Meccanica Applicata alle Macchine
3 Maggio 2013
Alessio Artoni
Ingranaggi conici, processi tecnologici di taglio/rettifica,
micro-geometria delle ruote dentate
UNIVERSITÀ DI PISA
Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale (DICI)
Ingranaggi CONICI
denti dritti
denti obliqui
denti a spirale
Ingranaggi spiroconici e ipoidi
coppia conica per
assi incidenti
(coppia spiroconica)
coppia conica per
assi sghembi
(coppia ipoide)
coni
primitivi
iperboloidi primitivi
Ingranaggi spiroconici e ipoidi
SPIROCONICI
applicazioni aeronautiche
e automotive (spinte: F1)
Modulo power take-off
(motore turbofan GE F404)
IPOIDI
applicazioni automotive
Differenziale posteriore
(BMW)
Ingranaggi spiroconici e ipoidi: applicazioni automotive
Ingranaggi spiroconici e ipoidi: applicazioni aerospace
Ingranaggi spiroconici e ipoidi: applicazioni marine
Generazione ingranaggi spiroconici/ipoidi
Generazione virtuale per inviluppo con ruota pianoconica
Schema concettuale per taglio Generated
Utensile per il taglio del pignone con
generazione per inviluppo (Generated)
Corona
(Formate)
Utensile per il taglio della
corona con generazione per
inviluppo (Generated)
Pignone
(Generated)
L’utensile materializza un dente della ruota pianoconica.
[ingranaggio spiroconico, face-hobbing, altezza dente costante]
Schema concettuale per taglio Formate
Utensile per il taglio del pignone con
generazione per inviluppo (Generated)
Corona
(Formate)
Utensile per il taglio di
forma della corona
(Formate)
Pignone
(Generated)
L’utensile materializza (il negativo di) un dente della corona
(qui il concetto di ruota pianoconica non viene utilizzato).
[ingranaggio spiroconico, face-hobbing, altezza dente costante]
Esempio di processo di taglio ingranaggi cilindrici
Video:
http://www.youtube.com/watch?v=_j6KQ96YZM0
Taglio con shaper (coltello Fellows)
Esempi di processo di taglio ingranaggi cilindrici
Video:
http://www.youtube.com/watch?v=yXAXvAXFwN0
Taglio con hob (creatore)
Esempio di ciclo di lavoro ingranaggi cilindrici
Video:
http://www.youtube.com/watch?v=XZgsV0AZJJ0
Esempio di rettifica ingranaggi cilindrici
Video:
http://www.youtube.com/watch?v=lLZfN734MIc
Rettifica con mola a vite
Tipico layout per taglio ingranaggi conici
Principali metodi di taglio ingranaggi conici
Face-milling
(single indexing)
Face-hobbing
(continuous indexing)
Metodo face-milling per taglio ingranaggi spiroconici/ipoidi
Video:
http://www.youtube.com/watch?v=tNks3OdE-FE
Metodo face-milling per rettifica ingranaggi spiroconici/ipoidi
Metodo face-hobbing per taglio ingranaggi spiroconici/ipoidi
Video:
http://www.youtube.com/watch?v=7paLPW3CjEs
Il differenziale
Video:
http://www.youtube.com/watch?v=yYAw79386WI
Filmato del 1937 prodotto dalla Chevrolet Motor Division (General Motors)
Il differenziale Torsen
Video:
http://www.youtube.com/watch?v=Z9iPqIQ_8iM
Un fatto
Nella quasi totalità delle ruote dentate cilindriche usate
nell’ambito della trasmissione di potenza, puri profili a
evolvente non esistono.
In generale, la micro-geometria di tutti i tipi di ruote dentate
nominalmente in contatto di linea viene modificata per avere
contatto nominale di punto.
Perché le micro-correzioni?
Linee di contatto nominali su denti dritti ed elicoidali (profili a evolvente)
Cosa accade in caso di deformazioni elastiche dei denti e
disallineamenti (errori di montaggio, deformazioni elastiche
sotto carico dei supporti, imperfezioni costruttive)?
Perché le micro-correzioni?
In caso di disallineamenti, il contatto potrebbe trasferirsi
irrimediabilmente sugli spigoli del dente (edge-contact)
(ruota a denti dritti, 1 sola
coppia di denti in presa)
Contact Stress Distribution
(MPa)
1647
1578
1510
1441
1372
1304
1235
1167
1098
1029
961
892
823
755
686
618
549
480
412
343
274
206
137
69
0
Torque = 1000 lbf-in (113 N-m)
Bombatura del dente
Un metodo molto usato per stabilizzare il contatto nelle
ruote a denti dritti è la bombatura del dente (lead crowning)
Esempio di pignone con bombatura (estrema)
Bombatura del dente
Per le ruote dentate cilindriche, la bombatura è pressoché
indispensabile anche lungo il profilo. Si parla quindi di profile
crowning e lead crowning
Storicamente, profile crowning e lead crowning hanno avuto
come obiettivo principale quello di tenere la zona dei contatti
sufficientemente lontana dai bordi ed evitare edge-contact.
Perché le micro-correzioni?
I denti sono deformabili sotto carico. Si flettono.
denti in presa, flessi
denti indeformati
backlash
rischio di collisione prematura
Per evitare urti, è necessario introdurre una spoglia sul
dente, cioè rimuovere materiale (alterando il profilo a
evolvente) nella zona di testa (tip relief) e/o nella zona di
piede (root relief).
Spoglia del dente
Tip relief
Tip relief e end relief
Perché le micro-correzioni?
Errori geometrici, disallineamenti, deformabilità, urti, ecc.
causano errori di trasmissione, principale causa di
rumorosità e vibrazioni delle ruote dentate.
et   p( r )   p( th )   p( r ) 
zc
c
zp
Tip relief, end relief, lead crowning e profile crowning
possono essere usati efficacemente per minimizzare l’errore
di trasmissione.
Oltre a questi tipi di modifiche micro-geometriche ne
esistono altre, più sofisticate, dette di ordine superiore.
Importanza delle micro-correzioni
Consentono di distribuire il contatto in modo da sfruttare
bene la fascia attiva del dente ed evitare edge-contact.
Consentono di minimizzare l’errore di trasmissione.
Alleviano l’entità degli urti durante la presa di contatto.
Consentono di ridurre lo sforzo di flessione a piede dente
(bending stress).
Massimizzazione vita a fatica della coppia.
Minimizzazione rumorosità e vibrazioni.
Massimizzazione densità di potenza trasmissibile.
Realizzazione pratica delle micro-correzioni
Moti macchina modificati (durante il taglio di generazione
per inviluppo).
Profilo utensile modificato (rispetto a quello necessario per
tagliare denti a evolvente).
Le micro-correzioni prescritte (entità variabili tra 10 e 400 μm)
risultano accurate solo se realizzate mediante rettifica.
Come si stabilisce l’entità delle micro-correzioni?
NON ESISTONO FORMULE (sensate).
L’entità delle correzioni è fissata tipicamente sulla base di
esperienza individuale, know-how aziendale, trial and error.
Sono necessari strumenti di calcolo (ad es. FEM) in grado di
stimare con accuratezza i parametri del contatto (pressioni di
contatto, contact pattern, errori di trasmissione, ecc.)
È necessario formulare il problema in questione come un
problema di ottimizzazione, con opportuni obiettivi, le cui
variabili di progetto coincidano con i valori ottimali da
assegnare alle micro-correzioni.
11th ASME International Power Transmission and Gearing Conference
August 28-31, 2011, Washington, DC, USA
Alessio Artoni1 (speaker),
Marco Gabiccini1, Massimo Guiggiani1, and Ahmet Kahraman2
Multi-objective Ease-off Optimization of Hypoid Gears
for Their Efficiency, Noise and Durability Performances
1 University of Pisa
2 The Ohio State University
Dept. of Mechanical, Nuclear and Production Engineering
Pisa, Italy
Gear and Power Transmission Research Laboratory
Columbus, Ohio, USA
Motivation
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Micro-geometry (ease-off) optimization can remarkably
enhance gear performance (especially, contact properties
and transmission error).
Micro-geometry optimization has long been a tedious timeconsuming (and costly) trial-and-error procedure.
(µm)
An ease-off topography
Motivation
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Micro-geometry optimization involves often conflicting
objectives, as well as design constraints.
Several software packages exist to accurately perform loaded
tooth contact analysis, but they are mostly used a posteriori, to
test some tentative tooth flank modification.
Contact pressure distribution
Transmission error (motion graph)
Our goal
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To devise an automatic method to accurately optimize the
ease-off topography of (hypoid) gears
 in the presence of conflicting objectives
 in the presence of constraints
 including the available LTCA program “in the loop”.
Fundamentals of multi-objective optimization (MOO)
feasible region
F
Pareto front
(conflicting objectives,
to be minimized)
Space of the decision variables
Space of the objectives
MOO problems generally have infinitely many solutions: the so-called
Pareto-optimal solutions, which form the Pareto front. For each of them, it is
impossible to reduce one objective further without necessarily increasing
some other objective.
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A naïve approach to MOO
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In gear literature, optimal solutions have typically been sought by solving
(scalarization through weighting)
This has strong limitations:
feasible objective
region
non-convex Pareto front
extreme case
Selected MOO method: achievement function
We specify an arbitrary reference point (desirable values for the objective functions,
known by the gear engineer):
infeasible reference point
feasible reference point
Projection of any reference point onto the Pareto front can be obtained by
minimizing a special scalarizing function called achievement function
where the selected achievement function is
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Pareto front exploration: reference point method
Exploring the Pareto front is often useful to the gear practitioner to compare different
(but equally optimal) trade-off solutions.
The reference point method
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Handling constraints
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In problem
the feasible region F is determined by the problem constraints, which can be of the
form
general nonlinear constraints:
F
bounds on the design variables:
F
To solve such a constrained problem, an exact penalty function formulation was
found to be successful:
penalty parameter
single-objective,
bound-constrained problem
What can easily go wrong
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Objective functions and constraints:
are computed by LTCA programs
they are nonsmooth.
PPLTE
estimation of partial derivatives is unreliable
spurious local minima
profile
crowning
Classical optimization algorithms cannot be used
ca. 5 µm tip removal
are generally nonlinear
they may be multimodal (have multiple local minima)
obtained solutions may not be Pareto-optimal
a feasible problem may appear infeasible
A GLOBAL optimization method would be needed
Optimization algorithm requirements
To obtain a Pareto-optimal solution, an optimization algorithm is needed that
can solve
Such an algorithm must meet the following requirements:
 be able to globally solve bound-constrained problems
 handle nonsmooth (discontinuous) objective functions
 be as computationally efficient as possible
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Selected global optimization algorithm: DIRECT
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Extensive investigations of modern global nonsmooth optimization identified an
appropriate method:
The DIRECT algorithm
Features:
 be able to globally solve bound-constrained problems
 It is a global optimization method, and it requires bound constraints
 handle nonsmooth (discontinuous) objective functions
 It is based on a direct search technique: no smoothness is assumed
 be as computationally efficient as possible
 It is quite efficient on lower-dimensional problems (say, up to 20 variables)
Implementation for hypoid gears
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INPUT
achievement function
design variables
(and their bounds)
objective functions
(efficiency, pmax, LTE)
constraints
(allowable contact
area, max ease-off)
initial reference point
normalizing coeffs.,
convergence
parameters, and other
numerical parameters
generate new reference points
exact penalty function problem
OUTPUT
DIRECT global optimization algorithm,
with bound constraint handling
(implemented with archive to minimize
function calls)
interface
to LTCA
(input)
LTCA
interface
to LTCA
(output)
NO
solution
satisfactory?
YES
optimal
ease-off
Design variables
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We need to be able to control the micro-geometry, namely the ease-off topography:
 it is represented here as a
ease-off
(μm)
polynomial surface up to the
4th degree
 it can be expressed by:
4 4 i
m(u, v; x)    xij u i v j
i 0 j 0
The polynomial coefficients xij are our design variables (up to 14), to be determined:
x  ( x01, x02 ,, x40 )
Sets of design variables used in tests
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VARIABLES FOR TEST 1
 5 design variables, first- and second-degree ease-off coefficients:
pressure angle
profile crowning
spiral angle
lengthwise crowning
twist (or “warping”)
VARIABLES FOR TEST 2
 14 design variables: third- and fourth-degree ease-off coefficients are added.
Objective functions
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In the following numerical application, three (concurrent) objective functions were
chosen:
average efficiency loss
pmax, maximum contact pressure
LTE, transmission error under load
The LTCA program used to evaluate the objective functions is the Hypoid Analysis
Program (HAP), developed at The Ohio State University:
 LTCA model: Kolivand, M., and Kahraman, A., 2009. “A load distribution model for hypoid gears
using ease-off topography and shell theory.” Mech. Mach. Theory, 44(10), pp. 1848-1865.
 Efficiency model: Kolivand, M., Li, S., and Kahraman, A., 2010. “Prediction of mechanical gear
mesh efficiency of hypoid gear pairs.” Mech. Mach. Theory, 45(11), pp. 1568–1582.
Constraints
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We need to avoid edge-loading.
Allowable Contact Area (ACA)
TOE
We require that the total load L acting
outside a pre-specified ACA be zero:
L ( x)  0
ROOT
One should comply with ANSI/AGMA 2005-D03 standard, Annex F, which specifies:
min ACA
max ACA
Sample face-hobbed gear set for numerical tests
Basic design data
Value
Ratio
11:43
Offset (mm)
30.0
Shaft angle (deg)
90.0
Nominal torque (Nm)
250.0
Nominal assembly errors
E = 0.0 mm
P = 0.0 mm
G = 0.0 mm
α = 0.0 deg
Nominal operating conditions
Pinion speed (RPM)
Lubricant type
Lubricant temperature (°C)
2000
75W90
90
Pinion surface Rq roughness (μm)
1.34*
Gear surface Rq roughness (μm)
1.67*
*values for lapped surfaces, derived from:
Masseth, J., and Kolivand, M., “Lapping and superfinishing effects on hypoid gears surface finish
and transmission errors, Proc. of the ASME IDETC/CIE 2007 Conference, Sept. 4-7, 2007, Las Vegas
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Basic design conditions (drive side)
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(Basic design obtained from Gleason Special Analysis File)
average efficiency loss = 4.93% (i.e., 95.07% efficiency)
pmax, maximum contact pressure = edge-contact
gear contact pattern
edge-loading
initial ease-off
LTE, loaded transmission error (RMS) = 27.7 µrad
Reference points
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Initial reference point:
4.93%
4.00%
edge-contact
1100 MPa
27.7 µrad
0.0 µrad
basic design
Three additional reference points are then generated by the reference point method:
Results of TEST 1 (5 design variables)
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= basic design values
Results of TEST 2 (14 design variables)
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= basic design values
Conclusions
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A simulation-based optimization method has been proposed
to obtain Pareto-optimal ease-off topographies for hypoid
gears with high accuracy.
Different (equally optimal) Pareto-optimal solutions can be
obtained through reference points.
Numerical tests confirmed that contact pressures, loaded
transmission error and also efficiency can be concurrently
optimized by proper ease-off modifications.
Gear engineers can choose among a number of trade-off
solutions, eventually selecting the one that is most appropriate
for their application.
Identificazione dei parametri macchina/utensile ottimali
Una volta determinata la micro-geometria ottimale, come
risalire ai valori dei parametri macchina/utensile con cui
generare tecnologicamente tale micro-geometria?
È un problema di cinematica inversa (identificazione dei
parametri).
Modello cinematico del generatore ipoide (Gleason)
Universal Motion Concept (UMC)
modified roll
vertical motion
helical motion
ecc…
Modello del generatore cradle-style
Vettore dei parametri macchina
Modello del
profilo mola
Modello matematico del processo di generazione
Per la modellazione del metodo face-milling è stato adottato l’approccio
invariante, che non richiede sistemi di riferimento.
La superficie inviluppo generica del dente è espressa da
famiglia inviluppante
equation of meshing
dove
è il vettore dei parametri macchina.
Il vettore normale alla superficie è
, con
 La superficie di base del dente è generata con
(parametri macchina di base
ease-off nullo).
 La superficie target del dente è generabile con i parametri incogniti
(parametri macchina target
ease-off prescritto).
Definizione di ease-off target
Discretizzazione del problema:
Superficie target
Superficie di base
Griglia standard 5 x 9 (sul fianco attivo)
Vettore ease-off target (valori assegnati ai vari punti griglia):
Punti target:
Definizione di ease-off residuo
Con valori generici dei parametri macchina
:
Superficie target
Superficie
intermedia
Superficie di base
è calcolabile risolvendo il seguente sistema di 4 equazioni scalari
in 4 incognite:
Si ottiene
Formulazione come problema NLS (nonlinear least squares)
Lo scopo è minimizzare il vettore di ease-off residuo
ovvero minimizzarne una qualche norma. Se si sceglie la norma euclidea, il problema
è quello di trovare
che fornisca il minimo della funzione obiettivo (scalare)
Si tratta di un problema non lineare di ottimizzazione non vincolata ai minimi
quadrati (NLS).
è una funzione (residuo) fortemente non lineare, ed è tale che
Per risolvere il problema NLS, il metodo di
Levenberg-Marquardt con trust-region si è rivelato il più efficace.
In caso di failure di una coppia spiroconica aeronautica
Un recente progetto di ricerca DICI –
Ottimizzazione micro-geometria ingranaggi spiroconici per
transfer gearbox (TGB) ed inlet gearbox (IGB) dei motori
turbofan General Electric GEnx.
Applicazioni:
Boeing 787 Dreamliner
Boeing 747-8 Intercontinental/Freighter
Alcuni riferimenti bibliografici:
 F.L. Litvin, A. Fuentes, Gear Geometry and Applied Theory, 2nd edition, Cambridge
University Press, NewYork, USA, 2004
 J. Klingelnberg (Ed.), Kegelräder: Grundlagen, Anwendungen, Springer Verlag, 2007
 H.J. Stadtfeld, Handbook of Bevel and Hypoid Gears, Rochester Institute of Technology,
Rochester, NY, USA, 1993
 La rumorosità degli ingranaggi (2a parte), http://www.biancogianfranco.com, 2012