GEOMETRIA DESCRITTIVA DINAMICA
Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge
Con questo learning object si vuole studiare e definire la legge geometricodescrittiva relativa alla condizione di parallelismo tra elementi geometrici aventi
le stesse caratteristiche .
Si indaga quindi il rapporto relativo al
parallelismo tra rette
L’indagine affronta sia la procedura deduttiva sia la procedura impositiva.
Al termine dell’analisi si definisce un quadro sintetico di riferimento che
comprende sia gli aspetti teorici che quelli grafici che quelli concettuali.
La presentazione si conclude con alcune esemplificazioni grafiche corredate della
relativa spiegazione, con lo sviluppo grafico di alcuni esercizi e la proposta di temi
scritti da volgere e sviluppare in forma di elaborati grafici.
La presentazione si chiude con la creazione di una griglia di valutazione per gli
elaborati grafici che prende in esame i tre momenti del processo rappresentativo:
conoscenza, competenza e capacità.
Per approfondimenti consultare il sito
http://www.webalice.it/eliofragassi
GEOMETRIA DESCRITTIVA DINAMICA
Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge
PARALLELISMO TRA
ELEMENTI UGUALI
PARALLELISMO TRA RETTE
Il disegno è stato eseguito nell’a. s. 2008/2009
Da Di Blasio Giada della classe 3°C
del Liceo artistico “G. Misticoni” di Pescara
per la materia :“Discipline grafico-geometriche”
Insegnante: Prof. Elio Fragassi
La revisione delle formalizzazioni è stata curata dalla
dott.ssa Gabriella Mostacci
Il materiale può essere riprodotto citando la fonte
Autore
Prof. Elio Fragassi
PARALLELISMO TRA RETTE
INDAGINE ESPLICATIVA O DEDUTTIVA (1)
Cominciamo l’analisi sul parallelismo iniziando con
l’ “ INDAGINE ESPLICATIVA O DEDUTTIVA ”
Possiamo, allora, avere un caso come quello
graficizzato nell’immagine di sopra (Fig. 01)
In questa circostanza, considerando
le rispettive proiezioni
delle due rette accade che:
Ricordando gli specifici elementi
geometrico descrittivi, come caratterizzati
nella tabella riassuntiva della presentazione
n° 1, ed escludendo il punto, quindi anche le
"tracce" della retta -per quanto detto nella
presentazione n°1-, resta stabilito che per
definire il parallelismo tra due o più rette
necessita definire lo specifico rapporto
descrittivo concreto tra le "proiezioni“
delle rette, che geometricamente si
caratterizzano come "rette“.
s’  r’  P’
s”  r”  P”
ed anche
Stante questo rapporto, definito, concreto,costante e continuo tra gli stessi
elementi rappresentativi della retta r e della retta s, si può dedurre che le
due rette reali, collocate nello spazio fisico, sono anch'esse parallele.
PARALLELISMO TRA RETTE
INDAGINE ESPLICATIVA O DEDUTTIVA(2)
La
formalizzazione
esplicativa può
essere così
espressa:
r’ // s’
P’

P
r’’ // s’’
P’’

r // s

Mentre e' possibile enunciare la seguente definizione geometrico-descrittiva:
Se le omonime proiezioni di due rette distinte sono parallele, allora, e
solo allora, possiamo asserire che tali sono le rette reali
Ampliando la definizione con il concetto del punto improprio si ha la seguente
forma sintetica:
r  s  P
r//s
che possiamo enunciare nel modo seguente
Se le intersezioni delle omonime proiezioni di due rette distinte
determinano le proiezioni di un punto improprio, allora, e solo allora,
possiamo asserire che le due rette reali sono parallele
PARALLELISMO TRA RETTE
Procedura applicativa o impositiva (1)
Se la condizione geometrica deve essere imposta tra due o più rette, è necessario operare,
nel corso dell’elaborazione, in modo tale che si verifichino le graficizzazioni di cui si è
discusso prima. Pertanto, volendo costruire due rette parallele è necessario imporre che le
omonime proiezioni siano tali. Avremo quindi, con riferimento ai caratteri geometrici, la
seguente definizione:
Perché due, o più rette, siano parallele tra loro è necessario che
tali siano le rispettive omonime proiezioni
Ampliando la ricerca con il concetto di punto improprio è necessario fare sì che le loro
intersezioni determinino le proiezioni di un punto improprio. Conseguentemente possiamo
esprimere la seguente formalizzazione impositiva o applicativa:
r’ s’
P’
r'
  R' 
 

dove
s'
 


r // s
r s
P
r''
r" s”
 S' 
P"
 


dove
s''
 


 R''
 S''
PARALLELISMO TRA RETTE
Procedura applicativa o impositiva (2)
dove gli elementi R ed
S delle sommatorie individuano i punti dinamici che
muovendosi secondo una direzione assegnata generano le rette reali r ed s
La definizione verbale può essere sintetizzata ed espressa nel modo
seguente:
Perché due rette siano parallele è necessario che le
rispettive intersezioni delle due proiezioni determinino le
proiezioni di un punto improprio
Che, sinteticamente, in forma insiemistico-descrittiva può essere espressa
nel modo seguente:
r // s  [(r’ s’)  P’; (r” s”)  P’’]
PARALLELISMO TRA RETTE
Quadro sintetico della condizione di parallelismo tra due rette
Definizione
geometrica
elemento
rapprsentativo
T1r
1a traccia
Punto
Reale
T2r 2a traccia
Punto
Reale
r’
1a proiezione o
1a immagine Retta
Virtuale
r’’
2a proiezione o
Retta
2a immagine
Virtuale
Retta
T1s
s
Definizione fisica
dell'elemento
rapprsentativo
Nomenclatura
dell'elemento
rappresentativo
Didascalia elemento
r
Didascalia elemento
rappresentativo
Retta
Elemento geometrico
CARATTERISTICHE DEGLI ELEMENTI GEOMETRICI
1a traccia
T2s 2a traccia
Punto
Reale
Punto
Reale
s’
1a proiezione o
Retta
1a immagine
Virtuale
s’’
2a proiezione o
2a immagine Retta
Virtuale
PARALLELISMO TRA DUE RETTE
Definizione grafica degli elementi
geometrici
Relazione insiemistica sintetica
delle leggi del parallelismo tra
rette
Formalizzazione esplicativa
r'//s'
r//s
P
r"//s"
Formalizzazione applicativa
r' s'
r//s
P'
P
r" s"
P"
PARALLELISMO TRA RETTE
Esemplificazioni grafiche in forma esplicativa o deduttiva (1)
Seguono alcune esemplificazioni
grafiche relative all’aspetto
esplicativo del parallelismo tra
rette diverse per tipologia e
variamente collocate nello
spazio dei diedri
Dato
Spiegazione
Data la
seguente
formalizzazione
esplicativa
risolvere i
quesiti a lato
r’ // s’  P’
P
r’’ // s’’  P’’
Risultato
Poiché le estensioni di (a’, b’) e (a”, b”)
generano rispettivamente P ’ , P ” si
deduce che le due rette sono parallele
perché la loro intersezione genera il punto
improprio P
PARALLELISMO TRA RETTE
Esemplificazioni grafiche in forma esplicativa o deduttiva (2)
Dato
Risultato
P’
Spiegazione
Le estensioni delle proiezioni generano
due punti (P’ = a’  b’) e P” = a”  b”)
reali.
Poiché i due punti non stanno sulla
stessa retta di richiamo significa che
non sono le proiezioni di un punto ma
due punti reali e distinti.
Si deduce, pertanto, che le due rette
non sono parallele perché i punti
determinati sono reali e non impropri.
P”
PARALLELISMO TRA RETTE
Esemplificazioni grafiche in forma esplicativa o deduttiva (3)
Dato
Spiegazione
Risultato
Le proiezioni a’ e b’ delle due rette orizzontali
nel quarto diedro essendo parallele si

intersecano nel punto P’ . Le proiezioni a” e
b”, essendo coincidenti, non specificano alcun
rapporto di parallelismo.
Mancando la possibilità di identificare
l’intersezione di a” e b” non è chiaro se le due
proiezioni determinano un punto reale o un punto
impropio. In questo caso ci si affida solo alle
prime proiezioni per cui essendo P’ improprio si
deduce che le due rette sono parallele.
PARALLELISMO TRA RETTE
Esemplificazioni grafiche in forma esplicativa o deduttiva (4)
Dato
Risultato
P”
P’
Spiegazione
Anche se le proiezioni delle due rette si
presentano graficamente parallele, le
estensioni delle proiezioni generano due punti
reali (P’ = a’  b’) e P” = a”  b”).
Poiché i due punti non stanno sulla stessa retta
di richiamo significa che non sono le proiezioni
di un punto ma due punti reali e distinti.
Si deduce, pertanto, che le due rette non sono
parallele perché i punti determinati sono reali
e non impropri.
PARALLELISMO TRA RETTE
Esemplificazioni grafiche in forma applicativa o impositiva (1)
Seguono alcune esemplificazioni
grafiche relative all’aspetto
applicativo del parallelismo tra
rette diverse per tipologia e
variamente collocate nello
spazio dei diedri
Data la
seguente
formalizzazione
esplicativa
risolvere i
quesiti a lato
r’//s’  P’ 
r//s
r”//s’’ P” 
Dato
Risultato
b”
T1b
T2b
b’
Spiegazione
Data la collocazione del punto A(A’; A”) mentre (b’// a’) sono due proiezioni
distinte, (b”//a”) sono due proiezioni oltre che parallele anche coincidenti.
Si è completata la definizione della retta b -retta generica nel quarto
diedro- anche con la definizione delle due tracce T1b e T2b.
PARALLELISMO TRA RETTE
Esemplificazioni grafiche in forma applicativa o impositiva (2)
Dato
Risultato
c’  c”
T1c T2c
Considerando la collocazione e la
tipologia del punto B (B’  B”) e le
proiezioni della retta b (b’; b”), le
proiezioni della retta c//b (c’//b’;
c”//b”) si caratterizzano come due
Spiegazione rette coincidenti passanti per il
punto B (B’  B”) con le tracce
coincidenti sulla lt.
La retta c//b è, quindi, una retta
generica incidente la lt.
PARALLELISMO TRA RETTE
Esemplificazioni grafiche in forma applicativa o impositiva (3)
Dato
Risultato
T1x
x’
T2y
Y”
y’
x”
T2x
T1y
Spiegazione
Definite le proiezioni della retta y (y’; y”)
passante per i due punti A(A’; A”) e B(B’; B”) si
determinano le tracce che, analizzate, individuano
y come una retta generica nel primo diedro.
Applicando le condizioni di appartenenza e di
parallelismo si conducono per C’ e C” due
proiezioni della retta x tali che siano (x’//y’) e
(x”//y”).
La retta risultante è una retta generica nel terzo
diedro come esplicitano le posizioni spaziali delle
relative tracce T1x e T2x.
PARALLELISMO TRA RETTE
Esemplificazioni grafiche in forma applicativa o impositiva (4)
Dato
Risultato
T1n
T1m
n’
T2m
m’ m”
n”
T2n
La particolare tipologia dei punti X(X’X”) e Y(Y’  Y”)
determina una retta avente le proiezioni coincidenti
tale che m(m’m”). La rappresentazione di m si
completa con le due tracce T1m e T2m coincidenti
sulla lt.
Spiegazione
Applicando le condizioni di appartenenza e di
parallelismo si conducono per A’ e A” due proiezioni
della retta n tali che siano (n’//m’) e (n”//m”).
La retta risultante è una retta generica nel terzo
diedro.
PARALLELISMO TRA RETTE
Proposte di temi grafici sulla condizione di parallelismo tra rette (1)
Esercizio
Risoluzione
T2r
T2s
s”
r”
B”
s’
A’
r’
T1s
T1r

T1 r
r’
r”
T2 r
PARALLELISMO TRA RETTE
Proposte di temi grafici sulla condizione di parallelismo tra rette (2)
Esercizio
Risoluzione

T2 r
r”
s’
T1r
r’
s”

T2 s
T2r
r”
s’ s”
T1s  T2s
r’
T1r
T1s
PARALLELISMO TRA RETTE
Proposte di temi grafici sulla condizione di parallelismo tra rette (3)
Esercizio
Risoluzione
s”
s’

T1s
s”
T2r
T1r
T2s
s’
T1s
PARALLELISMO TRA RETTE
Proposte di temi grafici sulla condizione di parallelismo tra rette (4)
Esercizio
Risoluzione
s”
T2s
s’

T1s
T1s
s’
T1r
r’
r”
T2r
s”
T2s
PARALLELISMO TRA RETTE
Temi scritti da volgere in forma di elaborati grafici
1.
Dati i punti A(A'=4; A"=3), B(B'=6; B"=1), C(C'=1;C"=5) definire e rappresentare la retta
x(A,B) quindi la retta (yC)//x.
2. Dati i punti X(X'=1;X"=2), Y(Y'=-2;Y"=4), Z(Z'=-3;Z"=-5), W(W'=2;W"=-1) definire e
rappresentare quattro rette a//b//c//d ciascuna contenente un punto di quelli assegnati.
3. Dati la seguente retta a(T1a=4; T2a=1) ed il seguente punto A(A'=1;A"=4) definire e
rappresentare una retta (bA)// a.
4. Dati i punti D(D'=-3; D"=6), E(E'=6; E"=-3) definire e rappresentare la retta a(D,E),
quindi, a scelta dell'allievo una qualsiasi retta b che sia b//a.
1. Data la retta r(T1r=3; T2r=8) definire e rappresentare una retta s collocata nel secondo
diedro tale che sia s//r.
2. Data la retta a(T1a=3;T2a=7) e la retta b(T1b=-3), completare la rappresentazione della
retta b facendo in modo che sia b//a.
3. Dati la retta a(T1a=0; T2a=0) ed un punto B(B'=-4; B"=-6)a, definire e rappresentare una
retta b//a contenente il punto A(A'=6; A"=4).
4. Dati la retta r(T1r=-3;T2r=5) ed il punto A(A'=-6;A"=6), definire e rappresentare la retta
(sA)//r
1. Definire e rappresentare le seguenti rette [(a//b//c)1+2+] W I D
2. Definire e rappresentare le seguenti rette [(d//e//f)1-//2+] W II D
3. Definire e rappresentare le seguenti rette [(g//h//i)//1-2-] W III D
4. Definire e rappresentare le seguenti rette [(l//m//n)1+2-] IV D
PARALLELISMO TRA RETTE
Si riporta, di seguito, una griglia utilizzata per la valutazione sia test che delle esercitazioni grafiche
sviluppate sotto forma di elaborati. Si considerano tre parametri fondamentali:
1)Conoscenze teoriche
2)Capacità logiche
3)Competenze grafiche
VALUTAZIONE DELLE ESERCITAZIONI GRAFICHE
Ogni elaborato è costituito da quattro esercizi che vengono, singolarmente, valutati secondo la seguente griglia
Test
Eserc.
1
2
Elementi della valutazione
Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi)
0,00 0,50 1,00
Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)
Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.)
Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi)
0,00 0,50 1,00
0,00 0,50 1,00
Capacità logiche
0,00 0,50 1,00
(Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)
Competenze grafiche
3
(Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.)
Capacità logiche
0,00 0,50 1,00
(Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.)
0,00 0,50 1,00
Capacità logiche
0,00 0,50 1,00
Competenze grafiche
(Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.)
PUNTEGGIO TOTALE
2,50
2,50
0,00 0,25 0,50
Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi)
(Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)
2,50
0,00 0,25 0,50
0,00 0,50 1,00
(Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)
Punti
0,00 0,25 0,50
Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi)
Competenze grafiche
4
Valutazioni
2,50
0,00 0,25 0,50
10,00
Per maggiore completezza ed approfondimento degli argomenti si può
consultare il seguente sito
http://www.webalice.it/eliofragassi