Expected Shortfall e Misure Spettrali di Rischio:
Un’ indagine critica sul concetto di rischio finanziario
PASSEPARTOUT – Milano Bicocca – 18 Giugno 2002
Schema della presentazione
1.
Definire una Misura di Rischio:
i.
Value at Risk (VaR)
ii.
Expected Shortfall (ES)
iii.
Misure Coerenti di Rischio
iv.
Definizione Coerente di ES: alcune sottigliezze matematiche
2.
Misure Spettrali di Rischio
i.
“Subjective Risk Aversion” e Misure Coerenti.
ii.
La “Risk Aversion Function” 
Argomento: solo finanza (e un po’ di statistica)
Le domande del Risk Manager
La nostra indagine è dedicata solo a temi
finanziari e statistici.
Finanziarie
Che cosa
misuro ?
Statistiche
Come stimo la
misura ?
Probabilistiche
Computazionali
I risultati saranno peraltro assolutamente
Che ipotesi generali
Che computer
devo fare ?
mi serve ?
Parte 1:
Definire una Misura di Rischio
Value at Risk (VaR): come funziona
Per quanto sembri strana
Per calcolare il VaR di un portafoglio si deve fissare:
questa è la più frequente domanda

Un orizzonte temporale: ad esempio un giorno. Rappresenta il periodo futuro di osservazione.

Un livello di confidenza: ad esempio una probabilità del 5%. Rappresenta la frazione scelta di “casi
nella gestione del rischio finanziario
peggiori” per il portafoglio.
Il VaR è definito da
“Il VaR di un portafoglio è la perdita minima che esso può subire in un giorno nel 5% di casi peggiori”
O analogamente,
“Il VaR di un portafoglio è la perdita massima che esso può subire in un giorno nel 95% di casi migliori”
Value at Risk (VaR): come funziona
L’Expected Shortfall come evoluzione del VaR
Definizione di Expected Shortfall:
“L’ ES di un portafoglio è la perdita media che esso può subire in un giorno nel 5% di casi peggiori”
Mentre
“Il VaR di un portafoglio è la perdita minima che esso può subire in un giorno nel 5% di casi peggiori”
ES = la media dei casi peggiori
VaR = il migliore dei casi peggiori
Expected Shortfall: come funziona
... ma cambia
poi
così tanto ?
Rischi diversi ma stesso VaR
Il VaR non si preoccupa
di che cosa succeda
oltre la soglia.
Io invece mi preoccupo !
Protection Selling ...
Possiamo classificare gli strumenti o portafogli finanziari in due categorie:
 Protection Seller Position: è una posizione finanziaria tipicamente soggetta a rischi molto elevati ma di
probabilità molto bassa, con profitti relativamente modesti ma molto probabili.
es: una compagnia di assicurazione che percepisce una polizza annua ma garantisce l’indennizzo dei danni
derivanti da una catastrofe.
es: un investitore che compra un bond soggetto a rischio di default, scommettendo in interessi vantaggiosi ma
incorrendo nel rischio che l’emittente fallisca.
es: una posizione “corta in opzioni” (Put o Call che siano).
es: tutte le posizioni in derivati cosiddette “corte di volatilità”
... e Protection Buying
Il viceversa è costituito da ...
Protection Buying Position: è una posizione finanziaria tipicamente soggetta a rischi limitati ma di probabilità
relativamente alta, con profitti molto elevati o anche potenzialmente illimitati ma dall’eventualità remota.
es: il sottoscrittore della polizza assicurativa a protezione di un rischio da catastrofe
es: un giocatore di totocalcio che compri una schedina a due colonne.
es: un investitore che compri un Warrant (Call o Put che sia ...)
es: tutte le posizioni in derivati “lunghe di volatilità”
Un confronto tra VaR ed ES: rischi estremi
Il Protection Seller rischia sempre più del Protection Buyer se hanno lo stesso VaR !!!!
1997: qualcuno comincia a sollevare pesanti critiche al VaR
“(…) The basic reasons to reject the value at risk measure of risks are the
following:
(a) value at risk does not behave nicely with respect to addition of risks
(…) creating severe aggregation problems.
(b) the use of value at risk does not encourage and, indeed, sometimes
prohibits diversification, because value at risk does not take into account the
economic consequences of the events the probabilities of which it controls”
P. Artzner, F. Delbaen, et al, 1999, “Coherent Measures of Risk”, see http://www.math.ethz.ch/~delbaen
“Can VaR be used to allocate capital? This question is much related to the nonsubadditivity of VaR (…) VaR is more than questionable”
P. Embrechts, “Extreme Value Theory: potential and limitations as an integrated Risk Management Tool”, 1999,
see http://www.math.ethz.ch/~embrechts
Il principio di diversificazione dei rischi
Portfolio A
L’ aggregazione di due portafogli ha sempre l’effetto di ridurre o al più di lasciare inalterato il rischio complessivo.
+
Portfolio B
è inferiore o uguale a
=
Portfolio A + B
Il rischio di ( A + B )
rischio di (A) + rischio di (B)
Il principio di diversificazione finisce qui
Misure Coerenti di Rischio
In un celebre articolo “Coherent measures of Risk” (Artzner, Delbaen, Eber, Heath
Mathematical Finance, Luglio 1999) venne proposto un insieme di assiomi per
definire i requisiti fondamentali di una “misura coerente di rischio”.
(Monotonicità) se
allora

(Omogeneità Positiva) se
(Invarianza Translazionale)
(Subadditività)
 ( )   ( )
 ()   ( )
  0 allora
 (   a)   ( )  a
 (    )   ( )   ( )
Il VaR vìola questo assioma
Ma che cosa significa “misura coerente di rischio” ?
Una misura è coerente se attribuisce sempre
valori maggiori a rischi più elevati
Una misura che non sia coerente può quindi aumentare al diminuire del rischio e viceversa. Quindi ....
... una misura non coerente
non è una misura di rischio
Una violazione di subadditività del VaR
Consideriamo un Bond A e supponiamo che, a maturità, ci siano tre possibilità:
1) No default: rimborsa il nominale (100 Euro) e la cedola (8 Euro)
2) Soft default: rimborsa solo il nominale (100 Euro)
3) Hard Default: non rimborsa nulla
Una violazione di subadditività del VaR
Consideriamo un altro Bond B identico ad A, ma di diverso emittente
Supponiamo inoltre che i rischi di default dei due bond siano mutuamente esclusivi e cioè che i due emittenti A e B non
facciano mai default assieme.
Caso tipico:
RISCHI ANTICORRELATI =
RIDUZIONE DEL RISCHIO IN CASO DI DIVERSIFICAZIONE
Il VaR sconsiglia la diversificazione !
L’ES suggerisce la diversificazione
Misura del Rischio
Valore Iniziale
Bond A
Bond B
Bond A + Bond B
104,6
104,6
209,2
Rimborso Finale
Final Event
Hard default B
Soft Default B
Hard default A
Soft Default A
No default
Probability
3%
2%
3%
2%
90%
Bond A
108
108
0
100
108
Bond B
0
100
108
108
108
Bond A + Bond B
108
208
108
208
216
Bond A + Bond B
101,2
101,2
Subadditivity
violated
not violated
Misura del Rischio
Risk Variable
5% VaR
5% ES
Bond A
4,6
64,6
Bond B
4,6
64,6
Misura del Rischio su un portafoglio di 1000 Euro
Risk Variable
1000 Euro VaR
1000 Euro ES
Bond A
44
618
Bond B
44
618
Bond A + Bond B
484
484
Convexity
violated
not violated
Non-coerenza del VaR
L’esempio precedente mette in luce i tipici problemi del VaR
 Il VaR può scoraggiare la diversificazione (non è subadditivo)
 Il VaR, fornisce un valore inferiore (44) per un portafoglio più rischioso (1000 Euro di bond A) e un valore maggiore
(484) per un portafoglio meno rischioso (1000 Euro di A+B diversificati).
Il VaR non è coerente
Un portafoglio prototipo
Si consideri un portafoglio di n bonds rischiosi tutti con probabilità di default del 2% e si supponga per semplicità che tutte
le probabilità di default siano tra loro indipendenti.
Portfolio = { 100 Euro investiti in n Bonds indipendenti ugualmente rischiosi}
Bond payoff = Nominale (o 0 con probabilità del 2%)
Domanda: si scelga n in modo da minimizzare il rischio del portafoglio
Proviamo a vedere come rispondono a questa domanda il VaR, l’ES e TCE con livello di confidenza al 5% e orizzonte
temporale uguale alla maturità del bond.
Il “rischio” come funzione del numero di bonds del portafoglio
ES vs VaR vs TCE
0.25
La superficie di rischio dell’ES ha un solo minimo globale a n= e ness
minimo locale.
0.20
L’ES ti dice semplicemente:
“compra più bonds che puoi”
0.15
0.10
0.05
0.00
0
20
40
60
80
100
120
-0.05
VaR suggerisce di NON COMPRARE il 6o, 36o o 83o
bond perché aumenta il rischio del portafoglio ....
(!!! ???)
Number of Bonds
ES
VaR
Forse le cose migliorano per n maggiore ???...
TCE
Su portafogli più grandi si riscontra lo stesso schema caotico ...
Si noti che il portafoglio con 320 bonds ha un VaR inferiore di quello con 400 bonds.
Portafogli grandi ... il problema permane !
ES vs VaR vs TCE
0.020000
0.018000
0.016000
0.014000
0.012000
0.010000
0.008000
0.006000
0.004000
0.002000
0.000000
200
250
300
350
400
450
500
550
Number of Bonds
ES
VaR
TCE
...forse c’è davvero qualche problema nel 36o bond ?!
ES vs VaR vs TCE
0,35
Se usiamo un VaR al 3% invece che al 5% il “bond pericoloso”
non è più il 36o bensì il 28o.... (!?... Nonsense !)
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
-0,05
0
20
40
ES
60
VaR
80
TCE
100
120
Subadditività e allocazione del capitale
L’assenza di subadditività rende il VaR inadatto per allocare capitale.
In una banca costituita da più centri di rischio, è comune (o inevitabile per ragioni pratiche) misurare i rischi in
ciascuna entità separata, riportando i valori ad un ufficio centrale di gestione dei rischi
Riserve come se VaR = 10 ?
BANCA
VaR = 5
business unit:
Equities
VaR = 3
VaR = 2
business unit: Fixed
Income
business unit: Forex
Subadditività e vigilanza bancaria
Disponendo dei singoli valori di VaR per le diverse Business Units, è consuetudine provvedere ad accantonamenti ai
fini della Vigilanza bancaria per ciascuno di questi Valori di VaR.
Ma questo equivale a credere che il VaR sia SUBADDITIVO !
 VaR Equity = 5
 VaR Forex = 3
Riserve per un VaR = 10 ?
 VaR Bonds = 2
... ma il VaR della banca può essere anche molto superiore a 10
E l’Expected Shortfall è coerente ?
La definizione originale di Expected Shortfall (anche nota come TCE, CVaR o Expected Loss) è
ES(OLD) ( X )  E X X  VaR ( X )
Anche questa misura NON è SUBADDITIVA in generale e quindi NON è COERENTE.
Si può mostrare che è subadditiva se la distribuzione delle perdite è continua. Nel caso di distribuzioni generali tuttavia essa
non gode di subadditività.
2001: una definizione coerente di Expected Shortfall
Febbraio 2001: nuova definizione di Expected Shortfall
ES( NEW )  
1



F
u
 ( X ) du
0
Dimostrazione generale di coerenza: C.Acerbi, C.Nordio and C.Sirtori,
“Expected Shortfall as a Tool of Financial Risk Management”
http://www.aifirm.com/archivio/Pubblicazioni/Expected%20Shortfall%20as.pdf
Nel caso di distribuzioni continue essa coincide con
ES(OLD )
La dimostrazione di coerenza vale senza alcuna ipotesi sulla distribuzione.
Stimare l’Expected Shortfall
Si può dimostrare (Acerbi, Tasche 2001) che l’ES è effettivamente stimabile in modo consistente tramite il semplice
stimatore “Media dei 100% casi peggiori”.
Ordered statistics
(= dati ordinati dal peggiore al migliore)
[ N ]
1
ES( N ) ( X )  
X i:N

[ N ] i 1
ES ( X ) 


ES
(
X
)

N 
(N)
Parte 2:
Misure Spettrali di Rischio
Una domanda naturale
L’ Expected Shortfall è un caso isolato o esiste una classe più ampia di misure coerenti di rischio ?
E’ possibile costruire nuove misure coerenti
a partire da misure coerenti note ?
La risposta è semplice e consente di generare un’intera CLASSE di misure coerenti.
Date n misure di rischio coerenti 1, 2,... n
qualsiasi combinazione lineare convessa
 = 1 1 + 2 2 + ...+ n n ( con k k = 1 e k>0 )
è una MISURA COERENTE
Interpretazione Geometrica
Date n misure coerenti note, la loro combinazione convessa più generale, è uno qualsiasi dei punti dello spazio di
misure di rischio racchiuse nel “poligono convesso” generato.
Se ogni punto rappresenta una
misura coerente nota ...
... Allora ogni altro punto nel
“poligono convesso” generato è
una nuova misura coerente
La nostra strategia ....
Ma noi conosciamo già infinite misure coerenti di rischio, date da tutte le possibili -Expected Shortfalls per ogni
valore di  compreso tra 0 e 1
Perciò possiamo generare un nuovo spazio di misure coerenti.
Questa classe verrà definita
“Misure Spettrali di Rischio”
Insieme di Expected
Shortfalls con (0,1]
Poligono Convesso =
Nuovo spazio di misure coerenti
Misure Spettrali:
La classe di Misure Spettrali di Rischio può essere facilmente parametrizzata come
1
M  ( X )     ( p) FX ( p) dp
0
definito sull’intervallo
 [0,1].
( p)
imponendo opportune condizioni sullo Spettro di Rischio
Si noti che questa parametrizzazione contiene sia il VaR che l’ES:
ES:
VaR:
 ES ( p ) 
1

Funzione a Gradino di Heaviside
 (  p )
VaR ( p)   ( p   )
Delta di Dirac
Misure Spettrali di Rischio
Teorema: (Acerbi 2001) la Misura Spettrale di Rischio
1
M  ( X )     ( p) FX ( p) dp
è coerente se e solo se il suo Spettro di Rischio
0
soddisfa
1.
 ( p)
è positivo
1.
 ( p)
è decrescente
1
1.
  ( p)dp  1
0
 ( p)
La “Risk Aversion Function” (p)
Ogni ammissibile (p)
rappresenta
un possibile legittimo
atteggiamento
razionale
verso il rischio
“(p)
decrescente”
spiega
l’essenza
di coerenza:
Un investitore razionale può esprimere la propria soggettiva avversione verso il rischio mediante la sua soggettiva (p)
...una misura è coerente solo se assegna
ottenendo la sua misura coerente spettrale M
“pesi maggiori ai casi via via peggiori”
(p): Risk Aversion Function
Può essere pensata come una funzione che “pesa” tutti i casi dal
peggiore al migliore
Casi peggiori
Casi migliori
La Risk Aversion Function (p) per l’ES e il VaR
Expected Shortfall:
• positiva
Funzione a Gradino
• decrescente
•
1
  ( p)dp  1
0
Value at Risk:
Funzione a Picco
• positiva
• non decrescente
•
1
  ( p)dp  1
0
Stimare le Misure Spettrali di Rischio
Si può dimostrare (Acerbi 2001) che ogni misura spettrale ha il seguente stimatore consistente:
Ordered statistics
(= dati ordinati dal peggiore al migliore)
N
M ( N ) ( X )    X i:N i
i 1
Funzione  discretizzata
M ( X ) 


M
(
X
)

N 
(N)
Se in un certo senso “X è peggiore di Y in probabilità”, allora il suo rischio dev’essere più elevato.
La misura di rischio dipende SOLO dalla distribuzione di probabilità di X e ciò consente di stimarla
da
di X.
Se Xdati
e Yempirici
sono “perfettamente
correlati”, allora il rischio della somma X+Y dev’essere esattamente
pariassioma
alla somma?dei rischi di X e Y.
Ci vuole un quinto e un sesto
(X+Y) = (X) + (Y)
Si può mostrare che le misure spettrali M sono tutte e sole le misure coerenti che soddisfano due ulteriori assiomi:
(Kusuoka 2001 e Acerbi, Tasche, working paper)
La prima condizione può essere espressa in due modi equivalenti:
a.
(“First Stochastic Dominance”)
Se Prob(X a)  Prob(Y a), aR allora (Y)  (X)
b.
(“Stimabilità da dati empirici” o “law invariance”)
Dev’essere possibile stimare (X) da estrazioni empiriche di X
La seconda condizione è data da:
c.
(“Additività Comonotona”)
Se X e Y sono rischi comonotoni, allora (X+Y) = (X) + (Y)
Conclusioni
 Lo spazio delle Misure Spettrali M fornisce la rappresentazione di tutte le misure coerenti di rischio che
si prestano ad applicazioni concrete.
 Ogni misura coerente di questo spazio è in corrispondenza biunivoca con ogni forma razionale di
avversione al rischio di un investitore.
 Per ogni misura spettrale M è disponibile uno stimatore empirico consistente.
 L’applicazione concreta di qualsiasi misura spettrale è elementare.
 L’ES non gioca alcun ruolo privilegiato all’interno delle Misure Spettrali.
 Il Value at Risk da questo punto di vista risulta del tutto inadeguato per la descrizione e misurazione dei
rischi di un portafoglio. E’ associabile ad un atteggiamento al rischio non razionale.
Riferimenti
Riferimenti