Problemi dappertutto Classi seconde Scuola Primaria I.C.Bagnacavallo Scuola Elementare Berti Insegnanti: Raffella Galli e Carla Martini CHE PROBLEMA!!! Durante l’arco della classe prima, prendendo spunto da idee realizzate all’interno della mostra dei laboratori del convegno di Castel San Pietro 2005/2006, i bambini hanno registrato mensilmente su ideogrammi i giorni di scuola e di non scuola che a giugno sono stati raccolti in istogrammi su di un cartellone. A settembre il cartellone è stato terminato aggiungendo i giorni riguardanti i mesi delle vacanze e in quella occasione abbiamo chiesto ai bambini: “Cosa possiamo scoprire da questo grafico?” 25/09/06 2°C Osserviamo il grafico che abbiamo rappresentato in questi giorni dopo aver recuperato “i giorni di scuola e di non scuola” registrati sui quaderni in classe 1°. Cosa possiamo scoprire da questo grafico? Sara: quanti giorni siamo stati a scuola e quanti giorni siamo stati a casa Riccardo: eravamo in prima Sara: era un po’ di 2005 e un po’ di 2006 Riccardo e Fabio: quest’anno invece è un po’ di 2006 e poi SARÀ (hanno ripetuto e sottolineato SARÀ) un po’ di 2007 Nicole: i mesi sono andati avanti, sono di più… Allora leggiamo ad alta voce, tutti insieme, i mesi del cartellone: “Settembre, ottobre, ecc…” Alessandro: se mettiamo ancora settembre i mesi sarebbero 13, ma deve essere solo un anno! Sofia: sarebbe già seconda se mettiamo ancora settembre, (guarda la ruota dei mesi, indica e dice) “giriamo in tondo” Riccardo: i giorni sono come la ruota, quando sei a gennaio ricominci Marco: per sapere quanti sono, basta contare i giorni di scuola e di non scuola Alessandro: così possiamo anche sapere quanti giorni ci sono in un anno! Nicolas: io lo so, ci sono 365 giorni Ah, che numero… vuoi provare a scriverlo alla lavagna in cifre? Nicolas: sì, (Prima scrive 3065 poi ripete il numero ad alta voce) trecentosessantacinque (e dice) no, non è così (e scrive 365) Fabio: posso venire alla lavagna? Se quel numero fosse così (e scrive 300) non può andare 65 (e indica dopo il 300) perché diventa un altro numero non 365, un numero che non si sa neanche! Alessandro: Nicolas aveva scritto un numero formato da quattro cifre e alla lavagna scrive 1111 , invece 300 è formato da tre cifre, così e cancella un uno e rimane 111 Allora come facciamo a contarli? Marco: li contiamo giorno per giorno oppure facciamo un’operazione, va vicino al cartellone e dice 11+19 Fabio: ma trovi il mese di settembre Giulia: contiamo le colonne rosse e sono i giorni di scuola della classe 1° Selua: TUTTE quelle rosse Alex: per saper i giorni quelli di non scuola conto le colonne blu Riccardo: sommiamo tutto e troviamo i giorni che ci sono in un anno. D’accordo, cominciamo! 25/09/06 2°D Osserviamo il grafico che abbiamo rappresentato in questi giorni dopo aver recuperato “i giorni di scuola e di non scuola” registrati sui quaderni in classe 1°. Cosa possiamo scoprire da questo grafico? Alessandro: ci sono i mesi Enrico: sono TUTTI i mesi Allora leggiamo ad alta voce, tutti insieme, i mesi del cartellone: “Settembre, ottobre, ecc…” Mattia: in alcuni siamo stati sempre a casa e altri no (indica le colonne azzurre di luglio e agosto) Riccardo: sono i mesi di tutto l’anno Alessandro : tutti i quadretti sono 356, sono tutti i giorni di un anno Ah che numero!…Vuoi venire a scriverlo alla lavagna? Alessandro: sì (legge e scrive 356) Come facciamo a verificare se sono veramente 356, come dice Alessandro? Enrico: per verificare se è giusto il numero detto da Alessandro dobbiamo contare; io so che ci sono dei bambini che sanno contare fino a 100, allora facciamo così, un bambino conta fino a 100, un altro conta ancora 100 e un altro ancora 100 e siamo arrivati fino a 300 poi, direi Alessandro conta se ci sono rimasti 56 giorni Mattia: i mesi tornano sono 12, (allora li contiamo), sì, sono i mesi dell’anno Simone: possiamo anche contare tutti i numeri scritti sotto le colonne rosse ed azzurre ad esempio: 11+19+11 e così via, dobbiamo usare il + Valentina: il + permette di aggiungere i numeri Enrico: si può fare anche un altro modo, io consiglio di prendere due bambini uno conta le colonne azzurre cioè i giorni di non scuola poi un altro bambino conta le colonne rosse che sono i giorni di scuola della classe 1° Luca: dobbiamo unire tutto e fare un’operazione con il + Simone : di addizione Sukaina: troviamo un numero che sono tutti quei giorni (indica il grafico) Teresa: sono i giorni di tutto l’anno Allora si inizia! CONTRATTO DIDATTICO: “ In una situazione d’insegnamento, preparata e realizzata da un insegnante, l’allievo ha generalmente come compito quello di risolvere un problema (matematico) che gli è presentato, ma l’accesso a questo compito si fa attraverso un’interpretazione delle domande poste, delle informazioni fornite, degli obblighi imposti, che sono costanti del modo di insegnare del maestro. Queste abitudini (specifiche) del maestro attese dall’allievo ed i comportamenti dell’allievo attesi dal docente costituiscono il contratto didattico” (Brousseau, 1986), (D’Amore, 2003) Un pastore ha 8 pecore, 6 capre e 4 mucche. Quanti anni ha il pastore? RISPOSTE DATE •Il pastore ha 18 anni perché ha 8 pecore, 6 capre e 4 mucche e visto che 8+6+4=18, ha 18 anni •Il pastore ha 18 anni, perché ho messo insieme i numeri dati dalla maestra Raffaella •Il pastore ha 18 anni, ho contato i numeri scritti alla lavagna. •Raffa ma che cos’è quella cosa che hai scritto alla lavagna ce lo spieghi? (Fra le lacrime mi ha scritto: “Non capisco perché non ha senso”). •Non si può capire perché se un pastore ha 8 pecore, 6 capre e 4 mucche non si può capire quanti anni ha. •Sono 8 pecore, le ho fatte perché mi piaceva fare 8 pecore. •Il pastore ha 50 anni perché per me è vecchio. •Il pastore ha 30 anni perché il pastore è grande e ha dei bambini piccoli. Riflessione COSA SERVIVA PER RISPONDERE ALLA DOMANDA: “QUANTI ANNI HA IL PASTORE?” La maggior parte delle risposte ha dimostrato che i bambini sono fortemente legati alle richieste delle insegnanti a quadretti che tendono a soddisfare anche quando non è possibile farlo. Il lavoro che abbiamo programmato dovrà per quanto possibile tendere ad evitare questo tipo di effetto. SOTTRAZIONE ed in particolare INSIEME COMPLEMENTARE Per trovare un altro aggancio alla realtà, abbiamo incaricato i bambini a turno di completare giornalmente una tabella nella quale risultano i bambini che usufruiscono della mensa allo scopo di comunicarlo alle bidelle. SOTTRAZIONE ed in particolare DIFFERENZA Ogni bambino possiede dalla classe prima un archivio personale diviso in sezioni, una delle quali è titolata “COME SONO”. In questa sezione è contenuta una striscia di carta che documenta l’altezza, che in classe prima è stata misurata utilizzando dei cubetti incastrabili (Multilink). Ogni anno procederemo ad un confronto fra l’altezza attuale e quella dell’anno precedente . PROBLEMA : QUANTO SAREMO CRESCIUTI? Abbiamo chiesto loro come si poteva procedere per trovare la loro crescita, perciò i bambini sono andati alla ricerca di soluzioni creative. C’è stata una lunga conversazione durante la quale i bambini hanno fatto le loro proposte, che abbiamo discusso insieme e dalle quali ne abbiamo tratte tre (in ogni classe) che siamo andati a realizzare praticamente e a rappresentare sui quaderni. 1. Mettiamo le strisce stese, una vicino all’altra, misuriamo la striscia vecchia con i cubetti e poi aggiungiamo i cubetti che mancano per arrivare a quella nuova, contiamo i cubetti che aggiungo e poi per sapere quanto è lunga la striscia nuova faccio ad esempio 67+5=72. 2. Prendiamo le due strisce, le mettiamo una sopra l’altra, metto i cubetti sul pezzo di striscia nuova “che siamo cresciuti”, li conto e per sapere quanto misura la striscia nuova li aggiungo al numero di cubetti della striscia dell’anno scorso. Ad esempio se ero 67 e ho coperto con 5 cubetti il pezzo nuovo faccio 67+5=72 3. Mettiamo le strisce una sopra l’altra, poi pieghiamo le parte di carta “che siamo cresciuti” e lo misuriamo con i cubetti, poi per sapere quanto siamo alti quest’anno facciamo così. Se il pezzetto è 3 e prima eravamo 66, facciamo 66+3=69. 4. Usiamo la linea dei numeri, prima misuriamo la striscia nuova poi confrontiamo con la vecchia e contiamo quanto manca dalla vecchia per arrivare alla nuova ad esempio se la vecchia era 66 vado avanti fino a 69, quindi sono cresciuto di 3 cubetti. Ognuna delle proposte di soluzione porta ad una rappresentazione di tipo additivo, che noi ovviamente abbiamo accettato. Noi insegnanti abbiamo inventato alcuni indovinelli,per verificare in itinere le competenze raggiunte. La consegna era: DECIDI SE PUOI RISPONDERE. SE PUOI FARLO, RAPPRESENTA LA RISPOSTA COME VUOI: DISEGNO, NUMERI, GRAFICO O ALTRO. Esempio: Alberto ha un pacchetto con 15 figurine; Marco ne ha uno con 10. Quante figurine ha in meno Marco? NON POSSO RISPONDERE POSSO RISPONDERE Marta ha 12 biro colorate e Stefania ne ha 20. Dimmi quante biro ha in più Carla. NON POSSO RISPONDERE POSSO RISPONDERE Sono stati proposti a coppie poi corretti insieme. I bambini a piccolo gruppo inventano e risolvono degli indovinelli POSSIBILI E NON. L’attenzione è volta ad individuare CHE COSA SERVE PER RISPONDERE ALLA DOMANDA? SE HO CIÒ CHE MI SERVE, POSSO RISPONDERE. Esempio: Ernesto ha 3 carte e Alessandro ne ha 9. Ernesto quante carte ha in meno? NON POSSO RISPONDERE POSSO RISPONDERE CHE COSA SERVE? Servono le carte di Ernesto che sono 3 e le carte di Alessandro che sono 9. Martina ha 10 caramelle e Luca ne ha 5. Quante caramelle ha Sabrina? NON POSSO RISPONDERE POSSO RISPONDERE CHE COSA SERVE? Ci serve che al posto di uno dei due ci sia Sabrina. I bambini hanno inventato a piccoli gruppi degli indovinelli “possibili” e non, che poi abbiamo utilizzato come verifica, scambiando fra loro le diverse produzioni. Ogni qualvolta si presentava una situazione motivante, abbiamo cercato di sfruttarla per proseguire il nostro percorso. Le lezioni di Scienze Motorie hanno rappresentato e rappresentano sempre un valido supporto altamente coinvolgente per le attività “matematiche”. “GIOCHI IN PALESTRA” Abbiamo costruito una tabella che gli alunni dovevano completare inserendo i punteggi realizzati nei giochi proposti e i relativi titoli: inserire tabella. “IL VERSO DEGLI ANIMALI” “CERCO CASA” “SCAPPA CHE TI PRENDO” “TORELLO” I bambini erano suddivisi in due squadre Gialli e Rossi. Ci siamo interrogati su quali domande potevano scaturire da questa situazione: Chi ha vinto? Quanti punti in più la squadra che ha vinto? Quanti punti in meno la squadra che ha perso? Quanti punti di differenza? Hanno proposto di risolvere con il disegno e poi abbiamo provato a formalizzare con l’operazione. “GARE IN PALESTRA” Questa volta abbiamo dato noi la tabella già completa e i bambini, in gruppo, dovevano scrivere la storia-indovinello che raccontava quelle gare per scoprire chi aveva vinto ed in seguito i punti di differenza. Esempio: Noi bambini di 2°C siamo andati in palestra e abbiamo fatto 5 giochi divertenti, abbiamo totalizzato questi punteggi: ROSSI 10, 10, 13, 7, 9. GIALLI 8, 9, 11, 9, 9. Quale squadra ha vinto? “IL GIOCO DELLE GALLINE” I bambini divisi in tre squadre: GIALLI, ROSSI e BLU, il gioco consisteva nel rubare le uova alle galline senza farsi prendere dai guardiani e lo abbiamo eseguito 10 volte. I bambini inizialmente hanno sommato le uova rubate di ogni squadra e poi hanno calcolato le varie differenze di punteggio. Il lavoro è stato svolto collettivamente. Verifica finale del lavoro relativo agli ESERCIZI nell’ottica del contratto didattico La mia matita è lunga 12 cm e la tua 15. Quanti cm in meno è la tua matita? A (18) B (20) C (19) D (18) “NON POSSO RISPONDERE” (MOTIVATE) 4 5 10 7 “NON POSSO RISPONDERE” (NON MOTIVATO) 11 9 1 - TOTALE ESATTI 15 (83%) 14 (70,0%) 11(58%) 7(39%) “POSSO RISPONDERE” 15 – 12 = 3 1 4 7 8 “POSSO RISPONDERE” 15 + 12 = 27 - 2 - 1 “POSSO RISPONDERE” 15 - 3 = 12 - - - 1 2 - 1 - 3 (17%) 6 (30,0%) 8 (42%) 1 11(61,%) NIENTE RISPOSTA INCOMPRENSIBILE TOTALE ERRATI Nel mio astuccio ci sono 13 pennarelli grossi e 10 sottili. Quanti ne ho? 13 + 10 = 23 RAPPRESENTAZIONE GRAFICA HANNO RACCONTATO LA STRATEGIA DI CALCOLO TOT.ESATTI 13 – 10 = 3 NON SI PUO’FARE TOT. ERRATI A (18) B (20) C (19) D (18) 11 2 5 18 (100%) 0 (0%) 17 17(85%) 2 1 3 (15%) 16 1 17(89%) 2 2 (11%) 15 15 (83%) 3 3 (17%) Nel laghetto nuotano 8 anitre e 9 cigni. Al passaggio di una rana alcuni uccelli spaventati volano via. Quanti ne restano? A (18) B (20) C (19) D (18) “NON POSSO RISPONDERE” (MOTIVATE) 6 5 15 12 “NON POSSO RISPONDERE” (NON MOTIVATO) 10 13 1 - 16 (89%) 1 1 2 (11%) 18(90%) 1 1 2 (10%) 16(84%) 3 3 (16%) 12(67%) 4 1 1 6 (33%) TOTALE ESATTI 9 – 8 = 1 9 + 8 = 17 RISPOSTA INCOMPRENSIBILE NON HA RISPOSTO TOTALE ERRATI Giorgio ha 10 anni e suo cugino ne ha 17. Quanti anni ha in più suo cugino? A (18) B (20) C (19) D (18) 17 – 10 = 7 1 13 10 14 10 + 7 = 17 7 1 1 - 10 + 17 = 7 2 4 14 (78%) 1 2 17(85%) 6 17(89%) - 7 SENZA OPERAZIONI HO CONTATO DA 10 A 17 TOTALE ESATTI 14 (78%) 10 + 7 = 17 10 + 17 = 27 INCOMPRENSIBILE NON SI PUO’ FARE TOTALE ERRATI A (18) B (20) C (19) D (18) - - 1 1 1 1 1 1 3 1 1 - 2 4 (22%) 3 (15%) 2 (11%) 4 (22%) Una collezione completa di puffi è composta da 20 pupazzetti. Se Nicola ne ha 11, quanti gliene mancano? A (18) B (20) C (19) D (18) 20 – 11 = 9 1 11 9 13 Hanno “contato a partire da 11 per arrivare a 20” = 9 - 2 - - 5 9 15 (83%) 1 1 1 3 (17%) 2 2 17(85%) 1 2 3 (15%) 7 1 17(89%) 1 1 2 (11%) 1 1 15(83%) 1 2 3 (17%) 9 11 + 9 = 20 TOTALE ESATTI 20 + 11 = 31 NON SI PUO’ NIENTE INCOMPRENSIBILE TOTALE ERRATI Abbiamo proposto ai bambini due situazioni problematiche LUCA, MARIA E PAOLA VANNO AL CINEMA, IL BIGLIETTO COSTA 7 EURO. LUCA HA 6 EURO, MARIA HA 10 EURO, PAOLA HA 7 EURO POSSONO ENTRARE TUTTI E TRE? COME RISOLVERESTI QUESTO PROBLEMA? PROVA A SPIEGARE LA TUA IDEA. ENTRANO TUTTI E TRE A (18) B (20) C (19) D (18) MARIA PRESTA 1 € 5 12 13 11 METTONO INSIEME I SOLDINI - 2 3 1 CAMBIA I SOLDI . . . - - - 1 SPIEGAZIONE INCOMPLETA - 2 - - SENZA SPIEGAZIONE - - 1 - ESATTI 5 (28%) 16 (80%) 17 (89%) 13 (72%) A (18) B (20) C (19) D (18) NON POSSONO ENTRARE - 1 - - PUO’ ENTRARE SOLO PAOLA 7 1 - 4 POSSONO ENTRARE PAOLA E MARIA 3 1 2 1 NIENTE - 1 - - NON POSSIAMO RISPONDERE 3 - - - ERRATE 13 (72%) 4 (20%) 2 (11%) 5 (28%) IN 2° B CI SONO 21 ALUNNI. DURANTE L’INTERVALLO DOPO PRANZO 8 DI LORO VORREBBE VEDERE UN FILM IN CASSETTA, 10 VORREBBERO ANDARE A GIOCARE FUORI E PER GLI ALTRI VA BENE QUALSIASI COSA. QUANTI SONO I BAMBINI CHE STAREBBERO BENE SIA IN GIARDINO CHE A VEDERE LA TV? COME HAI FATTO? A (18) B (20) C (19) D (18) 21 – 18 = 3 - - 1 - SOTTRAZIONE RIPETUTA 21 – 8 – 10 = 3 - 3 8 6 10 + 8 = 18 18 + 3 = 21 18 + 8 + 3 = 21 DA 18 A 21 E’ 3 8 3 1 4 21 – 3 = 18 - 1 - - 3 4 1 - 4 ESATTI 12 (67%) 8 (40%) 10 (53%) 14 (78%) A (18) B (20) C (19) D (18) 10 – 8 = 2 - 3 2 1 21 + 8 = 29 1 - - - 21 + 8 + 10 = 39 - 4 1 - NON POSSO ROSPONDERE 4 1 - 1 NIENTE - 1 - - 8 + 10 = 18 1 2 1 12 (60%) 2 3 1 2 9 (47%) 4 (22%) 21 – 8 = 13 21 – 10 = 11 INCOMPRENSIBILE 6 (33%) Avremo compiuto qualche passo avanti nell’intento di…? Smantellare il contratto didattico. Rendere critici i bambini di fronte a diversi tipi di testi problematici. Portarli ad interrogarsi continuamente durante il percorso di soluzione anche rispetto al risultato finale. Renderli più sicuri nell’esecuzione degli esercizi. Mettere in gioco la loro creatività nella ricerca di soluzioni di fronte alle varie situazioni problematiche.