LE EQUAZIONI LINEARI
Lezione multimediale a cura della prof.ssa Maria Sinagra
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LE IDENTITA’
a 2  b 2  a  b a  b 
2a  a  a
1
2
a  b 2  a 2  2ab  b2
3
Cosa hanno in comune le seguenti uguaglianze?
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2
a 2  b2  a  ba  b
Uguaglianza (1)
È sempre vera qualunque siano i valori attribuiti alle lettere a e b
Proviamo ad attribuire alcuni valori:
a
3
-2
...
b
2
0
…
a 2  b2
a  ba  b
32  22  9  4  5
 22  02  4  0  4
3  23  2  5 *1  5
 2  0 2  0   2 2  4
...
...
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3
Lo stesso vale per le uguaglianze
(2) 2a = a + a
2
2
(3) a  b   a  2ab  b
2
Prova a verificarlo!
A queste particolari uguaglianze diamo il nome di identità
IDENTITA’
Si dice identità un’uguaglianza tra due espressioni
letterali verificata per qualsiasi valore attribuito alle
lettere in esse contenute.
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LE EQUAZIONI
Che cos’è un’equazione?
Non tutte le uguaglianze sono identità.
Consideriamo l’uguaglianza 2x + 1 = x + 3
esiste un solo valore che attribuito a x rende vera l’uguaglianza
è x= 2
infatti
2 *2 + 1 = 2 + 3
4+1=5
5=5
Questa uguaglianza viene detta equazione.
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EQUAZIONE
Un’equazione è un’uguaglianza tra due espressioni
letterali, verificata per particolari valori attribuiti alle
lettere che in essa compaiono.
2x + 1 = x + 3
x
x=2
I membro
incognita
soluzione
dell’equazione
II membro
2y + 5 = y – 1 è un’equazione nell’incognita y
x+ 2y = 1 è un’equazione in due incognite, x e y
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LE SOLUZIONI DI UN’EQUAZIONE
SOLUZIONE
Si dice soluzione di un’equazione, ogni numero che sostituito al
posto dell’incognita, rende il I membro uguale al II membro, cioè
verifica l’uguaglianza.
Esempio 1: l’equazione 3a – 1 = 8 ha come soluzione a = 3
Infatti 3*3 – 1 = 8
Esempio 2: l’equazione
Infatti
 32  9
9–1=8
8=8
x 2  9 ha due soluzioni: x = -3 e x = 3
32  9
Risolvere un’equazione significa determinare le sue soluzioni
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Non sempre un’equazione ammette soluzioni.
Esempio:
x2  1  0
non esiste nessun numero reale che verifica l’uguaglianza.
L’equazione si dice impossibile in R.
Risolvi, in R le seguenti equazioni:
x– 5 = 3 ;
1
x  2;
2
x 2  16;
2 x  3  x  2;
x 2  4  0;
5x  1  0
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CLASSIFICAZIONE DELLE
EQUAZIONI
Le equazioni possono essere classificate:
1) In base alla posizione dell’incognita
 L’equazione è intera quando l’incognita figura solo al
numeratore
 L’equazione è fratta quando l’incognita figura al
denominatore di almeno uno dei due membri
ESEMPI
1
x   3x
2
x
 9  41  x
2
3 1
x
intera
fratta
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2) In base alla presenza o meno di altre lettere oltre
l’incognita:
 l’equazione è numerica quando oltre l’incognita non
figurano altre lettere
 l’equazione è letterale quando oltre l’incognita figurano
anche altre lettere
ESEMPI
x  9  41  x
a
 b  1
x
numerica
letterale
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2) In base alle soluzioni che ammette:
 l’equazione è determinata se ammette un numero finito
di soluzioni
 l’equazione è indeterminata se ammette infinite soluzioni
 l’equazione è impossibile se non ammette alcuna soluzione
ESEMPI
x  1
x
2
xx
1
2x
x  x 1
determinata, perché ammette come unica soluzione x=2
indeterminata, perché tutti i numeri reali, tranne lo 0,
rendono vera l’uguaglianza
impossibile, perché non ammette alcuna soluzione
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EQUAZIONI EQUIVALENTI
Date le equazioni:
x25
cioè x=3
e
2x  6 hanno entrambe la stessa soluzione,
Equazioni equivalenti
Due equazioni si dicono equivalenti quando ammettono
le stesse soluzioni
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Dire se le seguenti coppie di equazioni sono equivalenti:

x 3  0
2x  6

2x 1  x
2x  x  1

5x  3  2
2 x 1  x  2
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PRINCIPI DI EQUIVALENZA DELLE
EQUAZIONI
PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Addizionando o sottraendo ad entrambi i membri di un’equazione
uno stesso numero o una stessa espressione letterale che si possa
calcolare per ogni valore delle lettere che vi compaiono, si ottiene
un’equazione equivalente a quella data.
Esempio
2x = 8
ha come soluzione x = 4
Addizionando ad entrambi i membri il numero 2
2x + 2 = 8 + 2 ha come soluzione x = 4
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Le due equazioni sono equivalenti
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Applicazioni del I principio
Dal I principio derivano due regole utili nella risoluzione
delle equazioni
Esempio 1
2x + 1 = 3x sottraiamo ad entrambi i membri 1
2x + 1 –1 = 3x – 1
ma +1 – 1=0
quindi 2x = 3x – 1
otteniamo un’equazione equivalente a quella iniziale
Notiamo che il termine +1 che figurava al I membro è
ricomparso al II membro con il segno cambiato
Regola del trasporto
Se in una data equazione si trasporta un termine da un
membro all’altro, purchéRealizzazione
lo si prof.ssa
cambi
di segno, si ottiene
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un’equazione equivalente a quella data.
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PRINCIPI DI EQUIVALENZA DELLE
EQUAZIONI
SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione
per uno stesso numero diverso da zero o per una stessa
espressione letterale ( che si possa calcolare per ogni valore
delle lettere che vi compaiono e che non si annulli mai), si
ottiene un’equazione equivalente a quella data.
Esempio
2
x  4 ha come soluzione x = 10
5
Moltiplicando entrambi i membri per il numero 5
2
5* x  5* 4
5
2x = 20
ha come soluzione x = 10
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Le due equazioni sono equivalenti
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