Significato della somma di una
serie infinita
: “«GIOCANDO CON L’INFINITO
– Matematica per tutti » di Rózsa Péter”
Liberamente tratto da
27/12/2005
A cura di Ivana Niccolai
Esempio della cioccolata 1/6
Consideriamo un tipo di cioccolata che gli industriali cercano
di lanciare sul mercato, mettendo un buono nella confezione;
chi presenta 10 buoni ottiene in cambio un’altra tavoletta di
cioccolata.
Se abbiamo una di queste tavolette, qual è il suo effettivo
valore?
Vale di più di una semplice tavoletta, perché in essa vi è un
buono e per ogni buono si può ottenere 1/10 di un’altra
tavoletta di cioccolata.
A cura di Ivana Niccolai
Esempio della cioccolata 2/6
Con 10 buoni si può ottenere una tavoletta intera. Ma con
questo 1/10 di tavoletta si avrà 1/10 di buono e se per un
buono otteniamo 1/10 di una tavoletta di cioccolata, per
1/10 di buono otteniamo 1/100 di una tavoletta di
cioccolata.
A cura di Ivana Niccolai
Esempio della cioccolata 3/6
Quindi 1/100 di una tavoletta di cioccolata corrisponde
a 1/100 di buono e con questo otteniamo ancora 1/10
di 1/100, cioè 1/1000 di una tavoletta di cioccolata, e
così via, all’infinito. Quindi la mia tavoletta di cioccolata
insieme con il suo buono vale in realtà:
1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + … tavolette di cioccolata
A cura di Ivana Niccolai
Esempio della cioccolata 4/6
Possiamo mostrare che:
1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + … tavolette di cioccolata
vale esattamente 1 + 1/9 di una tavoletta di cioccolata
L’1 rappresenta la tavoletta che ho effettivamente e si deve
mostrare che il buono che l’accompagna vale 1/9 della
tavoletta di cioccolata.
È sufficiente dimostrare che 9 buoni valgono una tavoletta di
cioccolata, dato che allora è certo che un buono vale 1/9
della tavoletta.
A cura di Ivana Niccolai
Esempio della cioccolata 5/6
Poniamo che io abbia raccolto 9 buoni, allora posso entrare nel
negozio e dire: “Mi dia una tavoletta di cioccolata, la mangio qui
adesso e la pago dopo”. Mangio la cioccolata, tolgo il buono che
l’accompagna e così ho 10 buoni con cui posso effettivamente pagare.
Quindi l’esatto valore di 9 buoni è in realtà una tavoletta di cioccolata;
il valore di un buono è 1/9 di una tavoletta di cioccolata. Una tavoletta
di cioccolata con un buono vale 1 + 1/9 tavolette di cioccolata, così la
somma della serie infinita
1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + …
è esattamente 1 + 1/9
A cura di Ivana Niccolai
Esempio della cioccolata 6/6
1 + 1/9 = 9/9 + 1/9 = 10/9 = 1,1111111111111…
all’infinito
La successione delle somme parziali:
1,11…= 1 + 1/10 + 1/100 + …
ha come limite 1 + 1/9
Si può dire anche che la serie
1 + 1/10 + 1/100 + … è convergente e che la sua somma è 1 + 1/9
A cura di Ivana Niccolai
Illustrazione animata
A cura di Ivana Niccolai
Serie geometrica
1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 +…
1/(1/10) = 10
(1/10)/(1/100) = 10
(1/100)/(1/1000) = 10
Il quoziente di due termini contigui è 10
Il tipo di serie in cui il quoziente di due qualsiasi
termini contigui resta sempre il medesimo, si
chiama serie geometrica
A cura di Ivana Niccolai
Riflessioni 1/2
Se da
1,111111… = 1 + 1/9
Sottraiamo 1, otteniamo:
0,111111… = 1/9
E moltiplicando per 9 abbiamo:
0,999999… = 9/9 = 1
Dividendo per 10, abbiamo:
0,0999… = 0,1
A cura di Ivana Niccolai
Riflessioni 2/2
Dividendo ancora per 10 abbiamo:
0,00999… = 0,01
Quindi i decimali finiti 1; 0,1; 0,01; … si possono anche scrivere
come decimali infiniti in cui dopo lo zero non ci sono che 9
A cura di Ivana Niccolai
Conclusione: ogni decimale finito si può
scrivere come decimale infinito
Ogni decimale finito si può scrivere, dunque, come decimale
infinito.
Prendiamo per esempio 0,3 come decimale finito.
Possiamo scriverlo come decimale infinito: 0,2999999999999…
Decimale finito
Decimale infinito
0,1
0,2
etc.
0,09999999…
0,19999999…
etc.
A cura di Ivana Niccolai