LA RETTA
• Forma generale dell’equazione della retta:
• ax+by+c=0
• Dove :
a  yB  y A
b  xA  xB
c  yA xB  xA yB
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LA RETTA
• Forma esplicita dell’equazione della retta:
• È possibile dividere entrambi i membri dell’equazione
generale della retta per b se
• b  x A  xB  0
• ovvero se xA  xB
• ovvero se la retta non è verticale!
a
c
y x
• Il risultato che si ottiene è:
b
a
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LA RETTA
• Ponendo:
a
m
b
c
q
b
• Si ottiene:
y=mx+q
• Chiamata equazione esplicita della retta.
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LA RETTA
• Il punto Q di intersezione della retta con l’asse delle ordinate
(la sua esistenza è garantita dall’ipotesi che la retta non è
verticale!) ha ascissa 0 e ordinata q.
Infatti : se x=0
allora y=m 0 + q =q
q prende il nome di intercetta sull’asse y.
• Il coefficiente di x viene denominato coefficiente angolare e
risulta uguale al valore della tangente trigonometrica
dell’angolo che la retta forma con il verso positivo dell’asse x.
a
y B  y A y B  y A CB
m 


 tan 
b
x A  xB xB  x A AC
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LA RETTA
• Si consideri un’impresa che presenta costi fissi pari a C f
• e costi variabili unitari costanti pari a Cvu . La funzione
dei costi totali assume la forma:
CT  Cvu x  C f
•
y= mx+q
• Avendo indicato i costi totali con y, i costi fissi con q e i
costi variabili unitari con m.
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LA RETTA
• Se il prezzo unitario di vendita del prodotto è costante e
pari a pu allora la funzione dei ricavi totali si scrive :
RT  pu x
y = mx
Come si può notare l’intercetta sull’asse y è nulla. In effetti
se non si vende nulla non si ricava nulla!
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LA RETTA
• La funzione dei guadagni totali è definita come la differenza tra i ricavi
totali e i costi totali:
GT  RT  CT  ( pu  Cvu ) x  C f
•
Il punto E, intersezione tra la retta dei costi e la retta dei ricavi, viene
chiamato punto di pareggio o break even point (BEP)
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LA RETTA
• Esempio 3.1 – Si consideri un’impresa che produce
casseforti da muro. I costi fissi ammontano a 20.000€,
mentre i costi variabili unitari (materie prime, mano
d’opera) per produrre una cassaforte sono pari a 50€. Il
prezzo al quale una cassaforte è venduta è fissato in 160€.
CT  50 x  20.000
RT  160 x
•
GT  110 x  20.000
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LA RETTA
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LA RETTA
• Le 3 proprietà del coefficiente angolare.
• P1) Se il coefficiente angolare mr della retta r è positivo la
retta è crescente; se mr è negativo la retta è decrescente; se
mr è zero la retta è orizzontale.
• P2) Se il coefficiente angolare mr della retta r è maggiore
del coefficiente angolare ms della retta s, allora la retta r
cresce più rapidamente della retta s.
• P3) Il coefficiente angolare indica la variazione che subisce
l’ordinata di un punto mobile sulla retta quando si aumenta
di 1 unità l’ascissa.
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LA RETTA
P1) Se il coefficiente angolare mr della retta r è positivo la
retta è crescente; se mr è negativo la retta è decrescente; se
mr è zero la retta è orizzontale.
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LA RETTA
• P2) Se il coefficiente angolare mr della retta r è maggiore
del coefficiente angolare ms della retta s, allora la retta r
cresce più rapidamente della retta s.
ms  tan  s
mr  tan  r
r  s
r  s
x
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LA RETTA
P3) Il coefficiente angolare indica la variazione che subisce
l’ordinata di un punto mobile sulla retta quando si aumenta
di 1 unità l’ascissa.
a
yB  y A
m





Infatti :
b
x A  xB
Se si considera:
allora :
yB  y A
xB  x A
xB  xA  1
m  yB  y A
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LA RETTA
• Le rette sono crescenti perché i coefficienti angolari
(rispettivamente 50; 160; 110) sono >0.
• Il coefficiente angolare della retta dei ricavi totali (=160) è
maggiore del coefficiente angolare della retta dei costi
totali (=50) per cui, anche se in corrispondenza di x=0 i
costi sono maggiori dei ricavi, per la proprietà 2 i ricavi
raggiungono i costi ( in x= 181,82) e poi li superano.
• Se si considera una produzione di x= 200 unità
• i costi totali sono pari a 30.000€
• I ricavi totali sono pari a 32.000€
• I guadagni totali sono pari a 2.000€
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LA RETTA
• Se si aumenta di 1 il numero delle unità prodotte ( ovvero
da 200 si passa a 201) allora le funzioni di costo, ricavi e
profitti assumono i valori:
• Costi totali 30.050
• Ricavi totali 32.160
• Guadagni totali 2.110
• L’aumento in ogni funzione è pari al valore del rispettivo
coefficiente angolare (=50; =160; =110).
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LA RETTA
• Rette parallele e perpendicolari
• Parallele se
mr  ms
• Perpendicolari se
1
mr  
ms
• In quest’ultimo caso si ha:  r   s  90
• In corrispondenza si ha:
1
sin  r  sin  s  90  cos  s
tan  r  
tan  s
cos  r  cos s  90   sin  s
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LA RETTA
• Intersezione tra due rette
• Sia:
CT  10 x  200
RT  20 x
• Il punto di pareggio (che esiste per la proprietà 2 dei c.a.)
si ottiene risolvendo il sistema
 y  10 x  200

 y  20 x
• La soluzione è data dalla coppia (x=20, y=400)
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