Sesta settimana
L'aberrazione
Il tempo in Astronomia
Giorno e anno
Le irregolarità del giorno
Esercizi
09/05/05
C. Barbieri Astronomia I A.A:20042005
1
L’aberrazione della luce
Mentre precessione e nutazione sono fenomeni dovuti alla variabile
orientazione dell'osservatore rispetto alle stelle fisse, l'aberrazione invece è
dovuta alla finita velocità della luce c, e alla variabile direzione del vettore
velocità dell'osservatore rispetto alla direzione della sorgente celeste.
Oleg Roemer, assistente di J. D. Cassini a Parigi, ottenne il primo valore
attendibile di c dai ritardi o anticipi delle occultazioni di Io. Nel 1727 G.
Bradley scoprì l'effetto di questa velocità finita come periodica variazione
delle coordinate apparenti di  Dra (una stella non troppo distante dal polo
eclittico).
Solo dopo 150 anni Foucault e Fizeu ottennero il valore di c con misure di
laboratorio.
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Geometria Sole-Terra - Giove - Io
Le osservazioni di
Roemer dimostrano
che Io anticipa o
ritarda di  = 8m19s
alla opposizione o
congiunzione
rispetto alle
quadrature:
t    a cos(  J )
Ovviamente la configurazione 4 non è direttamente osservabile.
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L’aberrazione solare - 1
La Terra descrive al Sole un'orbita che per ora possiamo considerare circolare,
con raggio a = 1 UA e con velocità uniforme V la cui direzione è
perpendicolare al raggio vettore.Il modulo è dato da:
a
V  2  na  30 km/s
P
essendo P il periodo siderale e n ( 3548”/day) il cosiddetto moto medio.
La luce percorre l'UA nel tempo a  8m19s (una quantità chiamata tempo di
aberrazione, o tempo luce per la distanza unitaria). Per l'osservatore
geocentrico, in quegli 8m17s il Sole si sarà mosso dalla sua posizione apparente
(quando la luce lo lasciò) a quella geometricamente corretta ma inosservabile
che corrisponde all'arrivo della luce. La distanza angolare tra le due posizioni è:
a
V
K  2
 n a   0.0001
Pc
c
09/05/05
(radianti), cioè: K  20”.6
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L’aberrazione solare - 2
La teoria completa tiene conto della ellitticità dell'orbita: il vettore V si può
scomporre in due componenti, una perpendicolare al semiasse maggiore Vt, e
una normale al raggio vettore Vr.
e  0.0167 è l'eccentricità e
a è il semi-asse maggiore
dell'orbita terrestre,
P è il perielio.
L'espressione delle due
componenti è:
Vr 
na
1  e2
nae
1
Vt 
 Vr
2
60
1 e
Si noti che Vt è costante anche in direzione e verso.
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L’aberrazione solare - 3
La costante di aberrazione solare è allora più propriamente:
Vr
na
K

 20".495
2
c c 1 e
La componente Vt è responsabile della cosiddetta aberrazione ellittica Ke  0”.343
 0s.023, che cambia di giorno in giorno, e in linea di principio è osservabile dalla
Equazione del Tempo (che vedremo più avanti). In totale, la differenza in
longitudine eclittica tra il Sole aberrato (quello osservabile) e quello geometrico è:
     K 1  e cos(   )
essendo  la longitudine del perigeo (a 180° dalla longitudine del perielio;
all'epoca presente   18h48m).
Una corrispondente equazione deve essere applicata alla differenza delle
Ascensioni Rette.
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L’aberrazione annua - 1
L'aberrazione annua delle stelle fisse fu scoperta da Bradley osservando
la stella  Dra al cerchio meridiano. Nel corso dell'anno, la declinazione
della stella oscilla di circa 20”.5 attorno a una posizione media,
raggiungendo la massima deviazione alla opposizione o congiunzione
solare. Questo movimento è troppo grande per essere attribuibile a un
effetto di distanza (parallasse) e per di più è sfasata di 3 mesi rispetto a
questa. Inoltre, Bradley fu colpito dalla coincidenza numerica con il
valore della aberrazione solare e pertanto sospettò che la causa fosse la
stessa, vale a dire la velocità finita della luce.
Ovviamente anche la AR doveva essere come la declinazione, ma
Bradley non aveva a disposizione orologi sufficientemente precisi per
misurare tale effetto.
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L’aberrazione annua - 2
Una serie di posizioni di  Dra dal 1920 al 1941, durante una completa
rivoluzione dei nodi dell'orbita lunare. Si può distinguere un piccolo effetto
precessionale (piccolo per la prossimità della stella al polo eclittico), la nutazione
sempre scoperta da Bradley stesso (la sinusoide con periodo 18.6 anni), e
finalmente la variazione annua dovuta alla aberrazione. La scoperta di Bradley
provò definitivamente la correttezza dell'ipotesi di Roemer, fornì un metodo
diretto per determinare K e una seconda e più precisa maniera di determinare c.
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L’aberrazione annua - 3
Un modo intuitivo di capire e misurare l'aberrazione annua è il seguente, basato
sulle leggi galileiane di trasformazione delle velocità (vedi Figura): sia C il centro
dell'obiettivo del telescopio, E l'intersezione dell'asse ottico con il piano focale,
cosicché EC è la direzione della visuale. Il vettore velocità della Terra V punta
verso una istantanea direzione chiamata apice del moto. Sia  l'angolo tra la
visuale e l'apice, nel piano definito dalle due direzioni. Durante il tempo t
impiegato dalla luce per percorrere la distanza CE, la Terra si muove di Vt =
(V/c)CE. Dunque il telescopio deve essere puntato in direzione ’, non ,
inclinandolo verso la direzione dell'apice. Dalla figura, si vede facilmente che:
sin(   ')  sin 
V
V
sin '  sin(   )  
c
c
V
essendo la componente della velocità
sin ' terrestre perpendicolare alla apparente
c
direzione della stella.
apice
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L’aberrazione annua - 4
Si noti che l'effetto è indipendente dalla lunghezza d'onda, dalla lunghezza
focale del telescopio, dalla distanza dell'astro e anche dalla sua velocità
radiale: l'aberrazione è assolutamente la stessa per stelle, galassie, coppie di
stelle o coppie di galassie (a parte il piccolissimo effetto dovuto alla piccola
differenza di posizioni relative).
Ci si potrebbe anche chiedere quale sia il valore corretto di c da usarsi con
osservazioni terrestri, cioè se il valore di c nel vuoto o in aria (i due
differiscono per circa 67 km/s in normali condizioni di temperatura e
pressione, cioè una differenza ben misurabile). La risposta corretta è la
velocità nel vuoto: dato che l'atmosfera partecipa dello stesso moto di
traslazione della Terra, nessun addizionale effetto di aberrazione è introdotto
dalla sua presenza (la rifrazione atmosferica è uno dei fattori che più limitano
la precisione delle osservazioni da Terra, ma questo è un effetto
completamente diverso). La prova sperimentale fu fornita nel 1872
dall'astronomo reale G. B. Airy, riempiendo d'acqua il suo telescopio.
L'aberrazione non cambiò valore.
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10
L’aberrazione relativistica
Questa trattazione non è del tutto corretta, come si vede dalla precedente figura,
in cui il vettore risultante ha modulo > c, e dunque la costruzione viola la
Relatività Ristretta. Tuttavia la differenza con la teoria precisa è piccola,
essendo dell’ordine di (V/c)2. Più precisamente:
2
1V
sin  Rel  sin  Galil    sin 2 '
2 c 
in funzione dell'osservabile ’. Si noti la dipendenza della correzione da
sin2, non da . Dunque, la formula elementare è approssimata a termini
1.
2.
dell'ordine di (V/c)2 per due distinte ragioni:
Si sono trascurati termini di ordine superiore nelle espansioni
trigonometriche
Si sono usate regole di trasformazione non corrette
Numericamente, le due espressioni, galileiana e relativistica, danno lo stesso
valore entro 0”.002.
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Effetto dell’aberrazione annua sulle
coordinate stellari - 1
Nell'ipotesi semplificativa di orbita circolare, nel corso dell'anno V ruota di 360°
nel piano dell'eclittica con modulo costante e puntando sempre a 90° dal Sole;
conseguentemente, una stella di latitudine eclitticale  apparirà descrivere nel
corso dell'anno un'ellisse di semiasse maggiore parallelo al piano eclittico e pari a
K, e un semiasse minore perpendicolare all'eclittica pari a K·sin; l'ellisse degenera
pertanto in un cerchio se la stella è al polo eclittico, e in un segmento sulla eclittica
stessa per una stella eclitticale. Dunque si constata che la stella non viene mai vista
dove davvero è (se non due volte all'anno se è eclitticale).
Come si è detto, le dimensioni della ellisse sono le stesse per tutti i corpi celesti
(pianeti, stelle, galassie, quasars, etc.) aventi la stessa latitudine eclittica, e non
riflettono l'ellitticità dell'orbita terrestre. In altre parole, l'aberrazione annua causa
una lieve distorsione della volta celeste, a differenza dalla precessione e nutazione
che invece sono rotazioni rigide.
Così come la rivoluzione annua, qualunque altra velocità periodica dell'osservatore
si manifesterà come aberrazione, ad es. la rotazione diurna, o la rivoluzione attorno
al baricentro Terra-Luna, con il periodo e l'ampiezza corrispondenti.
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Effetto dell’aberrazione annua sulle
coordinate stellari - 2
La posizione apparente della stella sul
grande cerchio passante per essa è S’,
spostata cioè da S verso T’ della quantità
K; T’ a sua volta è sull'eclittica a 90°
dietro al Sole. Data la piccolezza di K
possiamo usare trigonometria piana nel
triangolo SS’U; dopo semplici passaggi,
otteniamo:
( '  ) cos    cos    K cos(   )
(  '  )     Ksin (   )sin 
Nel corso dell'anno, la stella traccia il luogo:
  cos  
09/05/05
2
2
  
2


K

sin



che è l'ellisse di aberrazione annua, di
semiasse maggiore K.
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Effetto dell’ellitticità dell’orbita
Aggiungiamo ora l'effetto della piccola ellitticità e dell'orbita terrestre, cioè la
piccola e costante componete di velocità K·e perpendicolare al semiasse
maggiore. Innanzitutto, il valore della costante K si deve intendere come:
Vr
na
K

 20".495
2
c c 1 e
In secondo luogo, l'effetto della componente perpendicolare è il seguente: la
posizione geometrica della stella non è esattamente il centro dell'ellisse di
aberrazione, ma è spostata di 0”.343 in una direzione la cui longitudine è:
 =  - 90°, cioè a 90° dalla longitudine geocentrica del perigeo del Sole. Questo
spostamento (quasi) costante è chiamato aberrazione ellittica, e vale:
e  eK cos  cos      e  eK sin      sin 
che sono i cosiddetti ' termini E ' della aberrazione annua.
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Aberrazione annua in coordinate equatoriali-1
Ignorando i piccoli termini E, e
chiamando
( X , Y , Z )
le componenti del vettore velocità della
Terra, i cui valori approssimati sono:
X  0.0172 sin 
Y  0.0158 cos
Z  0.0068 cos
si ha:

sin  sin   cos  cos  cos 
1  X sin   Y cos 




'




K


cos 
c
cos 

   '    K (sin  cos  cos   cos  sin  sin   cos  sin  sin  cos  ) 



1
 ( X cos  sin   Y sin  sin   Z cos  )
c
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Aberrazione annua in coordinate equatoriali-2
Per rimuovere l'aberrazione ellittica, dobbiamo aggiungere i termini (quasi)
costanti:
  Ke sin  sin   cos  cos  cos  / cos 
  Ke sin  cos  cos  cos  sin   sin   cos  sin  cos 
per l'FK5 e tutti i cataloghi su esso basati. La correzione dunque prende la forma:
 '  Cc  Dd
 '  Cc'Dd '
in cui C, D dipendono dalla longitudine del Sole (cioè dalla data), mentre c, c’,d, d’
dipendono dalle coordinate della stella e dalla obliquità dell'eclittica . Si noti la
somiglianza formale con l'espressione della nutazione, benché le basi fisiche siano
così diverse.
Abbiamo già detto che l'aberrazione implica una lieve distorsione della volta
celeste. Dunque la distanza angolare s tra due stelle, e il loro angolo di posizione p
verranno alterati. Per dare un ordine di grandezza, su un arco di 1° il massimo
effetto è di 0s.02/cos  in , di 0”.3 in .
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L’aberrazione diurna
La velocità di rotazione diurna sarà responsabile di un simile effetto, benché di
ampiezza molto minore e dipendente dalla latitudine geocentrica ’
dell'osservatore. Infatti, la velocità diurna vale circa 0.46 km/s all'equatore, il
suo apice è sul piano equatoriale a 90° dal meridiano e verso Est, cioè di
coordinate equatoriali:
   TS  6h ,    0
dove TS è il tempo siderale locale. L'ellisse di aberrazione diurna è dunque
parallela al sistema equatoriale e la sua piccolezza consente di usare le formule al
primo ordine. Per un osservatore in latitudine geocentrica ’ a distanza  km dal
centro della terra, la differenza è:
dHA  -d  0s.021(  cos  '/ c) cos HA / cos 
d  0".320(  cos  '/ c) sin HA sen 
  7.292 105 s 1
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Aberrazione stellare e planetaria
Abbiamo visto che la correzione per aberrazione annua fornisce la direzione
geometrica all'astro al tempo in cui la luce arriva all'osservatore. Ma
nell'incognito intervallo di tempo tra l'emissione e la ricezione l'astro sarà
andato da qualche altra parte. Per oggetti del Sistema Solare però questa
informazione è disponibile con alta precisione, per cui possiamo tener conto
del tempo di propagazione della luce dall'oggetto a noi, diciamolo  = /c se
 è la distanza (km) del corpo dalla Terra. Solitamente  non supera i 60
minuti.
Con il termine aberrazione planetaria intenderemo allora la somma della
aberrazione annua (che affetta anche le stelle del campo) più il termine di
propagazione. La posizione 'vera' del corpo è allora:
 t   '   
d
dt
 t   '   
d
dt
in cui le derivate sono conosciute dagli elementi orbitali, e i termini di
aberrazione ,  sono gli stessi di quelli delle stelle circostanti.
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La deflessione gravitazionale della luce - 1
C'è un altro effetto dovuto alla propagazione della luce che non era incluso nel
trattamento pre-1984, cioè la deflessione gravitazionale della luce da parte della
massa del Sole. Karl Schwarzschild nel 1915 introdusse un raggio tipico
associato con un corpo sferico di massa M, il cosiddetto raggio di Schwarzschild:
rS  2
GM
c2
il cui valore è circa 1.5 km per il Sole e 0.88 cm per la Terra (come si è detto
nell'Introduzione al corso). L'influenza della massa del Sole su un raggio radente
ne renderà il cammino lievemente concavo verso il Sole, cosicché l'osservatore
terrestre vede la stella lievemente spostata verso l'esterno, della quantità:
rS
rS
  (1   )  (1   )
R
a 
sono rispettivamente l'UA e il
a ,  raggio angolare del Sole (circa 16').
La costante  vale 0 nella teoria newtoniana e 1 in Relatività Generale; dunque
 è 0”.875 nel primo caso, 1”.75 nel secondo. Tutte le misure confermano il
valore relativistico con alta precisione.
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La deflessione gravitazionale della luce - 2
Si noti che la deflessione è indipendente dalla lunghezza d'onda, è identica in
campo X, o ottico, o radio. In effetti le misure radio sono molto più precise di
quelle ottiche. Dato che il campo gravitazionale relativistico agisce come un
mezzo di indice di rifrazione diverso da 1, al posto della deflessione si può anche
misurare (sempre in campo radio) il ritardo di propagazione dell'onda (detto anche
ritardo di Shapiro). Lo spostamento radiale verso l'esterno diminuisce linearmente
con la distanza angolare dal centro del Sole:
E 
rS 1  cos E
1
 0".00407
E
a
sin E
tan
2
A incidenza davvero radente, se il diametro solare vale 0°.25, lo spostamento è
pari a 1”.866. Si noti che a 45° dal centro del Sole lo spostamento è ancora a
livello di 0”.01, e di 0”.004 a 90°. Una appropriata proiezione di questo angolo nel
riferimento equatoriale permetterà la determinazione delle correzioni da applicare
alle coordinate apparenti.
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20
Il tempo in astronomia
In molte considerazioni precedenti abbiamo usato la variabile tempo.
Il tempo entra anche nella descrizione newtoniana dei movimenti come
variabile indipendente fondamentale nelle equazioni differenziali.
Diamo ora varie definizioni operative del tempo, assieme alle varie
trasformazioni tra di esse.
Considereremo quattro diverse scale temporali, cioè:
tempo siderale, tempo solare, tempo dinamico, tempo
atomico.
Le prime 3 scale sono strettamente associate alle osservazioni astronomiche,
l'ultima a mezzi di laboratorio.
Quando sarà necessario ricorrere a considerazioni di Relatività Generale, si
dovrà distinguere tra tempo proprio e tempo delle coordinate. Il tempo
diverrà allora la quarta componente della complessiva geometria spaziotemporale.
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21
La rotazione diurna
La rotazione diurna avviene attorno a un asse polare che consideriamo qui fisso
rispetto alle stelle distanti. In altre parole, il vettore di rotazione diurna  è
considerato fisso nel riferimento inerziale, sia come direzione che come modulo.
Una ulteriore semplificazione è di assumere che tale direzione coincida con quella
del semi-asse minore c dell'ellissoide che descrive la figura terrestre.
Quale sarà la durata della rotazione diurna? La potremmo misurare dall’intervallo
di tempo tra due passaggi consecutivi al meridiano superiore (cioè di due
culminazioni) di una stella equatoriale e priva di moto proprio (dunque non
del Sole!). Questo ‘giorno stellare’ tuttavia non viene usato.
Si usa piuttosto il passaggio del punto vernale , che si sposta rispetto alla stella di
circa 0.008 secondi /giorno causa la precessione lunisolare (per ora ignoriamo
l'effetto della nutazione, l'equinozio sarà quello medio e anche il TS sarà da
intendersi come TS medio). La differenza tra giorno stellare e giorno siderale è
dunque minima, per cui si può confondere la durata del giorno siderale (24h di
TS) con il periodo di rotazione diurna della Terra. Siccome la precessione lunisolare è uniforme, e tale è anche la rotazione terrestre, il TS medio sarà molto
uniforme (almeno, nei limiti delle presenti assunzioni).
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22
La rivoluzione annua
Il movimento annuo del Sole rispetto alle stelle fisse, di circa 1° al giorno in verso
diretto (verso Est) riflette il movimento di rivoluzione della Terra attorno al Sole
nel corso dell'anno. Tale rivoluzione avviene in prima approssimazione rispettando
le due prime leggi di Keplero:
I – l'orbita è un'ellisse che ha il Sole in uno dei fuochi, con semi-assi maggiore e
minore rispettivamente a e b, di equazione:
1 1
 1  e cos(  0 )
r p
p
2
a 
2
b

a
1

e
1 e
La direzione iniziale si fa generalmente coincidere con quella del semi-asse
maggiore a, al momento in cui la Terra passa per il perielio  (o il Sole al perigeo;
questo avviene attorno al 2 gennaio di ogni anno), cosicché l'argomento (-0)
diviene la cosiddetta anomalia vera .
II – la velocità areale (non quella angolare!) è costante:
dA 1 2 d C
A
 r

dt 2 dt
2
dove r è la distanza Terra - Sole (lievemente variabile di giorno in giorno).
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23
Il tempo siderale
Abbiamo già definito il Tempo Siderale TS come angolo orario dell'equinozio di
primavera TS = HA(). A ciascuna rotazione della Terra, HA cresce di 1 giorno
siderale di durata 24 ore siderali. Si ricordi sempre però che HA è un angolo
definito sull'equatore celeste da un punto che non è direttamente visibile. E' infatti
la declinazione del Sole ⊙ che permette di misurare TS attraverso la relazione:
sin   cot   tan 
(qui, come nel seguito, useremo senza ambiguità archi maggiori di 180°).
In altre parole, il TS è definito dal Sole, non dalle stelle. Tuttavia, all'atto pratico
nella gran parte delle operazioni astronomiche usuali, conviene riferirsi a un
insieme di stelle fondamentali, cioè di AR ben conosciuta, le cui culminazioni in
meridiano danno anche il TS corrispondente.
Tale insieme di stelle può essere definito da quelle del catalogo FK5, oppure oggi
dell'ICRS (adottato da una risoluzione dell'IAU dal 1 gennaio 1998). E' da temere
che ciascun insieme dia luogo a un TS lievemente diverso da quello di un altro
insieme, ma di nuovo questa cautela è superflua in gran parte delle applicazioni.
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Il Tempo Solare - 1
Chiamiamo giorno solare l'intervallo di tempo tra due successive culminazioni
del Sole sul meridiano superiore di una data località, e tempo solare T⊙ l'HA del
Sole aumentato di 12 ore, in modo che il giorno cominci a mezzanotte (questa è
la convenzione adottata nel 1925, ma non da tutti applicata fino al 1928):
T⊙ = HA⊙+12h
Questo T⊙ è dunque il tempo indicato da una meridiana, (a parte le 12 ore e il
piccolo effetto di rifrazione atmosferica) in quella particolare località.
Tuttavia questo tempo solare non solo ha diversa durata da quello
siderale, ma è ben lontano dall'essere uniforme come quello, per due diverse
ragioni:
- Il Sole non è punto equatoriale ma eclitticale
- Il Sole si muove sull'eclittica rispettando la seconda legge di Keplero
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Il Tempo Solare - 2
Per quanto riguarda la durata, il Sole si muove sull'eclittica di circa 1°/giorno
(più precisamente di circa 360°/365giorni ≈ 3m56s/giorno) rispetto alle stelle fisse
e dunque anche rispetto all'equinozio (a parte gli 0.008 secondi/giorno che qui
trascuriamo); questi 3m56s rappresentano dunque l'eccesso di durata del giorno
solare rispetto a quello siderale. Tutte le unità di tempo solare (ora, minuto,
secondo) saranno così più lunghe di quelle siderali.
Per quanto riguarda la non-uniformità del tempo solare, si noti innanzitutto che
mentre il tempo siderale riflette solo la rotazione diurna, quello solare ha origine in
due fenomeni indipendenti, cioè la rotazione e la rivoluzione diurna ( i due
fenomeni non sono del tutto disaccoppiati, in virtù degli effetti di precessione e
nutazione, ma qui possiamo trascurare questo lieve accoppiamento; questa
indipendenza è alla radice delle difficoltà di costruire calendari basati su un numero
intero di giorni).
Dato che : T⊙ = HA⊙+12h e che HA⊙ = TS - ⊙, risulta: T⊙ = TS - ⊙ + 12h
Si capisce dunque che la non-uniformità di T⊙ è la stessa di quella di ⊙.
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La non-uniformità del Tempo Solare - 1
Siano allora ⊙, ⊙, ⊙ rispettivamente la longitudine eclittica, l'ascensione retta e
la declinazione del Sole; ricaviamo facilmente le seguenti relazioni:
sin   sin  sin 
tan   tan  cos 
Prendendo la derivata temporale della seconda e inserendo la prima abbiamo:
cos 
cos 
 
 

2
2
2
1  sin  sin 
cos 
che comprende entrambi gli effetti prima citati, cioè la proiezione di un punto
eclitticale sull'equatore e la variabile velocità angolare sull'eclittica. E precisamente:
• lo stesso movimento di 1°/giorno sull'eclittica si proietta sull'equatore in archi
diversi a seconda della declinazione (cioè della data), da un valore minimo di cos
( 3m37s) al giorno agli equinozi a un valore massimo di 1/cos ( 4m16s) al giorno
ai solstizi. Dunque una differenza di circa 39s per questo effetto di proiezione.
• in virtù della II legge di Keplero il Sole ha un moto diurno maggiore al perigeo che
all'apogeo ( 61'.1, cioè 4m4s, al giorno il 2 gennaio, 57'.2, cioè 3m49s, al giorno il 2
luglio). Dunque una differenza di circa 15s per questo effetto di velocità angolare.
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C. Barbieri Astronomia I A.A:20042005
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La non-uniformità del Tempo Solare - 2
La durata del giorno solare vero è dunque continuamente variabile, per due
distinti motivi che sono tra loro sfasati nel tempo. Pertanto, il giorno solare più
lungo capita a metà dicembre, e dura circa 24h00m30s, circa 53s più del giorno più
corto che capita attorno all'equinozio di autunno. Sono differenze piccole, che
però si accumulano nel corso dell'anno raggiungendo anche parecchi minuti prima
di cambiare segno (vedremo tra breve l'Equazione del Tempo).
Per costruire un tempo solare uniforme, seguendo Newcomb introduciamo due
ipotetici soli dotati di moto uniforme, uno detto fittizio F⊙ che si muova
sull'eclittica (tale sole è anche chiamato Sole Medio Dinamico), e uno detto medio
M⊙ che si muove sull'equatore.
Entrambi i corpi si muovono con la stessa velocità angolare uniforme:
n = 3548".3/giorno
che è quella che deriva dalla lunghezza dell'anno tropico (cioè dall'intervallo di
tempo tra due passaggi del Sole per ). Pertanto la longitudine di F⊙ e la
ascensione retta di M⊙ cresceranno uniformemente con il tempo.
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L’equazione del centro
Per costruzione, il sole fittizio F⊙ coincide con quello vero al perigeo  (circa il 2
gennaio). La differenza
EC     (F )
tra le longitudini del Sole vero e fittizio è detta equazione del centro EC. Tale
differenza si può calcolare dalla equazione del moto del Sole sulla sua orbita.
Si introduca la quantità ausiliaria anomalia media M = n(t - t0), dove t0 è l'istante del
passaggio del Sole per . Essendo e e  rispettivamente l'eccentricità dell'orbita e
l'anomalia vera, si possono dimostrare le seguenti relazioni al primo ordine (si veda
il Problema dei Due Corpi):
   ()    ()  M  2e sin M 
EC     (F )  2e sin M 
 (F )   ()  M   ()  n(t  t0 )
 0.03345R 'sin M 
 115'sin M 
Si noti la grande ampiezza dell'equazione del centro. Derivando EC:
  n(1  2e cos M  )  3548".3  118".7 cos M 
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La riduzione all'equatore
Conoscendo M in funzione della data (approssimativamente, M = 0° il 2 gennaio,
= 90° il 3 aprile, = 180° il 2 luglio, = 270° l'1 ottobre), potremo facilmente
calcolare la variazione di velocità angolare sull'eclittica con la data.
Date poi le relazioni tra la AR e la longitudine del Sole (che scriviamo senza
dimostrare, si veda la spesso citata equazione trascendente tan x = m·tan y, e che
vengono dette anche riduzione all'equatore): tan   tan  cos 
cos   1
1  cos   1 
sin 2  
 sin 4 
cos   1
2  cos   1 
   148'.1sin 2  3'.2sin 4
  

   ( )     ( )  M  2e sin M  tan 2 sin 2( ( )  M ) 
2
 A0  nt  460s.3sin n(t  t0 )  592s.2sin 2( A0  nt ) 
che è serie con periodi di 12, 6, 4 etc. mesi. I coefficienti dipendono dal valore
dell'obliquità dell'eclittica e dunque variano lentamente nel tempo.
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L'equazione del tempo - 1
Consideriamo ora il sole medio M⊙sull'equatore. Quando il Sole Fittizio F⊙
incontra l'equatore in  provenendo da  (qualche tempo dopo il Sole vero), si
faccia partire da  il Sole Medio M⊙ con identico moto uniforme n.
I due ipotetici Soli coincideranno di nuovo in .
Dunque, a ogni istante si avrà:
 (F ) =  (M )
Finalmente, si calcoli l'equazione del tempo E, cioè la differenza:
E   (M )    460s.3sin n(t  t0 )  592s.2sin 2( ( )  M ) 

 A sin  ( F )  B cos  ( F )  C sin 2 ( F )  D cos 2 ( F ) 
 E sin 3 ( F )  F cos 3 ( F )  G sin 4 ( F ) 
(si noti che alcuni autori usano il segno opposto a questo).
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L’equazione del tempo - 2
L'equazione del tempo E:
E   ( M )    460s.3sin n(t  t0 )  592 s.2sin 2( ()  M ) 
è dunque una funzione abbastanza
complicata della data (vedi
figura). Il suo valore è = 0 quattro
volte all'anno, cioè agli inizi di
aprile, a metà di giugno, ai primi
di settembre, verso Natale. Il
massimo valore di circa +16m si
raggiunge ai primi di novembre, il
minimo di –14m a metà febbraio. I
valori esatti variano di pochi
secondo di anno in anno, con un
comportamento periodico causato
dalla presenza di un anno bisestile
(come il 2004).
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Il Tempo Solare Medio
Per ogni particolare sito, la differenza tra l'ascensione retta del Sole Medio e di
quello vero sarà anche la differenza, cambiata di segno, tra i loro angoli orari: :
HA⊙- HA(M⊙) = -⊙ + (M⊙) = E
L'HA del Sole Medio, HA(M⊙), aumentata di 12h per far iniziare il giorno a
mezzanotte, si dice anche Tempo Solare Medio T(M⊙) locale:
T (M )  HA(M )+12h
L'intervallo di tempo tra due culminazioni superiori al meridiano locale del Sole
Medio è dunque la definizione di Giorno Solare Medio (indicato con j). Il GSM è
diviso in 24h di 60m di 60s, unità con lo stesso nome ma non con la stessa durata di
quelle di TS.
Dunque, per definizione il Tempo Siderale TS e il Tempo Solare Medio T(M⊙)
hanno ritmo e origine diversa, ma lo stesso grado di uniformità (cioè quello della
rotazione terrestre, dato che sono entrambi legati al passaggio in meridiano).
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I differenti ritmi di TS e T(M⊙)
Possiamo facilmente trovare il rapporto tra i due ritmi. Diciamo infatti
anno tropico l'intervallo di tempo tra due consecutivi passaggi del Sole Medio per
l'equinozio, una quantità nota con altissima precisione dato che viene registrata da
millenni a questa parte. Trascurando la lieve variazione secolare delle costanti di
precessione, seguendo Newcomb abbiamo:
1 anno tropico = 365.2421988 j = 365j05h48m45s.975 = 366.2421988 giorni siderali
dato che dopo 1 anno tropico è passato esattamente un giorno siderale in più.
Dunque:
ritmo TS = 1 + 1/365.2421988 = 1.002737909 ritmo T(M⊙)
ritmo T(M⊙) = 1 - 1/366.2421988 = 1-0.002730434 = 0.997269566 ritmo TS
24h T(M⊙) = 24h3m56s.55537 TS, 24h TS = 23h56m04s.09053 T(M⊙)
1s T(M⊙) = 1s.0027379 TS,
09/05/05
1s TS = 0s.9972696 T(M⊙)
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34
Il Tempo Universale UT
In particolare, il Tempo Solare Medio a Greenwich si chiama Tempo Universale
UT:
UT = HA(M )(Greenwich)+12h
Per un altro sito avente longitudine  espressa in (h m s), si avrà:
T(M⊙) = UT  
dove il segno è + se il sito è a Est di Greenwich, è - se il sito è a Ovest.
Determiniamo ora la relazione tra il Tempo Universale e l'origine di quello
Siderale. Seguendo Newcomb, la longitudine del Sole fittizio F⊙ non-aberrato alle
12h UT (mezzogiorno) del 1 gennaio 1900 valeva:
(F⊙) = 28040’56”.37 = 18h42m42s.391
A quell'istante, quello era anche il valore del TS a Greenwich.
Si noti che in questa definizione entra il Sole non-aberrato, non quello apparente che
è 20".5 dietro a quello.
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Relazione tra TS e UT
Dopo un anno giuliano di 365j.25 (che oggi si preferisce all'anno tropico, si veda
anche in seguito), il valore di TS aumenta di 86 401s.845 (cioè di 1 giorno come
nell'anno tropico, 86400s, più la differenza di durata dei due anni corrispondente a
0.0078 giorni, cioè 673s.92x0.0027379 = 1s.845). Per ancor migliore precisione, si
deve inoltre tener conto della minuta variazione delle costanti di precessione.
Usando i valori correnti, e contando il tempo T in secoli giuliani di 36525 giorni a
partire dal 1 gennaio 2000 alle 12h UT (da mezzogiorno, non da mezzanotte!),
l'espressione completa del TS medio alla mezzanotte di Greenwich è:
TSG (0h UT) = 6h41m50s.5481+ 8 640 184s.812866T + 0s.093104T 2 - 6s.210-6T
3
dove gli ultimi due termini derivano dalla variazione delle costanti precessionali.
A tutto rigore il tempo T dovrebbe essere espresso nella scala UT1, che
discuteremo tra breve, ma la differenza in questo contesto può essere ignorata.
09/05/05
C. Barbieri Astronomia I A.A:20042005
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L’anno tropico
La rivoluzione annua della Terra definisce una nuova scala di tempo, cioè l'anno,
che può essere definito in vari modi:
- Anno tropico: l'intervallo di tempo tra due passaggi del Sole per , quello cioè
necessario perché l'AR del Sole aumenti di 360°. La durata dell'anno tropico è
365j.24219879 – 0j.00000614T, essendo T in secoli giuliano di 36525 anni a
partire dal 1 gennaio 1900 a 12h UT. Il secondo termine deriva dalla variazione
della costante di precessione in AR. Dopo un secolo, la durata dell'anno tropico
sarà diminuita di 0s.53.
Se l’origine dell’anno tropico è fissato all’istante in cui la longitudine del Sole
fittizio (aberrato) è 280°, si ha l’anno Besseliano B, che è stato fino al 1984
l'anno usato in tutte le applicazioni. L'inizio dell'anno besseliano è sempre entro 1
giorno dalla mezzanotte del 31 dicembre. In realtà c'è una lieve differenza di
durata:
durata anno besseliano = durata anno tropico - 0s.148T’
essendo T’ in secoli tropici dal 1900.0. La differenza dipende dal fatto che l'anno
besseliano è più propriamente l'intervallo di tempo necessario perché la
09/05/05 del Sole fittizio ritorni
C. Barbieri
Astronomia
I A.A:200437
longitudine
a essere
280°.
2005
Il calendario giuliano
Il calendario civile adottato in molti paesi è basato sulla lunghezza dell'anno
tropico, dato che le stagioni seguono il corso del Sole sull'eclittica. Tuttavia, tale
lunghezza non è espressa da un numero intero,e nemmeno da un numero
razionale. Esistono varie soluzioni nelle varie civiltà. A Roma, circa nel 46 a.C.
Giulio Cesare accettò il suggerimento di Sosigene di aggiungere un giorno al
mese più corto (Febbraio) ogni 4 anni. Questo quarto anno si dice bisestile.
Nella prima applicazione di tale regola si dovettero sopprimere 90 giorni, ma la
situazione rimase confusa per molti anni.
L'estensione del calendario giuliano nel passato (prima della sua adozione) si
dice anche 'calendario prolettico'.
Siccome in Cronologia non esiste l'anno 0, e si passa direttamente dall'1 a.C.
all'1 d.C., per fare calcoli di intervallo di tempo tra due eventi di cui uno prima e
uno dopo la nascita di Cristo, si deve intendere che l'anno 1 a.C. è l'anno 0,
l'anno 2 a.C. è l'anno -1 e così via. L'anno 0 si considera bisestile.
09/05/05
C. Barbieri Astronomia I A.A:20042005
38
La riforma gregoriana
Con la riforma Giuliana, la durata dell'anno, mediata su 4 anni, diviene
esattamente di 365.25 giorni solari medi. Ma questo numero implica un
errore di 8 giorni dopo 1000 anni. Dopo un ulteriore aggiustamento del
Concilio di Nicea (325 d.C.), finalmente nel 1582 il Papa Gregorio XIII
decretò di sopprimere 10 giorni, saltando direttamente da giovedì 4 Ottobre 4
a venerdì 15 Ottobre.
Un ulteriore elemento della riforma gregoriana è di rendere bisestili solo gli
anni secolari divisibile per 400, e dunque il 1600 e il 2000, ma non il 1700,
1800 e 1900: pertanto, in un ciclo di 400 anni ci sono solo 97 anni bisestili, e
la durata media mediata su 400 anni dell'anno gregoriano è di 365.2425 giorni
solari medi. Siccome in 400 anni ci sono 146097 giorni, un numero divisibile
per 7, il calendario Gregoriano si ripete esattamente a ogni ciclo di 400 anni.
Tuttavia, anche il valore 365.2425 è solo una approssimazione, per cui verso
il 4000 si sarà guadagnato un giorno. A ciò si potrebbe porre rimedio
considerando il 4000 come anno normale e non bisestile.
09/05/05
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39
L'anno giuliano J
Fino al 1984, l'anno tropico è stata l'unità fondamentale di misura
dell'anno, ma poi l'IAU ha decretato di adottare l'anno giuliano di 365j.25
(o i secoli giuliani di 36525j), e di muovere l'epoca fondamentale al
J2000.0 mezzogiorno (non mezzanotte!) = 2000 gennaio 1d.5 UT (o
meglio UT1, si veda dopo).
Dunque la mezzanotte dell'1 gennaio 1950, che è l'inizio dell'anno civile
1950, e che differisce di 1h51m dal B1950.0, corrisponde esattamente a
18262j.5 giorni prima dell'epoca fondamentale.
Si sono così raggiunti due vantaggi con l'adozione dell'anno giuliano, cioè
la durata fissa e la coincidenza dell'origine del calendario astronomico con
il Giorno Giuliano (vedi dopo).
09/05/05
C. Barbieri Astronomia I A.A:20042005
40
Il Giorno Giuliano (JD)
In astronomia si usa contare il passaggio del tempo in Giorni Solari Medi a partire
da una data iniziale, che fu fissata da Giusto Scaligero al mezzogiorno (non
mezzanotte) del 1 gennaio 4713 a.C. (in Cronologia, l'anno 0 non esiste, dunque
4713 a.C. = - 4712).
Questo sistema di datazione si esprime in Giorni Giuliani (JD).
Il 1950 gennaio 1, alle 12h UT, corrisponde a JD = 2433283.0, e così:
B1950.0 = JD 2433282.423 ,
J2000.0 = JD 2451545.0.
Le relazioni inverse sono:
Epoca besseliana B = B1900.0 + (JD - 2415020.31352)/365.2422
Epoca giuliana J = J2000.0 + (JD - 2451545)/365.25
09/05/05
C. Barbieri Astronomia I A.A:20042005
41
Il Giorno Giuliano Modificato (MJD)
Per non tirarsi dietro troppi decimali, e iniziare il giorno a mezzanotte, è stato
introdotto un Giorno Giuliano Modificato (MJD) che inizia il 1858
Novembre 17.0, cioè quando il JD era esattamente 240000.5:
MJD = JD - 240000.5
La scala JD fornisce un riferimento continuo di tempo.
Ma ovviamente la scala è altrettanto uniforme del giorno solare medio, e dato
che la durata del giorno è variabile, come vedremo tra breve, il JD non è
interamente soddisfacente per scopi dinamici su intervallo di millenni.
09/05/05
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42
L'anno siderale
- Anno siderale: l'intervallo di tempo tra due passaggi del Sole su una
stella eclitticale priva di moto proprio. Dunque l'anno siderale è più
lungo di quello tropico dell'ammontare della precessione di  lungo
l'eclittica, cioè di circa (1296000”-50”.4)/1296000” = 20m24s (che sono
35000 km lungo l'orbita terrestre). Dunque la durata dell'anno siderale è
365j.25636, che non è un valore misurato ma ricavato da quello dell'anno
tropico. Il moto solare medio riferito alle stelle fisse è allora pari a nsid =
1296000''/365j.25636 = 3548''.1928''/j, il cui valore non dipende più da
quello della costante di precessione, ed è perciò uniforme tanto quanto la
rotazione diurna.
09/05/05
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43
L’anno anomalistico
- Anno anomalistico: l'intervallo di tempo tra due passaggi
consecutivi del Sole al perigeo. La direzione del semiasse maggiore
dell'orbita terrestre (detta anche linea degli apsidi) non è fissa nello
spazio inerziale, precessa nella stessa direzione della rivoluzione
annua causa le perturbazioni planetarie di circa 11”.63/anno.
Dunque la longitudine del perigeo, riferita all'equinozio mobile,
aumenta di circa 11''.6 + 50''.3 = 61''.9/anno. L'anno anomalistico è
dunque più lungo dei precedenti, dura circa 365j.25964, con una
accelerazione secolare di 0.263s/secolo.
Si vede facilmente che perigeo e equinozio coincidono ogni 21000
anni: siccome la durata delle stagioni dipende dalla distanza tra
equinozio e perigeo, la conseguenza è una loro apprezzabile
variazione, a livello di un'ora al secolo.
09/05/05
C. Barbieri Astronomia I A.A:20042005
44
Inizio e durata delle stagioni - 1
L'anno tropico determina la successione delle stagioni. Per l'epoca 1950.0 si
aveva:
  282 '04 '30" M  115'sin M 
M  3548".3(t  t0 )
t0 = 1950 gennaio 3.02
Le stagioni partono quando ⊙ = 0° (primavera), = 90° (estate), =
180° (autunno), = 270° (inverno). Siccome non c'è bisogno di alta
precisione, per trovare i corrispondenti valori di M e di t possiamo
ignorare il termine in sinM.
Possiamo poi ripetere i calcoli per altri anni inserendo gli opportuni
valori iniziali, e ottenendo i dati della seguente Tabella.
09/05/05
C. Barbieri Astronomia I A.A:20042005
45
Inizio e durata delle stagioni - 2
stagione
Inizio (1950)
Durata (giorni)
primavera
21.2 Marzo
92.81
20.3 Marzo
19.5 Marzo
estate
22.0 Giugno
93.62
21.0 Giugno
20.1 Giugno
autunno
23.1 Sett.
89.82
22.7 Sett.
21.9 Sett.
inverno
22.4 Dic.
89.00
21.5 Dic.
20.9 Dic.
inizio (2000)
Inizio (2096)
Nel 2096 si hanno le date più basse. Si noti anche che la durata delle stagioni non è
uguale; in particolare l'estate e la primavera (nell'emisfero Nord) durano ben 7
giorni di più che nell'emisfero Sud. D'altra parte ciò avviene quando la Terra è più
distante dal Sole; all'afelio la Terra riceve circa il 7% di calore in meno che al
perielio. Tuttavia, la temperatura della Terra è di circa 2 C maggiore all'afelio che al
perielio, e ciò avviene perché l'emisfero Nord è più ricco di terre (bassa capacità
termica), l'emisfero Sud più ricco di mari (alta capacità termica). Per assicurare
l'equilibrio termico servono dunque efficienti trasporti di calore, sia con le correnti
marine che con i venti.
09/05/05
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46
Anno draconico e anno gaussiano
Citiamo due altri anni: quello draconico (o draconitico) e quello
Gaussiano.
- anno draconico: l'intervallo di tempo tra due passaggi del Sole per il nodo
ascendente dell'orbita lunare. E' collegato con l'occorrenza delle eclissi. A
causa del moto retrogrado dei nodi dell'orbita lunare, questo è l'anno più
corto, la sua durata è di 346j.6201.
- anno Gaussiano: deriva dalla terza legge di Keplero. E' il periodo di
rivoluzione di un corpo senza massa (cioè senza perturbazioni dai pianeti)
che rivolva attorno al Sole in orbita circolare di raggio 1 UA. Il suo valore è
di 365j.25690 .
09/05/05
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47
Il tempo dinamico
Introduciamo ora nella discussione le non uniformità della rotazione della Terra,
che si trasferiscono alla non uniformità sia di TS che di TU. Supponiamo di
aver rimosso le non uniformità dovute alle variazioni delle costanti
precessionali, in modo da concentrarci sulla sola rotazione.
Possiamo distinguere tre tipi di irregolarità:
•Un rallentamento secolare, che implica un allungamento del giorno solare
medio di circa 2 ms/secolo, parzialmente ma non totalmente giustificabile con la
dissipazione di energia rotazionale nelle maree. Siccome questo effetto si
accumula nei millenni, l'integrale arriva a varie ore su fenomeni che avvennero
molto tempo fa. Ad es. sull'istante delle prime eclissi di cui si hanno
registrazioni, circa 6000 anni fa. A loro volta, tali datazioni permetto di risalire
alla variazione della lunghezza del giorno.
•Variazioni stagionali di origine meteorologica, periodiche con periodi di mesi e
con ampiezze di alcuni millisecondi
•Fluttuazioni irregolari di natura geofisica, che implicano un trasferimento di
massa ad es. tra nucleo e mantello.
09/05/05
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48
Le irregolarità del giorno
Fluttuazioni della durata del giorno, espresse come eccesso a 86400 SI,
dal 1995 al 1998 (adattato dal sito web dell'IERS).
09/05/05
C. Barbieri Astronomia I A.A:20042005
49
Le varie realizzazioni del TU
Per semplicità, usiamo ora la designazioni inglese, non TU ma UT.
Diciamo UT0 il TU apparente, quello determinato dal TS locale e dalla
longitudine. Non può essere usato in lavori di alta precisione causa il moto
polare, che si può però rimuovere con una correzione del tipo:
UT1  UT 0  (u x sin   u y cos  ) tan  '
dove (ux,uy) sono le coordinate del pole in unità di tempo, e ,’ sono la
longitudine e latitudine geocentrica. Dunque UT1 è il tempo indipendente
dall'osservatorio, quello che dovrebbe entrare nelle formule precedenti. UT1 è
determinato e mantenuta dall'IERS.
Benché molto più uniforme di UT0, UT1 è ancora affetto dalle non uniformità
della rotazione (rimuovendone alcune componenti periodiche si ottiene UT2,
che però non viene usato in astronomia), e dunque non del tutto soddisfacente
per applicazioni dinamiche di alta precisione.
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50
Il Tempo delle Effemeridi ET
Per realizzare un tempo davvero uniforme, si potrebbe ricorrere alla definizione di
Newcomb del Sole medio, sia come origine che come ritmo. La longitudine
geometrica media del Sole è:
  27941'48". 04  129602768". 13T  1". 089T 2
in cui T è espresso in secoli giuliani dal 1900, 0 gennaio 12h UT. Questa formula
costituisce la formale definizione del tempo delle effemeridi ET, il cui ritmo è
dato dal coefficiente di T, e che ha una piccola accelerazione precessionale. Il
secondo di ET è definito dal numero N di secondi nell'anno tropico 1900:
1296000  35525  86400
N
 31556925.9747
129602768.13
In altre parole, 1 secondo ET è la frazione 1/N della lunghezza dell'anno tropico
1900. Dunque, a questo stadio dovremmo ridefinire l'epoca iniziale come 12h ET,
non UT. A posteriori però vediamo che Newcomb ha definito due Soli Medi diversi,
uno la cui Ascensione Retta cresce uniformemente con UT, e uno la cui Ascensione
Retta cresce uniformemente con ET: solo se la rotazione della Terra fosse
rigorosamente uniforme i due Soli coinciderebbero con lo stesso punto matematico.
09/05/05
C. Barbieri Astronomia I A.A:20042005
51
Debolezze di ET
Per liberare ET, la cui origine è la sola rivoluzione annuale, dal rallentamento
della rotazione terrestre dovremmo introdurre un meridiano di Greenwich mobile
(meridiano delle effemeridi), in lentissimo movimento verso Est rispetto a quello
geografico. L'Angolo Orario di  rispetto al meridiano delle effemeridi sarebbe
allora il TS delle Effemeridi. I due meridiani sono assunti coincidenti nel 1902, e
oggi sono circa 2” uno dall'altro.
Inoltre c'è un problema pratico. Mentre UT può essere ottenuto da osservazioni al
cerchio meridiano, ET deve essere derivato dalla longitudine del Sole, il cui
movimento tuttavia è troppo lento per fornire un buon orologio. La Luna sarebbe
molto migliore, per cui ET si può meglio identificare con la variabile 'tempo
dinamico' che entra nelle effemeridi della Luna. Ma allora la conoscenza di ET
implicherebbe un gran lavoro di riduzione dati, e la differenza UT-ET si
conoscerebbe solo a posteriori e sarebbe affetta dalle incertezze dell'orbita lunare.
E finalmente ET è pur sempre un tempo pre-relativistico.
Dunque ET, che fu introdotto negli Almanacchi nel 1960, dal 1984 non viene più
pubblicato, anche se mantiene ancora una certa utilità.
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Il Tempo Atomico Internazionale TAI
Nelle precedenti sezioni, il tempo è stato definito, o derivato matematicamente, dai
movimenti dei corpi celesti. Dal 1955 è disponibile un tempo di laboratorio di
altissima uniformità, cioè il tempo atomico internazionale, in francese le Temps
Atomic Internationel TAI, ufficialmente adottato nel 1972. Il TAI è definito dalla
radiazione prodotta da due livelli iperfini del livello fondamentale dell'atomo di
Cesio, quando l'atomo sia lontano da campi magnetici e a livello del mare. La
frequenza di questa transizione risonante è 9192631770 Hz, con una stabilità di
circa 2x10-13.
Questa transizione definisce il Secondo Internazionale SI, che sempre per
definizione è uguale al secondo delle effemeridi ET. La durata del giorno solare
medio è allora uguale a 86400 SI.
In pratica, circa 200 stazioni ben distribuite sulla Terra mantengono TAI a meglio
di 1 nanosecondo al giorno, e lo distribuiscono via radio e sistemi di navigazione
(tipo Loran-C, Omega, GPS).
Per quanto riguarda l'origine del TAI, per accordo internazionale il suo punto zero è
all'epoca 1958 gennaio 1, a 0h UT2. Questa decisione comportò un offset tra ET e
TAI pari a:
ET = TAI + 32s.184.
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Il Terrestrial Dynamic Time TDT
Adottando ora il TAI come la scala di tempo fondamentale, la quantità
TDT = TAI + 32s.184
fu detta Terrestrial Dynamic Time, TDT, e dal 1986 è l'argomento tabulare delle
effemeridi dei corpi celesti: Da alcuni anni è indicato semplicemente con TT.
TT mantiene dunque la continuità con ET, la sua realizzazione pratica non dipende
più da alcun tipo di osservazione astronomica, né del Sole né della luna, ma solo
da orologi di laboratorio.
Il TAI (e così anche il TT) sono certamente molto uniformi. Purtuttavia, la
Relatività Generale prevede che essi varino con il campo gravitazionale in cui è
immerso l'atomo. Dunque il TAI deve essee interpretato come tempo proprio.
Invece, nelle equazioni differenziali della Meccanica deve entrare un tempo
davvero inerziale, o tempo delle coordinate, che tenga conto della posizione e
velocità dell'osservatore rispetto al baricentro del sistema solare. Questo ideale
tempo dell'osservatore inerziale è detto Tempo Dinamico del Baricentro (TDB).
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Il Tempo Dinamico del Baricentro TDB
La differenza TDT-TDB è espressa da termini puramente periodici.
Se è sufficiente la precisione di 1 microsecondo si può usare la seguente
espressione:
TDB  TDT 
 1.658 103 (sin E  0.0368)  2.03 106 cos  '(sin(UT  )  sin ) 
dove E è l'anomalia eccentrica del Sole (vedi il problema dei Due Corpi per
la definizione di E), e ’,  sono latitudine e longitudine dell'orologio.
Se ci si accontenta del millisecondo non c'è differenza tra TDB e TT, per cui
si usa talvolta la dizione TD (tempo dinamico)
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Il Tempo Universale Coordinato UTC
Alla fine però ciò che conta per l'astronomo (e anche per il navigatore) sulla
terra, è il vero angolo di rotazione, cioè UT nelle sue varie realizzazioni.
Dunque, per accordo internazionale viene trasmesso un tempo che ha sempre il
ritmo di TAI, ma la cui origine coincide entro 900 ms con quella di UT1.
Questo tempo ibrido è detto UTC (Coordinated Universal Time). Siccome UT
non è uniforme, UTC non può essere una funzione continua. A seconda delle
necessità viene aggiunto (o tolto, ma in pratica ciò non è ancora successo dal
1972) un cosiddetto secondo intercalare (leap second) o all'inizio o a metà
dell'anno corrente. In effetti, dal 1 gennaio 1999 non ce n'è stato bisogno. Per
cui, fino a nuovo avviso: UTC-TAI = -32 s (vedi Bulletin C of the IERS).
Benché discontinuo, UTC è un tempo estremamente preciso e gratuito, e
sufficiente per molti scopi astronomici; tuttavia, almeno in linea di principio
non è corretto misurare la durata di un evento dalla differenza tra gli istanti
UTC di inizio e di fine.
I segnali che vengono trasmessi da IERS contengono anche la differenza
UTC-UT1.
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La differenza tra TT e UT
Anno
T (s)
Anno
T (s)
1620
+124
1950
+ 29.15
1630
+ 72
1960
+33.15
1700
+ 9
1970
+40.14
1750
+ 13
1975
+45.48
1800
+ 13.7
1980
+50.54
1850
+ 7.1
1985
+54.34
1885
-5.8
1990
+56.86
1900
- 2.72
1995
+60.78
1902
-0.02
2000
+64
TT = TAI + 32s.184
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Esercizio
svolto
Determinare il tempo siderale medio presso l’Osservatorio di Asiago-Cima Ekar
(longitudine  = 11o34’07”E, latitudine  = +45o50’58”, altezza s.l.m. 1395m)
alle ore 00 UT del 23/07/03. Quale sarà il TS locale alle 02.5 UT?
Avremo: TS (0h UT) = TSG(0h UT) + ,,
 = 11o 34’ 07” Est = 11°.568611= 0h.771241 = + 46m 16s.467
L’espressione generale che dà il TS a Greenwich è (vedi Lezioni):
TSG(0h UT) = 6h 41m 50s.54841 + 8640184s.8129T + 0s.0931T2 - 6s.210-6T3
ove T = tempo in secoli giuliani dal 1/1/2000 12h UT.
T al 23/7/2003 0h UT = 1298.50 giorni giuliani dal 1/1/2000 12h UT = 0.035551
secoli giuliani (si tenga conto che il 2000 è stato anno bisestile). Attenti, 1298.5 e
non 1299.5, perché si inizia a contare dal primo giorno dell’anno!
Data la piccolezza di T possiamo trascurare i termini successivi al primo, da cui:
8640184s.81290.035551 = 307167s.1452 = 85h.324207 = (3j +) 13h.324207
=13h19m27s.145
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Esercizio svolto - 2
TSG(0h UT) = 6h 41m 50s.548 + 13h19m27s.145 = 20h 01m17s.693
TS (0h UT) = 20h01m17s.693+ 46m16s.467 = 20h47m34s.160
Da qui:
TS (2.5 UT) = 20h47m34s.16 + 1.002737909*2h.5 = 20h47m34s.16 + 2h30m24s.64
= 23h17m58s.80
Il programma MICA dà rispettivamente 20h 01m17s.6938,
23h17m58s.8016
20h47m34s.1604 e
Come detto nel testo dell’Esercizio, si vuole il tempo siderale medio. Se invece si
volesse quello vero, allora si dovrebbe aggiungere l’Equazione dell’Equinozio a
quella data, EE = cos .
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Esercizi
1 - Giustificare il valore del coefficiente di T nella espressione approssimata:
TSG (0h UT) = 6h41m50s.5481+ 8 640 184s.812866T
2 - Calcolare il diametro apparente del Sole in funzione della data.
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