Euclide
d’Alessandria
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“Euclide raccolse gli Elementi, ne ordinò in sistema
molti di Eudosso, ne perfezionò molti di Teeteto e
ridusse a dimostrazioni inconfutabili quelli che i suoi
predecessori avevano poco rigorosamente dimostrato.
Visse al tempo del primo Tolomeo, perché
Archimede,che visse subito dopo Tolomeo primo, cita
Euclide.
[…]
Euclide era dunque più giovane dei discepoli di Platone,
ma più anziano di Eratostene e di Archimede, che erano
fra loro contemporanei, come afferma in qualche luogo
Eratostene.”
(Proclo, Commento al I libro degli Elementi di Euclide, introduzione, trad. e note a cura di Maria Timpanaro Cardini,
Pisa, Giardini editori e stampatori, 1978, pagg. 73 e 74)
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“E anche si racconta che Tolomeo gli
chiese una volta se non ci fosse una via
più breve degli Elementi per
apprendere la geometria; ed egli
rispose che per la geometria non
esistono vie fatte per i re.
[…]
Per le idee Euclide era platonico e
aveva molto familiare questa filosofia,
tanto che si propose come scopo finale
di tutta la raccolta degli Elementi la
costruzione delle figure chiamate
platoniche.”
(Proclo, Commento al I libro degli Elementi di Euclide, introduzione, trad. e note a
cura di Maria Timpanaro Cardini, Pisa, Giardini editori e stampatori, 1978, pagg. 73
e 74)
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INDICE DEGLI ELEMENTI DI EUCLIDE
Libro primo
Definizioni
Postulati
Nozioni comuni
Proposizioni
Libro secondo
Definizioni
Proposizioni
Libro terzo
Definizioni
Proposizioni
Libro quarto
Definizioni
Proposizioni
Libro quinto
Definizioni
Proposizioni
Libro sesto
Definizioni
Proposizioni
(continua)
4
(continua)
Libro settimo
Definizioni
Proposizioni
Libro undicesimo
Definizioni
Proposizioni
Libro ottavo
Proposizioni
Libro dodicesimo
Proposizioni
Libro nono
Proposizioni
Libro tredicesimo
Proposizioni
Libro decimo
Definizioni
Proposizioni
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STRUTTURA TEMATICA
DEGLI ELEMENTI DI EUCLIDE
• libri I - VI: geometria piana;
• libri VII - IX: teoria dei numeri;
• libro X: le grandezze incommensurabili;
• libri XI - XIII: geometria solida.
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Libro primo
Termini
I. Punto è ciò che non ha parti.
II Linea è lunghezza senza larghezza.
III. Estremi di una linea sono punti.
IV. Linea retta è quella che giace ugualmente
rispetto ai punti su essa.
[…]
VIII. Angolo piano è l’inclinazione reciproca di due
linee su un piano, le quali si incontrino fra loro e
non giacciano in linea retta.
[…]
X. Quando una retta innalzata su una [altra] retta
forma gli angoli adiacenti uguali fra loro, ciascuno
dei due angoli uguali è retto, e la retta innalzata si
chiama perpendicolare a quella su cui è innalzata.
[…]
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Postulati
I. Risulti postulato: che si possa condurre una linea
retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto.
II. E che una retta terminata si possa prolungare
continuamente in linea retta.
III. E che si possa descrivere un cerchio con
qualsiasi centro ed ogni distanza.
IV. E che tutti gli angoli retti siano uguali fra loro.
V. E che, se una retta venendo a cadere su due rette
forma gli angoli interni e dalla stessa parte minori
di due retti, le due rette prolungate illimitatamente
verranno ad incontrarsi da quella parte in cui sono
gli angoli minori di due retti.
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Libro undicesimo
Definizioni
I. È un solido ciò che ha lunghezza, larghezza e
profondità.
II. Limite di un solido è la superficie.
III. Una retta è perpendicolare ad un piano, quando
forma angoli retti con tutte le rette che la
incontrano e che siano su quel piano.
IV. Un piano è perpendicolare ad un altro piano,
quando le rette condotte, in uno dei piani,
perpendicolarmente alla intersezione comune dei
piani, sono perpendicolari all’altro piano.
[…]
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VII. Piramide è una figura solida compresa da piani
che, partendo da un piano, concorrano in un punto.
[…]
XXV. Cubo è una figura solida compresa da sei
quadrati uguali.
XXVI. Ottaedro è una figura solida compresa da otto
triangoli uguali ed equilateri.
XXVII. Icosaedro è una figura solida compresa da
venti triangoli uguali ed equilateri.
XXVIII. Dodecaedro è una figura solida compresa da
dodici pentagoni uguali, equilateri ed equiangoli.
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I SOLIDI
PLATONICI
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LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE
Sono le geometrie che si fondano sulla negazione del
quinto postulato enunciato negli Elementi di Euclide.
I dettagli di questi due tipi di geometria non-euclidea sono
piuttosto complessi, ma in entrambi i casi i concetti
fondamentali possono essere compresi per mezzo di
semplici modelli.
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Geometria iperbolica
La geometria di Bolyai-Lobacevskij, spesso chiamata
geometria non-euclidea o iperbolica, ambienta la geometria
piana all'interno di una circonferenza, in cui tutte le possibili
linee 'rette' sono rappresentate dalle infinite corde.
Come si può osservare, tracciato un 'punto' P ed una 'retta'
r, si possono trovare due 'rette' s e t, passanti per P e per
gli estremi della corda r.
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Geometria ellittica
La geometria di Riemann, detta anche geometria
ellittica o semplicemente geometria non-euclidea, è
costruita sulla superficie di una sfera, in cui tutte le linee
rette sono rappresentate dai cerchi massimi.
Come si può osservare, fissato un punto di Riemann e
una retta di Riemann, ossia una coppia (A, B) di punti
diametralmente opposti e una circonferenza massima r,
allora ogni altra retta di Riemann passante per (A, B)
interseca sempre la circonferenza massima, r, in due
punti diametralmente opposti (C, D) ossia in un punto di
Riemann.
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David Hilbert
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I FONDAMENTI DELLA
GEOMETRIA
“Gli elementi della geometria
ed i cinque gruppi di assiomi.
Spiegazione - Consideriamo tre diversi sistemi di oggetti:
chiamiamo punti gli oggetti del primo sistema e li indichiamo con
A, B, C, …; chiamiamo rette gli oggetti del secondo sistema e li
indichiamo con a, b, c, …; chiamiamo piani gli oggetti del terzo
sistema e li indichiamo con , , , … [...]
Noi consideriamo punti, rette e piani in certe relazioni reciproche ed
indichiamo queste relazioni con parole come “giacere”, “fra”,
“congruente”; la descrizione esatta e completa ai fini matematici di
queste relazioni segue dagli assiomi della geometria,
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Noi possiamo suddividere gli assiomi della geometria in cinque
gruppi; ciascuno di questi gruppi esprime certi fatti fondamentali
omogenei della nostra intuizione. Indicheremo questi gruppi di
assiomi nel seguente modo:
I 1 - 8. Assiomi di collegamento.
II 1 - 4. Assiomi di ordinamento.
III 1 - 5. Assiomi di congruenza.
IV. Assioma delle parallele.
V. 1 - 2. Assiomi di continuità.”
(David Hilbert, Fomdamenti della geometria con i suppliementi di Paul Bernays, Milano, Feltrinell, 1970,, pag. 3)
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