TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
t
Se una curva ha
andamento
crescente la retta
tangente in un suo
punto è diretta dal
terzo al primo
quadrante, quindi
ha coefficiente
angolare positivo
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
t
Poiché il coefficiente
angolare è la
derivata della
funzione, allora ne
potremmo
concludere che:
se una funzione è
crescente la sua
derivata è positiva
mt  f ' ( xo )
Xo
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
Ciò non è sempre
vero, però: la
funzione int(x) è
crescente su tutto il
dominio ma ha
derivata nulla,
essendo a tratti
costante
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
Viceversa la
funzione fraz(x) ha
derivata sempre
uguale a 1 ma non
è crescente su tutto
il dominio, essendo
periodica
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
Se si aggiunge l’ipotesi che f sia
derivabile in un dato intervallo I,
allora:
• se la funzione è crescente in I
allora la derivata è maggiore o
uguale a zero in tale intervallo
• se la funzione è decrescente in I
allora la derivata è minore o uguale a
zero in tale intervallo
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
Viceversa:
• se la derivata è maggiore di zero in
I allora la funzione è crescente in I
• se la derivata è minore di zero in I
allora la funzione è decrescente in I
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
Sia f crescente in I, Xo
un punto di I e h un
incremento positivio.
Poiché:
Dimostrazione
xo  h  xo
Allora, per definizione di
funzione crescente:
f ( xo  h)  f ( xo )
X0
X0+h
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
Portando a primo membro
f ( xo  h)  f ( xo )  0
E, dividendo per h, numero positivo:
f ( xo  h)  f ( xo )
0
h
Passando al limite per h->0, per il teorema
della permanenza del segno:
f ( xo  h)  f ( xo )
lim
0
h
h 0
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
Poiché f è derivabile in I allora questo limite
è uguale alla derivata
f ( xo  h)  f ( xo )
lim
 f ' ( xo )
h
h 0
E quindi:
f ' ( xo )  0
cvd
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
La seconda parte si dimostra ripercorrendo
al contrario i passaggi, salvo il fatto che il
teorema della permanenza del segno, nella
seconda parte, non prevede il segno =,
quindi stavolta l’ipotesi deve essere:
f ' ( xo )  0
E la conclusione:
f ( xo  h)  f ( xo )
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
TEOREMA DI FERMAT
Pierre de Fermat
(1601-1665)
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
TEOREMA DI FERMAT
Definizione: si dice punto stazionario
un punto in cui la derivata si annulla
Teorema: se Xo è un punto di
estremo relativo e se f è derivabile in
un intorno di Xo, allora Xo è un
punto stazionario
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
TEOREMA DI FERMAT
tangente
curva
Punto di
massimo relativo
a
b
La cosa è
abbastanza intuitiva:
in un punto di
massimo relativo la
tangente è
orizzontale, quindi il
suo coefficiente
angolare è nullo
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
TEOREMA DI FERMAT
Dimostrazione
Sia f derivabile in
tangente
[a,b]. Poiché f è
crescente in [a,Xo],
curva
per quanto dimostrato
prima su tale
intervallo risulta:
f ' ( x)  0
a
Xo
b
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
TEOREMA DI FERMAT
Viceversa,
nell’intervallo [Xo,b]
tangente
la funzione è
decrescente e quindi
curva
su tale intervallo:
f ' ( x)  0
a
Xo
b
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
TEOREMA DI FERMAT
Poiché il punto Xo appartiene a entrambi
gli intervalli, in esso risulta contemporaneamente
f ' ( x)  0
f ' ( x)  0
L’unico possibile valore di f’ è quindi 0
f ' ( x)  0
cvd
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
TEOREMA DI ROLLE
Michel Rolle
(1652-1718)
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
TEOREMA DI ROLLE
tangente
curva
Punto a tangente
orizzontale
a
b
Una curva regolare
(ovvero senza salti o
spigoli) che unisce
due punti di uguale
ordinata deve avere
per forza un punto
a tangente
orizzontale
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
TEOREMA DI ROLLE
Per rendere questo
un teorema
matematico è
necessario
formularlo in modo
rigoroso e poi
dimostrarlo
tangente
curva
Punto a tangente
orizzontale
a
b
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
TEOREMA DI ROLLE
•
•
•
•
Senza salti = funzione continua
Senza spigoli = funzione derivabile
Punti a uguale ordinata: f(a)=f(b)
Punto a tangente orizzontale: f’(c)=0
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
Quindi:
TEOREMA DI ROLLE
Sia f definita su un intervallo chiuso [a,b]
• continua su tale intervallo
• derivabile salvo al più agli estremi
• e sia f(a)=f(b)
Allora esiste un punto c interno
all’intervallo [a,b] tale che f’(c)=0
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
Dimostrazione
TEOREMA DI ROLLE
CASO 1: sia f una funzione costante
In tal caso il teorema è banale perché
una funzione costante ha derivata
ovunque uguale a zero, quindi c è un
punto qualsiasi dell’intervallo
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
TEOREMA DI ROLLE
Caso f costante
curva
tangente
Punti a tangente
orizzontale:
TUTTI!
a
b
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
Dimostrazione
TEOREMA DI ROLLE
CASO 2: sia f non costante
Poiché la funzione è continua su un
intervallo chiuso, per il teorema di
Weierstrass essa ammette un massimo
assoluto, M, e un minimo assoluto, m.
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
TEOREMA DI ROLLE
Poiché la funzione non è costante
massimo e minimo sono diversi (M≠m),
il che significa che massimo e minimo
non possono cadere entrambi agli
estremi dell’intervallo [a,b], altrimenti
sarebbero uguali: infatti f(a)=f(b)
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
TEOREMA DI ROLLE
Caso f non
costante; qui
per esempio il
massimo cade
all’interno
dell’intervallo
M
curva
F(a)=F(b)
a
b
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
TEOREMA DI ROLLE
Supponiamo che sia M a cadere
all’interno dell’intervallo e che c sia la
sua ascissa
f(c)=M
In tal caso c, oltre a essere punto di
massimo assoluto, è anche punto di
massimo relativo
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
TEOREMA DI ROLLE
Ma il teorema di Fermat dice che nei
punti di massimo relativo la derivata è
uguale a zero, quindi
f’(c)=0
CVD
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
TEOREMA DI ROLLE
Il teorema di Rolle fornisce una
condizione sufficiente ma non
necessaria per avere un punto
stazionario: una funzione può avere un
punto stazionario anche senza
soddisfarne le ipotesi
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
TEOREMA DI ROLLE
Queste funzioni non soddisfano una
delle ipotesi del teorema (quale…?) e
non hanno punti stazionari
• y=fraz(x)
• y=|x|
• y=x
[0,1]
[-1,1]
[0,1]
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
TEOREMA DI ROLLE
Queste funzioni non soddisfano una
delle ipotesi del teorema (quale…?) e
hanno punti stazionari
• y=D(x)
• y=|x2-1|
• y=x2
[0,1]
[-2,2]
[-1,2]
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
TEOREMA DI ROLLE
Questa non è derivabile agli estremi,
ma questa ipotesi non è richiesta e
quindi la funzione cade sotto il dominio
del teorema di Rolle
Y=√(1-x2)
[-1,1]
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
TEOREMA DI CAUCHY
Augustin Louis
Cauchy
(1789-1857)
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
TEOREMA DI CAUCHY
Siano f e g definite su un intervallo
chiuso [a,b]
• continue su tale intervallo
• derivabili salvo al più agli estremi
• e sia g(a)≠g(b), g’(x)≠0
Allora esiste un punto c interno
all’intervallo [a,b] tale che:
f (b)  f (a) f ' (c)

g (b)  g (a) g ' (c)
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
Dimostrazione
TEOREMA DI CAUCHY
Consideriamo la funzione ausiliaria F(x)
così definita:
F ( x)  f ( x)  K  g ( x)
Dove K è una costante presa in modo che
F soddisfi tutte le ipotesi del teorema di
Rolle
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
TEOREMA DI CAUCHY
Poiché f e g sono continue e derivabili
anche F lo è, quindi basta fare in modo
che sia:
F(a)=F(b)
Sostituendo:
f (a)  K  g (a)  f (b)  K  g (b)
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
TEOREMA DI CAUCHY
Con qualche calcolo si ricava il valore di
K
f (b)  f (a)
K
g (b)  g (a)
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
TEOREMA DI CAUCHY
Poiché con questo valore di K la
funzione F soddisfa le ipotesi del
teorema di Rolle, allora esiste un punto
c interno all’intervallo in cui risulta:
F’(c)=0
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
TEOREMA DI CAUCHY
Ma poiché F è:
F ( x)  f ( x)  K  g ( x)
Derivando:
F ' ( x)  f ' ( x)  K  g ' ( x)
E uguagliando a zero:
0  f ' (c )  K  g ' (c )
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
TEOREMA DI CAUCHY
Ovvero:
f ' (c )
K
g ' (c )
f
(
b
)

f
(
a
)
E ricordando che K è: K 
g (b)  g (a)
Sostituendo:
CVD
f (b)  f (a) f ' (c)

g (b)  g (a) g ' (c)
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
TEOREMA DI LAGRANGE
Giuseppe Luigi
Lagrange
(1736-1813)
Il teorema è un caso
particolare di quello
di Cauchy
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
TEOREMA DI LAGRANGE
Sia f definita su un intervallo chiuso [a,b]
• continua su tale intervallo
• derivabile salvo al più agli estremi
Allora esiste un punto c interno
all’intervallo [a,b] tale che:
f (b)  f (a)
 f ' (c )
ba
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
Dimostrazione
TEOREMA DI CAUCHY
Basta ricordare la formula di Cauchy
f (b)  f (a) f ' (c)

g (b)  g (a) g ' (c)
E prendere g(x) = x
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
TEOREMA DI CAUCHY
Infatti se g(x)=x allora:
g (a)  a
g (b)  b
g ' (c )  1
E inserendo questi risultati nella formula:
f (b)  f (a) f ' (c)

g (b)  g (a) g ' (c)
CVD
f (b)  f (a)
 f ' (c )
ba
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
tangente
F(b)
corda
curva
F(a)
a
c
b
Il teorema di
Lagrange ha un
evidente
significato
geometrico
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
Infatti:
tangente
C
F(b)
B
corda
curva
F(a)
A
a
c
A(a,f(a))
b
B(b,f(b))
f (b)  f ( a )
ba
È il coefficiente
angolare della
retta AB, corda
sottesa dall’arco
di curva
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
Mentre:
tangente
C
F(b)
B
corda
È il coefficiente
angolare della
tangente alla
curva in C
curva
F(a)
A
a
f ' (c )
c
b
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
tangente
C
F(b)
B
corda
curva
Il teorema di
Lagrange dice
che questi
coefficienti sono
uguali
F(a)
f (b)  f (a)
 f ' (c )
ba
A
a
c
b
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
tangente
C
F(b)
B
corda
curva
F(a)
A
a
c
b
Ma se due rette
hanno lo stesso
coefficiente
angolare allora
sono parallele
TEOREMI CLASSICI
DELL’ANALISI
tangente
C
F(b)
B
corda
curva
F(a)
A
a
c
b
Quindi: in un
arco di curva
regolare c’è
sempre un punto
in cui la tangente
è parallela alla
corda sottesa
all’arco