B M S1  A N B DIVISIONE DEI TERRENI Prerequisiti Per affrontare questo argomento sono necessarie conoscenze in: . Matematica di base . Risoluzione di triangoli e quadrilateri . Calcolo delle aree . Tecniche di rilievo topografico Indice Concetti generali Progetto di frazionamento Prima di iniziare alcune informazioni che possono risultare utili Divisione terreni di forma triangolare con uguale valore unitario . Caso 1° 1° dividente uscente da uno dei vertici . Caso 2° 2° dividente uscente da un punto M in posizione nota sul perimetro . Caso 3° 3° dividente MN parallela ad uno dei lati . Caso 4° 4° dividente MN perpendicolare ad uno dei lati . Caso 5° 5° dividente MN che forma un angolo dato con uno dei lati Divisione terreni di forma quadrilatera con uguale valore unitario . Caso 1° 1° dividente uscente da uno dei vertici . Caso 2° 2° dividente uscente da un punto M in posizione nota sul perimetro . Caso 3° 3° dividente MN parallela ad uno dei lati . Caso 4° 4° dividente MN perpendicolare ad uno dei lati Concetti generali La divisione dei terreni consiste nel frazionare particelle di terreno mediante una o più dividenti che soddisfino particolari condizioni geometriche La divisione dei terreni riveste una notevole importanza pratica nell’attività professionale del geometra in quanto trova applicazione nelle divisioni per compravendita o successione ereditaria e nelle espropriazioni parziali Concetti generali I terreni da dividere possono avere uguale valore unitario o valore unitario diverso diverso.. Nel primo caso, la divisione viene effettuata attraverso la ripartizione della sua area. area. Nel secondo, invece, per realizzare la divisione occorre ripartire il valore totale dell’appezzamento Concetti generali I terreni possono avere forma forma:: triangolare quadrilatera poligonale Le dividenti rettilinee possono possono:: passare per un punto dato avere una direzione assegnata Progetto di frazionamento Le divisioni dei terreni sono definiti dalla circ.. 2/88 come atti di aggiornamento circ geometrico (tipi di frazionamento frazionamento)). La divisione delle particelle, modifica il foglio di mappa e quindi la mappa particellare particellare,, uno degli atti fondamentali del catasto definiti dal DPR 650/ 650/72 Progetto di frazionamento Poichè la posizione di una dividente è definita da quella dei punti in cui essa taglia i confini dell’appezzamento, le incognite sono le distanze dei punti di intersezione dai vertici del confine A 1 S1 S2 B Progetto di frazionamento eventuale rilievo planimetrico dell’appezzamento definizione delle quote di divisione in area o valore definizione della direzione della dividente individuazione grafo analitica della posizione della dividente posizionamento degli estremi della dividente sul terreno rilievo topografico redazione atto di aggiornamento geometrico (tipo di frazionamento) Prima di iniziare alcune informazioni che possono risultare utili C D triangoli aventi stessa base e uguale altezza relativa hanno stessa area h h B A triangoli aventi stessa altezza hanno le aree B proporzionali alle base e viceversa E poligoni simili hanno tra loro le aree proporzionali e le aree di poligoni simili sono proporzionali al F A quadrato dei lati omologhi C SABC : SEBF = AB2 : EB2 DIVISIONE DI TERRENI DI FORMA TRIANGOLARE AVENTI UGUALE VALORE UNITARIO CASO 1° 1° Dividente uscente da uno dei vertici Il problema consiste nel dividere l’appezzamento di S area totale S in due aree parziali note S1 e S2 con S1 S2 AM uscente dal vertice A S1 prossima al lato AC una dividente rettilinea AM uscente da uno dei vertici, in questo caso il vertice A. Solo nel caso in B cui le due aree parziali risultino diverse tra loro dovrà essere data la loro posizione, ad esempio se S1 è vicina al vertice B o al lato AB. AB. Poichè per S2 dividere l’appezzamento in due parti M deve cadere necessariamente su BC, il problema si risolve calcolando le due distanze BM e CM CM.. La distanza di M dai due vertici dipende ovviamente A M S1 dalla dimensione delle due aree parziali S1 e S2 e dalla forma dell’appezzamento C CASO 1° 1° Dividente uscente da uno dei vertici S Il problema, noti i lati AB e AC e l’angolo nel vertice S1 A, si risolve come segue: S2 AM uscente dal vertice A St = 0,5 x AB x AC x sen A S1 prossima al lato AC B S1 = S2 = 0,5 St BC = √ ( AB2 + AC2 – 2 x AB x AC x cos A ) C = sen -1 ( AB x sen A/BC ) e sapendo che S1 = 0,5 x AC x CM x sen C S2 A  M S1 si ottiene CM = 2 x S1 / ( AC x sen C ) C CASO 2° 2° Dividente uscente da un punto M posto in posizione nota sul perimetro Il vertice N della dividente può cadere sui lati S S1 AC o BC e la sua posizione dipende dalle dimensioni delle aree parziali. parziali. Per risolvere il S2 MN M in posizione nota sul perimetro (distanza AM) S1 prossima al lato AC problema si deve calcolare un’area un’area di paragone B da confrontare con S1 e S2. L’area di paragone è quella del triangolo MAC che si ottiene M congiungendo M con il vertice C Sp = 0,5 x AM x AC x sen A Possono verificarsi tre distinte situazioni: Se S1 ‹ Sp N è su AC Se S1 › SP N è su BC Se S1 = Sp N coincide con C A S2  S1 C CASO 2° 2° Dividente uscente da un punto M posto in posizione nota sul perimetro S Nel caso in cui S1 ‹ Sp S1 S2 il problema di determinare la posizione di N MN su AC si può risolvere come nel primo caso. M in posizione nota sul perimetro (distanza AM) Infatti sappiamo che S1 prossima al lato AC B S1 = 0,5 x AM x AN x sen A con la formula inversa si ottiene M S2 AN = 2 x S1 / ( AM x sen A ) Nel caso invece che S1 › SP N è su BC A  S1 N’ in questo caso è conveniente lavorare nel triangolo MBN di area S2 e dopo aver calcolato gli elementi necessari, determinare la distanza BN N C CASO 3° 3° Dividente MN parallela ad uno dei lati È sicuramente il caso più semplice perchè si S S1 può risolvere considerando che i due triangoli S2 MN parallela al lato AC ABC di area totale St e BMN di area parziale S1 prossima al vertice B S1 sono tra loro simili simili.. Sappiamo infatti che B le aree di figure simili sono proporzionali ai quadrati dei lati omologhi e quindi St : S1 = BA 2 : BM 2 BM = BA x √ (S1 / St ) M S1 A S2 N St : S1 = BC 2 : BN 2 BN = BC x √ (S1 / St ) C CASO 4° 4° Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati In questo caso torna di nuovo il confonto con S S1 un’area di paragone paragone.. Infatti la posizione di MN può S2 MN essere alla sinistra o alla destra del vertice B e la perpendicolare al lato AC sua posizione dipende dalle dimensioni dell’area S1 prossima al vertice A parziale S1 e dalla forma del terreno terreno.. L’area di paragone più conveniente è quella che si ottiene B tracciando da B l’altezza del triangolo BB’ parallela alla dividente MN MN.. Il confronto può quindi N N’ effettuarsi dopo aver calcolato l’area del triangolo rettangolo ABB’ ABB’.. se: S1 < SP MN è alla sinistra di BB’ S1 S1 > SP MN e alla destra di BB’ S1 = SP MN coincide con BB’ A S2 M B‘ M‘ C CASO 4° 4° Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati Nel caso siano noti i due lati AB e AC e S S1 l’angolo nel vertice A il problema può S2 MN risolversi come segue perpendicolare al lato AC S1 prossima al vertice A ST = 0,5 x AB x AC x sen A B SP = 0.,5 x AB’ x BB’ Le due incognite AB’ e BB’ possono essere M calcolate applicando le funzioni seno e coseno al triangolo rettangolo ABB’ BB’ = AB x sen A AB’ = AB x cos A Nota l’area SP ipotizziamo per il momento che S1 l’area S1 sia inferiore e che MN si trovi alla sinistra del vertice B  A N B‘ CASO 4° 4° Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati Il problema può risolversi in due modi con la: S S1 S2 MN perpendicolare al lato AC similitudine tra due triangoli rettangoli S1 prossima al vertice A funzione tangente in AMN di area S1 B M con la similitudine S1 : SP = AM 2 : AB 2 AM = AB x √ (S1 / SP ) S1 : SP = AN 2 : AB’ 2 AN = AB’ x √ (S1 / SP ) S1  A N B‘ CASO 4° 4° Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati con la funzione tangente S S1 Sappiamo che l’area del triangolo rettangolo S2 MN AMN è data da perpendicolare al lato AC S1 = 0,5 x AN x MN S1 prossima al vertice A Poichè AN e MN sono incognite è necessario B che una delle due sia sostituita, ad esempio l’altezza MN non necessaria. Utilizzando la M tangente di A si ottiene tang A = MN /AN ---- > MN = AN x tang A sostituendo in S1 S1 = 0,5 x AN 2 x tang A AN = √ (2 x S1 / tang A) S1 con la funzione coseno e possibile calcolare AM = AN / cos A  A N B‘ CASO 5° 5° Dividente MN che forma un angolo dato con uno dei lati In questo caso l’area di paragone si ottiene tracciando S S1 la dividente provvisoria BB’ parallela alla dividente MN MN.. L’area di paragone in questo caso è quella del triangolo S2 MN che forma con AC un angolo dato (noto AMN) qualunque AB’B che può essere risolto applicando il t. dei S1 prossima al vertice A seni e di Carnot Carnot.. L’area di paragone si ottiene dalla dalla:: B Sp = 0,5 x AB x AB’ x sen A N Ipotizzando che S1 risulti minore di Sp (MN alla sinistra di BB’ il problema può essere risolto imponendo la similitudine tra i due triangoli AMN (di area S1 e AB’B S2 (di area Sp): Sp): S1 : SP = AM 2 : AB’ S1 2 C AM = AB’ x √ (S1 / SP ) S1 : SP = AN 2 : AB 2 AN = AB x √ (S1 / SP ) A M B’ DIVISIONE DI TERRENI DI FORMA QUADRILATERA AVENTI UGUALE VALORE UNITARIO CASO 1° 1° Dividente uscente da uno dei vertici La posizione dell’estremo M della dividente (se sul lato BC o S sul lato CD), dipende dalla forma dell’appezzamento e dalla S1 S2 AM uscente dal vertice A S1 prossima al lato AB dimensione delle aree parziali. parziali. Per risolvere il problema è utile determinare l’area di paragone del triangolo ABC ABC.. Ipotizzando noti tutti gli elementi del quadrilatero possiamo scrivere:: Sp = 0.5 x AB x BC x sen B. È possibile quindi scrivere D confrontare l’area S1 con l’area di paragone Sp. Sp. Se risulta S1 < Sp, l’estremo M della dividente è sul lato BC e la sua S2 M’ posizione si determina determina:: C S1 = 0.5 x AB x BM x sen B → BM = 2 x S1/(AB x sen B) Nel caso in cui risulti S1 > Sp, l’estremo M della dividente è M A S1 su CD CD.. In questo caso, per risolvere il problema, è meglio utilizzare l’area triangolare di area S2, scrivendo: scrivendo: S2 = 0.5 x AD x DM’ x sen D → DM’ = 2 x S2/(AD x sen D) B CASO 2° 2° Dividente uscente da un punto M posto in posizione nota sul perimetro In questo secondo caso, per determinare la posizione di N è S S1 necessario calcolare due aree di paragone paragone.. La prima è quella del triangolo MAB, la seconda quella del quadrilatero MABC MABC.. S2 MN M in posizione nota sul perimetro (distanza AM) Ipotizzando noti tutti gli elementi, l’area del quadrilatero S1 prossima al vertice A MABC può essere calcolata, dividendolo in due triangoli D oppure con la formula di camminamento camminamento.. Note le due aree di paragone è possibile il confronto con l’area parziale S1. Se S2 risulta S1 < SMAM allora N è su AB da cui cui:: S1 = 0.5 x MA x AN x sen A → AN = 2 x S1/(MA x sen A) Se invece S1 > SMABC N’’ M C allora N è su CD CD.. In questo caso è meglio lavorare con S2 imponendo imponendo:: A N’ S1 S2 = 0.5 x MD x DN DN’’’’ x sen D → DN DN’’’’ = 2 x S2/(MD x sen D) in cui ovviamente risulta MD = AD - AM N B CASO 2° 2° Dividente uscente da un punto M posto in posizione nota sul perimetro S S1 Nel caso in cui risulti invece: S2 MN SMAB < S1 < SMABC M in posizione nota sul perimetro (distanza AM) allora N è sul lato BC S1 prossima al vertice A in questa terza ipotesi il problema può risolversi in due maniere maniere:: - la prima consiste nel risolvere il quarilatero MABN di area S1 dividendolo in D due triangoli e determinando la distanza di N rispetto al vertice B; - la seconda consiste nell’applicare la formula di camminamento con incognita S2 M il lato BN: BN: C S1 = 0.5 x [MA x AB x sen A + AB x BN x sen B – MA x BN x sen (A + B)] BN = (2 x S1 – MA x AB x sen A)/[(AB x sen B – MA x sen (A+B)] A S1 N B CASO 3° 3° Dividente MN parallela ad uno dei lati Noti tutti gli elementi del quadrilatero e la sua area è necessario preliminarmente determinare S la S1 posizione della dividente MN (se N si muove su DC, M S2 MN può trovarsi sul lato AB o sul lato BC) . Per far parallela al lato AD questo è necessario confrontare l’area S1 con l’area S1 prossima al lato AD di paragone corrispondente al trapezio ABB’D, che si ottiene tracciando la dividente provvisoria BB’ avente le stesse caratteristiche di quella definitiva MN (parallela al lato AD). AD). L’area del trapezio può essere C calcolata direttamente, oppure per differenza tra l’area del quadrilatero e quella del triangolo BB’C BB’C.. Se risulta S1 < SABB’D allora M è su AB e per determinare B la posizione della dividente possono essere utilizzati i B’ M metodi:: metodi Del trapezio Dei triangoli simili N S1 A D CASO 3° 3° Dividente MN parallela ad uno dei lati METODO DEL TRAPEZIO S1 = SAMND = 0.5 x (AD + MN) x h S S1 in questa equazione sono presenti due incognite MN e h. S2 MN Ma: parallela al lato AD MN = AD – (AM’ + N’D) S1 prossima al lato AD tan  = h/AM’ ----->> AM’ = h/tan  tan D̂ = h/N’D ----->> N’D = h/tan D̂ sostituendo: MN = AD – h x (1/tang  + 1/tang D̂ ) e sostituendo in S1 otteniamo: C S1 = 0.5 x [AD + AD – h x (1/tan  + 1/tan D̂ )] x h ordinando otteniamo una equazione di 2° 2° grado avente come incognita l’altezza h del trapezio: B h2 x (1/tan  +1/tan D̂ ) – 2 x AD x h + 2 x S1 = 0 M Delle due soluzioni dell’equazione si sceglie quella positiva; positiva; se lo sono entrambe la soluzione è quella che più si avvicina due incognite del problema, AM e DN N h al rapporto S1/AD /AD.. Nota h, nei due triangoli rettangoli MAM’ e NDN’, con la funzione seno è possibile calcolare le B’  A M’ S1 h D̂ N’ D CASO 3° 3° Dividente MN parallela ad uno dei lati TRIANGOLI SIMILI S S1 Prolungando i lati AB e CD si traforma il quadrilatero nel S2 MN triangolo ADE ADE.. Per risolvere il problema è necessario parallela al lato AD calcolare tutti gli elementi del triangolo BCE BCE:: S1 prossima al lato AD Angolo B1 = 200c – B Angolo C1 = 200c – C Angolo E = 200c – (B1 + C1) E Noto il lato BC è possibile calcolare con il t. dei seni i lati BE e EC EC.. Noti lati e angoli è possibile il calcolo dell’area σ C σ del triangolo triangolo.. Per determinare la posizione di M e N può essere impostata la similitudine tra i due triangoli EBB’ (di area σ + area di paragone CBB’) e EMN (di area σ + S2) B SEBB’ : SEMN = EB2 : EM2 M SEBB’ : SEMN = EB’2 : EN2 N S1 Calcolati EM e EN, per differenza con i lati EB e EC si ottengono le due incognite BM e CN S2 B’ A D CASO 3° 3° Dividente MN parallela ad uno dei lati S S1 S2 MN parallela al lato AD Se risulta S1 > SABB’D allora M è su BC e per determinare S1 prossima al lato AD la posizione della dividente MN e possibile utilizzare la similitudine tra i due triangoli CMN (S2) e CBB’ (area di paragone) impostando le proporzioni: proporzioni: C S2 : SCBB’ = CM2 : CB2 S2 : SCBB’ = CN2 : CB’2 M Con le quali è possibile calcolare le due distanze CM e CN S2 B N B’ S1 A D CASO 4° 4° Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati Anche questo caso può risolversi con le aree di paragone S S1 da confrontare con le aree parziali in cui deve essere S2 MN diviso l’appezzamento l’appezzamento.. Per determinare le aree di perpendicolare al lato AB paragone devono essere tracciate dai vertici D e C due S1 prossima al vertice A dividenti provvisorie perpendicolari al lato BC, aventi cioè le stesse caratteristiche di quella definitiva MN MN.. Si ricordi ovviamente che la posizione di MN dipende dalla C forma dell’appezzamento e dalla dimensione delle due N’ aree parziali. parziali. La prima area di paragone è quella del D triangolo rettangolo ADD’, la seconda quella del poligono N ADCC’A (composto dal triangolo rettangolo ADD’ e dal trapezio rettangolo D’DCC’) D’DCC’).. Calcolate le aree di paragone si procede nel confronto con l’area S1 S2 S1 A M D’ M’ C’ B CASO 4° 4° Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati S Nel caso in cui S1 < SADD’ la dividente MN è alla sinistra di DD’ DD’.. Il S1 problema può essere risolto in due modi modi:: - per similitudine tra i S2 MN due triangoli AMN (di area S1) e SADD’; - applicando la funzione perpendicolare al lato AB tangente dell’angolo in A nel triangolo AMN (vedi caso 4° della S1 prossima al vertice A divisione dei terreni triangolari triangolari)). In maniera del tutto analoga si procede nel caso in cui S1 > SADCC’A. In questo caso la dividente MN è alla destra di CC’ e conviene lavorare con i triangol BCC’ e BM’’N’’ (di area S2), applicando i due procedimenti precedenti precedenti.. Più C complessa risulta la risoluzione nel caso in cui cui:: N’ SADD’ < S1 < SADCC’A D N’’ N In questo terzo caso la dividente MN è posta tra le due dividenti provvisorie DD’ e CC’ e per determinare la sua posizione il quadrilatero può essere trasformato in un triangolo S2 S1 A M D’ M’ C’ M’’ B CASO 4° 4° Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati La traformazione in triangolo può effettuarsi prolungando i lati S S1 convergenti CD e AB in E. Risolto il triangolo EAD e calcolata la sua area σ S2 MN è possibile imporre la similitudine tra il triangolo EDD’ (di area σ + SADD’) e perpendicolare al lato AB il triangolo ENM (di area σ + S1): S1 prossima al vertice A (σ + SADD’) : (σ (σ + S1) = ED2 : EN2 (σ + SADD’) : (σ (σ + S1) = ED’2 : EM2 Calcolate EN e EM EM,, dalle due proporzioni precedenti, per differenza di ottengono le due distanze DN e AM dai vertici dell’appezzamento dell’appezzamento.. Il problema può anche essere risolto applicando la funzione tangente C dell’angolo in E, nel triangolo rettangolo ENM (di area σ + S1), calcolando il cateto EM e l’ipotenusa EN EN.. Sempre per differenza si ottengono le due N D distanze dai vertici dell’appezzamento dell’appezzamento.. S1 S2 σ E A D’ M C’ B
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