CLASSE QUARTA
GRAFICO DI UNA FUNZIONE
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DEFINIZIONE DI GRAFICO
SIMMETRIE
GRAFICI DI FUNZIONI ELEMENTARI
Prerequisiti :
- piano cartesiano
- potenze
- logaritmi
DEFINIZIONE DI GRAFICO
Data la funzione
y = x2 - x
definita
in R a valori in R, calcolando le immagini di alcuni elementi del dominio
otteniamo la tabella:
ESEMPIO INTRODUTTIVO:
x
y
1
2
3
0
-1
-2
-3
0
2
6
0
2
6
12
.
?
Consideriamo le
coppie x , y
come punti e
rappresentiamoli
su un piano
cartesiano
.
.
.
.
..
Considerando tutti gli elementi del domino e le loro immagini si ha un
insieme infinito di punti che costituiranno il GRAFICO della funzione
GRAFICO DI UNA FUNZIONE 1/ 8
Definizione 1 ( grafico di una funzione)
Data una funzione definita nell’insieme A a valori in B , si dice grafico della
funzione l’insieme dei punti del piano cartesiano del tipo ( x , f(x) )
ottenuti per tutti gli elementi x appartenenti al dominio A.
Osservazione 1
Nel grafico di una funzione non può mai accadere che due punti abbiano la
stessa ascissa poiché per definizione di funzione (vedi def.1 lezione funzioni)
l’immagine di ogni elemento x del dominio deve essere unica .
y2
.
.
y1
.
y3
y
.
x
Può essere il grafico
di una funzione
x
NON può essere il
grafico di una funzione
.
.
.
x
NON può essere il
grafico di una funzione
Graficamente quindi ogni retta parellela all’asse y può incontrare il
grafico di una funzione al massimo in un punto
GRAFICO DI UNA FUNZIONE 2/ 8
SIMMETRIE NEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE
ESEMPI
y
y
y
Questi grafici di
funzione sono
simmetrici
rispetto all’asse y
x
y
x
y
y
x
x
x
x
Questi grafici di
funzione sono
simmetrici
rispetto
all’origine degli
assi
GRAFICO DI UNA FUNZIONE 3/ 8
Definizione 2 ( funzione pari, funzione dispari )
Data una funzione f definita in un insieme A simmetrico rispetto allo 0
(cioè tale che se x  A allora anche -x A per ogni x di A) se risulta :
f(-x) = f(x) ,
 x A
allora la funzione si dirà PARI (ed il suo grafico risulterà
simmetrico rispetto all’asse y)
f(-x) = -f(x) ,  x A
allora la funzione si dirà DISPARI (ed il suo grafico risulterà
simmetrico rispetto all’origine degli assi)
esempi
Osservazione 2
Se una funzione è pari o dispari e conosciamo il suo andamento per x [0 , + [
allora possiamo dedurre il suo andamento per x ]- , 0[
Infatti, quando f è pari,
se il punto P( x0, y0)
appartiene al grafico
allora vi appartiene
anche il punto
P’(-x0, y0)
P’
.
-x0
y0
.P
x0
Quando f è dispari, se il
punto P( x0, y0)
-x0
appartiene al grafico
allora vi appartiene
anche il punto
P’(-x0, - y0)
P’
.
.P
y0
x0
-y0
GRAFICO DI UNA FUNZIONE 4/ 8
GRAFICI DI FUNZIONI ELEMENTARI
y
FUNZIONE COSTANTE
y=k
k
Dominio: R
Codominio: { k }
O
Grafico: retta parallela all’asse x di equazione y = k
FUNZIONE LINEARE (RETTA)
x
y=ax+b
Dominio: R
Codominio: R
y
y
a>0
a<0
Grafico: retta di coefficiente
angolare a ,
inclinata verso l’alto se a > 0,
verso il basso se a < 0
O
x
O
x
GRAFICO DI UNA FUNZIONE 5/ 8
FUNZIONE QUADRATICA (PARABOLA)
y = a x2 + b x + c
y
Dominio: R
Grafico: parabola con asse di simmetria parallelo
all’asse y , concavità verso l’alto se a > 0, verso il
basso se a < 0
a>0
a<0
O
FUNZIONE DI PROPORZIONALITA’ INVERSA
Dominio:
R– { 0 }
k
y=
x
(ovvero x  0)
Codominio: R – { 0 }
y
y
Simmetrie: funzione dispari
Grafico: se k > 0 il grafico è nel primo
e nel terzo quadrante, mentre se k < 0
il grafico si trova nel secondo e nel
quarto quadrante
(in entrambi i casi il grafico è una
iperbole equilatera riferita agli asintoti)
x
k>0
O
k<0
x
O
GRAFICO DI UNA FUNZIONE 6/ 8
x
FUNZIONE ESPONENZIALE
y=ax
Dominio: R
Codominio:
con a > 0 , a 1
y
] 0, + [
Grafico: si trova sempre al di
sopra dell’asse x ed interseca
l’asse y nel punto (0,1).
Se a > 1
quando x tende a + 
anche y tende a +  ;
quando x tende a - 
y tende a 0
y=ax
(a > 1)
1
.
O
x
y
y=ax
Se 0 < a < 1
quando x tende a + 
y tende a 0 ;
quando x tende a - 
y tende a + 
(0 < a < 1)
.1
O
x
GRAFICO DI UNA FUNZIONE 7/ 8
FUNZIONE LOGARITMICA
Dominio: ] 0, + [
con a > 0 , a 1
y = loga x
y
Codominio: R
Grafico: si trova sempre a
destra dell’asse y ed interseca
l’asse x nel punto (1,0).
Se a > 1
quando x tende a + 
anche y tende a +  ;
quando x tende a 0
y tende a - 
Se 0 < a < 1
quando x tende a + 
y tende a -  ;
quando x tende a 0
y tende a + 
y = loga x
O
.1
(a > 1)
x
y
y = loga x
O
.1
(0 < a < 1)
x
GRAFICO DI UNA FUNZIONE 8 /8