Determinazione teorica della geometria molecolare
Benché le moderne tecniche NMR possono dare alcune indicazioni
sulle distanze interatomiche in campioni liquidi, le informazioni
geometriche per molecole grandi sono attualmente derivate
principalmente da dati cristallografici. Ciò nonostante queste
informazioni riguardano solo i cristalli e non sono automaticamente le
stesse, per esempio, delle specie reagenti in mezzi biologici. Inoltre
questi dati non possono essere ottenuti per campioni che non danno
buoni cristalli, per strutture ipotetiche o per molecole non ancora
sintetizzate. Infine se i dati dei raggi X danno la geometria della forma
più stabile, non danno alcuna informazione sull’energia o sulla
possibile esistenza di altre strutture a bassa energia.
Per avere questo tipo di informazioni bisogna dunque ricorrere a
previsioni di tipo computazionale.
Determinazione teorica della geometria molecolare
Il sistema ad energia più bassa è quello più stabile. Trovare la
geometria di una molecola significa trovare la struttura con l'energia
minore.
Occorre quindi un metodo per calcolare l’energia di una molecola (o
di un sistema di molecole), note le posizioni degli atomi che la
compongono:
Esistono due modelli per valutare l’energia di una molecola:
1) Meccanica quantistica
2) Meccanica molecolare (basato sulla meccanica classica)
Meccanica classica
Si applica alle particelle macroscopiche ma perde di validità per quelle
microscopiche (fotoni, elettroni, nuclei(?))
Le particelle sono descritte dalle loro posizioni istantanee
r (t) e dalle velocità v = dr / dt
La posizione istantanea r (t) di una particella definisce la sua traiettoria.
r (t) è un vettore (x(t),y(t),z(t)) e definisce come evolve nel tempo la posizione
della particella in un sistema di coordinate cartesiane (x,y,z)
y
.
(x,y,z)
x
z
Energia totale di un sistema di particelle in meccanica
classica
Nel caso specifico l’energia totale di un sistema di particelle può
essere considerata come la somma di energia cinetica e energia
potenziale:
Etot= Ekin + V
Es: coppia di particelle cariche di massa m1 e m2 che si muovono con
velocità v1 e v2 e poste alla distanza r:
Ekin= ½ m1v12 + ½ m2v22
L’energia potenziale è di tipo coulombiano:
q1q 2 k q1q 2
V

4π 0r
r
k  8,99  109 J  m/C 2
Energia totale di un sistema di particelle in meccanica
quantistica
All’inizio del 1900 varie osservazioni sperimentali resero evidente che
la meccanica classica non si applica a fenomeni molecolari ed atomici.
In particolare risultò che particelle microscopiche hanno una natura
ondulatoria e questo poneva dei limiti alla determinazione simultanea
della loro posizione e velocità.
Lunghezza d’onda di de Broglie:
 = h/mv
Principio di indeterminazione di Heisenberg:
(x)(mv) = h/4
Energia totale di un sistema di particelle in meccanica
quantistica
Per un sistema di particelle per le quali vale la meccanica quantistica,
tutte le quantità osservabili del sistema possono essere calcolate se si
conosce la funzione d’onda del sistema.
Ad ogni particella quantistica può infatti essere Ψ(x,y,z) tale che il suo
quadrato |Ψ(x,y,z)|2 dà la probabilità di trovare la particella nel punto
dello spazio di coordinate (x,y,z).
Ψ(x,y,z) è una funzione d’onda che descrive la particella, ma in sé non
ha un significato fisico, è solo un artificio matematico.
Ad esempio per un sistema di due particelle quantistiche la funzione
d’onda dipenderà dalle coordinate (x1,y1,z1) della prima particella e
(x2,y2,z2) della seconda particella. Il quadrato della funzione d’onda
|Ψ(x1,y1,z1,x2,y2,z2)|2 ci darà la probabilità di trovare la particella 1 nel
punto (x1,y1,z1) e contemporaneamente la particella 2 nel punto
(x2,y2,z2)
Energia totale di un sistema di particelle in meccanica
quantistica
Per ottenere le quantità osservabili del sistema basta applicare alla
funzione d’onda un operatore (= simbolo che applicato ad una certa
funzione dice ciò che essa deve diventare) appropriato.
Esempio:
Operatore energia cinetica: - (h2/82m) 2
dove 2 = 2 /  x2 + 2 /  y2 + 2 /  z2
Laplaciano
Operatore energia potenziale: V(x,y,z)
Operatore momento di dipolo:
ˆ   q i ri
i
Energia totale di un sistema di particelle in meccanica
quantistica
Per calcolare quindi l’energia totale del sistema dovrò sommare
l’energia cinetica con quella potenziale, avrò quindi l’operatore:
Operatore energia totale = Hamiltoniano = H
Ĥ =Ekin+V= - (h2/82m) 2 + V
Questo vuol dire che se applico H alla funzione d’onda del sistema ho
l’energia totale del sistema stesso:
Ĥ=E
oppure:
[ - (h2/82m) 2 - V(x,y,z) ] ( x,y,z ) = E ( x,y,z )
Questa è l’equazione di Schrödinger. Essa è particolarmente
importante, perchè si usa anche per ricavare la funzione d’onda.
Energia totale di un sistema di particelle in meccanica
quantistica: atomo di idrogeno
Il problema è che tale equazione (per i sistemi che ci interessano) è
risolvibile analiticamente solo per l’atomo di idrogeno (o per ioni con
un solo elettrone). Tale sistema è costituito da un elettrone che si muove
nel potenziale elettrostatico del nucleo fisso di carica +e. Il potenziale che
agisce sull’elettrone è quello elettrostatico V= -e2/r e l’equazione di
Schrödinger diventa:
[ - (h2/82m) 2 - e2/ r ] ( x,y,z ) = E ( x,y,z )
.
Tale equazione è risolvibile
analiticamente in coordinate polari
sferiche
n,l,m(r,, ) = R n,l(r )Yl,m(, )
Le soluzioni sono infinite e dipendono dai numeri quantici n,l,m che sono semplicemente numeri interi o relativi
che derivano dalla soluzione matematica dell’equazione di Schrödinger e classificano le possibili soluzioni.
Ciascuna di queste soluzioni corrisponde ad un orbitale atomico e costituisce uno stato del sistema
n=1, l=0, m=0

100 (r,, ) orbitale 1s
n=2, l=0, m=0

200 (r,, ) orbitale 2s
n=2, l=1, m= -1,0,+1 
21-1 (r,, ) 210 (r,, ) 211 (r,, )
i tre orbitali 2p
Significato fisico
|100 (r,, )|2
probabilità che l’elettrone nell’orbitale 1s sia nel punto di coordinate (r,,) attorno al nucleo
|200 (r,, )|2
probabilità che l’elettrone nell’orbitale 2s sia nel punto di coordinate (r,,) attorno al nucleo
………………..
Le energie dei vari stati dipendono solo da n sono dati dalla stessa equazione di Bohr
En = - RH / n2
RH costante di Rydberg
Unità di misura Hartree. Questa è un’energia assoluta, è cioè l’energia liberata per portare il nucleo
dell’idrogeno e un elettrone da distanza infinita alla distanza d’interazione.
 n,l,m(r,, ) = R n,l(r )Yl,m(, )
Orbitale 2p
 2,1,0(r,, ) = R 2,1(r )Y1,0(, )= R 2,1(r )·(3/)cos
Energia totale di un sistema di particelle in meccanica
quantistica: atomi polielettronici
Un atomo polielettronico è costituito da N elettroni che si muovono nel
potenziale elettrostatico del nucleo fisso di carica +Ze.
L’equazione di Schrödinger diventa:
N
[ - (h2/82m)  i 2 i
N
N N
 Z e2/ r i +   e2/ r i,j ] 
i
=E
i<j j
La funzione d’onda dipende ora dalle coordinate degli N elettroni (cioè da
3N variabili)
( x1,y1,z1, x2,y2,z2,….,xN,yN,zN)
Questa equazione non è risolvibile analiticamente, bisogna ricorrere a
metodi numerici (al computer).
Energia totale di un sistema di particelle in meccanica
quantistica: atomi polielettronici
Uno dei metodi più usati è il metodo di Hartree o metodo del campo autoconsistente (self-consistent field).
In questo metodo si trascurano i termini di repulsione interelettronici e2/ r i,j
e si fa l’approssimazione che ogni elettrone si muove nel campo efficace
dovuto alla media del nucleo e degli altri elettroni. In tal caso l’equazione di
Schrödinger diventa
[ - (h2/82m)  i 2 i
 Ĥ(i) 
Z* e2/ r i
]  = E
Z* carica nucleare efficace
i
=E
ed equivale matematicamente a N equazioni del tipo per l’atomo di
idrogeno, con hamiltoniano Ĥ(i).
Si dimostra che le soluzioni hanno la forma di un prodotto di N funzioni
d’onda monoelettroniche identiche a quelle viste per l’atomo di idrogeno
 (x1,y1,z1, x2,y2,z2,….,xN,yN,zN) = 1(x1,y1,z1)· 2(x2,y2,z2,) · · · 
N(xN,yN,zN)
Energia totale di un sistema di particelle in meccanica
quantistica: atomi polielettronici
[ - (h2/82m)  i 2 i
Z* e2/ r i
]  = E
Z* carica nucleare efficace
i
In questa equazione, in realtà Z* per ogni elettrone dipende dalla funzione
d’onda degli altri elettroni, quindi le equazioni devono essere risolte
contemporaneamente.
Per fare questo si usa il metodo self-consistent field. Si parte da una
funzione d’onda tentativo e si inserisce nell’equazione per ottenere il
valore del campo, dell’energia e della nuova funzione d’onda.
Si ripete (itera) il procedimento fino a che si ottiene sempre lo stesso
insieme di funzioni d’onda e d energia.
Metodo self-consistent per la soluzione di equazioni di
secondo grado.
Supponiamo di dover risolvere l’equazione
x2 -8x+14=0
2,5857864
8  64  56
x
2
5,4142136
Soluzione analitica
Metodo self-consistent per la soluzione di equazioni di
secondo grado.
Soluzione numerica autoconsistente
x2 -8x+14=0
Riscrivo l’equazione come:
x 2  14
x
8
Prendo una soluzione tentativo, per esempio
x=1,000000000
1° ciclo
metto la soluzione nell’equazione e ottengo :
x=1,875000000
2° ciclo
metto questa soluzione di nuovo nell’equazione e ottengo:
x=2,189453125
3° ciclo
Metodo self-consistent per la soluzione di equazioni di
secondo grado.
Ottengo così questa serie di cicli:
x=1,000000000
x=1,875000000
x=2,189453125
x=2,349213123
x=2,439850287
x=2,494108678
x=2,527572262
x=2,548577692
x=2,561906032
x=2,570420314
x=2,575882570
x=2,579396379
x=2,581660710
1° ciclo
2° ciclo
3° ciclo
x=2,583121503
x=2,584064587
x=2,584673724
x=2,585067280
x=2,585321607
x=2,585485976
x=2,585592217
x=2,585660889
x=2,585705279
x=2,585733974
x=2,585752523
....
x=2.585780515
Quando ci fermiamo?
Conviene ovviamente scrivere ciascuna funzione d’onda monoelettronica in funzione delle coordinate sferiche:
 i(xi,yi,zi ) =  i n,l,m(ri,i, i) = R in,l(ri)Yi l,m(, )
In questa approssimazione la funzione d’onda polielettronica ha formalmente la stessa espressione della
configurazione elettronica considerata per quell’atomo.
Ad esempio per l’atomo di boro, Z=5, la configurazione elettronica
1s22s2p1
corrisponde alla funzione d’onda
 ( x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3 ,x4,y4,z4,x5,y5,z5) = 1s(x1,y1,z1)·1s(x2,y2,z2,)·2s(x3,y3,z3)·2s(x2,y2,z2,)·2p(x3,y3,z3)
in cui 1s è la 100 con n=1, l=0, m=0, 1s è la 200 con n=2, l=0, m=0, e così via.
Per un dato atomo le soluzioni possibili sono infinite e corrispondono alle possibili configurazioni elettroniche cioè
ai possibili modi (infiniti) di distribuire gli elettroni sui vari orbitali
Quello più in basso in energia è lo stato fondamentale tutti gli altri sono detti stati eccitati. Anche in questo caso
l’energia è un’energia assoluta: corrisponde a portare gli elettroni e il nucleo da distanze infinite alla posizione
considerata.
Energia totale di un sistema di particelle in meccanica
quantistica: molecole
Nel caso di una molecola la situazione è molto più complessa,
principalmente per due ragioni
1) La funzione d’onda dipende anche dalle coordinate nucleari oltre che da
quelle elettroniche
 = (nuclei,elettroni)
Ad esempio per la molecola di H2, con 2 nuclei e due elettroni, si ha
 ( X1,Y1,Z1,X2,Y2,Z2;x1,y1,z1 ,x2,y2,z2)
X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2
coordinate dei nuclei 1 e 2
x1,y1,z1 ,x2,y2,z2
coordinate degli elettroni 1 e 2
2) Nell’equazione di Schrödinger compaiono anche le derivate rispetto alle
coordinate nucleari
Energia totale di un sistema di particelle in meccanica
quantistica: molecole
Questi due problemi sono risolti disaccoppiando il moto nucleare da quello
elettronico in accordo con l’approssimazione di Born-Oppenheimer
Le masse dei nuclei sono molto maggiori di quelle degli elettroni (1836
volte il protone) e quindi i nuclei sono molto più lenti. Di conseguenza gli
elettroni possono aggiustarsi quasi istantaneamente ad ogni variazione
delle posizioni dei nuclei.
Da un punto di vista matematico ciò implica che la funzione d’onda può
essere scritta nella forma
(nuclei,elettroni) = (elettroni)·(nuclei)
e si possono scrivere due equazioni di Schrödinger separate una per gli
elettroni ed una per i nuclei
Energia totale di un sistema di particelle in meccanica
quantistica: molecole
L’energia elettronica così ottenuta dipende indirettamente dalle coordinate
nucleari e la funzione Eel(nucleari) così ottenuta costituisce il potenziale
nel quale si muovono i nuclei e che va inserito nell’equazione di
Schrödinger per i nuclei
Ĥnucl  (nuclei) = Enucl  (nuclei)
Poichè i nuclei sono particelle relativamente pesanti in pratica il moto
nucleare può essere trattato con la meccanica classica cioè con le
equazioni di Newton in cui il potenziale è proprio la funzione Eel(nucleari)
Quest’approssimazione è alla base del metodo della meccanica
molecolare: i nuclei di una molecola sono considerati con la meccanica
classica e la funzione di energia potenziale è trattata empiricamente come
somma di semplici contributi (legami chimici, interazioni elettrostatiche,..)
tra i vari atomi.
Determinazione teorica della geometria molecolare
Proprietà molecolari
Densità elettronica
Orbitali (HOMO, LUMO)
Potenziale elettrostatico
Determinazione teorica della geometria molecolare
Proprietà molecolari
Densità elettronica
Orbitali (HOMO, LUMO)
Potenziale elettrostatico
La densità elettronica (r) può essere
calcolata come somma dei quadrati degli
orbitali molecolari occupati nel punto r.
N
ρ(r )   |i (r ) | 2
i 1
Determinazione teorica della geometria molecolare
Proprietà molecolari
Densità elettronica
Orbitali (HOMO, LUMO)
Potenziale elettrostatico
La reattività di una molecola dipende, nel caso di
reazioni elettrofile, dalla localizzazione del valore
più alto della probabilità di trovare l'elettrone
nell'orbitale HOMO (highest occupied molecular
orbital) e nel caso di reazioni nucleofile dalla
localizzazione del valore più basso della
probabilità nell'orbitale LUMO (lowest unoccupied
molecular orbital).
Gli orbitali di frontiera derivano da calcoli
quantomeccanici e le rappresentazioni consistono
in mappe di densità all'interno dell'orbitale.
HOMO per la guanina
Determinazione teorica della geometria molecolare
Proprietà molecolari
Densità elettronica
Orbitali (HOMO, LUMO)
Potenziale elettrostatico
La reattività di una molecola dipende, nel caso di
reazioni elettrofile, dalla localizzazione del valore
più alto della probabilità di trovare l'elettrone
nell'orbitale HOMO (highest occupied molecular
orbital) e nel caso di reazioni nucleofile dalla
localizzazione del valore più basso della
probabilità nell'orbitale LUMO (lowest unoccupied
molecular orbital).
Gli orbitali di frontiera derivano da calcoli
quantomeccanici e le rappresentazioni consistono
in mappe di densità all'interno dell'orbitale.
LUMO per la guanina
Determinazione teorica della geometria molecolare
Proprietà molecolari
Densità elettronica
Orbitali (HOMO, LUMO)
Potenziale elettrostatico
Il potenziale elettrostatico in un punto r è il lavoro fatto per
portare una carica positiva unitaria dall'infinito a quel
punto. Il potenziale elettrostatico molecolare (MEP) deriva
quindi dall'interazione tra una distribuzione di carica
(elettroni e nuclei) ed una carica puntiforme positiva
unitaria, ed è quindi una misura
della energia di
interazione con un protone.
Il potenziale elettrostatico per una data geometria può
quindi essere calcolato in maniera rigorosa come la
somma di un contributo dovuto alle cariche dei nuclei (N
nuclei fissi posti in A)
Vnuclei (r) 
nuclei
ZA
 |rR
A
A
|
più un contributo dovuto agli elettroni. Poichè gli elettroni
sono distribuiti in maniera continua nello spazio occorre
sostituire l'integrale alla sommatoria ed introdurre la
densità elettronica.
Velettroni (r )   
ρ(r ) dr '
| r'  r |
Determinazione teorica della geometria molecolare
Proprietà molecolari
Densità elettronica
Orbitali (HOMO, LUMO)
Potenziale elettrostatico
Per i sistemi di interesse biologico è impensabile calcolare
il potenziale dalla funzione d'onda quantomeccanica per il
numero notevole di atomi di questi sistemi, che rendono il
calcolo impossibile.
Si fa perciò ricorso a metodi
approssimati, derivati e controllati nel corso degli anni.
Il potenziale può essere derivato con buona
approssimazione in modo additivo da contributi
rappresentabili mediante opportuni sistemi di cariche
puntiformi poste nelle posizioni occupate dagli atomi.
V (r) 
atomi
qi
i | r  R |
i
Il valore delle cariche puntiformi può in un certo senso
essere considerato dovuto al bilanciamento tra carica
nucleare ed elettronica, attribuibili a quell'atomo,
I valori numerici delle cariche puntiformi possono essere
ottenuti da calcoli quantomeccanici o da metodi
approssimati
Determinazione teorica della geometria molecolare
Proprietà molecolari
Densità elettronica
Orbitali (HOMO, LUMO)
Potenziale elettrostatico
Il MEP è una proprietà locale
(dipende dal punto in cui viene
valutata) calcolabile in un
reticolo tridimensionale di
punti intorno alla molecola. Il
MEP può essere codificato,
mediante almeno tre colori,
anche
sulla
superficie
molecolare (superficie di van
der Waals o sulla superficie
accessibile al solvente) come
rappresentato in figura.
Determinazione teorica della geometria molecolare
Proprietà molecolari
Densità elettronica
Orbitali (HOMO, LUMO)
Potenziale elettrostatico
Potenziale
elettrostatico
mappato sulla superficie di
isodensità elettronica per la
formammide. Il colore rosso
indica
un
potenziale
elettrostatico negativo e il blu
un potenziale elettrostatico
positivo.
Determinazione teorica della geometria molecolare
Proprietà molecolari
Densità elettronica
Orbitali (HOMO, LUMO)
Potenziale elettrostatico
In figura (a) è riportato il MEP
sulla superficie molecolare di
un pirrolo dove i valori più
negativi
(-38
Kcal/mol)
corrispondono
alla
zona
rossa. Nella figura (b) è
riportata la superficie di
isoenergia (a –35 Kcal/mol)
del MEP ancora sul pirrolo.