Corso di demografia applicata
MQEGA=Metodi Quantitativi per l’Economia e la Gestione delle Aziende
SSA=Statistica per le Aziende e le Assicurazioni
SIEF=Statistica ed Informatica per l’Economia e la Finanza
SIAF=Statistica ed Informatica per l’Azienda e la Finanza
Esercitazioni
Dott.ssa Angela Coscarelli
a.a.2009/2010
DEMOGRAFIA APPLICATA – ESERCITAZIONE – Dott.ssa Angela Coscarelli
Confronto fra i tassi (Tassi grezzi e/o
generici o quozienti; Tassi specifici e/o per
età)
Nel tempo
Nello spazio
 Standardizzazione diretta
(metodo della popolazione tipo)
 Standardizzazione indiretta
(metodo dei coefficienti tipo)
AGENDA

2
TASSI GREZZI /1






Sono calcolati per il totale della popolazione
(Es. Tasso di mortalità, Tasso di natalità);
Sono il n. eventi che si verificano durante l’anno ogni 1000
individui mediamente presenti nella popolazione;
La popolazione è quella media del periodo considerato (Pt+Pt+n)/2
Sono l’esperienza reale della popolazione;
Sono utili per valutare meglio l’intensità con la quale si
manifestano i fenomeni di movimento;
Sono utili per l’allocazione delle risorse economiche e la
pianificazione sanitaria.
3
TASSI GREZZI /2
Tasso di natalità
Tasso di mortalità
Tasso di immigratorietà
Tasso di emigratorietà
n(t) = N / Pm
m (t) = D / Pm
i (t) = I / Pm
e (t) = E / Pm
 Per
ognuna delle formule vale la popolazione media
calcolata con riferimento all’anno di calendario t.
 Solitamente questi tassi si presentano moltiplicati per
1000
4
METODI DI STANDARDIZZAZIONE / 1
Dai tassi generici ai tassi specifici


I tassi generici sono misure molto rozze dei fenomeni
demografici (Intensità del fenomeno, struttura della
popolazione);
I fenomeni demografici sono molto variabili secondo
l’età: ad alcune di esse approssimano o raggiungono la
frequenza nulla (morti tra i giovanissimi, le nascite
prima della pubertà o dopo la menopausa) mentre in
altre si raggiungono frequenze elevate o massime.
5
METODI DI STANDARDIZZAZIONE / 2
Esempio/1
Supponiamo a livello esemplificativo che la
popolazione sia composta solo da tre classi d’età: 2049, 50-79 ed 80+. Consideriamo due popolazioni A e B
che hanno stessa mortalità, ma diversa struttura per età:
Età
20-49
50-79
80+
A
P
n x
0,001 5.000
0,01 5.000
0,1
5.000
15.000
nmx
A
D
n x
5
50
500
555
B
P
n x
8.000
5.000
2.000
15.000
B
D
n x
8
50
200
258
6
METODI DI STANDARDIZZAZIONE / 3
Esempio/1
Età
20-49
50-79
80+




nmx
0,001
0,01
0,1
nPx
A
5.000
5.000
5.000
15.000
n Dx
A
5
50
500
555
nPx
B
8.000
5.000
2.000
15.000
n Dx
B
8
50
200
258
Qm = 555 / 15.000 = 0,037 = 37 ‰
BQm = 258 / 15.000 = 0,0172 = 17,2 ‰
A
Quindi, nonostante la mortalità per età sia la stessa il tasso generico
risulta molto più alto (più del doppio) in A che in B;
Quello che succede è che il tasso generico di mortalità più elevato
nella popolazione A è dovuto ad un ammontare maggiore della
popolazione in età anziana ed essendo molti di più gli anziani nella
popolazione A, si ottengono più decessi in A e quindi un tasso
7
generico più alto.
METODI DI STANDARDIZZAZIONE / 4
Tassi specifici

Per raffinare le misure in questione e per permettere un più
preciso confronto tra i fenomeni demografici osservati in
popolazioni diverse, si fa ricorso a misure più dettagliate
ottenute frazionando la popolazione, in collettività più omogenee
rispetto all’età
Tassi specifici

Sono il n. eventi di un certo fenomeno che si verificano durante
l’anno ad una certa età x ogni 1000 individui di età x,
mediamente presenti nella popolazione;

Permettono di osservare l’andamento del fenomeno osservato
alle varie età;

Si possono calcolare con riferimento alla popolazione maschile,
femminile o a sessi congiunti
8
METODI DI STANDARDIZZAZIONE / 5
Tassi specifici

Supponendo che l’intervallo delle classi sia pari ad n
(generalmente pari ad un anno o a un quinquennio) si avrà che
la formula per il calcolo dei quozienti specifici è
mx , x  n


M x , x n

 1000
Px , x n
La medesima formula può essere utilizzata facendo riferimento a
fenomeni demografici diversi dalla mortalità (fecondità,
nuzialità, etc.);
Il livello del tasso generico non sarà che una media dei singoli
tassi specifici relativi alle varie età, ciascuno pesato con un peso
proporzionale alla popolazione della sua classe.
9
METODI DI STANDARDIZZAZIONE / 6
Tassi specifici
 ω-1

  m x, x  n * p x, x  n  
D
 x 0
 x1000
Q

x1000

t
m
ω-1


Pm
p x, x  n



x 0


10
STANDARDIZZAZIONE / 1
Esempio concreto:
Confronto dell’evoluzione della mortalità per la popolazione
italiana nel tempo (1960-62 e 1970-72).
La mortalità è diminuita? Sono migliorate le condizioni di
sopravvivenza?
Osserviamo i tassi generici nel due periodi considerati:
m
1960-62 1070-72
9,6
9,67
11
STANDARDIZZAZIONE / 2
Osserviamo i tassi specifici:
Età
0-4
5-14
15-44
45-54
55-64
65-74
75+
m(t)
1960-62
mx
10,8
0,5
1,4
5,6
14,2
35,5
112
9,6
1070-72
mx
6,7
0,4
1,3
4,9
13,3
32,1
105,8
9,67
I tassi specifici per età sono tutti diminuiti, mentre il tasso generico
è aumentato. A cosa si deve tutto ciò?
12
STANDARDIZZAZIONE / 3
Osserviamo la struttura
della popolazione:
Età
0-4
5-14
15-44
45-54
55-64
65-74
75+
1960-62
Px/P*100
8,3
16,2
43,5
12,8
9,6
6,3
3,3
100
1070-72
Px/P*100
8,2
16,3
41,8
11,5
10,9
7,4
3,9
100
Nel tempo la popolazione è invecchiata
Le classi di età più anziane che hanno intensità maggiore (anche se
diminuita nel tempo!) “pesano” di più nel calcolo della media
ponderata dei tassi specifici: effetto della struttura per età!
13
STANDARDIZZAZIONE / 4
Come confrontare i tassi?
Posso seguire due strategie:
1.
Confronto dei tassi specifici per età:

non è sempre facile dare un risultato univoco e sintetico
2.
Confronto dei tassi generici:

dipendenza dalla struttura per età della popolazione;

dipendenza dall’intensità del fenomeno
14
STANDARDIZZAZIONE / 5
Si pone spesso il problema di confrontare, in
modo semplice e sintetico, i livelli di un
fenomeno demografico tra due o più popolazioni
STANDARDIZZAZIONE DIRETTA
(O DELLA POPOLAZIONE TIPO )
15
STANDARDIZZAZIONE / 6
Standardizzazione diretta (o della popolazione tipo)
VANTAGGI:
 Consente di calcolare tassi generici di mortalità utilizzando per le due o più
popolazioni a confronto una stessa struttura per età assunta come tipo
(standard);
 La popolazione standard può essere quella di una delle popolazioni oppure
quella di un’altra popolazione;
 Il tasso standardizzato ottenuto è il tasso che una data popolazione avrebbe se
la sua struttura per età fosse la stessa di quella della popolazione assunta come
tipo
LIMITI:


Tassi standardizzati non sono del tutto indifferenti alla scelta della popolazione
assunta come tipo;
Si sceglie in genere una “struttura intermedia” rispetto a quella delle
popolazioni messe a confronto
16
STANDARDIZZAZIONE / 7
METODO DI CALCOLO ED ESEMPI SULLA
STANDARDIZZAZIONE DIRETTA
Date due popolazioni A e B, di cui si conoscono l’ammontare della
popolazione alle singole età ed i quozienti specifici del fenomeno
oggetto di studio, per standardizzare i tassi delle due popolazione e,
quindi, per confrontare le due popolazioni rispetto all’evento
considerato, si può procede prendendo come standard la struttura
per età di una terza popolazione C.
Allora le formule dei tassi saranno:

b
m
 mx Px
b
x0

c
 c Px
x0

a
m
 a m x c Px
x0

 c Px
x0
17
STANDARDIZZAZIONE / 8
Concludendo:
 i due tassi standardizzati sono tra loro comparabili e la
differenza tra essi non è più imputabile alle diverse strutture
per età, ma al divario tra i singoli tassi specifici di
mortalità;
 N.B. (1) Il principio della standardizzazione può essere
applicato a qualsiasi fenomeno – demografico, sociale,
economico – che si manifesti con forza variabile, secondo
tipiche curve alle varie età o durate;
 N.B. (2) I livelli e i confronti tra tassi standardizzati
dipendono dalla struttura della popolazione scelta come
popolazione tipo.
18
STANDARDIZZAZIONE / 9
Si conoscono del paese A la distribuzione della popolazione per
grandi classi di età al 30 giugno di un dato anno e il valore del
tasso generico di mortalità (14,3 per mille) e del paese B la
distribuzione della popolazione al 30 giugno dello stesso anno e
quella dei tassi specifici di mortalità:
1.calcolare il tasso generico di mortalità della popolazione B;
2.standardizzare il tasso di mortalità di B mediante il metodo
diretto
Età
0-19
20-59
60+
Totale
A
P
n x
440
480
80
1000
B
P
n x
260
440
180
880
m A t  14,3
 12900 
B
m t 
  14,66
 880 
B
B
B
m
x
1000
m
*
P
n x
n x
n x
5
1300
10
4400
40
7200
55
12900
m
B
t
B
A
m
*
P
n x
n x
2200
4800
3200
10200
 10.200 

  10,2
 1.000 
19
STANDARDIZZAZIONE / 10
Standardizzazione indiretta (o dei coefficienti tipo)
VANTAGGI:

Consente di calcolare tassi generici di mortalità utilizzando per due
popolazioni a confronto una stessa distribuzione dei tassi specifici di
mortalità;

Il tasso standardizzato ottenuto è il tasso che una data popolazione avrebbe
se la sua mortalità specifica fosse quella assunta come standard;

Se abbiamo solo il numero totale di morti in una certa popolazione in un
certo anno, ma NON la loro distribuzione per età (es. PVS);

Possiamo calcolare tassi standardizzati di mortalità, conoscendo:
1.
La distribuzione per età della popolazione in esame
2.
Tassi specifici di mortalità per età di un’altra popolazione nello stesso anno
(Tassi tipo)
20
STANDARDIZZAZIONE / 11
METODO DI CALCOLO ED ESEMPI SULLA
STANDARDIZZAZIONE INDIRETTA
Ci chiediamo quanti sarebbero i morti di una popolazione A se, la
sua struttura per età fosse soggetta alla mortalità espressa dai tassi
tipo?
 1
DA t 
m
T
x 0
x
* Px
A
1000
Valore teorico del tasso di mortalità
A
m  1000 D t P
*
A
A
x
21
STANDARDIZZAZIONE / 12
METODO DI CALCOLO ED ESEMPI SULLA
STANDARDIZZAZIONE INDIRETTA
1. Si sommano i casi attesi per ogni fascia di età ed otteniamo il
numero totale dei casi attesi nelle popolazioni A e B;
2. In ogni popolazione si confrontano i casi osservati con quelli
attesi facendone il rapporto;
3. Si ottiene così il rapporto standardizzato:
A
*
m /m
T
>1
Il tasso di A> di quello
standardizzato
<1
Il tasso di A< di quello
standardizzato
22
STANDARDIZZAZIONE / 13
Esempi sulla standardizzazione indiretta
Di due popolazioni A e B si conoscono i decessi osservati (o casi osservati)
che sono rispettivamente 53.750 e 220. Inoltre si conosce la struttura di
entrambe e dei quozienti specifici standard. Utilizzare il metodo indiretto per
stimare la mortalità.
Fasce d'età
0-4
5-14
15-44
45-64
65+
Totale
Tassi standard
41
3,2
10
70
540
Popolazione A
Popolazione B
Popolazione A Casi attesi Popolazione B Casi attesi
3.000.000
1.230
50.000
20,5
7.800.000
250
60.000
1,92
24.900.000
2.490
142.000
14,2
13.900.000
9.730
45.000
31,5
7.500.000
40.500
23.000
124,2
57.100.000
54.200
320.000
192,32
Popolazione A:
Casi osservati: 53.750
Casi attesi: 54.200
Popolazione B:
Casi osservati: 220
Casi attesi: 192,32
23
STANDARDIZZAZIONE / 14
Esempi sulla standardizzazione indiretta
Rapporto standardizzato di A:
(53.750/54.200)=0,99
Rapporto standardizzato di B:
(220/192,32)=1,14
La popolazione A ha una mortalità di circa l’1% inferiore a
quella attesa; mentre per la popolazione B la mortalità è del
14% superiore di quella attesa
24
STANDARDIZZAZIONE / 15
Si conoscono del paese A la distribuzione della popolazione per
grandi classi di età al 30 giugno di un dato anno e il valore del
tasso generico di mortalità (14,3 per mille) e del paese B la
distribuzione della popolazione al 30 giugno dello stesso anno e
quella dei tassi specifici di mortalità:
1.calcolare il tasso generico di mortalità della popolazione B;
2.standardizzare il tasso di mortalità di B mediante il metodo
diretto
Età
0-19
20-59
60+
Totale
A
P
n x
440
480
80
1000
B
P
n x
260
440
180
880
B
B
B
m
x
1000
m
*
P
n x
n x
n x
5
1300
10
4400
40
7200
55
12900
B
A
m
*
P
n x
n x
2200
4800
3200
10200
m A t  14,3
 12900 
mBt  
  14,66
 880 
m
B
t
 10.200 

  10,2
 1.000 
25
STANDARDIZZAZIONE / 16
2. Standardizzare il tasso di mortalità di B mediante il metodo
indiretto
Età
0-19
20-59
60+
Totale
A
P
n x
440
480
80
1000
B
P
n x
260
440
180
880
B
B
B
m
x
1000
m
*
P
n x
n x
n x
5
1300
10
4400
40
7200
55
12900
B
A
m
*
P
n x
n x
2200
4800
3200
10200
Attesi A Se avesse la mortalità di B
2200
A
14,3 14,3*1000=14300
4800
n Dx
3200
Rapporto 14.300/10.200=1,4
10200
A
m
n x standardizzato =
12.900*1,4/1000=18,09
D effettivi A
26
AGENDA
DEMOGRAFIA APPLICATA – ESERCITAZIONE – Dott.ssa Angela Coscarelli

Richiamo sui Tassi grezzi e/o generici o
quozienti ed i Tassi specifici e/o per età

Probabilità di morte
Tra compleanni
Tra due date e due classi d’età successive
(Probabilità prospettive di morte)

Tavola di mortalità
Completa;
Abbreviata
27
MORTALITA’
Tassi generici, Tassi specifici e rischio di mortalità
 ω-1



m
*
p
  x, x  n
x, x  n 
D
 x1000
Q

x1000   x 0 ω-1
TASSO GREZZO t m


Pm
p x, x  n



x 0


 E’facilmente calcolabile;
 Fornisce un’immediata idea dell’intensità del fenomeno
I QUOZIENTI SPECIFICI:
 Forniscono una dettagliata informazione per sottogruppi di popolazione;
 Possono essere calcolati per diverse variabili (sesso, professione, stato
28
civile, ecc.)
MORTALITA’
Probabilità di morte per età
Valutazione
del rischio
di mortalità
qx 
g
Dx
g
Px
Possono essere calcolate:
 Per tutte le età di una generazione (analisi longitudinale);
 In corrispondenza delle diverse età di tutte le generazioni che
convivono in una dato intervallo biennale (analisi trasversale)
29
MORTALITA’
ESEMPIO
Supponiamo di voler calcolare per la popolazione maschile di
Cosenza la probabilità di morte tra il 60° ed 61° compleanno
nel biennio 1978-79:
Dx
g
Px
61
25
60
44
2693
qx 
g
30
31
2737
1978
1979
D60
44  30
q60 

 0,02704
(2693  44)
1918 P60
1918
30
TAVOLA DI MORTALITA’
Date le probabilità di morte (qx) tra i diversi compleanni degli appartenenti
ad una popolazione (sia se essa è una generazione o un insieme di
contemporanei) è possibile descrivere il processo di eliminazione per morte
degli individui che ne fanno parte attraverso una procedura che si identifica
con il nome di Tavola di Mortalità
VANTAGGI:
 Offre risultati comparabili nel senso che non risentono dell’ammontare
della popolazione né della relativa struttura per età;
 Consente di isolare l’azione della mortalità come unica causa di
eliminazione degli individui di una popolazione
31
COSTRUZIONE DELLA TAVOLA DI MORTALITA’/1
Sia l0 il numero degli individui considerati (solitamente è pari a 100.000 o ad
un multiplo di 10) e si supponga che durante il loro corso di vita siano
sottoposti al rischio di morte tra due compleanni successivi secondo i valori
assunti dalle qx cui si fa riferimento
 Se q0 è il valore della probabilità di morte tra la nascita ed il primo
compleanno, il numero atteso d0 dei decessi entro il primo compleanno
sarà: d0 = l0 q0;
 I sopravviventi fino al primo compleanno saranno dunque l1=l0-d0;
 Valutato l1 è possibile calcolare d1=l1q1;
 …E quindi l2=l1-d1 e così via;
In generale:
dx = lx qx
lx+1= lx - dx = lx (1- qx)
dx= lx – lx+1
32
COSTRUZIONE DELLA TAVOLA DI MORTALITA’/2
I valori così calcolati, insieme ad altri indicatori determinano le cosiddette
funzioni biometriche il cui compito è di arricchire la descrizione del processo di
eliminazione della popolazione considerata. Si potranno quindi calcolare:
 Le probabilità di sopravvivenza (px ) dal compleanno x al compleanno x+1
ovvero il complemento ad uno delle probabilità di morte: px = (1- qx);
 Gli anni vissuti (Lx ) tra i compleanni x, x+1 da parte dei soggetti che
hanno raggiunto l’età x.
Lx = lx+1 + kx dx
ovvero si ottengono sommando i sopravviventi al
compleanno x+1 con il numero di anni vissuti dai soggetti dx deceduti in
età x. Solitamente si suppone che questi ultimi abbiano vissuto in media
mezzo anno quindi:
l x  l x 1 l x  l x1
1
Lx  l x 1  k x d x  l x 1  d x  l x1 

2
2
2
33
COSTRUZIONE DELLA TAVOLA DI MORTALITA’/3
 La serie delle retrocumulate degli anni vissuti (Tx), definisce il numero
totale di anni che verranno ancora vissuti dai soggetti lx che hanno
raggiunto il compleanno x.
Tx  Lx  Lx 1  Lx  2  ......  L 1
 La speranza di vita o vita media (o vita attesa) ex all’età x che rappresenta
il numero medio di anni che un soggetto può ancora attendersi di vivere al
compimento dell’età x
Tx
ex 
lx
34
COSTRUZIONE DELLA TAVOLA DI MORTALITA’/4
La tavola di mortalità può essere costruita anche in forma abbreviata ovvero
ricorrendo ad un processo di eliminazione non per singolo anno di età, ma per
intervalli, di solito, quinquennali.
n
qx n d xlx
l xn  l x  n d x
l x  l xn
n Lx  n
2
35
Esempio
sulla
tavola di
mortalità
Età
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Sopravviventi Decessi
(lx)
(dx)
100000
99355
99328
99303
99282
99264
99261
99255
99248
99237
99225
645
27
24
21
18
3
5
8
10
13
13
Probabilità di
morte (per mille)
(qx)
Anni
vissuti
Lx
Retrocumulate
(Tx)
Probabilità
prospettive di
sopravvivenza Px
Speranza di vita
(ex)
6,45
0,28
0,25
0,21
0,18
0,03
0,05
0,08
0,10
0,13
0,13
99393
99341
99316
99293
99273
99262
99258
99251
99242
99231
99218
7898581
7799188
7699847
7600531
7501238
7401965
7302703
7203445
7104194
7004952
6905721
0,9995
0,9997
0,9998
0,9998
0,9999
1,0000
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
78,99
78,50
77,52
76,54
75,56
74,57
73,57
72,58
71,58
70,59
69,60
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
2445
1853
1347
951
652
429
269
158
87
45
22
10
4
1
0
0
0
0
0
0
0
592
506
396
299
223
161
111
70
42
23
12
6
3
1
0
0
0
0
0
0
0
242,05
273,04
293,82
314,60
341,46
374,40
413,14
446,29
479,38
514,74
552,35
594,08
631,48
668,70
702,80
733,79
766,25
796,81
827,14
851,87
871,10
2149
1600
1149
802
541
349
213
122
66
34
16
7
3
1
0
0
0
0
0
0
0
7052
4903
3303
2154
1352
811
462
249
127
61
27
11
4
1
0
0
0
0
0
0
0
0,7446
0,7182
0,6976
0,6745
0,6455
0,6107
0,5746
0,5419
0,5085
0,4730
0,4347
0,3951
0,3585
0,3228
0,2901
0,2594
0,2280
0,1981
0,1692
0,1457
0,1275
2,89
2,65
2,45
2,26
2,07
1,89
1,72
1,58
1,46
1,34
1,23
1,13
1,04
0,96
0,90
0,84
0,79
0,74
0,70
0,67
0,65
36
Esempio
sulla
tavola di
mortalità
Età
0-4
5-9
10-14
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
40-44
45-49
50-54
55-59
60-64
65-69
70-74
75-79
80-84
85-89
90-94
95-99
100-104
105-109
110-114
115-119
Sopravviventi Decessi Probabilità di morte
(lx)
(dx)
(per mille) (qx)
100000
99264
99225
99133
98898
98605
98337
97994
97655
96942
95884
94106
91346
87276
80836
71805
56673
37885
19804
6324
1853
269
10
0
736
39
92
235
293
269
343
339
713
1058
1778
2760
4070
6440
9031
15132
18788
18081
13479
4471
1585
259
10
0
7,36
0,39
0,92
2,37
2,96
2,72
3,48
3,46
7,30
10,91
18,55
29,33
44,55
73,79
111,72
210,74
331,52
477,26
680,66
706,98
855,04
963,25
996,08
999,84
Anni vissuti
Lx
Retrocumulate
(Tx)
496616
496245
495927
495127
493770
492359
490846
489170
486648
482259
475310
464080
447242
421291
383225
323350
237098
143254
61179
18683
4441
452
11
0
7898583
7401967
6905722
6409795
5914668
5420898
4928539
4437693
3948523
3461875
2979616
2504306
2040226
1592984
1171693
788468
465118
228020
84766
23587
4904
463
11
0
Probabilità
Speranza di vita
prospettive di
(ex)
sopravvivenza Px
0,999
0,999
0,998
0,997
0,997
0,997
0,997
0,995
0,991
0,986
0,976
0,964
0,942
0,910
0,844
0,733
0,604
0,427
0,305
0,238
0,102
0,025
0,003
0,000
78,99
74,57
69,60
64,66
59,81
54,98
50,12
45,29
40,43
35,71
31,08
26,61
22,34
18,25
14,50
10,98
8,21
6,02
4,28
3,73
2,65
1,72
1,13
0,79
37
COSTRUZIONE DELLA TAVOLA DI MORTALITA’/5
Sorgono dei problemi per quanto riguarda la stima delle età più estreme. Difatti
le qx sono abbastanza variabili a causa dell’esiguità delle cifre dell’età dei
deceduti. Per questo solitamente tali probabilità vengono perequate con delle
funzioni matematiche. Si potrebbe far finire la tavola con una classe aperta, ma
sarebbe complicato calcolare i valori di Tx ed ex. Si può operare attraverso due
metodi:
1) Si indica con tx il quoziente specifico di mortalità della tavola tra x e x+1;
quindi sarà tx = dx/Lx da cui Lx=dx/tx . Per l’intervallo aperto sarà anche
Lk+=dk+/tk+. Considerando che Lk+=Tk+ e che dk+=lk segue che Tk+ = lk / tk+ in cui
tk+ è sconosciuto. Sostituendo a tk+ una stima ottenuta dai dati della
popolazione reale è possibile valutare Tk+ . Quindi la vita media sarà:
ek= Tk/lk cioè lk / (tk+ lk)=1/tk+
2) Si stima in un altro modo ek per calcolare Tk+ . Si ricalcola ek sfruttando la
relazione Tk = ek * lk
38
Probabilità prospettive
Le probabilità di morte tra compleanni hanno la caratteristica di essere
utilizzate per la costruzione della tavola di mortalità. Invece, le probabilità tra
due date e due classi d’età successive rappresentano le Probabilità Prospettive
utilizzate nel campo delle previsioni demografiche.
Misurano il rischio che hanno in media gli individui dell’età x (compiuti)
all’istante iniziale t dell’intervallo (t,t+1) di non essere in vita in età x+1
all’istante finale t+1.
q x , x 1 
g
g
g
D(t )
g
Px (1.1.t )
D(t )
Px (1.1.t )
Sono i decessi osservati nell’anno t della
generazione g in età x al 1 gennaio dell’anno t
39
Probabilità prospettive/2
Le probabilità di sopravvivenza in età compiute saranno espresse da Px e
misurano la probabilità che hanno in media gli individui dell’età x (compiuti)
all’istante iniziale t dell’intervallo (t,t+1) di essere in vita in età x+1 all’istante
finale t+1.
2
Px , x 1
L x 1

Lx
Px,x  n
n Lxn

n Lx
L1
1
L0
L
P0  1
L0
Ln
n P0 
n L0
Sono le probabilità del primo gruppo d’età
L1
Pb 
l0
L0
n Pb 
n * l0
Sono le probabilità dalla nascita
0
n
n
 l1  l5 
*4
5 L0 1 L0  4 L1  k l 0  k l1  
 2 
"
'
40
Probabilità prospettive/3
ESEMPIO
Nella tavola vi sono le funzioni di sopravvivenza di una tavola di mortalità
fino al 5° anno di età. Calcolare le probabilità alla nascita, supponendo noti i
pesi della nascita.
lx
Età
0
1
5
100000
97593
97343
 l1  l5 
*4
5 L0 1 L0  4 L1  k l 0  k l1  
 2 
"
'
 97.593  97343 
 * 4  487.826
5 L0 1 L0  4 L1  0,15 * 100.000  0,85 * 97.593  
2


L
487.826
Pb  5 0 
n * l 0 500.000
41
Tavola di mortalità/1
ESEMPIO
I seguenti valori sono stati tratti da una tavola di mortalità per il sesso
femminile
Funzioni biometriche
Valori
l0
100000
l1
99,309
e1
79,92
Calcolare la vita media alla nascita, sapendo che k’=0,95 e k”=0,05
T0
e0 
ricordiamo che T0  L0  T1
l0
T1  l1 * e1 mentre L0  k "l 0  k ' l1
T1  l1 * e1  99.309 * 79,92  7.936.775
L0  k "l 0  k ' l1  (0,05 * 100.000)  (0,95 * 99.309)  94.343  5.000  99.343
T0  L0  T1  99.343  7.936.775  8.036.118
e0 
T0 8.036.118

 80,36 anni
l0
100.000
42
Tavola di mortalità/2
ESEMPIO
Dato lo stralcio della tavola di mortalità italiana del 1992 per il sesso maschile,
1) Calcolare:
4
q1
dx
lx
99.121
98.996
98.898
98.367
97.128
Età
1
5
10
20
30
5
q5
ex
125
98
531
1.239
150
q
10 10
10
45,54
q20
2) La vita media a cinque anni
43
Tavola di mortalità/2
150
97.128
30
1239
98.367
20
531
98.898
10
98
98.996
5
125
1
99.121
44
Tavola di mortalità/2
125
 1,26 per mille
99.121
98
q

 0,99 per mille
5 5
98.996
531
q

 0,99 per mille
10 10
98.898
1.239
q

 12,60 per mille
10 20
98.367
4 q1 
e5 
T5 5 L5  10 L10  10 L20  T30

l5
l5
T30  e30 * l30  45,54 * 97.128  4.423.209
l 5  l10
98.996  98.898
*5 
* 5  494.735
2
2
l10  l 20
98.898  98.367
*5 
* 5  493.162
10 L10 
2
2
l 20  l30
98.367  97.128
*5 
* 5  488.737
10 L20 
2
2
494.735  493.162  488.737  4.423.209  59,6 anni
e5 
98.996
5
L5 
45
Tavola di mortalità/3
ESEMPIO
Da alcuni valori della tavola di mortalità femminile italiana del 1992, calcolare
i sopravviventi ed i decessi
Età
25
26
27
28
lx
98.764
dx
qx ‰
0,379
0,4167
0,4432
0,4669
d 25  l 25 * q 25  98.764 * 0,3790  37.431
l 26  l 25  d 25  98.764  37.431  61.333
d 26  l 26 * q 26  61.333 * 0,4167  25.557
l 27  l 26  d 26  61.333  25.557  35.776
d 27  l 27 * q 27  35.776 * 0,4432  15.886
l 28  l 27  d 27  35.776  15.886  19.890
d 28  l 28 * q 28  19.890 * 0,4669  9.287
46
Previsioni demografiche/1
I fenomeni demografici (fecondità, natalità, mortalità) nella loro consistenza
presentano di solito un’inerzia maggiore rispetto a quelli economici, difatti la
variazione dei primi risulta più lenta e graduale. Anche per questo, si prestano
meglio ad effettuare calcoli previsionali.
Esempi di previsioni demografiche: le previsioni della fecondità, le previsioni
della popolazione scolastica o della popolazione anziana, le previsioni della
popolazione attiva, ecc.
Metodo delle Componenti
Il metodo delle componenti è una tecnica che permette di proiettare una
popolazione per sesso e per età partendo da ipotesi sulla fecondità, mortalità
e migrazione effettuate precedentemente.
47
Previsioni demografiche/2
Nel lavoro di previsione ci sono tre fasi fondamentali:
1.
2.
3.
Studio dell’evoluzione passata di mortalità, fecondità e migrazione;
Elaborazione delle ipotesi da impiegare nel calcolo delle previsioni
Applicazione delle ipotesi alla popolazione di riferimento.
Ipotesi di lavoro
Il metodo delle componenti è una tecnica che permette di proiettare una
popolazione per sesso e per età partendo da ipotesi sulla fecondità, mortalità
e migrazione effettuate precedentemente.
Si suppone che la popolazione sia suddivisa in classi di età quinquennali,
sia chiusa alla migrazione e sia soggetta solo alla mortalità. In seguito si
parlerà anche delle ipotesi sulla fecondità.
48
Previsioni demografiche/3
Nel lavoro di previsione ci sono tre fasi fondamentali:
1.
2.
3.
Studio dell’evoluzione passata di mortalità, fecondità e migrazione;
Elaborazione delle ipotesi da impiegare nel calcolo delle previsioni
Applicazione delle ipotesi alla popolazione di riferimento.
Ipotesi di lavoro
Il metodo delle componenti è una tecnica che permette di proiettare una
popolazione per sesso e per età partendo da ipotesi sulla fecondità, mortalità
e migrazione effettuate precedentemente.
Si suppone che la popolazione sia suddivisa in classi di età quinquennali,
sia chiusa alla migrazione e sia soggetta solo alla mortalità. In seguito si
parlerà anche delle ipotesi sulla fecondità.
49
Previsioni demografiche/4
A partire dalla ripartizione della popolazione per sesso e per gruppi di età, si
calcoleranno:
1. Gli effettivi sopravviventi tramite le probabilità prospettive di
sopravvivenza, ottenute con una tavola di mortalità;
2. le nascite sopravvenute durante il periodo di previsione, nascite che sono
ripartite per sesso e sottomesse alle loro leggi di mortalità;
3. i movimenti migratori (che in questa sede si riterrà un fenomeno chiuso)
Px , x 1 
L1
P0 
L0
Pb 
L1
l0
L x 1
Lx
Px,x  n 
n
Lxn
n Lx
Ln
n P0 
n L0
n
n Pb 
x
Pt  n  x n Pt *n Px
L0
n * l0
n
 l1  l5 
"
'
L

L

L

k
l

k
l


*4
5 0 1 0 4 1
0
1
 2 
50
Previsioni demografiche/5
Se la tavola di mortalità finisce con un intervallo di età aperto, le previsioni
saranno calcolate opportunamante. Ovvero calcolare le probabilità di
sopravvivenza fra età compiute nell’ultima classe in funzione della vita
media e del numero di sopravviventi nell’ultima età esatta della tavola.
P80
L85 T85 e85l85



L80 T80 e80l80
51
Previsioni demografiche/6
Di una popolazione ad un certo istante t si conosce:
1.
2.
3.
Popolazione femminile di 0-4 anni compiuti pari a 1.371;
Assenza di migrazioni;
L’andamento della mortalità descritto dalla seguente serie degli Lx
Età
0
1
2
3
4
Lx
99319
99269
99236
99212
99194
Età
5
6
7
8
9
Lx
99178
99163
99148
99135
99123
Età
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
40-44
45-49
Px , x 5
2.133
2.317
2.363
2.078
1.912
2.037
1.715
fx ‰
8,95
53,86
94,69
71,84
29,08
5,46
0,15
Calcolare l’ammontare della stessa popolazione fra 5 anni
52
Previsioni demografiche/7
Calcoliamo le nascite previste
Età
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
40-44
45-49
Px , x 5
fx ‰
2.133
2.317
2.363
2.078
1.912
2.037
1.715
14.555
P5-t95   P0(t )4
8,95
53,86
94,69
71,84
29,08
5,46
0,15
Nx
19.090
124.794
223.752
149.284
55.601
11.122
257
583.900
Età
0
1
2
3
4
Lx
99319
99269
99236
99212
99194
Età
5
6
7
8
9
Lx
99178
99163
99148
99135
99123
L5
L  L6  L7  L8  L9
 P0(t )4 5
 1.371 * 0,999  1370
L0  L1  L2  L3  L4
4 L0
9
N t ,t 5  583.900 * 5  2.919.500
2.919.500 * 0.489  1.427.635
L
496.230
P0-t45   N t ,t 5 4 0  1.427.635
 1.416.870
5 * l0
5 *100.000
P5-t95   1.427.635  1.416.870  2.844.505 / 1000  2844
53
Natalità e Fecondità/1
La misura più immediata della natalità nel corso di un anno di calendario è
rappresentata dalla frequenza di nascite. Il tasso generico di natalità è
definito come il rapporto tra le nascite avvenute nell’anno e la
popolazione media dello stesso anno.
N (t )
n(t ) 
* 1000
P(t )
Tuttavia, una misura grezza fornisce un’idea molto generale del fenomeno e
presenta dei limiti.
SVANTAGGI:
1. Dipende dalla struttura della popolazione (sesso, età, stato civile);
2. Dipende dall’ammontare totale della popolazione non considerando la vera
quota di persone che possono realmente generare.
54
Natalità e Fecondità/2
Per superare il limite della dipendenza, (che potrebbe essere risolto, inutilmente,
rapportando il numero di nascite per la popolazione media femminile) si
può ricorrere al calcolo dei quozienti specifici di fecondità per età della
madre. In questo modo si conoscerà la reale intensità del fenomeno per
singola età.
La somma di tutti i quozienti specifici
Nx
restituirà un indicatore sintetico
fx  f
dell’intensità annua della fecondità
Px
di quella determinata popolazione:
Tasso di Fecondità Totale (TFT)
TFT (t )   f x
x
TFT (t )   f x * 5 Nel caso si calcoli il TFT per classi quinquennali
x
55
Altre misure della fecondità/1
Il TFT esprime il numero medio di figli per donna in età feconda, per avere una
misura più dettagliata che tenga conto del ricambio generazionale si utilizza
R= Tasso Lordo di Riproduzione
R   f x * 0,489
x
In questo modo si considereranno le sole nascite femminili in un rapporto di
almeno 1.000 figlie per ogni 1.000 donne.
Tuttavia questo indicatore non tiene conto della possibile mortalità delle donne
durante la vita feconda, pertanto il Tasso Lordo di Riproduzione viene
sostituito dal Tasso Netto di Riproduzione R0
Lx
R0   f x * 0,489 *
l0
x
Lx
l0
Rappresenta la frequenza di soggetti, di un contingente iniziale di 1.000
neonate, che sono ancora in vita tra l’x-esimo e x+1-esimo compleanno
56
Altre misure della fecondità/2
Il calcolo del Tasso Netto può essere semplificato supponendo che la funzione di
sopravvivenza sia lineare nell’intervallo fecondo
l x  l a  k ( x  a)
l x f x  l a f x  k ( x  a) f x
l
x
x
f x  l a  f x  k ( x  a ) f x sse k ( x  a) f x  0
x
x
x
infatti k ( x  a ) f x  k  f x x  ak  f x sse
x
x
x
 xf
a
f
x
x
Età media alla maternità
x
x
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