Università Studi Basilicata - DiSGG
Cattedra di Tecnica delle Costruzioni
Prof. Ing. Lucio DELLA SALA
IL
TAGLIO
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JOURAWSKY
σx
y
τ xy = τ yx =
h
G
z
b
σx = −
dσ x = −
Iz b
L’equilibrio alla traslazione lungo un taglio orizzontale fornisce la
relazione tra le tensioni tangenziali τyx e la variazione di tensioni
normali dσ
σx .
Mz
y
Iz
σ x + dσ x = −
Vy Sz
M z + dM z
y
Iz
V dx
dM z
y=− y
y
Iz
Iz
σx
Vy
τ yx
τ xy
τ yx b dx + ∫ dσ x b dy = 0
Iz
b y dy =
Vy dx
Iz
∫ b y dy =
dx
b
dx
Vy dx
σ x +d σ x
τ xy
Facendo riferimento al valore
medio di τyx nella sezione
orizzontale la condizione di
equilibrio alla traslazione si
scrive
τ yx b dx = − ∫ dσ x b dy = ∫
τ yx
Vy dx
Iz
Sz
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SEZIONE RETTANGOLARE
σx
y
τ xy = τ yx =
h
z
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G
b
Vy Sz
Iz b
momento statico
momento d’inerzia
2

1 h
h

 1 h
Sz = b  − y  ×
+
y
=
− y2  b



2 2
2

 2  4

τ xy =
6 Vy ( h 2 / 4 − y 2 )
b h3
Il diagramma delle tensioni tangenziali varia con y con legge
parabolica;
il massimo si ha in corrispondenza del baricentro (y=0) e vale
τ xy max = 1.5
b h3
12
Iz =
Vy
b h
cioè è una volta e mezzo il valore medio,
y
τxy
h/2-y
y
h
z
G
b
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SEZIONE a DOPPIO T
y
τxy b
τxy
h/2-y
y
t
h
z
G
b
B
Momento statico per una corda che taglia l’ala superiore.

1  h2
Sz = 
− y2  B
2  4

Momento statico per una corda che taglia l’anima.

1
1  (h − 2 t) 2
Sz = B t (h − t) + 
− y2  b
2
2 
4

Il diagramma delle tensioni tangenziali è parabolico ma presenta un salto in
corrispondenza del passaggio tra ala e anima, dovuto alla brusca variazione
della larghezza.
y
τxy
c
h/2-y d
G
y
a
x
G
O
z
d
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Sezione presso-inflessa
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h
τxy
A = b x + n (As + A′s )
b x2
S0 =
+ n (A s d + A′s c)
2
n
pressoflessione tensoflessione
b x3
I0 =
+ n (As d2 + A′s c2 )
3
dG =
S0
A
Iz = I0 -A dG2
b
Per determinare le τxy in una corda a distanza y da O occorre
calcolare il momento statico rispetto al baricentro G di una
delle due parti in cui la sezione reagente risulta suddivisa dalla
corda a-a. In questo caso Sz risulterà dalla somma dei due
contributi del cls e dell’armatura compressa (per essere la
corda considerata al di sotto dell’armatura stessa)
h y
h
 
Sz,c =  − y   d G − +  b
4 2
2
 
Sz,s = n A′s (d G − c)
S z = S z ,c + S z , s
Sezione inflessa
y
τxy
c
x
τ xy = τ yx =
Vy Sz
Iz b
dG
z
d
G
n
τ xy ,max =
b
Vy
b⋅d
*
≅
Vy
0.9 ⋅ bd
d* =
Sz
≅ 0.9d
Iz
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τ
τ
1
σξ=τxy
2
σξ
σ
σ
P
P
y
τ
σξ
3
2
σ
P
z
n
G
O
1
3
Poiché il calcestruzzo non è in grado di sopportare rilevanti valori della tensione di
trazione, si formano in esso lesioni inclinate a 45° in prossimità dell’asse neutro (lesioni
da taglio puro), oppure lesioni che nascono al bordo teso con direzione verticale (a
causa della tensione normale di trazione) e si propagano verso il centro inclinandosi via
via, fino a raggiungere i 45° in corrispondenza dell’asse neutro (lesioni a flessione e
taglio).
Fessurazione e meccanismi di rottura
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TENSIONI AMMISSIBILI
Calcolo dell’armatura a Taglio
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Dalla osservazione sperimentale del comportamento a rottura di una trave soggetta a Taglio è
stato possibile dedurre il meccanismo resistente che si instaura nel corpo della trave stessa.
Il calcolo delle armature a taglio, per essere la sezione parzializzata, può essere condotto
facendo riferimento allo schema del traliccio internamente isostatico proposto da Ritter Morsch formato da un corrente compresso, costituito dalla parte di conglomerato compresso
al di sopra del piano neutro, da un corrente teso, costituito dalle armature tese inferiori, da
una biella compressa inclinata di conglomerato individuata da due fessure adiacenti e da un
asta tesa realizzata dall’armatura trasversale d’anima.
Il corrente compresso e
quello teso equilibrano il
momento esterno, mentre le
aste di parete sono deputate
a trasmettere lo sforzo di
scorrimento dal corrente
compresso superiore a quello
teso inferiore
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TENSIONI AMMISSIBILI
Esaminando un concio infinitesimo di trave e con riferimento alla parte superiore della sezione
definita dalla generica corda a-a è possibile calcolare lo scorrimento elementare che deve
essere trasmesso dal corrente compresso a quello inferiore :
C
M
T
C+dC
C+dC
C
M+dM
dS
T+dT
dS
F
dS = dC = dF
dS
d*
F+dF
F+dF
F
dz
Scorrimento Elementare
dM
dM
per
essere
T
=
dC = ∫ dσdA = ∫
⋅ ydA
dz
A
A I ci
I
T
TS
T
= d*
dC = dz ∫ ydA = n dz = * dz = dS essendo
Sn
I ci A
I ci
d
T
dF = dσ s As = dS = * dz
d
c
c
c
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TENSIONI AMMISSIBILI
Esaminando un concio infinitesimo di trave e con riferimento alla parte superiore della sezione
definita dalla generica corda a-a è possibile calcolare lo scorrimento elementare che deve
essere trasmesso dal corrente compresso a quello inferiore :
∆S =
45
Dal teorema dei seni
Tp
Nb
Tp
T∆z
d*
sen45°
=
T∆z
1
⋅
d * sen(135° − α )
α
Tp =
T∆z ⋅ sen45°
T∆z
=
d * ⋅ sen(135° − α ) d * ⋅ ( senα + cosα )
Sforzo nell’armatura d’anima
dC =
T
TS
T
dz ∫ ydA = n dz = * dz = dS
I ci A
I ci
d
c
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armatura a
flessione
Biella
compressa
trave fessurata
y
d
C
Puntone
inclinato
modello a pettine
V
V
C+ ∆C
45°
d*
d-y
T
∆x
In assenza di fessurazione T varia di
sezione in sezione, al variare di M ed è
bilanciato dalle τ di aderenza
T + ∆T
Ts =
M
d*
In presenza di fessurazione, la
variazione di T diventa un’azione
orizzontale ∆T sul dente
∆Ts =
∆M V ⋅ ∆x
=
d*
d*
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VERIFICA DEL DENTE
C
V
V C+ ∆C
y
∆x / 2
d
d*
45°
d-y
Nb
d−y− ∆ x/4
Mb
Ts
Nb =
∆Ts V ⋅ ∆x
=
2
2 ⋅d *
Ts + ∆T s
∆x
∆x  V ⋅ ∆x 
∆x 

M b = − ∆Ts ⋅  d − y −
⋅d − y − 
=
4 
d* 
4 

Tensione max di Trazione
σb =
(
Nb
b ∆x / 2
)
−
(
6M b
b ∆x / 2
si può considerare che sia
ponendo
)
2
V
12 ⋅ V ⋅ (d − y − ∆x / 4 )
=−
+
b⋅d *
b ⋅ d * ⋅∆x
∆x≈ d
f cfd =1.33⋅ fcfd ≅1.6⋅ fctd
e
y ≈ 0.2⋅ d
per cui :
A = b ∆x / 2
Dove:
d − y = 0.8 ⋅ d
VRd = 0.25 b d fctd
(
W = b ∆x / 2
σ b ,t =
) /6
2
5 .6 ⋅ V 6 .2 ⋅ V
=
b⋅d *
b⋅d
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VERIFICA DEL CORRENTE
COMPRESSO
Se si prende in esame il concio di estremità della trave in corrispondenza dell’appoggio, delimitato dalla
prima lesione a taglio, si ricava dall’equilibrio alla rotazione rispetto all’appoggio:
Nc = V
Nc
La sezione del corrente è soggetta a sforzo normale di compressione e taglio.
Supponendo per semplicità che le tensioni dovute a ciascuna delle
caratteristiche di sollecitazione siano costanti nella sezione, si ha:
σ=
Vy
Il cerchio di Mohr corrispondente a questo
stato tensionale è caratterizzato da:
Nc
b⋅ y
σ =τ
V
b⋅ y
τ=
σ

C= , 0
2

σ
2
  +τ
2
 
2
R=
σ
σ
2
  +τ −
2
2
2
σξ =
Sostituendo i valori delle tensioni normali e tangenziali prima
determinati si ha:
(tens. princ. di trazione)
σ ξ = 0,62 ⋅τ = 0,62
V
b⋅ y
Se, inoltre, si impone che la tensione principale di trazione sia uguale al valore di resistenza a trazione
del calcestruzzo si ottiene un valore limite del taglio pari a:
f ctd = 0,62
VRd
b⋅ y
VRd = 1,6 ⋅ b ⋅ y ⋅ f ctd
Nota: Confrontando il valore ora determinato con quello fornito dalla verifica del
dente, si ha che la resistenza del corrente compresso è minore di quella del dente se: 1,6 y < 0,25d ovvero y < 0,156d
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CONTRIBUTI COADIUVANTI
Le sezioni non armate a taglio mostrano resistenze maggiori di quelle ricavate mediante il
modello a pettine.
Ingranamento degli inerti.
Le azioni mutue tra le superfici delle fessure riducono l’entità del momento flettente e limitano la
deformazione del dente. Questo effetto è particolarmente rilevante per travi basse, per le quali
le fessure sono particolarmente strette; al crescere dell’altezza della trave l’ampiezza della
lesione aumenta e l’effetto dell’ingranamento si riduce.
Effetto spinotto.
Le barre di armatura esercitano quindi un’azione mutua che riduce il momento flettente nel dente
e ne aumentano la resistenza (effetto spinotto, o effetto bietta). L’azione delle barre longitudinali
è però limitata dalla possibilità che salti il copriferro ed il suo contributo può essere quantizzato
proprio valutando la resistenza del calcestruzzo di ricoprimento.
Effetto dello sforzo assiale
incrementa la resistenza a taglio di una sezione non armata aumentando le dimensioni del
corrente superiore rendendone più difficile la rottura; i denti del pettine(le bielle di cls) sono più
corti con la conseguente riduzione dell’effetto flettente. Il contrario accade in presenza di
trazione
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EC2 - Calcolo a Taglio
Si basa su tre valori della resistenza di calcolo:
-
VRd1
VRd2
-
VRd3
Resistenza di calcolo dell’elemento privo di armatura a taglio
Massima forza di taglio di calcolo che può essere sopportata senza rottura delle bielle
compresse convenzionali di calcestruzzo
Forza di taglio di calcolo che può essere sopportata da un elemento con armatura a
taglio
1.SE
Vsdu < VRd1 non è richiesta armatura a taglio (deve disporsi un minimo di normativa)
2.SE
Vsdu>VRd1 deve essere prevista una opportuna armatura a taglio tale che Vsdu ≤ VRd3
Sono possibili due metodi di calcolo:
il metodo normale ed il metodo dell’inclinazione variabile del traliccio.
INOLTRE:
In nessuna sezione di qualunque elemento la forza di taglio di calcolo deve essere maggiore di VRd2
Vsdu < VRd2
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ELEMENTI PRIVI DI
ARMATURA A TAGLIO
La resistenza a taglio di calcolo VRd,c è data da:
[
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(EN)
]
VRd ,c = CRd ,c k (100 ρl ⋅ f ck )1 / 3 + k1 σ cp bw d ≥ (υmin + 0.15σ cp )bw d
dove:
CRd ,c = 0,18 / γ c è la tensione tangenziale resistente di base.
200
(d in mm)
υmin = 0.0353 / 2 f ck1/ 2
k = 1+
≤ 2,0
d
A sl
≤ | 0,02 |;
ρl =
bw d
Asl
bw
σcp
NEd
fck
υmin
20
0.443
30
0.542
40
0.626
50
0.700
area delle armature dibtrazione
che si estende per non meno di d+lb,net
w d
oltre la sezione considerata.
è la larghezza minima della sezione lungo l’altezza efficace;
NEd / Ac≤0,20fcd;
è la forza longitudinale nella sezione dovuta ai carichi o alla
precompressione (compressione positiva).
Valori di (100 ρl fck)1/3 per diverse resistenze del calcestruzzo
fck (N/mm2)
20
30
50
70
100 ρl =0,5
2,15
2,46
2,92
3,27
100 ρl =1,0
2,71
3,10
3,68
4,12
100 ρl =1,5
3,10
3,55
4,21
4,71
100 ρl =2,0
3,42
3,91
4,64
5,19
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Meccanismo Resistente
con Armatura a Taglio
Piegati
Stato fessurato di travi
armate a taglio
Traliccio isostatico
Traliccio iperstatico
Staffe
Meccanismo Resistente
con Armatura a Taglio
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d*
45°
α
45°
α
Piegati
d*(1+cotα)
d*
d*cotα
Dist (bielle) = d * (1 + cot α )
Staffe
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Metodo Normale
traliccio iperstatico
Schiacciamento del puntone
per essere la rigidezza estensionale del puntone molto più elevata di quella flessionale, si può
trascurare l’effetto del momento flettente per cui lo sforzo di compressione nel puntone è
fornito, per l’equilibrio, da
N pun =
VSdu
= 2 ⋅V
sin 45°
L’area della sezione resistente del puntone è pari a: Apun = b ⋅ d * (1 + cot α ) / 2
La rottura del puntone avviene per :
N r , pun
VSdu 2
=
= ν ⋅ f cd
b ⋅ d * (1 + cot α ) / 2
Fattore di efficienza
ν = 0,7 −
f ck
≥ 0,5
200
(fck in N/mm2)
EC2.
IT.
1
VRd2 = ν ⋅ fcd ⋅ b ⋅ d * (1 + cotα )
2
VRd 2 = 0.3 ⋅ f cd ⋅ b ⋅ d * (1 + cot α )
cotα=0
sagomati
cot α > 0 staffe inclinate
Vecchia Normativa
Per staffe verticali o
per staffe combinate
con armature rialzate
cot a, viene assunto
pari a zero
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Metodo Normale
traliccio iperstatico
Snervamento dell’Armatura
Inizialmente prevalgono le azioni assiali sul puntone rispetto al momento flettente. All’aumentare dei
carichi si raggiunge la tensione di snervamento nell’armatura a taglio e si produce un incremento
della flessione nel puntone, fino alla sua rottura, mentre l’armatura si deforma a tensione costante.
Taglio di rottura
VRd 3 = Vwd + Vcd
Sforzo di trazione nell’asta di parete tesa:
Taglio portato dall’armatura d’anima
nel tratto ∆x=1.
Taglio portato dalla
biella di cls compressa
Nota: Vcd<Vwd
Tw =
V
A
= w ⋅ d * (1 + cot α ) ⋅ f yd
senα
s
Vwd =
Aw
⋅ d * (1 + cotα) ⋅ f ywd ⋅ senα
s
[
]
Vcd = VRd 1 = τ Rd k (1,2 + 40 ρ l ) + 0,15 σ cp bw d
EC2.
Vcd = 0.6 ⋅ f ctd ⋅ bw ⋅ d ⋅ δ
IT.
VRd3 = min (Vwd + Vcd ; 2 Vwd )
Vecchia Normativa
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Metodo Normale
EC2 (4.3.2.4.3.)
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(1) La resistenza a taglio di una sezione con armature a taglio è data
dall’equazione:
VRd3 = Vcd + Vwd
[4.22]
dove:
Vcd
Vwd
è il contributo del calcestruzzo ed è uguale a VRd1;
è il contributo delle armature a taglio.
(2) Il contributo delle armature verticali a taglio è dato dall’equazione:
Vwd =
Asw
0.9 d fywd
s
[4.23]
dove: Asw è l’area della sezione trasversale dell’armatura a
taglio;
s
è il passo delle staffe;
fywd è lo snervamento di calcolo delle armature a taglio.
(3) Il contributo delle armature a taglio inclinate è dato dall’equazione:
Vwd =
dove: s
Asw
0.9 d fywd (1 + cotα )senα
s
[4.24]
è il passo misurato sull’asse longitudinale.
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Metodo Normale
EC2
(4) Nella verifica a schiacciamento del puntone compresso, VRd2 è dato dall’equazione:
VRd2 =
1
ν fcd bw 0,9 d (1 + cotα )
2
[4.25]
Per staffe verticali o per staffe combinate con armature rialzate cot α viene assunto pari a zero.
N.B. La tensione nel puntone di calcestruzzo deve, di regola,
essere limitata a σc≤ ν fcd dove ν è il fattore di efficienza dato
da:
ν = 0.7 −
fck
≥ 0.5
200
ν = 0.6 −
fck
≥ 0.5
250
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Metodo dell’Inclinazione
variabile del traliccio
Dopo lo snervamento dell’armatura a taglio d’anima l’inclinazione delle isostatiche di compressione
tende ad aumentare per l’insorgere di scorrimenti tra le facce delle fessure che attivano
l’ingranamento degli inerti. Nascono così delle tensioni tangenziali
l’inclinazione delle isostatiche di compressione. (45° ⇒ θ)
τ1
che, con le
Nc
Nc
Nst
Nst
θΙ
θΙ
Nst
θ
Nst
Ns
τ
Ns
τ1
1
τ
σ1
τ1
σξ = τ
σ
P
cerchio di Mohr “tradizionale” (in assenza
di azioni trasmesse tra le due facce della
lesione)
σ1
θ
σ
P
cerchio di Mohr ottenuto considerando le
azioni trasmesse tra le due facce della
lesione
σ, aumentano
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Metodo dell’Inclinazione
variabile del traliccio
Schiacciamento del puntone
Il contributo del puntone di calcestruzzo è valutato non rendendo lo schema iperstatico bensì
considerando variabile l’inclinazione del puntone stesso.
La resistenza a schiacciamento del puntone e quella a snervamento dell’armatura possono essere
valutate immediatamente, dalle espressioni determinate per il metodo normale. Si ha infatti:
N pun =
V
sen θ
Essendo
d*(cotθ + cotα) senθ l’altezza della sezione del puntone e
1 + cot 2 θ = 1 sen 2 θ
V
=
Rd2
ν⋅f
cd
il taglio che porta a rottura il puntone è pari a:
bd* (cot θ + cot α)
1 + cot 2θ
La Normativa Italiana vigente fornisce un’espressione sostanzialmente identica ma corretta dalla
presenza di un parametro αc che tiene conto dello stato tensionale di compressione cui è soggetto
l’elemento.
V
=
Rcd
0,9 ⋅ d ⋅ b
w
⋅ α ⋅ d ⋅ f ' ⋅(cot θ + cot α)
c
cd
1 + cot 2θ
a1 = 0,9 ⋅ d ⋅ (cotθ − cot α ) / 2
Traslazione del
Diagramma di MSdu
Dove:
f'
cd
= 0,5 f cd
α c = 1 per sezioni non compresse
per 0 ≤ σ cp < 0,25f cd
α c = 1 + σ cp /f cd
α c = 1,25
per 0 ,25f cd ≤ σ cp < 0,5f cd
α c = 2,5(1 − σ cp /f cd ) per 0 ,50f cd < σ cp < f cd
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Snervamento dell’armatura
La forza che agisce nell’armatura inclinata vale
N diag =
V
sen α
L’area della diagonale tesa è, in funzione dell’area di armatura a taglio Asw
disposta in un tratto ∆x, pari a:
A
A
= sw d*(cot θ + cot α )
diag
∆x
Per cui il taglio che provoca lo snervamento
dell’armatura risulta:
A
V
= sw ⋅ d * ⋅ f yd (cotθ + cot α ) senα
Rd 3
s
La Normativa Italiana vigente fornisce la medesima espressione.
V
Rsd
= 0 ,9 ⋅ d ⋅
A
sw ⋅ f ( cot θ + cot α ) sen α
yd
s
La Resistenza della trave è la minore delle due
VRd = min(VRsd ;VRcd )
con
1 ≤ ctg θ ≤ 2,5
Inclinazione del puntone
In definitiva, si può affermare che inizialmente le fessurazioni si inneschino a 45° (cot θ=1), mentre all’aumentare
dei carichi, per lo snervamento delle armature le isostatiche di compressione si inclinino maggiormente (θ <45° ⇒
cot θ aumenta) per cui VRd2 = VRcd diminuisce e VRd3 =VRsd aumenta.
Ciò è dovuto alle grosse deformazioni e scorrimenti che in tale evenienza si verificano tra le fessure a taglioflessione per cui l’armatura può sopportare un taglio maggiore mentre la biella compressa riduce la sua resistenza.
Il collasso sarà sempre raggiunto per quel valore di θ per il quale VRd2 e VRd3 diventano uguali.
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