IL LOTTO ECONOMICO
• Il lotto economico nasce dalla teoria legata
alla gestione a scorte dei materiali in cui la
domanda deriva da stime previsionali
(effettuate ad esempio ricavando i dati futuri
dall'analisi dello storico) e non dalla
esplosione di un piano di produzione come
avviene invece per la gestione a fabbisogno
(esempio MRP).
Esistono due modelli di lotto economico a
seconda che si consideri:
•
Il dimensionamento degli ordini d'acquisto
di materia prima verso il fornitore, qualora
il livello di scorte a magazzino scenda sotto
il livello del punto di riordino (per evitare
blocchi di produzione).
modello del lotto economico di acquisto
(EOQ)
• Il dimensionamento dei lotti di produzione
da processare sulle macchine qualora il
prodotto sia realizzato internamente.
modello del lotto economico di produzione
(EMQ)
Modello
Economic Order Quantity (EOQ)
• Sviluppato da F.W. Harris, 1913
• risponde a due quesiti
– quando ordinare
– quanto ordinare
• domanda Indipendente
EOQ
Ipotesi
• Domanda nota e costante nel tempo
• Prezzo unitario di acquisto costante per ogni
dimensione del lotto ordinato e nel periodo
considerato
• Lead time di riordino noto e costante
• Costi di stoccaggio unitari costanti
• L’ordine emesso è inserito a scorta
interamente non appena è stato ricevuto
EOQ
Ipotesi
• Non si considera la possibilità di avere rotture
di stock (equivale a fissare un costo infinito
alla rottura di stock)
• Possono essere trasportati lotti di qualunque
dimensione senza che questo influenzi i costi
di trasporto,
• L’ordine emesso può essere di dimensione
qualunque.
EOQ Obiettivi
Il lotto economico di acquisto rappresenta il
numero di unità di singolo articolo che
dovrebbe essere specificato ogni volta che si
emette un ordine, al fine di minimizzare i costi
totali:
• Costi di acquisto
• Costi di emissione di un ordine
• Costi di mantenimento a scorta dei beni
EOQ
Costi totali
C
O
S
T
I
Costi di mantenimento
Costo d’acquisto
Costi di ordinazione
QOPT
Quantità da ordinare Q
Voci di costo per EOQ
costo totale d’acquisto (Ca)
è pari al prodotto di p (prezzo) per la quantità
acquistata D (uguale alla domanda) e non
dipende quindi dalla dimensione del lotto:
Ca = pD
Voci di costo per EOQ
costo di ordinazione (Co)
Es.:
• Costi di ricerca e selezione dei fornitori
• Costi amministrativi legati alla preparazione
dell’ordine
• Costi amministrativi legati alle procedure di
pagamento del fornitore
Voci di costo per EOQ
costo di ordinazione (Co)
se la grandezza del lotto è pari a Q e se ordino D
unità avrò che il numero di ordini è pari a
D/Q
se Co il costo unitario di ordinazione allora il
costo totale di ordinazione sarà:
D
Co  co
Q
Voci di costo per EOQ
costo di mantenimento (Cm)
Due categorie principali:
1. Costi tangibili di mantenimento
– Costi operativi emergenti con la gestione delle
scorte in uno spazio fisico determinato. Costi di
affitto del magazzino, costi di assicurazione, costi
legati alla movimentazione fisica, costi di
obsolescenza
2. Costi opportunità legati all’investimento di
capitale nelle giacenze
Voci di costo per EOQ
costo di mantenimento (Cm)
Q/2 = quantità media a giacenza
Giacenza
Q
Q/2
Tempo
Voci di costo per EOQ
costo di mantenimento (Cm)
è pari a:
Q
C m  cSp
2
In cui cS è il costo di un euro messo a scorta
per un anno
costo totale
Q
D
Ctot  pD  co  cSp
2
Q
Dove:
p è il prezzo di acquisto di un’unità del singolo bene
D è la domanda annua
co è il costo di emissione di un singolo ordine
cS è il costo di un euro messo a scorta per un anno
Q è la quantità ordinata con un singolo ordine
EOQ
Per trovare il minimo della funzione di costo totale è
necessario derivare Ctot rispetto a Q e porre la
derivata uguale a zero
dCtot
coD cSp
 2 
0
dQ
Q
2
2co D
Qott 
cSp
( Formula di Wilson )
12
2co D
Qott 
cSp
( Formula di Wilson )
È possibile calcolare l’intervallo ottimo di riordino, il
costo totale ottimo e il numero ottimo di ordine
emessi in un anno:
2co
Tott  Qott / D 
cSpD
cSpD
nott  D / Qo tt 
2co
cSpDco
CTott  pD  2
2
Esempio
Un commerciante deve decidere la quantità da tenere a scorta
di un certo prodotto a fronte delle seguenti condizioni:
• D (domanda annuale) = 10.000 unità
• Valore unitario del prodotto = 24 euro
• Costo di mantenimento = 30% del valore unitario
• Costo unitario di ordinazione= 50 euro
Giorni lavorativi = 250 giorni all’anno
Calcolare:
• il lotto economico (EOQ)
• L’intervallo ottimo di riordino (TBO-Time between
orders)
• Costi totali.
Risoluzione
Qott 
2co D

cSp
2  50  10000
 372,678
0,30  24
Tott  Qott / D  372,679 / 10000  0,037anni * 250  9,2
D
Q
10000
Ctot  pD  co  cSp  24 *10000  50
 0,3 * 24 * 372,7 / 2  242683
Q
2
372,7
Modello EOQ con sconti quantità
• Tra le ipotesi più restrittive fatte per la
derivazione dell’EOQ c’è quella dell’indipendenza
del prezzo unitario dalla quantità ordinata.
• In realtà infatti in molte situazioni reali ciò non
accade, e si è in presenza spesso di sconti sulle
quantità ordinate (sconti sul prezzo di acquisto
oltre un certo quantitativo).
• Ciò può facilmente accadere quando si devono
considerare eventuali costi di trasporto.
Modello EOQ con sconti quantità
Modello EOQ con sconti quantità
Modello EOQ con sconti quantità
• ∀ Q: CTk(Q) < CTk-1(Q) <… < CT1(Q)
• Se EOQi è ammissibile, allora il costo minimo per
bi-1 ≤ Q < bi si ottiene per Q = EOQi.
• Se EOQi < bi-1, allora il costo minimo per bi-1 ≤ Q <
bi si ottiene per Q = bi-1; se EOQi > bi, allora il
costo minimo per bi-1 ≤ Q < bi si ottiene per Q =bi
• Se EOQi è ammissibile, allora CT(Q) non può
essere minimizzato in corrispondenza di una
quantità Q con prezzo unitario superiore a pi.
Esempio
• Il costo di emissione ordine è pari $49 per
ciascun ordine.
• La domanda annua (D) è 5000 units,
• Il costo unitario di mantenimento è in
percentuale (cs=0.20) del prezzo del
prodotto (p).
• Question: Quale è la quantità da ordinare che
mi minimizza I costi
• Answer:
• Step 1: Compute Q* for every discount range.
Esempio
2co D
2(49)(5000)
Qott1 

 700units / order
cSp
(0,20)5
2co D
2(49)(5000)
Qott 2 

 714units / order
cSp
(0,20)4,8
2co D
2(49)(5000)
Qott 3 

 718units / order
cSp
(0,20)4,75
Esempio
• Step 2: modificare i valorei di Q* che sono al di
fuori dei range ammissibili
• Per Q1 il range ammissibile è 0-999. Q1* = 700
è all’interno del range e non deve essere
modificato.
Esempio
- Per Q2, il range ammissibile è 1000-1999. Q2*
= 714 non è nel range (Q2* non è
ammissibile), quindi modifichiamo il valore
con il più basso valore ammissibile, che è Q2*
= 1000.
- Per Q3, il range è 2000-. Q3* = 718 non è nel
range, quindi modifichiamo il valore con il più
basso valore ammissibile, che è Q3* = 2000.
Esempio
• Step 3: Confrontiamo il costo totale per
ciascuna delle quantità ordinate(Q*)
Esempio
• Step 4: Un ordine di 1000 units minimizzerà il
costo totale.
Modello EOQ con backorders
• introdotto il caso di rottura di stock
• È il caso in cui i clienti sono disposti ad
accettare dilazioni nella consegna dei beni
rispetto alla data richiesta, ma ogni ritardo
nella consegna ha un costo.
• È opportuno modificare il modello per tener
conto dei maggiori costi che occorrono per
evadere un ordine posticipato
Modello EOQ con backorders
La domanda non può essere completamente
soddisfatta dalla merce disponibile in magazzino
• Ammanco (stock out) di merce richiesta ma non
disponibile
• Backorders: la domanda sarà immediatamente
soddisfatta all’arrivo di nuova merce in magazzino
• Si tiene traccia di tutte le richieste di merce
giunte al magazzino e non soddisfatte
• Costo (unitario) di ammanco (cso)
Modello EOQ con backorders
 Viene emesso un ordine di
Q unità quando il livello di
scorta disponibile raggiunge
il lvello di riordino
t1
t2
 Nel momento in cui la
quantità ordinata arriva
viene
ripristinata
la
quantità max presente in
magazzino pari a M;
 Q-M (quantita da evadere
in ritardo) viene inviata con
maggiori costi ai clienti.
Costo di stoccaggio
• Cm = cs *p*M/2*t1= cs *p*M2/2D
Essendo t1 = M/D
Costo di stockout
• perdite dovute all’incapacità di soddisfare la
domanda.
• È proporzionale al tempo tempo di ritardo.
Cso = cso*p*(Q-M)*t2/2 = cso*p*(Q-M)2/2D
Essendo t2=(Q-M)/D
• cso=è il costo di stockout per una unità per un
anno
Ctot
• Il costo totale di un singolo periodo di durata T
risulta essere:
Ctot  pQ  co 
cSpM
2D
2
 cS op
(Q  M )
2D
2
Ctot
• Essendoci in un anno un numero di peridi T
pari a D/Q ne deriva un costo annuo totale
pari a:
Ctot  pD  co
D
Q

cSpM
2Q
2
 cuSO
(Q  M )
2Q
dove cuSO è il costo di stock out per un unità per un anno
2
Qott e Mott
Si determinano i valori ottimi di Q e M derivando
l’espressione del costo totale una volta rispetto a Q e
una volta rispetto a M per poi uguagliare a zero le
espressioni cosi ricavate, ottenendo:
Qott 
2co D
cSp  cu S O

cSp
cu S O
M ott 
2co D
cu S O

cSp
cSp  cu S O
osservazioni
Qott 
2co D
cSp  cu S O

M ott 
cSp
cu S O
2co D
cu S O

cSp
cSp  cu S O
• Facendo tendere il costo di rottura di stock unitario a
infinito, condizione che è verificata per il modello
base, si ottiene l’espressione del lotto economico di
acquisto del modello base.
• È possibile calcolare il valore max di tempo che un
cliente deve attendere come rapporto tra (Q-M) e D,
in questo modo è possibile valutare se tale ritardo è
accettabile.
Lotto economico di produzione
EPQ (o EMQ)
• Si considera che gli ordini possono essere ricevuti
gradualmente in un determinato periodo di
tempo.
l’approvigionamento
immediatamente.
per
l’ordine
non
arriva
Ciò avviene quando:
1. gli ordini vengono consegnati come flussi
continui in un determinato periodo di tempo.
2. le unità in scorta sono prodotte dall’azienda.
• Nel modello EPQ si considera che occorre un
certo tempo per produrre le quantità
richieste.
Quindi
• rp è il tasso di produzione ed
• rc è il tasso di consumo,
(espressi in quantità per unità di tempo).
• tp è la lunghezza del periodo di produzione in
giorni
EPQ - Ipotesi di base
• rp > rc : in caso contrario la produzione non
sarebbe sufficiente a soddisfare la domanda;
• La produzione continua per tutto il periodo tp,
dopodiché le scorte decrescono in base al
tasso di domanda;
• Quando le scorte raggiungono il livello 0 si
riprende la produzione.
PRODUCTION ORDER QUANTITY
Livello delle scorte nel tempo
rp > rc
rp = 0
rc ≠ 0
Inventory
Q1
tp
tc
Q/ rp
Q/ rc
Q è la quantità di prodotto da realizzare
rp è il tasso di produzione
rc è il tasso di consumo
tp è il tempo in cui sarà prodotta la quantità Q di prodotto da realizzare
Time
Costo di produzione e di set up
• Costi fissi di produzione= p*D
• Costi di set up (ordinazione) = csu * D/Q
(costo unitario di set up per il numero di set up
nell’intervallo di tempo)
Costo di mantenimento
Valore massimo della scorta Q1
• Durante il periodo di produzione si ha anche
consumo, quindi le scorte aumentano in ragione della
differenza dei tassi di produzione e di consumo per
cui si ottiene un valore massimo della scorta pari a:
• Q1 = (rp – rc)*tp= (rp – rc)*Q/ rp
Scorta media
rp  rc Q
Cm  cs  p 

rp
2
Costo totale
D
rp  rc Q
Ctot  p  D  csu   cs  p 

Q
rp
2
Dove:
p è il costo da imputare alla produzione di un
singolo prodotto
csu è il costo unitario di set up
Q è la quantità di prodotto da produrre
D è la domanda annua
Qott
• Per determinare la dimensione ottima del lotto
da produrre si dovrà derivare la funzione Ctot
rispetto a Q e porre la derivata uguale a zero.
dCtot (Q) = 0
Qott 
2csu Dr p
cSp ( rp  rc )
osservazione
Qott 
2csu Dr p
cSp ( rp  rc )
• Al tendere di rp a infinito, limite teorico che
equivale alla condizione di produzione
immediata di ogni quantità ordinata
(prodotta), si ricade nel EOQ.
• La durata ottima del lancio di produzione
risulta essere: Qott/rp
EPQ con backorders
• Anche nel caso di lotto economico di produzione
il modello può essere modificato per tenere
conto della possibilità di andare in rottura di
stock.
Qott 
2csu Dr p
cSp  cuSO

cSp (rp  rc )
cuSO
“Make or Buy”
• Dal confronto tra lotto economico di acquisto
e lotto economico di produzione è possibile
ottenere informazioni in merito alla
convenienza tra produrre internamente o
decidere di far eseguire a terzi la produzione di
uno o più beni.
Esercizio
Il responsabile di un impianto di imbottigliamento deve
decidere la dimensione dei lotti da lanciare in
produzione per ciascun tipo di bevanda.
Dati:
• La domanda è di 80000 bottiglie al mese
• In ogni mese sono disponibili 160 ore di produzione.
• La linea di imbottigliamento ha un ritmo di 3000
bottiglie/ora
• Il costo di ogni set-up è pari a 100 €
• Il costo di mantenimento unitario (per ogni bottiglia è
pari a 0,1 €/mese.
Risoluzione
D=80000 bottiglie/mese
rc= 80000 /160= 500 bott/ora
2csu Dr p
Qott 

cSp (rp  rc )
2 *100 * 80000 * 3000
 13856
0,1(3000  500)