬(¬H)) comporta la negazione dell’antecedente (che qui è ¬T: la conclusione del sillogismo ipotetico, T, può esser letta come ¬(¬T)) Sull’arte di ragionare La dimostrazione per assurdo è un modo di ragionare. Ma i ragionamenti non sono soltanto dimostrazioni, e le dimostrazioni non sono soltanto per assurdo. In questo intermezzo vedremo come un ragionamento possa essere dimostrativo o argomentativo e come quello argomentativo possa eventualmente essere fallace o irrilevante. Frontespizio dell’Opera omnia di Giovanni Duns Scoto (Lione, 1639), contenente fra l’altro due opere fondamentali dello Pseudoscoto: In librum primum Priorum Analyticorum Aristotelis Quaestiones e In librum secundum Priorum Analyticorum Aristotelis Quaestiones. Allo Psuedoscoto viene attribuito l’aforisma Ex absurdis sequitur quodlibet (v. Dante, Par., VI, 19-21). I modi di ragionare • Ragionamento dimostrativo (premesse vere, inferenze necessarie): • diretto: sillogismo con premesse (e conclusione) categoriche sillogismo disgiuntivo sillogismo ipotetico (modus ponens, modus tollens) entimema polisillogismo sorite ecc. • indiretto: ragionamento per assurdo • Ragionamento argomentativo (premesse non sempre vere e/o inferenze non sempre necessarie): • • • • • • pseudodeduttivo (fra questi, è celebre il dilemma di Protagora) a priori a posteriori (sono importantissimi fra questi, nella scienza moderna, gli argomenti induttivi) ecc. Ragionamento argomentativo fallace (premesse non sempre vere, inferenze invalide). Ragionamento argomentativo razionalmente irrilevante: • ad baculum, ad verecundiam, ad misericordiam, ad iudicium, ad populum, ad personam (questo è, spesso, il modo di ragionare degli avvocati e dei politici). Un’applicazione moderna del principio di dimostrazione per assurdo Il principio d’induzione matematica può essere considerato un assioma, o anche una conseguenza degli assiomi stabiliti da Peano per descrivere la struttura dei numeri naturali. In particolare il principio di induzione matematica (che non va confuso con il ragionamento induttivo) può essere dimostrato per assurdo. A sinistra: curva di Peano in 3-D. Principio o assioma d’induzione Se P(n) è una proposizione dipendente da n e si sa che: • P(0) è vera; • l’essere vera P(n) implica la validità di P(n + 1); –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– allora P(n) è vera per ogni n naturale. Per esempio, si dimostra in questo modo che: n p 1 2 p 1 n n( n 1) 2 o anche che: a b n n a nk bk k 0 k n Dimostrazione per assurdo del principio d’induzione 1) 2) 3) 4) 5) 5) 6) 7) Abbiamo visto che se P(n) è una proposizione dipendente da n e che se valgono le proposizioni 1) e 2): P(0) è vera; l’essere vera P(n) implica la validità di P(n + 1); allora P(n) è vera per ogni n naturale. Neghiamo la tesi e stabiliamo che esiste almeno un numero naturale m tale che la proposizione P(m) sia falsa. In generale, si avrà m = m0, m1 … . Poniamo cioè l’antitesi: ¬P(m) Inoltre, se vi sono parecchie proposizioni P(m0), P(m1) ecc. false, consideriamo quella dipendente da m0 minimo. Se la proposizione falsa è una sola, m = m0. Sarà in ogni caso: ¬P(m0) [cioè P(m0) è falsa: segue dalla 5)] P(m0 – 1) [cioè P(m0 – 1) è vera: segue dalla 5)] Chiaramente m0 non può essere zero. Infatti, per la 1), P(0) è vera. Dunque, necessariamente, m0 – 1 non è un numero negativo, ma un numero naturale. Ma se P(m0 – 1) è vera, deve anche essere vera P(m0). È una conseguenza di quanto abbiamo ammesso con la 2): se è vero l’antecedente, è parimenti vero il conseguente (o anche “successore”, come si dice). Dunque: P(m0) × [Qui il discorso si chiude, perché la 7) è in contraddizione con la 5). Dunque la 4), dalla quale il nostro ragionamento ha preso le mosse, è falsa, ed è vera la 3)]. c.v.d.