Crisi dei fondamenti
La nascita delle geometrie
non-euclidee
Il metodo assiomatico classico
Proposizioni
primitive
Nozioni comuni
Termini
(il tutto > della parte)
(angolo ottuso>di uno retto)
(punto non ha parti)
Postulati
Postulati 1-4
• Si può condurre una ed una sola retta da un qualsiasi
punto ad ogni altro punto
• Una retta finita si può prolungare continuamente in linea
retta
• Si può descrivere un cerchio con qualsiasi centro ed
ogni raggio
• Tutti gli angoli retti sono uguali fra loro
Il V postulato
• Se una retta, venendo a cadere su due rette, forma gli
angoli interni e dalla stessa parte minori di due retti,
allora le due rette prolungate illimitatamente vengono ad
incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli minori di
due retti
Le “anomalie” del V postulato
• Il V postulato è utilizzato molto avanti nel
testo
• La proposizione inversa è un teorema
• Con il V postulato le proposizioni 16 e 17
diventano superflue
Analisi della “anomalie”
• Proposizione 16: in un triangolo, se si prolunga uno dei
lati, l’angolo esterno è maggiore di ciascun dei due
angoli interni ed opposti
• Proposizione 17: in ogni triangolo la somma di due
angoli, comunque presi, è minore di due retti (oppure: se
due rette r ed s, tagliate dalla trasversale t, si incontrano,
allora la somma degli angoli che formano con t dalla
parte del punto di intersezione è minore di due retti =
= inverso del V postulato)
• In genere, quando valgono sia una proposizione che la
sua inversa, si riesce a dimostrare entrambe partendo
dalle stesse premesse
• Proposizione 27: se due rette r ed s formano con una
trasversale t due angoli coniugati interni la cui somma è
due retti, allora r ed s sono parallele
• Proposizione 29: se r ed s sono parallele, allora formano
con una trasversale t angoli coniugati interni uguali
(interviene il V postulato)
• Proposizione 32: in ogni triangolo, se si prolunga uno dei
lati, l’angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli
interni ed opposti, e la somma dei tre angoli interni è
uguale a due retti (interviene la proposizione 29)
La terza anomalia
• Con la proposizione 32 le proposizioni 16
e 17 diventano superflue
Tentativi di dimostrare
il V postulato
• Unicità della parallela: per un punto esterno ad
una data retta passa al più una retta che non
incontra la retta data
• Postulato dell’obliqua: una perpendicolare ed
un’obliqua ad una stessa retta si incontrano
dalla parte in cui l’obliqua forma con la retta un
angolo acuto
Teoremi derivati dal V postulato
• La somma degli angoli interni dei poligoni
• La similitudine fra triangoli
• Il teorema di Pitagora e il suo inverso
L’opera di Saccheri
• Ipotesi dell’angolo acuto (C=D<retto)
• Ipotesi dell’angolo retto (C=D=retto)
• Ipotesi dell’angolo ottuso (C=D>retto)
La confutazione dell’ipotesi
dell’angolo ottuso
• Saccheri dimostra che nell’ipotesi
dell’angolo ottuso e in quella dell’angolo
retto vale il postulato dell’obliqua
• Ipotesi dell’angolo ottuso => postulato
dell’obliqua => V postulato => ipotesi
dell’angolo retto
• L’ipotesi dell’angolo ottuso distrugge sé
stessa
Presunta confutazione dell’ipotesi
dell’angolo acuto
• Per un punto esterno ad una retta data
passano infinite rette che non intersecano
la retta data
• L’ipotesi dell’angolo acuto è falsa perché
ripugna alla natura della linea retta
Geometria iperbolica
• Per un punto P esterno ad una retta data passano due
rette che incontrano la retta data ad una distanza infinita
senza intersecarla (rette parallele)
• Esistono infinite rette comprese fra quelle parallele che
non incontrano la retta data (rette iperparallele)
La geometria euclidea è
un’approssimazione
• Le retta parallele formano con AB due angoli acuti
uguali, detti angoli di parallelismo
• Si può dimostrare che l’ampiezza dell’angolo è
funzionale alla lunghezza di AB e viceversa
• Se AB tende a 0 l’angolo tende all’angolo retto
• In zone “piccole” del piano iperbolico vale la geometria
euclidea
Triangoli iperbolici
• I lati sono determinati dagli angoli
• La somma degli angoli interni è minore di due retti e
varia da triangolo a triangolo
• A=K(2R-S) è determinata dagli angoli quindi è
superiormente limitata Amax=k 2R
Modello di Klein
• Si dimostra la coerenza della nuova
geometria
Modello di Poincaré
• Si elimina il difetto grafico
Geometria sferica (ellittica)
• Corrisponde all’ipotesi dell’angolo ottuso!
Come si può accettare l’ipotesi
dell’angolo ottuso?
• Per un punto esterno ad una retta data non passano
rette parallele alla retta data
• Se viene negato solo il V postulato si crea una
geometria contraddittoria
• Quindi per due punti passano almeno due rette (polo
nord e polo sud)
• Le rette non hanno lunghezza infinita
• Modificando il primo e il secondo postulato si può
costruire una geometria non contraddittoria
Particolarità della geometria
sferica
• La somma degli angoli interni di ogni triangolo è
maggiore di due retti
• Tutte le rette hanno la stessa lunghezza finita
• Tutte le perpendicolari ad una stessa retta si incontrano
in due punti
• In zone piccole della geometria sferica valgono le leggi
di Euclide
• La misura dei segmenti è determinata dagli angoli al
centro della circonferenza
Il metodo assiomatico moderno
• Distinzione fra sintassi e semantica
• È un procedimento ipotetico-deduttivo
• Necessita solo di correttezza formale, non di applicabilità
nel mondo materiale
• I postulati non sono veri “di per sé” ma solo nell’ambito
della teoria
• Ogni teoria, coerente e formalmente corretta, viene
accettata
Qual è la geometria vera?
• Poincaré: questa domanda non ha senso. E’ come
chiedersi se è vero l’ordinamento delle coordinate
cartesiano o l’ordinamento di quelle geografiche. Non
esistono geometrie vere o false, ma solo più comode o
meno comode
• Sono più comode le geometrie non-euclidee per
descrivere fenomeni fisici della relatività di Einstein
• Per lo studio del nostro sistema di riferimento è più
comoda quella euclidea
• Comunque si giungerebbe alle stesse conclusioni
La seconda rivoluzione scientifica
• Lo spazio come lo percepiamo noi non è
più assoluto, come pensavano Euclide,
Newton e Kant, ma varia da regione a
regione dell’universo