Perché Achille la Tartaruga la
raggiunge, eccome!
Fabio Bagagiolo
Università di Trento
Dipartimento di Matematica
Il paradosso di Zenone
• Un giorno Achille sfida la Tartaruga in una gara di velocità. Le dà un
vantaggio iniziale e le dice: “vediamo se riesci a non farti
raggiungere!”
• Con un balzo Achille raggiunge il punto in cui la Tartaruga si trova
inizialmente.
• Ma questa nel frattempo si è spostata un po’ più avanti.
• Con un altro balzo Achille raggiunge questo nuovo punto in cui si
trova la Tartaruga. Ma, ancora, questa si è nel frattempo spostata un
po’ più avanti.
• Achille fa un ulteriore balzo, ma ancora la Tartaruga è andata un
pochino più avanti.
• La gara prosegue quindi in questo modo: Achille raggiunge il punto
in cui si trova la Tartaruga quando lui inizia il balzo in avanti, ma nel
frattempo la Tartaruga si è spostata un po’ più in là.
• Achille quindi non raggiungerà mai la Tartaruga.
Istante iniziale
Dopo un tempo t1
Dopo un tempo t1+t2
Dopo un tempo t1+t2+t3
Dopo un tempo t1+t2+t3+t4
Dopo un tempo t1+t2+t3+t4+t5
• Cosa significa affermare che Achille non raggiungerà
mai la Tartaruga?
• Significa affermare che qualunque sia il tempo trascorso
dall’inizio della gara, Achille starà sempre dietro alla
Tartaruga.
• Ma dire che Achille sta dietro alla Tartaruga è come dire
che deve fare ancora qualche balzo in avanti per poterla
raggiungere.
• Cioè, qualunque sia il tempo trascorso dall’inizio della
gara, Achille ha compiuto un numero (eventualmente
molto grande) di balzi in avanti ancora non sufficiente
per raggiungere la Tartaruga.
• Ovvero, qualunque tempo noi decidiamo a priori
di aspettare, ci sarà un numero di balzi di
Achille, non sufficiente per raggiungere la
tartaruga, e il cui tempo necessario per compierli
tutti è maggiore del tempo da noi deciso di
aspettare.
• Cioè, qualunque tempo T decidiamo di
aspettare, ci sarà una quantità n di tempi
(dipendente da T) t1,t2,t3,…,tn corrispondente ai
balzi di Achille, tale che t1+t2+t3+…+tn>T.
• In definitiva, la somma degli infiniti tempi
t1+t2+t3+t4+…+t1000+t1001+t1002+…
è “grande quanto si vuole”, ovvero vale
infinito.
• In definitiva, la somma degli infiniti tempi
t1+t2+t3+t4+…+t1000+t1001+t1002+…
è “grande quanto si vuole”, ovvero vale infinito.

t
n 1
n
 
Il ragionamento di Zenone
(vedremo sbagliato)
• Se la somma dei tempi t1+t2+t3+t4+… vale
infinito, allora significa che Achille non
raggiungerà mai la Tartaruga.
• Quella somma consiste in un numero
infinito di addendi positivi (tutti i tempi tn) e
quindi la loro somma deve essere
necessariamente infinta.
• Ne segue che, sicuramente, Achille non
raggiungerà mai la Tartaruga.
Non facciamo filosofia
• L’intento di Zenone, con questo paradosso, era
forse quello di provare che se si assume l’infinita
suddivisibilità dello spazio e del tempo (come
facevano i Pitagorici: spazio e tempo sono
formati da entità ultime “infinitesime”: punti e
istanti) allora il movimento è impossibile.
• In realtà, con altri paradossi, egli provava che il
movimento è impossibile anche se si assume
vero il contrario.
Non facciamo filosofia
• Queste argomentazioni appartengono
strettamente ad un ambito filosofico, nel quale
non vogliamo addentrarci.
• Il nostro intento è solamente quello di prendere
a pretesto il paradosso di Zenone per introdurre
il concetto matematico di somma di infinti numeri
e enunciarne alcune proprietà.
• In realtà, non è nemmeno scontato che Zenone
non sapesse che il suo ragionamento fosse
“matematicamente scorretto”. Ma egli era
orientato verso altri scopi, per cui sembrava non
curarsene.
Il concetto di serie numerica
• Sia (an)n una successione di numeri reali
(positivi, negativi, interi, frazionari decimali,…),
cioè una legge che ad ogni numero naturale n
(cioè intero non negativo:0,1,2,3,4…) associa
un numero reale an.
• Si dice serie associata alla successione (an)n
l’espressione:

a
n 0
n
 a0  a1  a2  ...  an  ...
Il concetto di serie numerica
a 
n n
successione dei numeri pari non negativi :
0  a0  0,
1  a1  2,
2  a2  4,
3  a3  6,
.................
n  an  2 n

a
n 0
n
 0  2  4  6  ...  2n  ...
Il concetto di serie numerica
1
an n    , definita per n  1,
 n n
1
1  a1   1,
1
1
2  a2  ,
2
1
3  a3  ,
3
.............
n  an 

1
n
1 1 1
1
an  1     ...   ... serie armonica

2 3 4
n
n 1
Il concetto di serie numerica
a   c 
n
n
n n
con c numero reale fissato
0  a0  c 0  1,
1  a1  c1  c,
2  a2  c 2 ,
3  a3  c 3 ,
..........
n  an  c n

a
n 0
 1  c  c  c  ...  c  ...
2
n
3
n
serie geometrica di ragione c
Il concetto di serie numerica
a 
n n
 (1) n 1 

 definita per n  1,
 n n
 1

2
1  a1
 1,
1
(1)3
1
2  a2 
 ,
2
2
(1) 4 1
3  a3 
 ,
3
3
.................
(1) n 1
n  an 
n
1 1 1
(1) n 1
an  1     ... 
 ....

2 3 4
n
n 1
serie armonica alternata

Il concetto di serie numerica
1

 2  , definita per n  1,
n n
 n n
1
1  a1  2  1,
1
1 1
2  a2  2  ,
2 4
1 1
3  a3  2  ,
3 9
.....................
a 
n

1
,
2
n
1 1 1
1
   ...  2  ....
4 9 16
n
n 1
serie armonica generalizz ata di ordine 2
 an  1 
Il concetto di serie numerica
• Il nostro intento è ora quello di dare un
significato alla scrittura (somma di infiniti
addendi, ovvero somma della serie):

a
n 0
n
a 0 a1  a2  a3  ...  an  ....
Il concetto di serie numerica
• In particolare vorremmo poter rispondere alle
seguenti domande:
• Quanto vale la somma della serie?
• Come calcolarla?
• Ma, prima di tutto bisogna chiedersi:
• Che cosa è la somma della serie?
• Che oggetto matematico è?
• Come posso definirla, in modo adeguato e
rigoroso?
Il concetto di serie numerica
• Soltanto dopo aver definito in modo rigoroso cosa
intendiamo per “somma della serie” possiamo andare
alla caccia di essa (la somma).
• Il compito di un matematico è quindi prima di tutto dare
un senso e una buona definizione degli oggetti che si
vanno a considerare.
• Dopo di che, una volta ben definito che cosa si sta
cercando, si cercherà di ottenere dei risultati che
garantiscano, sotto opportune ipotesi, l’esistenza degli
oggetti in questione e gli eventuali algoritmi per trovarli
(calcolarli).
• Un passo ulteriore sarà quello di studiare le proprietà
degli oggetti prima definiti e poi verificatane l’esistenza.
Importanza delle serie
• Perché occuparci del concetto di serie, cioè di
somma di infiniti addendi?
• Se fosse solo per il paradosso di Achille e la
Tartaruga, sarebbe una motivazione un po’
debole.
• In realtà, il bisogno di poter sommare un numero
infinito di addendi è molto frequente nella
matematica, soprattutto in quella moderna, che
molto spesso si occupa, appunto, dell’infinito.
Importanza delle serie
• Cosa si intende quando, ad esempio, si scrive
  3,14159 .... ?
Importanza delle serie
• Cosa si intende quando, ad esempio, si scrive
  3,14159 .... ?
  3  1101  4 102  1103  5 104  9 105  ...
Importanza delle serie
• Cosa si intende quando, ad esempio, si scrive
  3,14159 .... ?
  3  1101  4 102  1103  5 104  9 105  ...
 (3 100 )  (1101 )  (4 102 )  (1103 )  (5 104 )  (9 105 )  ...
Importanza delle serie
• Cosa si intende quando, ad esempio, si scrive
  3,14159 .... ?
  3  1101  4 102  1103  5 104  9 105  ...
 (3 100 )  (1101 )  (4 102 )  (1103 )  (5 104 )  (9 105 )  ...
 (3 100 )  (1 101 )  (4 10 2 )  (1 103 )  (5 104 )  (9 105 )  ...
 

 

 

 

 


a0
a1
a2
a3
a4
a5
Importanza delle serie
• Fin dall’antichità, i matematici si sono trovati a
dover fare somme di un numero elevato di
addendi. Per esempio nel calcolare aree di
regioni curve, approssimandole con regioni
delimitate da spezzate con un numero molto alto
di segmenti.
• Oppure, collegato al precedente, per calcolare
valori decimali di π, ottenendolo come rapporto
tra il perimetro di poligoni regolari iscritti in una
circonferenza con un numero molto elevato di
lati e il diametro della circonferenza stessa.
• Archimede di Siracusa.
Importanza delle serie
• Quali sono le funzioni più facili da “maneggiare”:
valutarle in un punto, disegnarne il grafico,
derivarle, integrarle?
• I polinomi!
• Se tutte le funzioni fossero polinomi, la vita
sarebbe più facile.
• Data una funzione qualunque, è possibile
“approssimarla” con un polinomio?
• E qual è l’errore che si commette con tale
approssimazione?
Serie di potenze
Un polinomio di grado n nella variabile reale x
è una scrittura del tipo :
a0  a1 x  a2 x 2  a3 x 3  ...  an x n ,
con i coefficien ti ai numeri reali.
2  x  x3  3x 4  x5
è un polinomio di grado 5 con coefficien ti
a0  2, a1  1, a2  0, a3  1, a4  3, a5  1
Una serie di potenze è un' espressione del tipo

a x
n 0
n
n
 a0  a1 x  a 2 x 2  a3 x 3  ...  an x n  ...
e può essere vista come la generalizz azione di un polinomio
con infinite potenze.
Approssimazione con serie di
potenze
• Sotto opportune ipotesi, ma abbastanza
generali, una funzione (non polinomio) può
essere scritta come serie di potenze.
(1) n 2 n1
x3 x5
x7
sin( x)  
x  x 

 ...
6 120 5040
n  0 ( 2n  1)!

(1)
log(1  x)  
n
n 1

n 1
2
3
4
x
x x
x  x     ...
2 3 4
n
| x | 1
sin( x) e x
3
x
sin( x) e x 
6
3
5
x
x
sin( x) e x  
6 120
Approssimazione con serie di
potenze
• I primi studi su questo tipo di
approssimazione sono dovuti a Taylor
• Altri tipi di approssimazioni sono le
cosiddette serie di Fourier, che sostituisce
alle serie di potenze le serie
trigonometriche, formate da seni e coseni.
Come definire la (eventuale)
somma di una serie
• Cosa sappiamo già fare rispetto
all’operazione “somma”?
• Sappiamo già fare la somma di un numero
finito di addendi: 1+3+5-6+7=10.
• Cosa ci dice di fare una serie?
Come definire la (eventuale)
somma di una serie
• Una serie ci dice:
• prendi a0, e questo lo sappiamo fare;
• poi ci dice: prendi a1 e sommalo ad a0, e anche questo lo
sappiamo fare: a0+a1;
• poi ancora: prendi a2 e sommalo al risultato prima
ottenuto, e anche questo lo sappiamo fare:a0+a1+a2;
• e ancora: prendi a3 e sommalo al risultato prima
ottenuto, e anche questo lo sappiamo fare:a0+a1+a2+a3;
• e così via.
• In definitiva, una serie ci dice di fare la somma degli
infinti addendi, ma ci dice anche in che ordine dobbiamo
sommarli!
Come definire la (eventuale)
somma di una serie
• E’ quindi abbastanza naturale definire le
cosiddette somme parziali di ordine k.
• Sia k un numero intero non negativo,
diciamo somma parziale di ordine k della
serie, la somma dei primi k addendi:
• sk=a0+a1+a2+a3+…+ak
Esempi di somme parziali

1
1 1 11
1 1 1 1 1 49
,
s

1



,
s

1

    

3
6
2 3 6
2 3 4 5 6 20
n 1 n
(1) n
1 1 5
1 1 1 1 1 37
, s3  1    , s6  1      

n
2 3 6
2 3 4 5 6 60
n 1


 2n,
n 0
n
s3  0  2  4  6, s6  0  2  4  8  10  12  36
1 1 11
1 1 1 1
1 95
1
,
s

1



,
s

1






 

3
6
4 8 8
4 8 16 32 64 64
n 0  2 

Definizione di somma
• Diremo che una serie ha per somma il numero
reale S, se la successione delle somme parziali
sk “tende” a S.
• Cioè se, al crescere di k, ovvero al crescere del
numero di addendi che vado a sommare, le
somme parziali si “avvicinano” sempre di più a S.
lim
s
k  S
k 
Somma finita
• Il numero reale S è la somma della serie
se, preso un qualunque intervallo centrato
in S, esiste k tale che per ogni k>k sk sta
nell’intervallo
S
sk+1
sk+3 sk+5 sk+k
sk+2 sk+4
Somma +∞
• Si dice che la somma della serie è +∞ se,
preso un qualunque numero reale M,
esiste k tale che per ogni k>k sk>M
M
sk+1
sk+3 sk+5 sk+k
sk+2 sk+4
Somma -∞
• Si dice che la somma della serie è -∞ se,
preso un qualunque numero reale M,
esiste k tale che per ogni k>k sk<M
M
sk+1
sk+3 sk+5 sk+k
sk+2 sk+4
Definizioni
• Se la serie ha per somma un numero reale S, si
dice che la serie converge ad S, o che la serie è
convergente.
• Se la serie ha per somma +∞, si dice che la
serie diverge a +∞, o che la serie è divergente.
• Se la serie ha per somma -∞, si dice che la serie
diverge a -∞, o che la serie è divergente.
• Se la serie non ha somma (né finita né infinita) si
dice che la serie è oscillante.
Qual è, se esiste, la somma della
seguente serie?
a   (1)  ,
0
s0   an  a0  1,
n
n
n n
0  a0  (1)0  1,
n 0
1  a1  (1)  1,
1
2  a2  (1) 2  1,
..................
a
n 0
n
n 0
s2   an  a0  a1  a2  1  1  1  1,
n 0
3
 1  1  1  1  1  1  1.......
1
in generale sk  
0
s1   an  a0  a1  1  1  0,
2
3  a3  (1)3  1,

1
s3   an  a0  a1  a2  a3  1  1  1  1  0,
n 0
........................................
se k è pari,
se k è dispari
Quindi la serie non ha somma
perché la sucessione delle somme parziali sk
non ha limite : oscilla tra i valori 0 e 1.
Qual è, se esiste, la somma della
seguente serie?
a 
n n
 successione dei numeri pari non negativi
0,2,4,6,8.....

a
n 0
n
 0  2  4  6  8...  2n  ...
qualunque sia M reale, preso k intero con k  M ,
si ha , per ogni k  k , sk  2k  2k  M
sk  0  2  4  6  ...  2k  2k
sk i  sk  2k
quindi la serie diverge a  
Sapendo che la seguente serie
converge, calcolarne la somma S
(serie geometrica di ragione ½)
n
1 1 1 1
1
   1      ...

2 4 8 16
n 0  2 

S 1
1 1 1 1
1 1 1 1

    ...  1       ...
2 4 8 16
 2 4 8 16

1 1 1 1 1
S

 1  1      ...  1 
2  2 4 8 16
2

S
e quindi S  1   S  2
2
Una condizione necessaria per la
convergenza
• Condizione necessaria affinché una serie
converga è che il suo termine generale
(an)n sia infinitesimo.
• Cioè che “diventi sempre più piccolo, in
valore assoluto”.
• limn→∞ |an|=0
|an+n|
0
Una condizione necessaria
• Se infatti fosse, per esempio, an>1 per ogni n,
allora si avrebbe immediatamente che la serie
diverge a +∞.
• Questo si avvicina al ragionamento di Zenone:
ogni volta aggiungo una quantità maggiore di
uno e quindi le somme parziali diventano grandi
quanto si vuole.
• Attenzione: questa e’ solo una condizione
necessaria, non anche sufficiente: se la serie
converge, allora necessariamente an è
infinitesimo, ma può succedere comunque che
an sia infinitesimo senza che la serie converga.
Esempi

1
1
1
1
 n  1  2  3  4  ....
n 1
serie armonica :
termine generale infinitesi mo, ma non converge,
diverge a   ! (Oresme 1300)
(1) n 1
1 1 1
 1     ....

n
2 3 4
n 1
serie armonica alternata :
converge a log 2 (Mengoli 1600)


1
1 1 1
   ...
2
4 9 16
n 1
serie armonica generalizz ata di ordine 2
n
1
converge a
2
6
(Eulero 1700)
Esempi

n
2
3
4
c

1

c

c

c

c
 ...

n 0
serie geometrica di ragione c
diverge a   se c  1
1
converge a
se  1  c  1
1 c
oscilla se c  1
Dov’è l’errore?

 (1)
n
 1  1  1  1  1  1  ...
n 0
sia S la somma, allora
S  1  1  1  1  1  1  ....  1  (1  1  1  1  1  1  ....)  1  S
1
e quindi S  1  S  S 
2
L' errore è di tipo " logico" , cioè nel fatto di aver supposto
che la somma S esista.
Praticamen te, nei passaggi algebrici qui sopra,
abbiamo maneggiato un oggetto, S , che non esiste!
Il problema delle serie oscillanti
• In realtà, questo errore, se così si può chiamare, fu addirittura fatto
anche da Eulero.
• Il fatto è che, con la moderna definizione di serie convergente
(Cauchy), le serie oscillanti non sono più “un problema”. Nel passato
si voleva invece dare comunque un senso ad esse, dando
un’opportuna “definizione di somma” .
• Anche in epoche più recenti, pur sapendo che quelle serie non
hanno somma, vari matematici cercarono di dare comunque a loro
un significato.
• Ad esempio Cesaro (1859-1906) diede una definizione di
convergenza per serie, sostituendo il limite delle somme parziali con
il limite delle loro medie aritmetiche.
• E nel caso della serie di prima, questa definizione di somma dà
esattamente 1/2
Proprietà della somma di una serie
• Abbiamo visto che, in un qualche modo, il
concetto di somma di una serie estende
quello di somma di un numero finito di
addendi.
• Quindi, al matematico, sorge spontanea
una domanda:
• Quali proprietà della usuale somma
valgono anche per la somma di infiniti
addendi, cioè le serie?
Proprietà della somma di una serie
• Qual è la proprietà più “popolare” per l’operazione
somma?
• Forse la commutatività.
a 0  a1  a2  a3  a2  a3  a1  a0
Per una somma di un numero finito di addendi :
scambiando l' ordine degli addendi la somma non cambia
Proprietà della somma di una serie
• Domanda: vale la proprietà commutativa per le
serie?
• Cioè, data una serie convergente a una somma
S, riordinando gli addendi an, si ottiene ancora
una serie convergente a S?

a
n 0
n
 a0  a1  a3  ...  an  ...
 a1000  a0  a14  a23  a10  a136  a12356  ... ?
Riordinamento di una serie

In generale, data una serie  an , un suo riordiname nto è
n 0

una serie della forma  a f ( n ) , dove f è una funzione che
n 0
ad ogni numero intero non negativo n ne associa un altro, f (n),
ed è biettiva.
Esempio per una somma di finiti addendi :
3
a
n 0
3
n
a 0  a1  a2  a3  a2  a1  a3  a0   a f ( n )
dove f (0)  2, f (1)  1, f (2)  3, f (3)  0
n 0
La commutatività non vale
• Purtroppo, la proprietà commutativa non vale per
le serie.
• Essa vale solo per le serie assolutamente
convergenti.

Una serie  an si dice assolutamente convergente
n 0

se è convergente la serie dei valori assoluti  | an |
n 0
L’assoluta convergenza

Se converge la serie  | an | allora converge anche
n 0

la serie  an anche se, in generale, non alla stessa somma
n 0
Esistono serie convergenti ma non assolutamente convergenti
(  1 )n 1
 log 2,

n
n 1


(  1 )n
1
   

n
n 1
n 1 n

Due Teoremi
• Teorema: data una serie assolutamente convergente,
allora ogni suo riordinamento è ancora convergente alla
medesima somma.
• Teorema (Riemann 1826-1866): data una serie
convergente ma non assolutamente convergente, allora
si ha:
• per ogni S reale, esiste un riordinamento della serie che
converge a S,
• esiste un riordinamento della serie che diverge a +∞,
• esiste un riordinamento della serie che diverge a -∞,
• esiste un riordinamento della serie che oscilla.
Esempio (serie armonica alternata)
1 1 1 1 1 1 1
1         ...  log 2
2 3 4 5 6 7 8
1 1 1 1 1 1 1 1
 log 2
1         ... 
2 2 3 4 5 6 7 8
2

1 1 1 1 1 1
log 2
      .... 
2 4 6 8 10 12
2
1
1
1
1
log 2
0   0   0   0   ... 
2
4
6
8
2
1 1 1
1 1
3
1  0     0    ...  log 2
3 2 5
7 4
2
1 1 1 1 1
3
1       ...  log 2
3 2
5 7
4

 2
riordinamento della serie armonica alternata
+
Torniamo ad Achille ed alla
Tartaruga
• Supponiamo che sia Achille che la Tartaruga
corrano a velocità costante, e che Achille corra
10 volte più veloce della Tartaruga.
• Sia c la velocità della Tartaruga (ad esempio 2
km/h).
• Quindi la velocità di Achille e 10c (20 km/h).
• Sia infine d il vantaggio iniziale della Tartaruga
(ad esempio 0.1 km).
Torniamo ad Achille ed alla
Tartaruga
Calcoliamo t1 , il tempo che Achille impiega
a percorre lo svantaggio iniziale d .
d
t1 
, (spazio diviso velocità)
10c
Calcoliamo lo spazio d1 percorso dalla Tartaruga
nell' intervallo di tempo t1.
d
d1  ct1  , (velocità per tempo)
10
Torniamo ad Achille e la Tartaruga
d
d
Quindi dopo il tempo t1 
lo svantaggio di Achille è d1 
10c
10
d1
d
Achille percorre tale distanza nel tempo t2 

10c 100c
Nello stesso intevallo di tempo la Tartaruga avanza della quantità d 2  ct2 
Achille percorre d 2 in un tempo t3 
d
100
d
,
1000 c
e in quell' intervallo di tempo la tartaruga avanza della lunghezza d3 
d
1000
Torniamo ad Achille e la Tartaruga
Quindi l' n - esimo balzo di Achille avviene
d
in un intervallo di tempo pari a tn  n .
10 c

d
Achille raggiunge la Tartaruga se la serie  n converge.
n 1 10 c
1
Ma questa è (più o meno) la serie geometrica di ragione ,
10


n
n

 d

 d
d
d   1  d    1 
1
e si ha  n           1  
 1 
c n1  10  c  n0  10 
n 1 10 c
 9c
 c  1  1
 10 
d
Quindi Achille impiega un tempo t  per raggiunger e la Tartaruga
9c