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corso tecniche di rappresentazione dello spazio
A.A. 2009/2010
docente Arch. Emilio Di Gristina
l’assonometria
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le proiezioni assonometriche - generalità
per eseguire una proiezione assonometrica, detta anche proiezione parallela o assonometria,
bisogna riferirsi ad una terna di assi cartesiani ortogonali e proiettare rispetto ad un centro
improprio, posto all’infinito, sul quadro
se x,y,z con centro O è la terna di assi x1 y1 z1 con centro O1 saranno gli assi dell’assonometria e
C il punto, improprio, di proiezione
le proiezioni assonometriche - generalità
l’assonometria è detta ortogonale se la direzione dei raggi visuali è perpendicolare al quadro assonometrico
l’assonometria è detta obliqua se la direzione dei raggi visuali è inclinata rispetto al quadro assonometrico
le proiezioni assonometriche - generalità
Si noti che per convenzione lo schema degli assi grafica digitale 3D è così individuato:
x - rosso, y - verde, z - blu (RGB), usulamente il tripode del gizmo riporta questi colori
le proiezioni assonometriche - generalità
Si noti che per convenzione lo schema degli assi grafica digitale 3D è così individuato:
x - rosso, y - verde, z - blu (RGB), usulamente il tripode del gizmo riporta questi colori
le proiezioni assonometriche - generalità, assi dell’assonometria e triangolo delle tracce
nella proiezione assonometrica ortogonale la direzione dei raggi proiettanti si considera normale,
perpendicolare, al quadro; data una terna di assi x, y, z e proiettandoli su un piano a, detto anche
quadro, otterremo:
x1 y1 z1 = assi dell’assonometria
A B C = vertici del triangolo delle tracce
le proiezioni assonometriche - generalità, assi dell’assonometria e triangolo delle tracce
nel triangolo delle tracce le altezze sono le proiezioni degli assi x, y, z
di conseguenza l’origine degli assi assonometrici O1 è il suo ortocentro
il triangolo A B C è acutangolo
le sue altezze, e quindi gli assi x1 y1 z1 , formano angoli ottusi
le proiezioni assonometriche - angoli di orientamento e inclinazione
gli angoli che formano gli assi dell’assonometria x1 y1 z1 tra loro a due a due (z1 y1 x1 z1 y1 z1)
sono gli: angoli di orientamento
gli angoli che formano gli assi x, y, z con il piano di proiezione, quadro, sono chiamati angoli di
inclinazione
le proiezioni assonometriche – isometrica, dimetrica, trimetrica
se il triedro interseca il piano assonometrico in modo da formare un triangolo delle tracce equilatero, l'assonometria
si dice isometrica o monometrica e l'unità di misura si proietta in tre segmenti uguali tra di loro.
se il triedro interseca il piano assonometrico in modo da formare un triangolo delle tracce isoscele, l'assonometria
si dice dimetrica;
si ha un sistema di assi con due angoli al centro uguali: l'unità di misura si proietta in due segmenti uguali tra loro e
uno diverso.
se il triedro interseca il piano assonometrico in modo da formare un triangolo delle tracce scaleno, l'assonometria si
dice trimetrica;
l'unità di misura si proietta in segmenti minori dell'unità di misura e diversi tra loro.
le proiezioni assonometriche - angoli di orientamento e inclinazione
gli angoli che formano gli assi dell’assonometria x1 y1 z1 tra loro a due a due (z1 y1 x1 z1 y1 z1)
sono gli: angoli di orientamento
gli angoli che formano gli assi x, y, z con il piano di proiezione, quadro, sono chiamati angoli di
inclinazione
rappresentando nel piano:
le proiezioni assonometriche – tipi e tabella dei valori più utilizzati
sotto la tabella con i valori generalmente utilizzati, si noti che la terna degli angoli di inclinazione e
orientamento determina il tipo di assonometria:
isometrica – tutti gli angoli uguali
dimetrica –due angoli uguali ed uno differente
trimetrica – tutti gli angoli differenti
tabella dei valori dei sistemi assonometrici più usati
angoli di orientamento
angoli di inclinazione
rapporto di accorciamento
tipo di assonometria
z1 y1
x1 z1
y1 x1
a
b
g
cos a
cos b
cos g
assonometria isometrica
120°
120°
120°
35°
35°
35°
0,816
0,816
0,816
assonometria dimetrica
131° 1/2
97°
131° 1/2
19° 1/2
62°
19° 1/2
0,94
0,47
0,94
assonometria trimetrica
108°
95°
157°
27° 1/2
60° 1/2
10°
0,89
0,49
0,98
le proiezioni assonometriche – assonometria trimetrica
esempio di assonometria trimetrica
si noti la terna degli angoli a, b, g
ed il loro utilizzo per la riduzione grafica dei lati del
parallelepipedo
le proiezioni assonometriche – assonometria dimetrica
esempio di assonometria dimetrica - si noti la terna degli angoli a, b, g ed il loro utilizzo per la riduzione
grafica dei lati dei solidi in esame
le proiezioni assonometriche – assonometria isometrica
esempio di assonometria isometrica - si noti la terna degli angoli a, b, g ed il loro utilizzo per la riduzione
grafica dei lati del solido in esame
le proiezioni assonometriche – assonometria isometrica, un insieme
esempio di assonometria isometrica di un insieme di volumi – anche per oggetti complessi, com’è
evidente, il procedimento resta analogo a quelli esaminati
le proiezioni assonometriche – assonometria Cavaliera o obliqua
proiettando una terna di assi cartesiani x, y, z su un quadro coincidente, o parallelo, ad uno dei piani
coordinati secondo una direzione obliqua otterremo una terna di assi assonometrici che ha un angolo di
orientamento di 90°
quanto sopra consente delle operazioni di rappresentazione semplificate e più immediate
si noti anche che se l’angolo a è uguale a 45° non si hanno variazioni poiché cotangente di 45° = 1
se l’angolo a è uguale a 63° si applica una riduzione di ½ per avere una rappresentazione gradevole
l’angolo che x1 forma con z1 , che sia di 135° o 45°, determina l’assonometria Cavaliera dall’alto o dal
basso cavaliera
venne codificata da Bonaventura Francesco Cavalieri matematico italiano vissuto nella prima metà del '600
assonometria Cavaliera dall’alto
assonometria Cavaliera dal basso
le proiezioni assonometriche – assonometria Cavaliera militare o frontale
l'assonometria Cavaliera è un tipo di assonometria obliqua in cui uno dei tre piani del sistema di
riferimento è parallelo al piano di proiezione.
viene detta militare se il piano di proiezione è orizzontale parallelo a xy
viene detta frontale se il piano di proiezione è verticale parallelo a xz o yz
schema assonometria Cavaliera militare
schema assonometria Cavaliera frontale
le proiezioni assonometriche – assonometria Cavaliera o obliqua
facendo coincidere il piano del quadro con il piano coordinato x1 y1,
considerando i raggi proiettanti con un’inclinazione di 45°: gli assi x1 e y1 formeranno un anglo retto
e l’asse z1 assumerà una posizione verticale, tutto senza variazioni poiché, come detto, cotg di 45° = 1
con questo tipo di rappresentazione partendo da un elaborato planimetrico e semplicemente riportando le
altezze ricavate dai fronti si può velocemente sviluppare un disegno tridimensionale senza dover
procedere a calcoli di riduzione
le proiezioni assonometriche – assonometria Cavaliera, il teorema di Pohlke - Schwarz
le immagini prodotte dall'assonometria cavaliera risultano innaturali per l'occhio umano, pertanto si usa ridurre, in genere
della metà, le misure relative all'asse verticale z perpendicolare al quadro
un'assonometria cavaliera che non utilizza la riduzione, né i calcoli che questa richiede, è detta rapida.
teorema di Pohlke - Schwarz
il teorema di Pohlke asserisce che ogni tripla di vettori complanari, non allineati e di cui eventualmente uno nullo, può
essere ottenuta come proiezione di una tripla di vettori ortonormali nello spazio euclideo.
questo risultato può venire interpretato in geometria descrittiva come:
tre segmenti non allineati sul piano, aventi un estremo in comune, rappresentano sempre una proiezione di un
sistema di riferimento, con le relative riduzioni assonometriche, in pratica i tre segmenti possono essere utilizzati per
rappresentare un cubo in modo assonometricamente corretto.
le proiezioni assonometriche – assonometria Cavaliera o obliqua
partendo da una planimetria e semplicemente riportando le altezze ricavate dai fronti otterremo un
disegno tridimensionale senza dover procedere a calcoli di riduzione
ciò è senza dubbio un vantaggio nel caso di elaborati complessi
le proiezioni assonometriche – l’omologia nell’assonometria
nel caso di proiezioni parallele, l'omologia di ribaltamento è un'affinità, e poiché la proiezione è ortogonale, si tratta di
un'affinità ortogonale, avente per asse la retta txy comune al piano della figura e al quadro
i punti O e O1 sono corrispondenti e sono ancora corrispondenti le rette x e x1 e y e y1 nonché le relative coppie di punti
impropri
tra le immagini x O y e x1 O1 y1 c'è un'affinità omologica ortogonale, con asse txy e centro improprio U, punti
corrispondenti O O1
le proiezioni assonometriche – in pratica
l’assonometria è uno dei metodi più utilizzati per la rappresentazione di oggetti, spazi o architetture, sono
utili sia per la trasmissione dell’informazione anche a terzi non necessariamente “addetti ai lavori”, che per
l’indagine progettuale e lo studio delle forme.
Spesso, ad esempio, le immagini dei cataloghi di design o ancor più nel caso di elementi modulari ricorre
a questo tipo di strumento di rappresentazione.
nella pratica è conveniente prima di costruire un’assonometria con riga e squadra preparare una serie di
schizzi per stabilire quale potrebbe essere l’angolo visivo migliore per descrivere ciò che desideriamo
studiare o rappresentare
nel caso di oggetti complessi o per realizzare ideogrammi tridimensionali lo spaccato/esploso
assonometrico e/o la sezione assonometrica sono senz’altro uno dei migliori mezzi per la trasmissione
delle informazioni visive
sezioni assonometriche a vari livelli orizzontalmente o in diverse “fette” verticali di un oggetto possono
aiutarne la comprensione
A. Libera – Casa Malaparte a Capri
le proiezioni assonometriche – suggerimenti
immagini tratte da: manuale di tecniche grafiche T. Porter e S. Goodman ed. CLUP
le proiezioni assonometriche – esempio di una rappresentazione esaustiva
Mario Botta – casa a San Vitale
le proiezioni assonometriche – esempio: concept, schizzo di studio, rappresentazione finale
Cristiano Toraldo Di Francia
l’assonometria è lo sguardo con l’occhio di Dio
anonimo