trigonometria
Triangoli qualunque
Un triangolo si considera risolto quando
se ne conoscono i tre lati e i tre angoli
A
a
B
b
g
C
Una prima proprietà dei triangoli qualunque
L’area A di un triangolo è
uguale a
A
c
B
a
BC×AH
A=
2
b
g
b
H a
C
Utilizzando le funzioni goniometriche
L’area di un triangolo è uguale al
semiprodotto di due lati per il seno dell’angolo compreso
BC×AB
BC×AH
A=A=
senβ
2 2
A
c
B
a
b
b
g
H a
Vediamo perché
C
L’altezza AH può essere considerata:
• AH = ABsenb,
oppure
• AH = ACseng
c
B
A
a
A=
b
Quindi:
BC×AH
A=
2
b BC×AC
g
2
senγ
C
H a
oppure
diventa
BC×AB
A=
senβ
2
Consideriamo il caso
π
<γ<π
2
Allora
A
AH = ACsen(180 – g) = ACseng
c
b
B
a
a
b
g
C
180 - g
H
Quindi:
BC×AH
A=
2
BC×AC
A=
senγ
2
diventa
L’area di un triangolo è uguale al
A
semiprodotto di due lati per il
seno dell’angolo compreso
c
b
B
a
a
b
g
C
180 - g
H
L’area di un triangolo è uguale al
semiprodotto di due lati per il seno
dell’angolo compreso
BC×AH
A=
2
BC×AB
BC×AC
senβ
A=
senγ A=
2
2
a
AB×AC
A=
senα
c
2
b
b
B
a
g
C
A
180 - g
H
Area di un parallelogramma
D
b
a
C
h
b
a
A
quindi
H
a
B
Teorema dei seni
In un triangolo qualunque è costante il rapporto
tra un lato e l’angolo corrispondente
a
b
c
h
b
g
a
S = ½ ac senb
Teorema dei seni
In un triangolo qualunque è costante il rapporto
tra un lato e l’angolo corrispondente
90°
S = ½ cb sen(180-a)
S = ½ cb sena
c
h
a
b
b
g
a
S = ½ ac senb
Teorema dei seni
In un triangolo qualunque è costante il rapporto
tra un lato e l’angolo corrispondente
S = ½ ab seng
a
b
c
h
b
g
a
S = ½ ac senb
S = ½ cb sena
Teorema dei seni
In un triangolo qualunque è costante il rapporto
tra un lato e l’angolo corrispondente
a
b
c
b
g
a
S = ½ ac senb
S = ½ cb sena
S = ½ ab seng
Teorema dei seni
In un triangolo qualunque è costante il rapporto
tra un lato e l’angolo corrispondente
½ ac senb = ½ cb sena = ½ ab seng
a
b
c
b
g
a
ac senb = cb sena = ab seng
Teorema dei seni
In un triangolo qualunque è costante il rapporto
tra un lato e l’angolo corrispondente
ac senb = cb sena = ab seng
a
b
c
b
g
a
Se dividiamo per
abc si ottiene
Teorema dei seni
In un triangolo qualunque è costante il rapporto
tra il seno di un angolo e il lato corrispondente
ac senb = cb sena = ab seng
acsenβ cbsenα absenγ
=
=
abc
abc
abc
a
senβ senα senγ
=
=
b
a
c
b
c
b
g
a
Teorema delle proiezioni
In un triangolo qualunque la misura di un lato è uguale alla somma dei
prodotti delle misure degli altri due lati per il coseno dell’angolo che
ciascuno di questi forma col primo
a
b
c
b
g
a
Teorema delle proiezioni
In un triangolo qualunque la misura di un lato è uguale alla
somma dei prodotti delle misure degli altri due lati per il
coseno dell’angolo che ciascuno di questi forma col primo
A
a
BC = ABcosb +ACcosg
c
B
b
b
g
Ha
BC = BH +HC
BH = ABcosb
HC = ACcosg
quindi
C
Teorema delle proiezioni
In un triangolo qualunque la misura di un lato è uguale alla somma dei
prodotti delle misure degli altri due lati per il coseno dell’angolo che
ciascuno di questi forma col primo
A
a
c
B
b
BC = ABcosb +ACcosg
b
g
Ha
Questa proprietà è valida per qualunque lato
C
Teorema delle proiezioni
H
90
180-a
A
a
b
c
a-90
B
b
g
a
AC = HC – HA = BCcosg – ABcos(180 – a)
e poiché
C
cos(180 – a) = - cos a
Perché si chiama teorema delle proiezioni
L = lunghezza del bastone
La lunghezza dell’ombra si
chiama proiezione
Proiezione = lcos a
l
a
ombra
Teorema del coseno ( o di Carnot)
A
a
b
c
B
b
g
a
C
Il quadrato costruito su uno dei due lati equivale alla somma
dei quadrati degli altri due lati meno il doppio prodotto di
questi moltiplicato per il coseno dell’angolo compreso
A
a
b
c
B
b
g
a
C
A
a
b
c
B
b
g
a
C
A
a
b
c
B
b
g
a
C
A
a
b
c
B
b
g
a
C
A
a
b
c
B
b
g
a
Sommando membro a membro e
semplificando
si ottiene
C
A
a
b
c
B
b
g
a
Si ottiene
Che si può anche scrivere come
C
A
a
b
c
B
b
g
a
TEOREMA DI CARNOT
Il quadrato costruito su uno dei due lati equivale
alla somma dei quadrati degli altri due meno il
doppio prodotto di questi moltiplicato per il coseno
dell’angolo compreso
C
A
a
b
c
B
b
g
a
Il TEOREMA DI CARNOT
è una generalizzazione del teorema di Pitagora
valida per tutti i triangoli e non solo per quelli
rettangoli
C
A
a
b
c
B
b
g
a
infatti se
a = 90°
C
A
90°
b
c
B
b
g
a
C
A
90°
b
c
B
b
g
a
C
A
90°
b
c
B
b
g
a
C