Moti stratificati (3/5)
Idraulica Ambientale 2
a.a. 2005/06
Stratificazione e
diffusione turbolenta
Effetto della stratificazione (numero di Richardson)
DzT, strat  DzT,0 1  a Ri 
g d  du 
Ri  
 
 dz  dz 
b
Rib  
g H
 U 2
(definizione mediata)
Coefficienti
2
Esercizi
mix verticale:
mezzo stratificato (cuneo salino)
scarico caldo
Temperatura come tracciante passivo (mix trasversale):
scarico caldo
Moti stratificati (4/5)
Idraulica Ambientale 2
a.a. 2005/06
Onde interne
onde di superfici isopicne (denistà costante)
stratificazione continua: “onde interne”
stratificazione a gradino (strati): “onde di interfaccia”, “onde di superficie”
Rif. bibl.: dispense di Socolofsky & Jirka, Special Topics in Mixing
and Transport Processes in the Environment, 2005 (cap. 10)
Onde di interfaccia
ipotesi:
• fluidi immiscibili
• contorni superiori e inferiori rigidi
• moto piano
• moto inviscido (viscosità nulla, Re grande)
• moto irrotazionale in ogni strato
• onde di piccola ampiezza
contorno rigido superiore
interfaccia
contorno rigido inferiore
Equazioni
f
u
x
Potenziale di velocità f
(moto irrotazionale)
f
w
z
Equazione di continuità
u w

0
x z
 2f  2f
 2 0
2
x
y
Equazione del moto
(inviscido)

du
p


dt
x
 2f1  0
strato superiore
 2f2  0
strato inferiore
du
 p   g
dt
dw
p

   g
dt
z
dw w
w
w

u
w
dt
t
x
z
Condizioni al contorno
interfaccia: F  z    0
Condizione cinematica:
dF
0
dt 
in superficie (z=-h1) e al fondo (z=-h2)
Condizione dinamica:
p1   p2 

 

 f  f  
w


u






 0
t
x    z t x x  

wh 
1
f
z
0
h1
w h 
2
f
z
0
 h2
(le tensioni tangenziali sono nulle)
Onda periodica nello spazio (x) e nel tempo
f kx  t 
Adimensionalizzazione e linearizzazione
x   x*
z  a z*
ampiezza dell’onda

 1
t
a *
t
U0
lunghezza d’onda


w
u
0
t
x
a
u, w  U 0 u * , w* 
 * a *  *
w  *  u
0
*
t
 x
*
onde di piccola ampiezza
Condizione cinematica semplificata:
w

0
t
 

 f  
w






 0
t  z 0  z t  z 0

Condizione all’interfaccia (linearizzata)
Equazione del moto semplificata
  f  p
 g  0


z  t  z
w
p
   g
t
z
(in ogni strato)
Teorema di Bernoulli non stazionario
Lungo l’interfaccia (linea di corrente)
1


f
 p  gz  c0
t
p1  p2
f1
f
 1 g   2 2   2 g
t
t
costante lungo una
linea di corrente
Sistema da risolvere
Equazioni
Condizioni
all’interfaccia
(z=0)
Condizioni al
contorno
Struttura
della
soluzione
 2f2  2f2
 2 0
2
x
z
 2f1  2f1
 2 0
2
x
z
f1 

0
z t
f1
0
z
f2 

0
z
t
z  h1 
1
f1
f
 1 g   2 2   2 g
t
t
f 2
0
z
z  h2 
x, t   a expikx  t   acoskx  t   i sin kx  t 
f j x, z , t   Z j z  exp ikx  t 
(notazione complessa)
Soluzione per lo strato j=1,2
 2f j
x
2

 2f j
y
2
  a expikx  t 
0
f j  Z j exp ikx  t 
2Z j
z
2
 k 2Z j  0
soluzione generale
Z j  C j exp kz  D j exp  kz
Condizioni al contorno per determinare Cj e Dj
all’interfaccia
(z=0)
al contorno
(z= zc)
f j
z
f j
z


0
t
0
k C j  D j   ia
C j exp kzc   D j exp  kzc   0
sistema di 4 equazioni in 4 incognite  C1, C2, D1, D2
Soluzione
ia  coshk z  h1 
Z1 
k
sinh kh1 
Z j  C j exp kz  D j exp  kz
f j  Z j exp ikx  t 
Z2  
ia  cosh k  z  h2 
k
sinh kh2 
potenziale:
ia cosh k  z  h1 
f1 
exp ikx  t 
k
sinh kh1 
f2  
ia  cosh k z  h2 
exp i kx  t 
k
sinh kh2 
 velocità nei due strati:
u1 
f1
cosh k  z  h1 
 a
exp i kx  t 
x
sinh kh1 
u2 
f2
cosh k  z  h2 
 a
exp i kx  t 
x
sinh kh2 
w1 
f1
sinh k  z  h1 
 ia 
exp ikx  t 
z
sinh kh1 
w2 
f2
sinh k  z  h2 
 ia
exp ikx  t 
z
sinh kh2 
posizione interfaccia:
  a expikx  t 
le intensità rimangono indeterminate
Relazione di dispersione
condizione dinamica all’interfaccia
1
f1
f
 1 g   2 2   2 g
t
t
relazione tra frequenza e numero d’onda
2 
1
2 

   2  1 g

k  tanh kh1  tanh kh2  
frequenzaperiodo

  a coskx  t 
2
T
numero-lunghezza
d’onda
d 
celerità di propagazione


dt 
dx  0
t
x
c
dx 

dt k
k
2

 adt  akdx  0
Casi particolari: dominio non limitato
2 
1
2 

   2  1 g

k  tanh kh1  tanh kh2  
frequenza   gk
h1  
2  1 
2  1 
tanh kh1   1
h2  
celerità
c
g  2  1 
k  2  1 
la celerità dipende da k  lunghezze d’onda diverse si separano
onde di superficie
frequenza
onde di Boussinesq
frequenza
1  0
  gk
1  2

celerità
g 
g k
2
c
g
k
c
g
2k
 2  1 
0
celerità
Casi particolari: acqua bassa
2 
1
2 

   2  1 g

k  tanh kh1  tanh kh2  
frequenza
 k g
kh1  0
h1h2  2  1 
2 h1  1h2 
tanh kh1   kh1
kh2  0
celerità
c g
h1h2  2  1 
2h1  1h2 
la celerità non dipende da k  onde non dispersive
onde di superficie
frequenza
onde di Boussinesq
frequenza
1  0
  k gh
celerità
c   gh
1  2
g h1h2
 k
h1  h2
celerità
 
g h1h2
h1  h2
Effetto della superficie libera
condizione in superficie libera
relazione di dispersione

f
 p  gz  c0
t
 4  f k , h1 , h2 , 1 ,  2 
onde lunghe (acqua bassa) di Boussinesq: due soluzioni semplificate
c  g h1  h2   gH
modo esterno - veloce
(onda di superficie)
moto barotropico
p parallelo a  
c  g
h1h2
hh
 g 1 2
h1  h2 
H
modo interno - lento
(interfaccia)
moto baroclinico
p inclinato rispetto a  
Onde stazionarie
effetto della dimensione finita
del bacino: numero finito di
semi-lunghezze d’onda
h1
H
Ln
h2
numeri d’onda possibili
periodo
T
2L
nc
modo interno
k
2

modo esterno
T

n
L
T
2L
hh
n g 1 2
H

2
celerità c 
2L
n gH
(lento)
2 2 L

kT nT
Onde di sessa (seiche)
vento  eccita
un’onda stazionaria
con n=1
wind set-up: sollevamento
equilibrio mentre soffia il vento
spinte idrostatiche
set-up superficie
Fl 
as 
1
 0 g H  as 2
2
Fx  Fl  Fr   w L  0
Fr 
1
 0 g H  as 2
2
 2 0 gas H   w L  0
 wL
2 gH
equilibrio tra le pressioni al fondo
pl  1 g h1  as  ai    2 g h2  ai 
pr  1 g h1  as  ai    2 g h2  ai 
pl  pr
set-up interfaccia
ai 

 2  1 
as
Stratificazione continua
Equazioni linearizzate, ip. Boussinesq
continuità
u w

0
x z
q.d.m.
orizzontale
u
1 p

t
 0 x
q.d.m.
verticale
w
1 p

 g
t
 0 z
incomprimibilità
d
 
w 0 0
t
dz
g  g
3 equazioni in 4 incognite u, w, g , p
la quarta equazione viene
dall’incomprimibilità
g 
 N 2w  0
t
N2  
g d 0
 0 dz

0
Stratificazione continua: relazione di dispersione
modi orizzontali
x 
z 
modi verticali
2
k
2
m
equazioni + condizioni al contorno
relazione di dispersione
k2
 N 2
k  m2
2
onde
2  N2
2  N2
2
non possono esserci onde
(frequenza di eccitazione maggiore
dell’autofrequenza - Eigenfrequency)
Moti stratificati (5/5)
Idraulica Ambientale 2
a.a. 2005/06
Instabilità
Analisi di stabilità idrodinamica:
1. soluzione in moto laminare delle equazioni
2. perturbazione della soluzione con piccoli disturbi (sinusoidali nel tempo e
nello spazio)
3. sostituzione della soluzione perturbata nelle equazioni e linearizzazione
 problema agli autovalori (eigenvalues)
4. soluzione delle equazioni perturbate:
a. disturbo che cresce nel tempo  instabilità assoluta
b. disturbo che cresce nello spazio  instabilità convettiva
c. disturbo che decade  stabilità
Riferimenti bibliografici:
- Socolofsky & Jirka, Special Topics in Mixing and Transport Processes in the Environment, 2005
(dispense, cap. 11)
- Drazin & Reid, Hydrodynamic stability (Second edition), Cambridge Mathematical Library, 2004
Instabilità di Kelvin-Helmholtz
Lavoro delle forze di galleggiamento
forze di galleggiamento

d
d
2 
B  g  y   g  y     g  y   g    y     O     g 
lavoro
dy
dy


particella 1
2
y
d
d y 
0  g dy d   g dy 2
d
B  g  y     g  y    g 
dy
2
particella 2 0 d
lavoro totale
d y 
y g dy d   g dy 2
d
y 2
WB   g
dy
 
Variazione di energia cinetica
prima
dopo
E
 0u 2
E2
2

 0 u  u 2
2
variazione di energia cinetica
 0  u  u  u  

2 
2
velocità media


2
E  
0
4
u 2
Instabilità: approccio euristico
instabilità: quando l’energia cinetica persa è più grande del lavoro richiesto dalle
forze di galleggiamento nello spostamento delle particelle di fluido
 E  WB
0
u    g d y 2
4
dy
g d  y  1
Ri  
  
0 dy  u  4
2
(senza viscosità)
Instabilità di Kelvin-Helmholtz
U1
U2
moto irrotazionale
fluido ideale
piccole perturbazioni
…
u  
Formulazione del problema
Equazioni
Condizioni al
contorno
Condizione
cinematica
all’interfaccia
(z=)
u1 v1 w1


0
x y z
u1  U1
v1 , w1  0
u2 v2 w2


0
x y
z
u2  U 2
v2 , w2  0
z  



 
 w1 
  0
 u1
 v1
t
x
y  

Condizione dinamica:
Teorema di Bernoulli
non stazionario (z=):
p1   p2 
z  



 
 w2 
  0
 u2
 v2
t
x
y  

(le tensioni tangenziali sono nulle)
1 u1
p
c1 

 gz  1  0
t
2
1
2
 2 u 2
p
c2 

 gz  2  0
t
2
2
2
2
2




1 u1
 2 u 2
1 c1 

 g    2 c2 

 g 
t
2
t
2




Soluzione del moto base
interfaccia
 0
u1  U1
v1  w1  0
p1  p0  1 gz
u2  U 2
v2  w2  0
p2  p0   2 gz
2
2


U1 
U2 
   2  c2 

costanti del trinomio di Bernoulli  1  c1 


2 
2 


Perturbazione della soluzione
interfaccia
  
Linearizzazione
u1  U 1  
f1
x
f
u2  U 2   2
x
  1
v1  
f1
y
v2  
f2
y
w1  
f1
z
w2  
f2
z
Sistema per le perturbazioni (linearizzato)
 2f1  2f1  2f1


0
x 2 y 2 z 2
Equazioni
Condizioni al
contorno
Condizioni
all’interfaccia
(z=0)
Struttura
della
soluzione
f1  0
 2f2  2f2  2f2

 2 0
x 2 y 2
z
z  
f1 


 U1
0
z t
x
f2  0
z  
f2 


U2
0
z
t
x
f
f
 f1

 f

 U1 1  g    2  2  U 2 2  g 
x
x
 t

 t

1 
 x, t   a expst  ikx  ly   a exp st coskx  ly   i sin kx  ly 
f j x, z, t   Z j z  exp st  ikx  ly 
(notazione complessa)
Relazione di dispersione

 
 2 Kg  s  ikU 2 2  1 Kg  s  ikU1 2
numero d’onda totale

K  k2  l2
soluzione trovata con Maple
Coefficiente di amplificazione
2
1U1   2U 2
 2  1
2 1  2 U1  U 2 
s  ik
 k

Kg
1   2
1   2
1  2 2
s  ik
1U1   2U 2
i
2

Kg  22  12   k 2 1  2 U1  U 2 
1   2
1   2
stabilità neutrale

>=

Kg  22  12  k 2 1  2 U1  U 2 
instabilità
2
<
curva marginale
U1  U 2 
2
Ri  g
K
0
1
1

kU 2 2

l  0, K  k 
g  22  12

k1  2

2=1000,1=995
Casi particolari
s  ik
Onde di gravità
1U1   2U 2
i
2

Kg  22  12   k 2 1  2 U1  U 2 
1   2
1   2
1  0,U1  0,U 2  0
Onde interne 1  2 ,U1  0,U 2  0
2  1
stabili  onde
Instabilità dovuta alle tensioni
s  i Kg
s  i Kg
sempre stabili


 1
1   2 
2
2  1
instabili
1  2 ,U1  U 2
U1  U 2
k2
U U2 k
2
s  ik
 i  U1  U 2   ik 1
 U1  U 2 
2
4
2
2
sempre instabili
Effetto della tensione superficiale
p1  p2  2xy
z
p1
x
(condizione dinamica all’interfaccia)
soluzione trovata con Maple
esempio: onde generate sul mare
velocità del vento minima, lunghezza d’onda
(Kelvin, 1871; Chandrasekhar, 1961)
p2
curva marginale l  0, K  k 
U1  U 2 
2

 

g  22  12
  1

 2
k
k 1  2
1 2
1  1.25kg / m3 , 2  1020kg / m3 ,   0.074 N / m
U)2crit
L  2 k  1.7cm
kcrit
U1  U 2  6.6m / s