Elaborazione dei segnali mediante
circuiti analogici o digitali.
Simboli logici e tabelle della verita` delle
porte logiche elementari.
Porta NOR realizzata con interruttori ideali.
Porta NAND realizzata con interruttori ideali.
Circuiti integrati
Le porte logiche che abbiamo analizzato
precedentemente sono contenute all’interno
di circuiti integrati come quelli in figura
Proprietà
• Per gli operatori AND e OR valgono le seguenti
proprietà:
commutativa x1+x2 = x2+x1
x1 x2 = x2x1
associativa
x1+x2+x3 = x1+(x2+x3)
x1 x2x3 = x1(x2x3)
distributiva del prodotto rispetto alla somma x1 x2 + x1x3 = x1(x2+x3)
• Per l’operatore NOT si provano le seguenti identità:
x + x = 1
x x = 0
x = x
Teorema di De Morgan
Per negare una funzione occorre negare ogni
singola variabile e scambiare la OR con la AND
e viceversa:
(x+y) = x · y
(x · y) = x + y
Forma canonica
È possibile esprimere una funzione
booleana tramite espressione analitica
oppure tramite la tabella di verità.
Le funzioni booleane possono essere
scritte in vari modi ma vi sono delle
espressioni che vengono considerate
standard.
Per far ciò definiamo i mintermini e i
maxtermini
Mintermini
Considerando una riga della tabella di verità si
definisce mintermine il prodotto delle variabili
booleane relative a tal riga prese in forma diretta o
complementata a seconda se assumono valore 1 o 0.
Maxtermini
Si definisca maxtermine la somma delle variabili
booleane prese in forma diretta o negata a seconda
se
assumono valore 0 o 1.
Con n variabili abbiamo mintermini e maxtermini
1° Forma Canonica
Una funzione logica è esprimibile come somma
dei minterm che danno uscita 1.
2° Forma Canonica
Una funzione logica è esprimibile come prodotto
dei maxterm che danno uscita 0.
Esempio
Date tre variabili booleane (A,B,C), si scriva la funzione
Y che vale 1 quando solo due di esse hanno valore 1
A
B C
Y
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
Y = ABC + ABC + ABC = (A+B+C)·(A+B+C)·(A+B+C)·(A+B+C)·(A+B+C)
Mappa di Karnaugh
Storia
La mappa di Karnaugh è stata inventata nel 1953 da Maurice Karnaugh,
un ingegnere in Telecomunicazioni presso i Bell Laboratories
Utilizzo
Una mappa di Karnaugh riguarda una funzione booleana di un numero
poco elevato di variabili e si costruisce a partire dalla tabella della
verità di tale funzione.
Il metodo delle mappe di Karnaugh ha il vantaggio di essere un
procedimento grafico piuttosto intuitivo e quindi di permettere
semplificazioni della funzione booleana spesso più immediate di quelle
ottenibili solo con modifiche algebriche.
Mappa di Karnaugh
Metodo di semplificazione
• Raggruppare gli 1 adiacenti in blocchi di 2n (2, 4, 8,
16)
• Formare i gruppi più grandi possibile e nel minor
numero possibile
• Ogni gruppo corrisponde a un fattore in cui sono
presenti le variabili che non cambiano nel
passaggio da una casella all’altra
• Le variabili vanno scritte dirette se valgono 1 e
negate se valgono 0
• La funzione semplificata è la somma dei termini
corrispondenti ai gruppi formati sulla mappa
Mappa di Karnaugh
Esempio
Consideriamo la funzione:
f (A, B, C, D)
Essendoci 16 combinazioni delle 4 varibili booleane, anche la mappa di Karnaugh dovrà avere 16 posizioni.
Il modo più conveniente per disporle è in una tabella 4x4.