UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI UDINE Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale Industriale GESTIONE DELLA PRODUZIONE Modello matematico del job-shop: applicazione al caso Aero Components Ltd. prof. ing. Alberto F. De Toni Sommario 1. Costruzione di un modello matematico per un sistema produttivo job-shop 2. Modello matematico: rappresentazione grafica 3. Caso Aero Components Ltd.: applicazione del modello matematico prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 2 Modello matematico: esempio di sistema produttivo job-shop Un’officina meccanica fabbrica componenti destinati ad una successiva fase di montaggio: NC 4000 NR 60 n6 codici reparti operazioni ore 6 operazione valore minimo: nmin 2 valore massimo: nmax 20 operazioni operazioni 1 1 40 T giorno WIP 800 lotti WIP * 1.000.000 € Cicli di lavorazione tutti diversi l’uno dall’altro ed un turno di lavoro al giorno prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 3 Calcolo numero medio operazioni e costi diretti Ricaviamo i parametri: n, numero medio di operazioni del ciclo, dalla relazione: x n a operazioni giorno (1.1) ossia si ha, in base all’Eq. (1.1): nax operazioni (1.2) * , valore medio dei costi diretti (manodopera, ammortamento, ecc.) imputabile ad ogni operazione di un lotto esprimibile come: l* ax * prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 € operazione (1.3) 4 Calcolo del Work In Process Il WIP (Work In Process), numero di lotti mediamente presenti nel sistema produttivo, è esprimibile come: WIP a T lotti (1.4) Può essere espresso in funzione dei parametri assunti come indipendenti, ottenendo quindi: a WIP T * * l* m 2 € (1.5) dato dal prodotto di: a / T , numero di lotti mediamente presenti nel sistema produttivo; * ( m + l /2), somma del valore delle materie prime e della metà dei costi diretti del lotto medio; mediamente ogni lotto ha un 50% di costi già assorbiti e un 50% di costi da assorbire. * prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 5 Calcolo di tempo di attraversamento e operazioni in un giorno Il tempo medio di attraversamento può essere calcolato in base all’Eq. (1.4). Si ha così: a WIP T 800 20 40 giorni dove il WIP (Work In Process) rappresenta il numero di lotti mediamente presenti nel sistema produttivo e T è l’intervallo medio di tempo tra l’ingresso nel sistema produttivo di un lotto ed un altro. Il numero medio di operazioni eseguite in un giorno risulta essere: X n 1 T operazioni giorno (1.6) dove n è il numero medio di operazioni del ciclo e 1/ T è il numero di lotti entranti mediamente in un giorno. Con riferimento all’Eq. (1.6), dai dati in ingresso si ottiene: X n prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 operazioni 1 6 40 240 T giorno 6 Calcolo del numero medio di operazioni per giorno lotto Dalle Eq. (1.1), (1.4) e (1.6) il parametro x, numero medio di operazioni eseguite su un lotto in un giorno, è pari a: x operazioni n n / T X 240 0,3 a a / T WIP 800 giorno Il numero di operazioni relative ai lotti che costituiscono il WIP risulta essere: WIP n 4800 operazioni WIP n 2400 2 operazioni Si noti che: coincide con numero di operazioni mediamente già eseguite in ogni istante: 50% (il lotto “medio” del WIP ha 50% di operazioni eseguite e 50% da eseguire). prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 7 Calcolo di tempo di attraversamento e capacità produttiva In base all’Eq. (1.1), il tempo medio di attraversamento valutato secondo il numero minimo e massimo di operazioni eseguite su un lotto risulta rispettivamente: amin nmin 2 6, 6 x 0,3 amax nmax 20 66,6 x 0,3 giorni con il ciclo più breve, e giorni con ciclo più lungo. La capacità produttiva giornaliera CP risulta: ore (1.7) giorno dove X è il numero medio di operazioni eseguite in un giorno e è il tempo medio di impegno di una macchina per l’esecuzione di una operazione del ciclo su un lotto. CP X prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 8 Calcolo del tempo medio di lavorazione di un lotto Si noti che il parametro , può essere espresso come: tattrezz . j ore operazione (1.8) dove tattrezz . è il tempo medio di attrezzaggio, j è il tempo unitario medio di lavorazione e è la dimensione del lotto; è inoltre esprimibile come rapporto fra l, tempo medio di lavorazione per l’esecuzione di tutte le operazioni di un lotto ed n, numero medio di operazioni di un ciclo, ossia si ha: l n ore operazione (1.9) In base all’Eq. (1.9), si ha: l n 6 6 36 prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 ore 9 Calcolo della capacità produttiva Dalle Eq. (1.6) (1.7) e (1.9), la capacità produttiva CP può essere scritta nella forma: CP X n l T T ore giorno (1.10) cioè come prodotto di l, tempo medio di lavorazione per l’esecuzione di tutte le operazioni di un lotto e 1/ T , numero di lotti entranti mediamente in un giorno nel sistema produttivo. Con riferimento all’Eq. (1.10), si ha: ore CP X 240 6 1440 giorno prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 10 Calcolo del numero di macchine Il numero complessivo di macchine NM risulta: CP 1440 180 macchine h 8 dove h è il numero di ore lavorative al giorno. Infine il numero medio di macchine per reparto è dato dal rapporto: NM numero medio di macchine per reparto NM 180 3 NR 60 dove NM è il numero totale di macchine e NR è il numero di reparti. prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 11 Rapporto fra value added time e total time Un primo parametro fondamentale per la valutazione dell’efficienza e produttività del sistema produttivo risulta il rapporto tra value added time e total time, ossia fra il parametro l, tempo medio di lavorazione per l’esecuzione di tutte le operazioni di un lotto ed a, tempo medio di attraversamento: value added time l total time a Posto il numero di ore lavorative al giorno pari a: ore h 8 giorno il tempo medio di attraversamento a risulta quindi: a 160 (1.11) ore In base all’Eq. (1.11), si ha: value added time l 36 0, 225 22,5% total time a 160 prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 12 Value added time, total time e lead time value added time total time 1 produzione ripetitiva 0 value added time 1 total time produzione intermittente produzione a prodotto singolo 0 prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 a giorni 13 Valori del parametro x Una particolare attenzione merita inoltre il parametro x, numero di operazioni per lotto e per giorno: x n a operazioni giorno che risulta una caratteristica di ciascun sistema produttivo; dove n è il numero medio di operazioni di un ciclo ed a è il tempo medio di attraversamento. Nei casi realmente osservati tale parametro assume valori compresi nell’intervallo: 0,2 x 0,4 prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 14 Valutazione della saturazione tramite il parametro x x operazioni giorno n = costante bassa saturazione 0,4 alta saturazione 0,2 a prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 giorni 15 Definizioni del parametro x Nell’esempio considerato il parametro x è pari a: x operazioni n 6 0,3 a 20 giorno Un’altra possibile definizione del parametro x, emersa durante la ricerca, è la seguente: operazioni (1.13) giorno dove X è il numero di operazioni eseguite mediamente in un giorno e il WIP è il numero medio di lotti presenti nel sistema produttivo. x prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 n n / T X a a / T WIP 16 x determina il tempo di attraversamento Sia dato ad esempio: x 0, 25 operazioni / giorno ni 2 ai 2 8 0, 25 ni 6 ai 6 24 0, 25 giorni ni 10 ai 10 40 0, 25 giorni se giorni Il parametro x è quindi di estrema utilità in programmazione della produzione per la determinazione degli attraversamenti standard dei singoli lotti in funzione del numero di operazioni. prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 17 Modello matematico: riassunto dei parametri (1/7) valore valore medio di sistema valore medio di sistema valorizzato (€) valore medio riferito al lotto valore riferito al lotto i-esimo valore medio riferito al lotto valorizzato (€) valore riferito al pezzo j-esimo - - a ai - - giorni giorni n ni - - operazioni operazioni - - - - - - - mi* m* m j* € € € pezzo descrizione Tempo di attraversamento Numero di operazioni di un ciclo Intervallo di tempo tra l’ingresso nel sistema produttivo di un lotto ed un altro - T - giorni Valore del materiale prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 - 18 Riassunto dei parametri (2/7) valore valore medio di sistema valore medio di sistema valorizzato (€) valore medio riferito al lotto valore riferito al lotto i-esimo valore medio riferito al lotto valorizzato (€) valore riferito al pezzo j-esimo NC - - - - - - - - - - - i - - pezzi pezzi - - - - descrizione Numero di differenti componenti che costituiscono la gamma di codici lavorati codici Numero di ordini all’anno dello stesso codice NO 1 anno codice Dimensione del lotto - Numero di giorni lavorativi nel mese G - giorni mese prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 19 Riassunto dei parametri (3/7) valore valore medio di sistema valore medio di sistema valorizzato (€) valore medio riferito al lotto valore riferito al lotto i-esimo valore medio riferito al lotto valorizzato (€) valore riferito al pezzo j-esimo h - - - h* - descrizione Numero di ore lavorative al giorno ore giorno Numero di reparti NR € giorno - - - - - li l* lj ore ore € ore pezzo tattrezz . tattrezz . i - - ore operazione ore operazione reparti Tempo di lavorazione per l’esecuzione di tutte le operazioni del ciclo - Tempo di attrezzaggio - prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 - - l 20 Riassunto dei parametri (4/7) valore valore medio di sistema valore medio di sistema valorizzato (€) valore medio riferito al lotto valore riferito al lotto i-esimo valore medio riferito al lotto valorizzato (€) valore riferito al pezzo j-esimo Tempo di coda per l’esecuzione di una operazione - - tcoda oper . tcoda oper . i - - ore operazione ore operazione Tempo di movimentazione per l’esecuzione di una operazione - tmov. oper . tmov. oper . i - - ore operazione ore operazione Tempo di coda e movimentazione per l'esecuzione di una operazione - tcm tcm i - - descrizione - - tcoda op. tmov. op. ore operazione prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 tcoda op. tmov. op. i i ore operazione 21 Riassunto dei parametri (5/7) valore valore medio di sistema valore medio di sistema valorizzato (€) valore medio riferito al lotto valore riferito al lotto i-esimo valore medio riferito al lotto valorizzato (€) valore riferito al pezzo j-esimo - - tcoda ciclo tcoda ciclo i - - - - - - descrizione Tempo di coda per l'esecuzione di tutte le operazioni del ciclo Tempo di movimentazione per l'esecuzione di tutte le operazioni del ciclo Numero di lotti entranti in un giorno nel sistema produttivo n n k 1 k 1 giorni giorni tmov. ciclo tmov. ciclo i tcoda oper . k tcoda oper . - - n - tmov. oper . i giorni giorni - k n tmov. oper . k k 1 1 T i k 1 - k NC NO 1 giorno prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 22 Riassunto dei parametri (6/7) valore valore medio di sistema valore medio di sistema valorizzato (€) valore medio riferito al lotto valore riferito al lotto i-esimo valore medio riferito al lotto valorizzato (€) valore riferito al pezzo j-esimo - - - - - - l n l i i ni l* n ore operazione ore operazione € operazione ore oper. pezzo - - WIP * - descrizione Totale pezzi lavorati annualmente N 1 T pezzi anno Tempo totale di impegno di una macchina per l’esecuzione di una operazione Numero di lotti presenti nel sistema produttivo - WIP * WIP a T lotti prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 a * l* m T 2 € * m* j lj n l* 2 € 23 Riassunto dei parametri (7/7) valore valore medio di sistema valore medio di sistema valorizzato (€) valore medio riferito al lotto valore riferito al lotto i-esimo valore medio riferito al lotto valorizzato (€) valore riferito al pezzo j-esimo - - - - descrizione Numero di operazioni eseguite in un giorno X n T - operazioni giorno Durata di una operazione Capacità produttiva - CP n a operazioni giorno - l T x y a n xi ni ai operazioni giorno yi ai ni giorni operazione giorni operazione - - - - - - - - - - ore giorno Numero di macchine NM CP h macchine prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 24 Sommario 1. Costruzione di un modello matematico per un sistema produttivo job-shop 2. Modello matematico: rappresentazione grafica 3. Caso Aero Components Ltd.: applicazione del modello matematico prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 25 2. Rappresentazione grafica: rapporto fra value added time e total time • Definizione geometrica del rapporto tra value added time e total time: value added time l tg total time a • dove la Valore limite massimo: value added time 1 total time • Angolo limite massimo: 4 = 45° prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 l a 26 Legge di Little Lead time è proporzionale al WIP (a α WIP) WIP = CAPACITA’ PRODUTTIVA * LEAD TIME = CP * a WIP = (m + l/2) * a/ΔT = (m/ΔT + l/2 ΔT) * a = (m/ΔT + CP/2) * a = (a/ΔT) * m+ (1/2)CP * a = n. lotti presenti * m + (1/2)CP * a prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 27 Modello del Job Shop 1/ΔT = 40 [1/gg] 1/ΔT 800 = a/ΔT = n° lotti presenti a = 20 gg CP = l/ΔT = 36 * 40 = 1440 prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 28 Rappresentazione grafica del WIP (lotto singolo) l l/2 m m a WIP* (lotto singolo) = m + l/2 prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 29 Rappresentazione grafica del WIP l m a/ΔT WIP* = n° lotti * WIP* (lotto singolo) = a/ΔT * (m + l/2) prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 30 Aumento del valore aggiunto l l a prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 31 Compressione dei tempi • Diminuzione tempo di coda e movimentazione l a a prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 32 Diminuzione del WIP fino al valore minimo value added time total time l 45° a T l T a T a T produzione in linea valore max = 1 0 Tempo di attraversamento a prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 a a a l valore minimo value added time l total time a 0 33 Sommario 1. Costruzione di un modello matematico per un sistema produttivo job-shop 2. Modello matematico: rappresentazione grafica 3. Caso Aero Components Ltd.: applicazione del modello matematico prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 34 3. Caso Aero Components Ltd.: descrizione dell’azienda • Sub-fornitore di aziende per la costruzione di turbine idrauliche, a vapore, a gas • Costruzione di grandi componenti (o particolari) • Lavorazioni presso terzi: trattamento termico, fusioni speciali • Consegne alla fine di ciascuno dei successivi 12 mesi • Manodopera di altissimo livello nell’allestimento ed azionamento delle macchine utensili prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 35 Dati in ingresso • ore l j 15 pezzo tempo medio di lavorazione per l’esecuzione di tutte le operazioni del ciclo su un pezzo • n 30 40 35 operazioni numero medio di operazioni di un ciclo • NR 15 reparti numero di reparti • a 3 7 5 mesi tempo medio di attraversamento • NC 500 codici • € m j * l j * 100 300 200 pezzo costo di fabbricazione singolo pezzo (di cui il 50% è costituito dalle materie prime procurate dal cliente) 10 pezzi dimensione del lotto 1 NO 5 anno codice numero medio di ordini (lotti) all’anno dello stesso codice • • prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 numero di differenti componenti che costituiscono la gamma di codici lavorati 36 Calcolo del Work In Process • 1 1 1 NC NO 500 5 2500 208,3 mese T anno • WIP a 5 208,3 1042 lotti numero medio di lotti presenti nel sistema produttivo T • numero di lotti entranti mediamente in un mese nel sistema produttivo * l j* a WIP mj 1.042.000 521.000 1.563.000 € T 2 * gravante sul cliente valore dei lotti presenti nel sistema produttivo gravante sull’azienda Ipotesi: giorni G 20 mese prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 1 208,3 1 10, 4 T 20 giorno 37 Calcolo della capacità produttiva e del numero di macchine • X n 1 35 10, 4 364 operazioni T numero medio di eseguite in un giorno giorno • x n n / T X 364 0,35 operazioni a a / T WIP 1042 • CP l j 1 10 15 10, 4 1560 T CP 1560 195 macchine h 8 • NM • NM 195 macchine 13 NR 15 reparto prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 giorno giorno ore operazioni numero medio di operazioni eseguite su un lotto in un giorno capacità produttiva numero medio di macchine numero medio di macchine per reparto 38 Rapporto fra value added time e total time value added time l l x x total time a n • n l k k 1 n k 1 jk l j 10 15 150 ore • a l tcoda ciclo tmov. ciclo 800 ore • value added time l 150 0,1875 18, 75 % total time a 800 prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 tempo medio di lavorazione per l’esecuzione di tutte le operazioni di un lotto tempo medio di attraversamento 39 Calcolo dei tempi di impegno macchina, coda e movimentazione tempo medio di impegno di una macchina per l’esecuzione di una operazione su un lotto giorni tattrezz. j 1 operazione • d • value added time l l x x x 0,1875 total time a n • a n 35 187 giorni x • y 0,1875 1 a 187 giorni 5,3 x n 35 operazione durata media operazione • y value added time 5,3 0,1875 1 giorni • tcm y 1 value added time 5,3 (1 0,1875) 4,3 prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 singola operazione total time total time della operazione giorni tempo di coda e movimentazione 40 Valutazione del grado di saturazione dell’impianto operazioni x giorno n = costante 0.6 0, 2 x 0, 4 saturazione 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 a giorni 0 0 prof. ing. A.F. De Toni – A.A. 2004/2005 50 100 150 200 41