LA DIVINA MANIA
Ovvero la musica e l’arte sono l'esercizio matematico
nascosto di una mente che calcola (in)consciamente?
Bari - 09/04/99 - Studio radiofonico
Conduttore: Buonasera a tutti, cari ascoltatori. Avete appena ascoltato
Reflets dans l’eau di Claude Debussy. Oggi parleremo del
rapporto tra musica e matematica. Abbiamo la fortuna di
avere qui con noi in studio il compositore Iannis Xenakis.
Buonasera, professore.
I. Xenakis: Buonasera a voi!
Conduttore: È sempre un gran piacere ascoltare la musica di Debussy,
che non pochi hanno definito ‘perfetta’, e non
casualmente.
Diversi studiosi hanno infatti individuato uno stretto rapporto tra
la sua musica e alcune proporzioni matematiche che riguardano
la cosiddetta sezione aurea. Per far comprendere meglio a chi ci
ascolta, abbiamo qui con noi il professor Baldini, docente della Facoltà
di Matematica dell’Università di Roma: buonasera, professore.
Prof. Baldini: Buonasera.
Conduttore: Potrebbe allora introdurci alla sezione aurea?
Prof. Baldini: Volentieri.
Si definisce sezione aurea di un segmento AB quella parte del
segmento AC che è media proporzionale tra l’intero segmento e la
parte rimanente CB.
A
C
B
Si può dire che una linea sia stata divisa secondo la proporzione estrema e media
quando l’intera linea sta alla parte maggiore cosi come la maggiore sta alla minore.
In altre parole, è chiaro che il segmento AB è più lungo del segmento AC e allo
stesso tempo che il segmento AC è più lungo del segmento CB. Quindi se
AB AC

AC BC
si può dire che la linea è stata divisa secondo la proporzione estrema e media,
ovvero secondo il suo rapporto aureo.
Definiamo l il segmento, x la misura della sezione aurea e ϕ il
rapporto aureo, ovvero il rapporto tra il segmento e la sua
sezione aurea. Riscrivendo la relazione precedente:
22
lx

l

ll

4

l

l
5

1

5
2
22
2


l

l
x

x

x

l
x

l

0

x


l
x
l

x
2 2 2
Escludendo la soluzione negativa, si ha che:
Quindi, si ottiene che:
xl
51
2
x 5

1


0
,
6
1
8
0
3
3
.
.
.
l
2
Pertanto, per ϕ si ottiene il valore:
 
2
5

1
l 25

1
5

1



1
,
6
1
8
0
3
3
.
.
.
x
5

1 2
5

1
5

1
È possibile verificare che, sommando ad un segmento la
sua sezione aurea, si ottiene un nuovo segmento di cui
quello dato è sezione aurea. Infatti applicando alla
proporzione la proprietà del comporre si ottiene:
(l + x) : l = x + (l-x) : x
(l + x) : l = l : x
Applicando la proprietà dello scomporre si ricava che:
la differenza fra un segmento e la sua sezione aurea è
sezione aurea della sezione aurea del segmento.
(l - x) : l = x - (l - x) : x
AB è il segmento dato
Verifichiamo ora com’è possibile costruire
la sezione
aurea di unB segmento.
Sigeometricamente
conduca la perpendicolare
ad AB nell’estremo
Si prenda su di esso il segmento BO, metà di AB, indi col
centro in O si descriva la circonferenza di raggio OB, che
risulterà tangente in B alla retta AB.
Si unisca A con O e si chiamino C e D le intersezioni della
retta AO con la circonferenza.
Si porti infine su AB il segmento AE
congruente ad AC.
D
O
AE risulterà allora sezione aurea di
AB
C
A
E
B
Infatti per il teorema della secante e della tangente si
ha:
AD : AB = AB : AC
Da cui scomponendo si ottiene:
(AD - AB) : AB = (AB - AC) : AC
Ma siccome AB è congruente a CD e AC è congruente
ad AE si ha pure:
AD - AB = AD - CD = AC e AB - AC = AB - AE =EB
Perciò l'ultima proporzione diventa:
AE : AB = EB : AE
Da cui invertendo:
AB : AE = AE : EB
D
O
C
A
E
B
Poniamo che AB sia il lato del decagono regolare inscritto nella circonferenza di
centro O e raggio OA. L’angolo AO^B è 1/10 di un angolo giro, quindi 1/5 di un
angolo piatto, vale a dire misura 36°.
E’
possibile
dimostrare
che:
Il triangolo
AOBinoltre
è isoscele,
quindi ciascun
angolo alla base è 2/5 di un angolo
piatto,
misura 72°.
il latoovvero
del decagono
regolare inscritto in una circonferenza è la sezione aurea del
raggio
della circonferenza circoscritta.
Conduciamo ora la bisettrice AC dell’angolo OA^B.
B
Il triangolo ACO risulta isoscele, dato che CO^A è
Ma
anche il triangolo
è isoscele aperché
è
congruente
OA^C, e diBAC
conseguenza
1/5 diAB^C
angolo
congruente
a AC^B,
vale aAC
dire
ai 2/5 di una angolo
piatto, cioè 36°
e quindi
= OC.
piatto, ovvero 72° e quindi AC = AB. Poichè AC = OC
e AC = AB, per la proprietà transitiva della
congruenza otteniamo OC = AB.
C
O
36
°
72
°
72
°
36
36 °
°
Pertanto OB-BA= OB-CA=OB-OC=CB
I triangoli OBA e CBA risultano essere simili per il 1°criterio di similitudine per cui:
OA:BA=BA:CB . C.V.D
A
Di conseguenza:
• Se in un triangolo isoscele l’angolo al vertice misura 36° (e
quindi gli angoli alla base sono entrambi di 72°), la base del
triangolo è la sezione aurea del lato. Tale triangolo viene detto
triangolo aureo.
• Anche il triangolo isoscele di angoli 36, 36, 108°possiede
proprietà di proporzione.
All’interno di un pentagono (ABDCE), ogni lato forma con due diagonali un
triangolo dagli angoli con misura 72°, 72°, 36°, in cui la base (AB) è
sezione aurea del lato (DB).
D
Avremo quindi
anche che:
a/b= φ
b/c =φ
c/d =φ
d/e =φ
E
e/f = φ
36
°
L
I
C
a
F
c
A
e
f
d
H
G
b
B
Si definisce rettangolo aureo il rettangolo avente un lato che è sezione aurea
dell’altro.
Se ABCD è un rettangolo aureo (in
figura), si ha, per definizione:
AB : AD = AD : (AB – AD)
D
A
N
M
C
B
o anche, prendendo AM ≡ AD,
AB : AM = AM : MB
Se sul lato maggiore AB del rettangolo aureo
ABCD, esternamente al rettangolo, costruiamo il
quadrato AEFB, si ottiene un nuovo rettangolo
aureo EFCD. Infatti, per la proprietà del
comporre, si ha
( AB + AD ) : AB = [ AD + ( AB – AD ) : AD ]
E
F
Essendo poi AB ≡ AE, otterremo
D
N
C
DE : AB = AB : AD
da cui
DE : AE = AE : AD
Ed è così dimostrato, essendo AE ≡ EF, che
EF di EFCD è la parte aurea del lato
maggiore DE.
Ripetendo più volte questa costruzione, si ottiene
una tale successione di quadrati, ognuno dei quali
ha il lato che è sezione aurea del lato del quadrato
successivo. Costruendo un arco di circonferenza
inscritto in ogni quadrato, avente il centro nel
vertice del quadrato, che non appartenga all’arco
precedente e stia sul lato che contiene il centro
precedente, si ottiene una curva, la spirale aurea.
A
B
E
F
La storia del rapporto aureo è molto affascinante, ma andiamo
con ordine.
Nel 300 a.C. Euclide, il noto matematico di Alessandria d'Egitto,
descrisse per la prima volta il rapporto f (phi), chiamandolo
proporzione estrema e media.
Dal declino del periodo ellenico passarono circa mille anni prima
che la sezione aurea tornasse nuovamente a stuzzicare le menti
dei matematici, rilevando grazie al suo alter ego algebrico
inedite proprietà, prima inconoscibili per via meramente
geometrica.
Il rinnovato interesse per il numero aureo in epoca
rinascimentale può essere ascritto ad un altro libro, il De Divina
Proportione di Luca Pacioli, pubblicato nel 1509 a Venezia,
corredato di disegni di Leonardo da Vinci. In quest'opera si
divulgava a una più vasta platea di intellettuali l'esistenza del
numero e delle sue innumerevoli proprietà, sino ad allora
appannaggio di una ristretta cerchia di specialisti.
Vediamone ora alcune.
1. Il rapporto aureo è l’unico numero non naturale il cui reciproco
e il cui quadrato mantengono inalterata la parte decimale.
Considerando, infatti, l’equazione iniziale e modificandola, si
ottiene che il reciproco è uguale alla radice stessa meno l’unità,
mentre il quadrato è uguale alla somma della radice e di
un’unità.
2. Ogni potenza del rapporto aureo è la somma delle due
precedenti.
•
•
•
•
•
1/φ=φ-1
φ2 =φ+1
φ3 =2φ
φ4 =3φ+1
φ5 =5φ+1
Il rapporto aureo può essere espresso
mediante una frazione continua:
21
1 1
 1


1
1
1
1

1
1
1
1
1
1

1
1
1
1
1
1
1
...
1
ϕ può essere anche espresso mediante ‘radici
nidificate’:
 2   1
  1
  1 1
  1 1 1
  1  1  1  ...
Numerose relazioni sono state individuate tra φ e la serie di Fibonacci
La successione di Fibonacci è una successione di numeri che, partendo da 0 e
1, si ottengono sommando i due termini precedenti
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, …
Si può osservare che, se si divide ogni termine, a partire dal terzo, per il
precedente, la successione dei rapporti tende al rapporto aureo f (1,618).
Infatti, se scriviamo la successione dei rapporti a partire dal terzo termine, si
ha:
1; 2; 1,5; 1,6; 1,6; 1,625; 1,61538; 1,61904; 1,61764; 1,61818…;
Da cui si evince che i valori dei rapporti si avvicinano sempre più a 1,61803…
che è il valore di φ .
Nel caso della spirale aurea, la successione dei lati dei quadrati si ottiene
come quella dei numeri di Fibonacci, partendo dai lati di un rettangolo aureo
anziché da 0 e da 1, e ottenendo ogni termine dalla somma dei precedenti.
La relazione tra i numeri di Fibonacci e il rapporto aureo fu
scoperta nel 1611 da Keplero.
Ma Keplero, quale astronomo, non era forse tanto
interessato a dimostrare la fondatezza della sua scoperta,
quanto piuttosto a ricercarla nell'architettura dell'universo,
che lui invece osservava nelle sue proprietà "divine”. La
dimostrazione fu fornita, invece, un secolo più tardi dal
matematico Robert Simson.
Il rapporto aureo è legato nella percezione umana ad
un’idea di armonia e di proporzione che trova le sue
applicazioni anche nei dipinti e nella pittura, così come
in ogni ramo dell’arte. Secondo alcune osservazioni
l’ottica dell’uomo tenderebbe a disporre quasi
inconsciamente gli elementi di una composizione
secondo questi rapporti.
MEGALITI DI STONEHENGE
Nei megaliti di Stonehenge, le superfici dei due cerchi di pietre azzurre e di Sarsen,
stanno tra loro nel rapporto di 1,6.
STELE DI GET
E’ possibile trovare
proporzioni di tipo aureo
anche nelle stele di Get, e più
precisamente i lati del
rettangolo del palazzo e
il rettangolo in cui si trova il
serpente è in rapporto aureo
col quadrato costituito dal
palazzo.
h
s
a
a
Secondo Erodoto, la piramide di Cheope , “fu costruita in modo che l’area di ciascuna
faccia fosse uguale all’area di un quadrato il cui lato sia pari all’altezza della
piramide”
Si consideri a la metà del lato della base, s l’altezza della faccia triangolare e h
l’altezza della piramide.
Se l’affermazione attribuita ad Erodoto è corretta allora h2 (il quadrato dell’altezza
della piramide) sarebbe uguale a s×a, l’area della faccia triangolare.
Questa uguaglianza implica che il rapporto s/a sia identico al rapporto aureo.
Viene spontaneo domandarsi: le cose stanno proprio così?
E’ bene precisare subito che la base della grande piramide è molto
vicina ad un quadrato perfetto, ma non lo è:
i lati variano da un minimo di 230, 25 m, a un massimo di 230,45m.
La lunghezza media, che prenderemo come valore di a è 230, 37 m.
L’altezza del monumento è h= 146,73 m.
Da questi valori, usando il teorema di Pitagora, ricaviamo per
l’ipotenusa del trinagolo AOT una lunghezza s = 186, 54m.
Perciò s/a= 186,54/115,19=1,62- un valore vicinissimo a ϕ.
ARCO DI COSTANTINO
L’arco di Costantino, il più
importante tra gli archi triofali
romani, fu innalzato nel 313 d.C.
per celebrare la vittoria
dell'imperatore Costantino su
Massenzio.
L'altezza dell'arco è sezione
aurea dell’altezza totale, mentre
ciascuno dei due archi più
piccoli è sezione aurea della
distanza tra la base e il listello
inferiore.
Oltre a questo uso evidente delle
proporzioni auree, vi sono molti
altri particolari in questa
costruzione che possono essere
ricondotti alla divina
proporzione.
CASTEL DEL MONTE
IL PORTALE
Il disegno del portale di Castel
del Monte scaturisce dal
pentagono stellato e dalla sua
scomposizione secondo il
numero aureo, 1.618, le sue
potenze e le sue radici.
Il portale di Castel del Monte ha
infatti dei punti salienti che
coincidono con i vertici di un
pentagono. Per ottenere ciò è
necessario che concorrano più
elementi con particolari
caratteristiche, ad esempio la
distanza delle due colonne,
l’angolo del timpano, l’altezza
del vertice del timpano. Soltanto
con tali condizioni è possibile
tracciare un pentagono.
IL PERIMETRO
I solstizi e gli equinozi sono individuati dall’ombra del tetto sui punti
salienti. Nel perimetro esterno si possono inscrivere rettangoli il cui
rapporto dei lati è “aureo”, i punti dove il sole sorge e tramonta ai solstizi
formano un rettangolo in proporzione aurea. Tale fenomeno avviene
soltanto alla latitudine in cui è situato il castello.
Il rapporto tra gli elementi,
sempre di 1.6, fa sì che ci sia
una giusta proporzione tra
la larghezza e l’altezza delle
aperture o tra un cerchio di
pietre e l’altro. Per tali
ragioni, stando dentro al
monumento ci si sente a
proprio agio e non si
avverte l’imponenza che la
struttura dovrebbe avere
data la consistente mole di
pietre che la compongono.
LA CHIESA DI OGNISSANTI A
VALENZANO
La chiesa di Ognissanti a
Valenzano, risalente all’XI
secolo, è solo uno dei tanti
esempi di edifici
rinascimentali in cui è
possibile ritrovare la
sezione aurea.
La pianta stessa della
chiesa è in rapporto aureo.
Inoltre, tutti gli arconi (sia in senso latitudinale che
longitudinale) sono racchiusi in rettangoli aurei
CAPPELLA DEI
PAZZI
A FIRENZE
Nell’architettura della
Cappella dei Pazzi, Filippo
Brunelleschi ricorre al
numero aureo.
PALAZZO PITTI A FIRENZE
Dopo aver sperimentato l’uso architettonico della sezione aurea nelle
proporzioni della Cappella dei Pazzi, Brunelleschi continuò ad inserire
proporzioni di tipo aureo nei propri edifici, come nel caso di Palazzo
Pitti.
CUPOLA DEL DUOMO DI FIRENZE
L'architetto Filippo
Brunelleschi ripropone
l’utilizzo del numero d’oro in
architettura anche nella cupola
del duomo di Firenze.
ABBAZIA DI CHIARAVALLE DELLA
COLOMBA
LA CHIESA DEI SANTI PIETRO E
MARCELLINO A SELIGENSTADT
In particolare il rapporto aureo interessò alcuni artisti e
matematici del Rinascimento tra cui Leonardo da Vinci, Piero
della Francesca, Bernardino Luini e Sandro Botticelli.
Applicando le proporzioni della sezione aurea in alcune delle sue
opere Leonardo da Vinci si rese conto che queste conferivano un
senso di ordine e di armonia alle composizioni.
Nella gioconda applicò il rapporto
aureo
- nella disposizione del quadro;
- nelle dimensioni del viso;
- nell’area dal collo a sopra le mani;
- nell’area dalla scollatura dell’abito
fino a sotto le mani.
Nell’Ultima Cena Leonardo
rappresenta Gesù, personaggio
divino, dipingendolo con
proporzioni divine,
racchiudendo la sua figura tra i
lati di un rettangolo aureo.
In un’altra sua opera, L’Uomo, Leonardo studia le proporzioni
della sezione aurea seguendo il De architectura di Vitruvio
sviluppato anche intorno ai rapporti del numero aureo. Leonardo
stabilì così che le proporzioni umane sono perfette quando
l’ombelico divide l’uomo in modo aureo.
Vitruvio afferma infatti che:
"Il centro del corpo umano è
inoltre per natura l’ombelico;
infatti, se si sdraia un uomo sul
dorso, mani e piedi allargati, e si
punta un compasso sul suo
ombelico, si toccherà
tangenzialmente, descrivendo un
cerchio, l’estremità delle dita delle
sue mani e dei suoi piedi.”
L’armonia che ne derivava affascinò altri pittori come Botticelli che
fornì la sua espressione ne ‘’La venere”.
Infatti misurando
- l’altezza da terra
dell’ombelico e
l’altezza complessiva il
loro rapporto risulterà
0.618;
- così anche il rapporto
tra la distanza tra il
collo del femore e il
ginocchio e la
lunghezza dell’intera
gamba;
- o anche il rapporto tra il
gomito e la punta del
dito medio e la
lunghezza del braccio.
Anche nei quadri astratti del
pittore ottocentesco Pierre
Mondrian domina l’uso di figure
geometriche particolari.
L’intero quadro è, infatti,
impostato
sull’accostamento di
quadrati e di rettangoli
aurei.
Il pittore divisionista
francese Georges
Seurat impiega varie
espressioni dei
rettangoli aurei. Nel
suo quadro ‘la parata
del circo’ fa rientrare
nei limiti dei
rettangoli sezioni
diverse della sua
opera.
Chi avrebbe immaginato che questa sezione dall’aspetto
innocuo definita da Euclide a fini esclusivamente
geometrici avrebbe avuto conseguenze ai rami dello scibile
che vanno dallo studio della disposizione delle foglie in
botanica a quello degli ammassi di galassie in astronomia, e
dalla matematica pura alla critica d’arte? Il rapporto aureo
è uno splendido esempio di quel profondo senso di
meraviglia cui il grande Einstein attribuiva grande
importanza.
Secondo Einstein, ‘Quella del mistero è la più
straordinaria esperienza che ci sia dato di vivere e
l’emozione fondamentale situata al centro della vera
arte e della vera scienza. Da questo punto di vista chi sa
e non prova meraviglia, chi non si stupisce più di niente
è simile a un morto, a una candela che non fa più luce.’
Conduttore: Ma torniamo al nostro ospite, il professor Xenakis, e
al nostro brano. Partirei da una semplice e forse banale
domanda: Esiste una relazione fra fisica, matematica
e musica?
I. Xenakis: Non si tratta affatto di una domanda banale.
La musica è matematica.
O, per citare Lorenz Christoph Mizler, allievo di Bach,
“La musica è il suono della matematica.” O ancora
sosteneva Leibniz che: “La musica è l'esercizio
matematico nascosto di una mente che calcola
inconsciamente."
Insomma, la quantità di informazione contenuta in 20
secondi di musica equivale a quella stipata in "Guerra e
Pace".
Come è possibile che il cervello umano elabori così
facilmente questa sterminata massa di dati musicali?
La chiave della risposta è che noi non sentiamo la musica
per la prima volta nella nostra vita; siamo abituati a
sentirla, abbiamo i nostri schemi mentali. L’informazione
che arriva alla parte cosciente del cervello è quella filtrata
da questi schemi a cui ci siamo abituati per tutta la vita.
I. Xe.: La gradevolezza del suono o di una sequenza di
suoni sembra essere fondamentalmente legata a
una complessa catena di fenomeni matematici,
informatici e neurologici.
Con.: È naturale allora domandarsi se il rapporto
aureo (e i numeri di Fibonacci) abbiano avuto una
parte nell’evoluzione degli strumenti musicali e nella
composizione di brani più o meno famosi.
I. Xe.: Sì. Ad esempio, uno strumento spesso menzionato in
relazione ai numeri di Fibonacci è il pianoforte.
In una tastiera l’ottava corrisponde a tredici tasti, otto bianchi
e cinque neri. A loro volta i tasti neri sono riuniti in in gruppo
di due e uno di tre tasti. I numeri citati – 2, 3, 5, 8 e 13 –
formano una sequenza di cinque numeri di Fibonacci
consecutivi. D’altra parte il rapporto tra la tastiera del
pianoforte e i numeri di Fibonacci è molto probabilmente un
falso indizio.
ottava
In primo luogo, si consideri che la scala cromatica (dal do al si)
in realtà non è composta da tredici, bensì da dodici semitoni. La
stessa nota do è presente due volte nell’ottava per indicare il
completamento del ciclo.
In secondo luogo, la disposizione dei tasti in gruppi di due o tre
tasti nella fila superiore risale all’inizio del Quattrocento; quindi
essa ha preceduto ogni seria comprensione dei numeri di
Fibonacci .
Gli appassionati del rapporto aureo, così come sostengono che
esso sia particolarmente gradito alla vista, non mancano di
sottolineare che l’intervallo di sesta maggiore e quello di sesta
minore sono legati al rapporto aureo.
Un tono musicale puro è caratterizzato da una frequenza fissa
(misurata dalle vibrazioni per secondo) e da un’ampiezza (la
proprietà oggettiva) anch’essa fissa. Il tono standard per
accordare gli strumenti è il la, e precisamente il la con una
frequenza di 440 cicli al secondo (Hz).
Un accordo di sesta maggiore si ottiene combinando questo la
col do avente frequenza di circa 264 cicli al secondo.
Il rapporto delle due frequenze corrisponde alla frazione 5/3
cioè al rapporto di due numeri di Fibonacci successivi.
Un accordo di sesta minore si ottiene combinando un do
‘alto’ (528 cicli al secondo) e da un mi da 330 cicli al
secondo. In questo caso il rapporto delle frequenze,
528/330 può essere semplificato in 8/5, anch’esso un
quoziente di due numeri di Fibonacci, e già molto vicino al
rapporto aureo (il rapporto di due successivi numeri di
Fibonacci si avvicina a ϕ all’aumentare del valore dei due
numeri.)
Con.: Potremmo quindi dire che non si può escludere la
presenza di un rapporto aureo, ma non si può neanche
affermare che senza dubbio esso sia stato introdotto
intenzionalmente?
Xen.: Esattamente.
Con.: E per quanto riguarda le composizioni musicali?
Xen.: Per quanto riguarda la composizione, la parola chiave è
sempre ‘cautela’. Intendo dire che è indubbio che un
compositore esperto progetti l’insieme di un brano facendo
modo che le varie parti siano in equilibrio reciproco, oltre a
costituire un veicolo appropriato delle rispettive idee
musicali.
È indubbio, inoltre, come abbiamo già affermato
precedentemente, che il computo di note e battute sia
legato nella maggior parte dei casi da una relazione
numerica. Ed è comprensibile anche che chi svolge
un’analisi dei brani sia propenso a concludere che tale
relazione sia stata consapevolmente introdotta dal
compositore.
Prendiamo il caso di Mozart, ottimo candidato all’utilizzo
della sezione aurea, lui che secondo la sorella ‘non parlava
che di numeri e non pensava che ai numeri.’
Nel 1995 il matematico John Putz, dell’Alma College nel
Michigan, tentò di comprendere se il compositore avesse
utilizzato il rapporto aureo nei ventinove movimenti delle
sue sonate per pianoforte formate da due distinte sezioni:
- l’esposizione, in cui è introdotto il principale tema
musicale;
- lo sviluppo e ricapitolazione, in cui il tema è ampliato e
infine rivisitato.
Dato che brani musicali sono divisi in unità minime di
uguale durata, dette misure o battute, Putz ha proceduto
al calcolo dei rapporti tra i numeri di battute delle sezioni
delle due sonate. E lo studioso giunse a risultati molto
promettenti.
C.: Abbiamo ascoltato il primo movimento della Sonata n. 1 in
do maggiore, una delle sonate analizzate da Putz. Cosa scoprì
precisamente?
X.: Putz rilevò che il primo movimento consiste di sessantadue
battute di sviluppo e ricapitolazione e trentotto di
esposizione; e 62/38 è uguale a 1,63, una buona
approssimazione del rapporto aureo.
E tuttavia, da un’analisi complessiva, Putz concluse che
Mozart non si basò sul rapporto aureo. Se, come ϕ, la musica
di Mozart merita di essere definita ‘divina’, l’uso del rapporto
aureo non sembra esserne una delle ragioni.
C: Nel suo libro Debussy in Proportion (Debussy in
proporzione), Roy Howat dell’Università di Cambridge
sostiene che Debussy (1862 -1918) si sia servito del
rapporto aureo in numerose occasioni.
X.: Sì. Prendiamo ad esempio il suo pezzo per pianoforte
Reflets dans l’eau, contenuto nella serie Images.
La prima ripresa del brano giunge dopo 34 battute, che segnano il
punto di sezione aurea tra l’inizio del brano e la sua parte
culminante a partire dalla 54° battuta.
La seconda ripresa giunge alla 70° battuta.
Naturalmente 34 e 55 sono due numeri di Fibonacci e 34/21 è una
buona approssimazione di ϕ. La stessa struttura è riscontrabile
nella seconda parte secondo il rapporto 24/15 (esemplificabile in
8/5, altri due numeri di Fibonacci, e un altro quoziente prossimo a
ϕ).
34/21= 1,61
34
55
Parte culminante
21
34
Prima ripresa
15
24/15= 1,6
94
24
70
Seconda ripresa
Debussy tuttavia non ha rivelato molto circa la sua tecnica
di composizione, si deve allora fare attenzione a distinguere
tra interpretazioni forzate dettate alla sua musica piuttosto
che suggerite da questa, e le vere intenzioni dell’autore
(tuttora ignote).
A sostegno della sua analisi, Howat si avvale soprattutto di
due dati:
1) Lo stretto legame tra Debussy e alcuni pittori simbolisti,
dei quali si sa con certezza che utilizzavano il rapporto
aureo.
2) In una lettera di Debussy al suo editore Jacque Durand
dell’agosto del 1903, che accompagnava le bozze corrette del
Jardin sous la plouie, il compositore si sofferma su una
battuta mancante della partitura e spiega:
D’altronde ciò era necessario dal punto di vista numerico;
cioè del numero divino.
Debussy intendeva che in alcune decisioni che egli prendeva
come compositore, un ruolo importante spettava non solo ai
numeri in generale, ma a un numero divino in cui nulla
proibisce di vedere un’allusione alla divina proporzione.
Howat sostiene inoltre che Debussy subiva l’influenza del
matematico e critico d’arte Charles Henry, particolarmente
interessato alle relazioni tra numeri da un lato e melodia,
armonia e ritmo dall’altro. Gli scritti di estetica di Henry, come
l’Introduction à une esthetique scientifique del 1885,
attribuivano una grande importanza al rapporto aureo.
Il musicologo ungherese Erno Lendvai ha instancabilmente
studiato la musica di Bela Bartòk. Secondo lo studioso la
gestione del ritmo è un ottimo esempio dell’uso di φ.
Analizzando il primo movimento (una ‘fuga’) della Musica per
archi, percussioni e celesta, Lendvai sottolinea ad esempio
che le ottantanove battute del movimento sono divise in due
parti, una da 55 battute e una da 34, dal punto di massima
intensità sonora.
Ulteriori suddivisioni corrispondono all’aggiunta e
rimozione delle sordine (dispositivi applicati agli
strumenti per smorzare il suono) e ad altri cambiamenti
timbrici. Tutti i numeri delle battute sono numeri di
Fibonacci, coi rapporti tra le parti principali (per esempio
55/34) che si approssimano al rapporto aureo.
89 battute totali
Massima intensità
55 battute
34 battute
21 battute
Gli archi rimuovono la sordina
13 battute
21 battute
Gli archi rimettono la sordina
X.: Non si sa con certezza, dunque, se taluni compositori
abbiano fatto uso del rapporto aureo.
C.: Eppure compositori del XX secolo si sono volontariamente
serviti del rapporto aureo, come ad esempio Karlheinz
Stockhausen (1928-2007), o Joseph Schillinger (18951945).
X.: Senza dubbio. Mi riferirò in particolare a Schillinger. Egli
nutriva una profonda fiducia nelle fondamenta
matematiche della musica, e in particolare aveva ideato un
sistema di composizione musicale che da lui prese il nome,
in cui le note successive di una melodia seguono intervalli di
Fibonacci se contate in unità di mezzi intervalli. Secondo lui
tali intervalli trasmettono lo stesso senso di armonia che il
botanico prova di fronte alla disposizione regolare delle
foglie sullo stelo.
Uno dei tentativi di Schillinger di dimostrare che la musica
può basarsi completamente sulle formule matematiche fu
particolarmente divertente. Egli infatti copiò su un foglio di
carta a quadretti le fluttuazioni dei titoli di Borsa riferite
dal New York Times e trasformando le distanze tra le gobbe
e gli avvallamenti del grafico in intervalli musicali, ricavò
una composizione che ricordava lo stile del grande Bach.
X: Prima di introdurre il prossimo brano vorrei accennare ad
alcuni aspetti teorici.
Nella notazione musicale, il valore di una nota indica la durata
relativa di una nota musicale. Il valore è indicato per mezzo di
una simbologia grafica che modifica le parti di una nota: testa,
gambo e coda("cediglia" o "virgola".)
Il valore di una nota non è il valore di una durata assoluta, ma
è relativa alla durata delle altre note.
semibreve
4/4
minima
1/2
semiminima
1/4
croma
1/8
semicroma
1/16
Prendiamo ora invece in considerazione il brano di Luigi nono il canto
Quattro “strati” che scorrono
sospeso, n°2 – per coro solo. (Battute 1-12)
simultanei
Con diversa velocità.
Le proporzioni fra le durate
proprie ad ogni strato sono :
½; ⅓; ¼; ⅕
della unità base ossia la
semiminima = ♩
Alla serie delle altezze si
sovrappone una serie di sei
fattori: 1 2 3 5 8 13
Moltiplicativi delle unità base :
⅕
=
5 8 5 3 1 2 8
¼ =
3 13
⅓ =
2 13
½ =
1 8
2
5
13
3
C.: Abbiamo appena ascoltato il pezzo per orchestra, nonché prima
composizione pubblicata da Iannis Xenakis, qui con noi stasera
in studio. Signor Xenakis, e nel suo brano? Quale influenza ha la
sezione aurea?
X.: Mi consenta prima di chiarire alcuni concetti squisitamente
teorici. Definiamo ‘glissando’ l’innalzamento o l'abbassamento
costante e progressivo dell'altezza di un suono, ottenuto a
seconda dei vari strumenti in diversa maniera.
- Si definisce tremolo la variazione periodica dell'ampiezza
(intensità) del suono.
Il primo episodio di Metastasis è costituito di 55 battute
suddivise in 34 battute di glissando e 21 con altezze del
suono fisse. Questi due sottoepisodi sono nuovamente
ripartiti in modo uniforme: per esempio, nell’accordo di
ventuno, tredici di esse vengono eseguite con l’arco e
quindi, dopo una cesura, otto battute sono suonate in
tremolo.
(8, 13, 21, 34 e 55 sono tutti numeri della serie di
Fibonacci.)
34 battute glissando
21 con altezze del suono fisse
13 arco
8 in tremolo
Questa struttura temporale ben proporzionata
della parte iniziale è ripresa in quella finale. Qui troviamo il
controsviluppo delle altezze del suono, dall’accordo di
molte note, nel glissando che va restringendo fino alla
singola nota, elementi nuovamente articolati sul piano
temporale secondo proporzioni della Sezione Aurea: i
confini temporali sono marcati da svolte costituite da curve
di glissando, segnati da curve di intensità sonore crescente
e decrescente, anche da mutazioni timbriche al termine del
pezzo, dove compare in tutti gli archi un tremolo di elevata
intensità sonora, comparabile con quello che conclude la
prima parte della composizione.
Così la conclusione del pezzo si presenta come una ripresa
dell’inizio di analoghe proporzioni temporali, variata e
inoltre retrograda nell’andamento delle altezze:
l’andamento metrico si capovolge parzialmente, sicché si
sviluppano approcci a un’articolazione simmetrica del
tempo.
Dopo la conclusione del tremolo della parte iniziale
proseguono le dense sovrapposizioni di accordi in tremolo,
che iniziano piano per tornare di continuo, brevemente, al
medesimo grado di intensità sonora; questi archi dinamici
vengono però interrotti, di tanto in tanto, da episodi di
forte e varia lunghezza, proporzionati sul piano temporale
secondo lo schema della successione di Fibonacci.
Anche la conclusione del pezzo viene inserita in uno
sviluppo formale più ampio, e anche lì la proporzione del
tempo agisce secondo le regole della Sezione Aurea in un
più ampio contesto. La musica conduce in modo
sistematico ai glissando della parte finale così da rafforzare
nell’insieme l’impressione di uno sviluppo simmetrico
della forma.
C .: Pertanto, per concludere, Eduard Musik nel suo libro Il
bello musicale, ha scritto:
La musica della natura e quella umana appartengono a due
categorie distinte. Il passaggio dalla prima alla seconda
avviene tramite la scienza matematica, una posizione
importante e gravida di conseguenze. Ma sbaglierebbe chi la
intendesse nel senso che l’uomo abbia delimitato il suo
sistema musicale per mezzo di calcoli eseguiti
appositamente, essendo il sistema scaturito dall’applicazione
inconscia di nozioni preesistenti sulla quantità e la
proporzione, tramite sottili procedimenti di misura e
computo; mentre le leggi generali a cui quelle nozioni
ubbidiscono sono state rivelate dalla scienza solo in seguito.
C.: È d’accordo con questa affermazione, signor Xenakis?
X.: Solo in parte. La scienza matematica è sicuramente il
tramite tra la musica della natura e quella umana. Tuttavia
non credo che i compositori abbiano mai operato scelte
totalmente inconsapevoli poiché Bach, Beethoven o
Bartók quando scrivevano le loro composizioni facevano
dei calcoli, sia pure relativamente, semplici. Si trattava di
calcolare, disporre secondo un dato ordine, compiere delle
operazioni di organizzazione intellettuale, ma al di fuori di
questi calcoli ci sono le decisioni che intervengono per fare in
modo che quei calcoli siano più o meno evidenti, scompaiano
momentaneamente in un gioco di ellissi e ritornino. Così la
necessità, la causalità, la giustizia si confondono con la
logica e, poiché l'essente nasce da questa logica, il puro caso
è impossibile quanto il non essente.
Che questi rapporti coincidano a volte con la ‘divina
proporzione’ e che questo avvenga per scelta consapevole
non sempre è possibile stabilirlo con certezza.
Allo stesso tempo è innegabile che il XX secolo sia stato
caratterizzato da un ruolo più importante dei numeri nella
musica. E in questo contesto il rapporto aureo ha
incominciato ad avere un certo peso nelle opere di alcuni
compositori.
C.: Bene, non ci resta che ringraziarla per la sua cortese
disponibilità e augurarle buona serata.
X.: Grazie a voi, è stato un piacere. Buona serata a tutti.
Iannis Xenakis (Brăila, 29 maggio 1922 – Parigi, 4
febbraio 2001) è stato un compositore,
architetto e ingegnere greco naturalizzato
francese. Per la rilevanza del suo lavoro teorico
e compositivo, viene annoverato tra le figure
maggiormente rappresentative tra i compositori
della seconda parte del Novecento.
Lavoro realizzato da:
Alessandra De Santis
Denise De Scisciolo
Cecilia Di Florio
Denise Lotito
Nina Martorana
(Classe I H, a.s. 2009/10)