3. Modelli di reti complesse
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Reti random (Erdos-Renyi)
Reti Scale Free
Costruire una ER, SF con Pajek e Octave
Degree distribution
Probabilità che un nodo scelto a caso abbia grado k
P(k ) 
Probability Distribution Function
Funzione di distribuzione
densità di probabilità
Degree distribution
# nodi con grado k
n
 P(k )  1
k
ripartizione
Cumulative Distribution Function
Funzione di Ripartizione
Funzione di sopravvivenza
distribuzione
k
P( grado  k )   P(h)
h 0
k max
P(k )  P( grado  k )   P(h)
sopravvivenza
hk
P(k min )  P( grado  k min ) 
grado medio  k   kP(k )  2m / n
k
k max
 P ( h)  1
h  k min 1
Sopravvivenza
Scala logaritmica
definizioni
Rete completamente connessa [Fully connected network]:
Tutti i nodi son collegati gli uni con gli altri
Rete regolare: tutti i nodi hanno lo stesso grado
Lattice: ogni nodo è collegato con i suoi vicini a seconda della
distanza euclidea fissata
Lattice ad anello [Ring lattice or regular ring]: i nodi sono disposti in
cerchio e connessi con i k vicini più prossimi
Esempi di degree distribution
Rete completamente connessa, o
completa o regolare o omogenea
[fully connected]=> tutti i nodi
hanno lo stesso grado
Rete random n=100,
m=300 coppie estratte a
caso i.e links.
Binomial/Poisson distribution
Binomiale <k>=pn
p=0.06
Per n≥100 e np≤10 o
Per n ≥20 e p ≤1/20
Binomiale Poisson
100 

 
100!
 4950
Reti random
Una rete random è ottenuta a partire da n vertici ed aggiungendo
spigoli tra essi in modo random. Diverse distribuzioni di probabilità
dei gradi dei nodi corrispondono a diverse reti. Il tipo di reti random
più studiato è quello in cui ogni spigolo è aggiunto con probabilità
costante p. Il modello G(n,p) di Erdos-Renyi è di questo tipo. Si
ottiene collegando i nodi con probabilità costante p.
n
Il numero medio di spigoli nel modello G(n,p) è Np    p
 2
Si ottiene una distribuzione Binomiale dei gradi
Nella figura seguente vediamo alcune reti Erdos-Renyi con p
differenti.
Random networks (Erdös and Rényi, 1959)
Diversi tipi di grafi random con 10 nodi. Ogni coppia di nodi è
connessa con probabilità a) p=0; b) p=0.1;c) p=0.15; d) p=0.25
n
n!
N    
; n  10; r  2
 r  (n  r )! r!
10 
10!
N    
 45
 2  (10  2)!2!
45
*10  4.5  5
100
45
p  0.15 Np 
*15  6.75  7
100
45
p  0.25 Np 
* 25  11.25  11
100
p  0.1
Np 
Wang.X.F., 2002
Proprietà reti random
Sopra un certo valore di p è ‘’praticamente certo’’ che il grafo
sarà connesso
pc  (ln n)/n= percolation treshold,
il grado medio corrispondente è: <kc> = 2m/n=pc(n-1) pc n
Proprietà reti random
Effetto Small World: la distanza media l
Cresce lentamente co n.
l  log( n) / log k
Il coefficiente di Clustering C
tende a 0 per n∞ (fissato <k>)
C  p  k /n
Small World model (Watts and Strogatz, 1998)
Volevano costruire una rete con alto clustering and bassa distanza media
Si parte da un ‘’regular ring’’
con n nodi dove ogni nodo è connesso
con i suoi M vicini a destra e M a sinistra
e quindi ha grado k=2M.
M=2
k=4
Una rete così fatta ha un alto clustering
coefficient (tipico delle reti regolari)
3M  3
C
4M  2
E una distanza media alta (che cresce linearmente con n)
l
n
4M
Rewiring: si fanno passare tutti i nodi da 1 a n. Si
considerano tutti i link dal nodo i al suo nodo di
destra j e, con probabilità p, si rompe la
connessione con j e la si indirizza verso un altro
nodo scelto a caso
Se p è piccolo, le proprietà locali non saranno
modificate in modo significativo i.e
1) la degree distribution rimarrà concentrata
intorno alla media <k>=2M
2) Il clustering coefficient C non varierà in modo
significativo
Ma si noterà una notevole diminuzione della distanza media che
passa da l  n
a
l  log( n)
l
l=n
l=log(n)
n
Nota: il modello SW, seppure in grado di generare il fenomeno della
distanza piccola, mostra una distribuzione dei gradi dei nodi ancora
Poissoniana concentrata attorno ad un valore medio e che non assicura
la disomogeneità della rete tipica delle reti naturali (pochi nodi con
tanti collegamenti)
P (k )
P( x  k )
k
log( P ( x  k ))
k
sopravvivenza
pdf, distribuzione
P( X  k )  k  1
log(k)
Distribuzioni a legge di potenza, legge di Zipf
= distribuzione ad invarianza di scala
distribuzione di Pareto
La funzione di sopravvivenza ha la forma
P( grado  k )  Ck  1
Di solito sono rappresentate in un grafico log-log cioè:
log( P(k ))  (  1) log( k )  log( C )
E la relazione diventa lineare
L’economista Pareto la individuò nella distribuzione del reddito.
Il linguista Zipf la individuò nella frequenza d’uso delle parole nei testi.
Principio 80/20: il 20% della popolazione detiene l’80% della ricchezza.
Nonostante siano molti i fenomeni che presentano distribuzioni ad
invarianza di scala per alcuni intervalli, sono rari i casi in cui questo
valga lungo tutto il supporto.
Commenti sulla legge di potenza
http://www.nexres.org/2009/04/27/distribuzione-a-legge-dipotenza/
http://www.cash-cow.it/2007/scienza-della-complessita/legge-dipotenza.htm
Reti ‘’scale free’’
La particolarità di questi grafi è che il numero di link di un nodo è
proporzionale al numero di link già esistenti.
n=200, m=199, ottenuta aggiungendo un nodo alla volta e
connettendolo, in modo ‘’preferenziale’’ (con più alta
probabilità) a nodi con grado più alto.
P(x≥k)
Pochi nodi con grado molto alto
P
P
P
legge di Potenza
Piccardi ACN2010
Esempi di reti Scale Free (Barabasi e Albert, 1999)
Scala logaritmica
Compaiono gli hubs
P(k )  P( x  k )
E’ quasi una linea retta
Costruire una scale-free network
Algoritmo di Barabasi and Albert (1999) ispirato alla crescita della rete
WWW
1. Si considerano m0 nodi connessi in modo arbitrario (ad esempio
una random network)
2. Ad ogni passo, si aggiunge un nuovo nodo i con m≤m0 links in
modo che si attacchi ai nodi esistenti a seconda del loro grado.
3. Preferential attachment: gli m links si legano con più alta
probabilità a nodi con alto grado («rich get richer»)
La probabilità di collegare un nuovo nodo i ad uno esistente j è
proporzionale a kj:
Alcune proprietà delle reti ad invarianza
di scala [Scale free networks]
Per n∞
1) Il grado medio tende a <k>=2m e P(k)=k -3
2) La varianza <k2>= 2=<k2>-<k> 2 diverge (‘’heavy tail’’). la
varianza continua ad aumentare se aumento il numero di nodi
3) La distanza media aumenta come
World’’)
l
ln n
(‘’ultra Small
ln ( ln (n))
4) Il clustering C0 ma meno velocemente rispetto alle reti E-R
dove è molto piccolo per qualsiasi n
Robustezza delle Scale-free networks
SF robuste ad
attacchi random
Robustezza delle Scale-free networks
Proprietà reti scale Free
Legge di potenza disomogenea
Alto clustering
Presenza di Hub
Robustezza ad attacchi casuali
Vulnerabilità ad attacchi mirati
Descrivono
Internet
WWW
Servizi urbani
Traffico aereo
Reti sociali
Lo shortest path dipende dalla distanza di un hub
Varie
Distribuzione di Poisson
P(X=k)
Probabilità di avere k occorrenze di
un evento in un certo intervallo di
tempo sapendo che il n° medio
nell’intervallo è l
P (x≥k)=1-P(x≤k)
Funzione di sopravvivenza
Distribuzione binomiale
E’ la probabilità di avere k successi in n prove
indipendenti, ciascuna con probabilità p di successo.
Per n=1 diventa la distribuzione di Bernoulli.
La probabilità di avere k successi (k
link) in n esperimenti (link possibili)
è:
media=np
varianza=np(1-p)
Distribuzione discreta priva di memoria
Distribuzione di Poisson
Esprime le probabilità che si verifichino n eventi indipendenti in un
dato intervallo di tempo, sapendo che mediamente se ne verificano
l
Distribuzione discreta priva di memoria
Le distribuzioni binomiale e di Poisson convergono
alla normale:
La binomiale per n ∞
Quella di Poisson quando la media è elevata (>6)