STEREOMETRIA
STEREOS: SOLIDO
METRIA: MISURAZIONE
Postulati di appartenenza
A1 : una retta r contiene almeno due punti
A2 : tre punti appartengono ad uno e un
solo piano
A3 : Se due punti appartengono ad un
piano, l’intera retta passante per tali punti
appartiene al piano
A4 : Non tutti i punti appartengono allo
stesso piano
GEOMETRIA SOLIDA
Mutua posizione
di rette nello spazio
Rette incidenti: hanno un punto in comune.
Due rette incidenti sono complanari e il loro
piano è unico.
Rette parallele: appartenenti allo stesso
piano e ivi parallele
Rette sghembe: quattro punti non complanari
individuano rette sghembe, cioè rette non aventi
punti in comune e non appartenenti al medesimo
piano.
Mutua posizione di piani
Piani incidenti: hanno in comune una retta
che è detta intersezione dei due piani
Piani paralleli: non hanno alcun punto in
comune o sono coincidenti
FASCIO DI PIANI: INSIEME DI PIANI PASSANTI
PER UNA STESSA RETTA
STELLA DI RETTE : INSIEMI DI RETTE
PASSANTIPER UN PUNTO
Perpendicolarità tra rette e piani
Teorema
Se una retta (r) è perpendicolare a altre due (t e s), passanti per un medesimo
punto P, allora essa è perpendicolare ad ogni altra retta del loro fascio (p),
ma a nessun altra retta della loro stella (d).
r
d
π
t
P
s
p
Definizioni
Una retta è perpendicolare ad un piano quando incontrandolo è perpendicolare
ad ogni retta passante per quel punto e appartenente al piano(r perpendicolare a π)
Una retta che incontra il piano senza essergli perpendicolare si dice obliqua
rispetto al piano (d obliqua a π)
Si dice distanza di un punto da un piano il segmento di perpendicolare condotto dal
punto al piano
r
d
π
t
P
s
p
Teorema delle tre perpendicolari
Se una retta r è perpendicolare ad un piano α in un punto P e da questo
si conduce una retta s perpendicolare ad una retta t di α, questa è
perpendicolare al piano β individuato da r e da s.
r
β
A
C
P
α
B
s
t
H
H intersezione tra s e t
Prendiamo A su r
Prendiamo B e C su t tali che HB = HC
 PHB e PHC congruenti  PB=PC
 APB e APC congruenti  AB=AC
ABC isoscele
AH mediana  AH altezza
 t è perpendicolare a AH e PH, ovvero a β generato da esse
Angolo diedro
L’angolo diedro è ciascuna delle due parti nelle quali lo spazio viene diviso
da due semipiani aventi l’origine in comune
Angolo diedro convesso
Spigolo
Faccia
Sezione normale
Angolo piano ottenuto
intersecando un angolo diedro
con un piano perpendicolare
allo spigolo
Le sezioni normali di uno
stesso diedro sono
congruenti


Due angoli diedri si dicono
congruenti quando sono
congruenti le loro sezioni
normali
Si può definire ampiezza di
un angolo diedro l’ampiezza
dell’angolo piano , sua
sezione normale
Due piani si dicono perpendicolari quando
incontrandosi formano angoli diedri retti
Se due piani sono perpendicolari , ogni retta dell’uno, che sia
perpendicolare alla loro intersezione, è perpendicolare anche
all’altro
Se una retta è perpendicolare ad un piano α, tutti i piani che
la contengono sono perpendicolari al piano α
ANGOLOIDI
Definizione: Si consideri un poligono p e un punto V non appartenente ad esso.
Si definisce angoloide la figura determinata da tutte le semirette aventi origine in V e
passanti per i punti del poligono.
• V si chiama vertice
• Le semirette passanti per i vertici del poligono si dicono spigoli
• Gli angoli formati da due spigoli consecutivi si chiamano facce
V
Si può pensare come intersezione di più diedri
p
V
Esempio: Triedro
E’ un angoloide con tre facce
Triedro è l’intersezione
tra tre diedri
a
c
b
Faccia
In un angoloide la somma delle facce è minore di un angolo giro
B
A
V
C
POLIEDRI
Definizione Un poliedro è una figura intersezione di più semispazi.
Il suo confine è rappresentato da almeno quattro poligoni, detti facce.
Ogni spigolo individua un diedro e un vertice un angoloide
( Può essere pensato come l’intersezione di più angoloidi)
Un poliedro prende il nome dal numero di facce
4 Tetraedro
5 Pentaedro
6 Esaedro
8 Ottaedro
12 dodecaedro
20 icosaedro
Formula di Eulero
f = numero facce
s = numero spigoli
v = numero vertici
Esempio: pentaedro
f=5
s=8
v=5
f+v=s+2
Classificazione
POLIEDRI
POLIEDRI REGOLARI
PRISMI
PIRAMIDI
CUBI
TETRAEDRI
REGOLARI
POLIEDRI REGOLARI
Definizione: Solido convesso
avente come facce poligoni
regolari tutti uguali fra loro
TETRAEDRO
OTTAEDRO
ESAEDRO (CUBO)
DODECAEDRO
ICOSAEDRO
PIRAMIDI
Definizione: Consideriamo un angoloide di vertice V ed un piano π
non passante per V che incontra tutti i suoi spigoli. Si dice piramide
l’intersezione del semispazio individuato dal piano π e contenente V
con l’angoloide.
Base: poligono intersezione tra angoloide e piano
Altezza: distanza vertice V dal piano della base
Piramide retta: ha per base un poligono circoscrittibile ad una
circonferenza il cui centro è il piede dell’altezza
Piramide retta regolare: la base è un poligono regolare
Apotema di una piramide retta: altezza di una faccia. Congiunge V con i
punti di tangenza dei lati di base con la circonferenza. E’ uguale in tutte
le facce.
Tetraedro regolare : poliedro regolare
PRISMI
Superficie prismatica: insieme delle rette aventi la direzione fissata
passanti per i punti dei lati di un poligono fissato.
Prisma indefinito: parte di spazio delimitato da una superficie
prismatica
Prisma è la parte di prisma indefinito delimitato da una coppia di
piani paralleli
Basi : poligoni individuati dai due piani paralleli
Facce laterali : parallelogrammi che delimitano il prisma
Altezza: distanza tra i piani delle basi
Prisma retto: gli spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle basi
Prisma retto regolare: i poligoni di base sono poligoni regolari.
Cubo:
Poliedro regolare
SOLIDI di ROTAZIONE
Sono i solidi che si ottengono dalla rotazione di 360° di una figura
piana attorno ad una retta
 CILINDRO – rotazione di un rettangolo
CONO – rotazione di un triangolo rettangolo
SFERA – rotazione di una semicirconferenza
Le sezioni ottenute tagliando il solido con un piano perpendicolare alla figura
piana che ha dato origine al solido stesso sono tutte circonferenze.