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Trasmissioni fra assi sghembi
La trasmissione del moto rotatorio fra assi sghembi, anche ortogonali, si realizza con
ruote dentate elicoidali o con la coppia vite senza fine – ruota a denti elicoidali.
Ingranaggi elicoidali ad assi sghembi
Si utilizzano ruote dentate elicoidali per la trasmissione del moto fra assi sghembi
solo quando gli sforzi da trasmettere sono di modesta entità, perché il contatto fra i denti
risulta concentrato in un punto e si generano quindi carichi specifici notevolmente elevati.
Fra gli angoli di inclinazione dei denti delle ruote (α1 e α2) e l’angolo ψ formato dagli assi
sghembi esista la seguente relazione:
α1 + α 2 = ψ
TRASMISSIONE AD ASSI SGHEMBI CON RUOTE CILINDRICHE A DENTI ELICOIDALI
Per l’ingranamento le due ruote debbono avere lo stesso passo normale:
pn1 = pn2
Sapendo che il passo normale (pn) è legato al passo circonferenziale (pc) dalla relazione:
pn = pc cos α
possiamo anche scrivere:
pc1 cos α1 = pc2 cos α2
Esprimendo i passi circonferenziali in funzione dei passi normali, necessariamente uguali
nelle due ruote, si può scrivere:
τ = n1/n2 = (d2 • cos α2 ) / ( d1• cos α1)
Da questa relazione si deduce che il rapporto di trasmissione negli ingranaggi fra assi
sghembi dipende dai diametri primitivi ma anche dagli angoli di inclinazione delle dentature.
Fermo restando che la semisomma dei diametri primitivi (d 1 + d2) / 2 deve essere uguale
all’interasse della trasmissione, si può variare il rapporto di trasmissione non solo variando i
diametri primitivi ma anche modificando gli angoli di inclinazione dei denti.
Nel caso, molto comune, che gli assi siano ortogonali (ψ = 90°) si ha:
cos α2 = sen α1
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e di conseguenza:
τ = n1/n2 = (d2 sen α1 ) / (d1cos α1) = d2 tg α1 / d1
Vite senza fine ruota a denti elicoidali
Questo meccanismo consente di trasmettere anche notevoli potenze con forti
riduzioni di giri fra assi sghembi ortogonali.
Il filetto della vite e i denti della ruota sono conformati in modo da ottenere un contatto
adeguato.
La vite ha normalmente uno, due o tre filetti; ai fini della trasmissione corrisponde ad un
rocchetto con uno due o tre denti. Indicando con (i) il numero di filetti della vite e con (z) il
numero di denti della ruota elicoidale si ha:
τ = n1/n2 = z /i
Ad ogni giro della vite, la ruota si sposta di un numero di denti uguale al numero di filetti
della vite. Con il profilo dei denti della ruota ad evolvente e l’angolo di pressione di 15°, i
filetti della vite risultano a sezione trapezioidale con l’angolo di apertura di 30°.
Per la continuità della trasmissione, il passo circonferenziale della ruota deve essere
uguale al passo assiale (pa) della vite.
Il passo della filettatura (distanza assiale fra due punti corrispondenti dell’elica) corrisponde
al passo assiale della vite senza fine solo quando questa è a un solo filetto. Quando la vite
è a più filetti il passo (p) corrisponde all’avanzamento di un punto del filetto ad ogni giro
della vite:
p = i • pa.
VITE A DUE FILETTI:
P = PASSO DEL FILETTO
Pa = PASSO ASSIALE
α = ANGOLO DI INCLINAZIONE DEL FILETTO RISPETTO AD UN
PIANO NORMALE ALL’ASSE DELLA VITE
Il rendimento del meccanismo si può ritenere uguale al rendimento di una coppia vite –
madrevite con il filetto quadrato:
η = tg α / tg (α + φ)
Con φ si indica l’angolo di attrito la cui tangente corrisponde al valore numerico del
coefficiente d’attrito tra i materiali a contatto.
Per il proporzionamento della vite e della ruota, data la potenza ( P ) da trasmettere, il
numero di giri/min della vite (n1) e della ruota (n2) e l’angolo d’attrito φ, si deve:
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fissare l’angolo α; se si vuole che il meccanismo risulti irreversibile deve essere α < φ;
nei meccanismi reversibili l’angolo α non supera in genere i 25° (con valori superiori il
diametro del nucleo resistente della vite si riduce eccessivamente); per evitare che il
diametro del nucleo risulti troppo piccolo, per α > 8° normalmente si adottano viti con
due o tre filetti; ordinariamente si assume d1 = 8 ÷ 10 mn, poi si verifica se il diametro è
sufficiente per il momento flettente ideale cui è soggetto;
calcolare il rendimento del meccanismo, con la formula già vista;
calcolare il momento torcente Mt2 agente sull’asse della ruota; per (P) in [kW] e Mt2 in
[daNmm] si ha:
Mt2 = 955000 η P / n2;
fissare il numero di denti della ruota e determinare il numero di filetti secondo il rapporto
di trasmissione da ottenere;
calcolare il modulo frontale della ruota mc2 , con le relazioni già viste per le ruote
cilindriche a denti elicoidali:
metodo Reuleaux:
mc = ³√(10,5 / λ) ³√(Mt2 / K’ z cos2α)
metodo Lewis:
mc = ³√( 2 Mt / λ K’ y z cos2 α)
In questo caso il valore di λ varia da 10 a 20; (K) si sceglie in funzione della velocità
periferica della ruota elicoidale (in generale si adotta il valore statico per velocità inferiori a
1 m/s e il valore dinamico per velocità superiori).
Calcolato il modulo (mc) si possono determinare le altre grandezze geometriche della ruota
e della vite.
Poiché la coppia vite senza fine – ruota elicoidale è di fatto un ingranaggio elicoidale ad
assi sghembi ortogonali, il passo assiale della vite è uguale al passo circonferenziale della
ruota (pa1 = pc2) il modulo assiale della vite è quindi uguale al modulo circonferenziale della
ruota (ma1 = mc2) e, viceversa, il modulo circonferenziale della vite è uguale al modulo
assiale della ruota (mc1 = ma2). I moduli normali della vite e della ruota sono uguali.
Elementi della ruota
- passo circonferenziale: pc2 = mc2 π
- passo
normale:
pn2 = mn2 π
- passo assiale:
pa2 = ma2 π
- modulo assiale: ma2 = mc2 / tgα
- modulo normale: mn2 = mc2 cosα
- diametro primitivo:
d2 = mc2 z
- diametro di testa: de2 = d2 + 2mn2
- diametro di base: di2 = d2 - (14/6) mn2
Stabilito il diametro primitivo in base a regole geometriche, si può verificare se la velocità
periferica della ruota corrisponde a quella ipotizzata per la scelta del carico di sicurezza
(K):
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v = (π • d2 • n2) / 60
Elementi della vite
- passo circonferenziale:
- passo
normale:
- passo assiale:
pc1 = pa2
pn1 = pn2
pa1 = pc2
- modulo assiale:
ma1 = mc2 = pa1 / π
- modulo circonferenziale: mc1 = ma2 = pc1 / π
- modulo normale: mn1 = mn2 = pn1 / π
Fra il diametro primitivo della vite d1, il passo assiale pa1 e il numero di filetti (i) intercorre la
relazione:
i • pa1 = π • d1 • tg α
quindi:
- diametro primitivo:
d1 = i • pa1 / π • tg α
- diametro di testa: de1 = d1 + 2mn1
- diametro del nucleo:
di1 = d1 - (14/6) mn1.
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