PREMESSE DELL’ANALISI INFINETISIMALE
LE PREMESSE DELL’ANALISI INFINETISIMALE
Insiemi numerici e insiemi di punti
Un insieme i cui elementi sono numeri reali è chiamato insieme numerico.
Detto R l’insieme dei numeri reali e data una retta orientata r, è noto che,
stabilita un’unità di misura e un’origine O su r, a ogni numero reale si può
associare un punto di r e viceversa;
si puo’ cioè stabilire una corrispondenza biunivoca tra R e r. La retta r
viene chiamata, per quanto appena detto, retta reale.
In base a questa corrispondenza è possibile parlare indifferentemente di
insieme numerico o di insieme di punti su r, ossia è lecito ‘‘confondere’’ i punti di
r con i numeri reali a essi corrispondenti e viceversa; in altre parole è
possibile identificare un insieme numerico con la sua ‘‘immagine
geometrica’’ su r.
Per tale motivo un insieme numerico verrà anche chiamato insieme lineare
di punti e i suoi elementi sono quindi, indistintamente, numeri o punti della
retta reale.
LE PREMESSE DELL’ANALISI INFINETISIMALE
La topologia della retta reale
LE PREMESSE DELL’ANALISI INFINETISIMALE
LE PREMESSE DELL’ANALISI INFINETISIMALE
LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI
E LA LORO COMPOSIZIONE
LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE
1. LE FUNZIONI INIETTIVE, SURIETTIVE E BIIETTIVE
DEFINIZIONE
Funzione iniettiva, funzione suriettiva, funzione biiettiva (o biunivoca)
Una funzione da A a B si dice:
- iniettiva se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A;
- suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A;
- biiettiva (o biunivoca) se è sia iniettiva sia suriettiva.
ESEMPIO
ESEMPIO
y = 2x -1
y = – x2 + 4
- Suriettiva se
- Suriettiva
- Iniettiva
- Biiettiva
- Non iniettiva se
)
LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE
2. LE FUNZIONI CRESCENTI, LE FUNZIONI
DECRESCENTI, LE FUNZIONI MONOTÒNE
DEFINIZIONE
Funzione crescente
Una funzione y = f (x) di dominio
si dice crescente in senso stretto in un
intervallo I, sottoinsieme di D,
se, comunque scelti x1 e x2 appartenenti
a I, con x1 < x2,
risulta f (x1) < f (x2).
ESEMPIO
y = x2 – 4
Crescente in
Funzione non decrescente
Se, invece di f (x1) < f (x2), vale
la funzione è crescente in senso lato
o non decrescente.
LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE
2. LE FUNZIONI CRESCENTI, LE FUNZIONI
DECRESCENTI, LE FUNZIONI MONOTÒNE
DEFINIZIONE
Funzione decrescente
Una funzione y = f (x) di dominio
si dice decrescente in senso stretto in un
intervallo I, sottoinsieme di D,
se, comunque scelti x1 e x2 appartenenti
a I, con x1 < x2,
risulta f (x1) > f (x2).
ESEMPIO
Funzione non crescente
Se, invece di f (x1) > f (x2), vale
la funzione è decrescente in senso lato
o non crescente.
Decrescente in
Non crescente in R
LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE
2. LE FUNZIONI CRESCENTI, LE FUNZIONI
DECRESCENTI, LE FUNZIONI MONOTÒNE
DEFINIZIONE
Funzione monotona
Una funzione di dominio
si dice
monotòna in senso stretto in un intervallo
I, sottoinsieme di D,
se, in quell’intervallo è sempre crescente
o sempre decrescente in senso stretto.
Funzione monotòna crescente in I
Funzione monotòna decrescente in I
LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE
3. LE FUNZIONI PERIODICHE
DEFINIZIONE
Funzione periodica
Una funzione y = f (x) si dice periodica di
periodo T, con T > 0,
se, per qualsiasi numero k intero,
si ha:
f(x) = f(x + kT).
ESEMPIO
y = sen (x) è periodica di periodo 2p
perché sen (x) = sen (x + 2kp).
y = tg (x) è periodica di periodo p
perché
tg (x) = tg (x + kp).
LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE
3. LE FUNZIONI PARI E LE FUNZIONI DISPARI
DEFINIZIONE
Funzione pari
Indichiamo con D un sottoinsieme di R tale che, se
, allora
.
Una funzione y = f (x) si dice pari in D se f (–x) = f (x) per qualunque x
appartenente a D.
ESEMPIO
f (x) = 2x4 – 1
f (– x) = 2(– x)4 – 1
= 2x4 – 1 = f (x)
f è pari.
LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE
3. LE FUNZIONI PARI E LE FUNZIONI DISPARI
DEFINIZIONE
Funzione dispari
Indichiamo con D un sottoinsieme di R tale che, se
, allora
.
Una funzione y = f (x) si dice dispari in D se f (–x) = – f (x) per qualunque
x appartenente a D.
ESEMPIO
f (x) = x3 + x
f (– x) = (– x)3 + (– x)
= – x3 – x = – f (x)
f è dispari.
LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE
4. LA FUNZIONE INVERSA
DEFINIZIONE
Funzione inversa
Data la funzione biiettiva f da A a B,
la funzione inversa di f è la
funzione biiettiva f –1 da B ad A
che associa a ogni y di B il valore
x di A tale che y = f (x).
Data una funzione biiettiva reale di
variabile reale y = f(x),
disegnare il grafico di f –1 equivale a
partire dalle ordinate di f e ricavare le
ascisse.
Ordinate e ascisse si scambiano i ruoli.
Il grafici di f e di f –1 sono simmetrici
rispetto alla bisettrice del I e III quadrante.
LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE
4. LA FUNZIONE INVERSA
La funzione esponenziale e la funzione logarimica
LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE
4. LA FUNZIONE INVERSA
La funzione
arcoseno
La funzione
arcocoseno
La funzione
arcotangente
La funzione
arcocotangente
LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE
5. LE FUNZIONI COMPOSTE
Le funzioni composte
Date le due funzioni
e
, con
o y = g (f (x))
indichiamo la funzione, detta funzione
composta, da A a C che si ottiene
associando a ogni x di A l’immagine
mediante g dell’immagine di x mediante f.
ESEMPIO
Consideriamo:
f (x) = x2,
g(x) = x + 1.
Otteniamo:
La composizione NON è commutativa.
LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE
6. ESERCIZI: LE FUNZIONI COMPOSTE
LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE
DOMINIO DI UNA FUNZIONE y=f(x)
LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE
LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE
LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE
LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE
LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE
LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE
LA DEFINIZIONE
DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO
LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO
1. LA DEFINIZIONE
Quando x si avvicina a x0,
f(x) si avvicina a f(x0)
o a un altro valore reale l ?
Quando x
si avvicina a x0,
f(x) si avvicina a
un valore l che è
proprio f(x0).
x0 non appartiene
al campo di
esistenza.
Quando x si
avvicina a 0 la
funzione oscilla
indefinitamente.
Quando x
si avvicina a x0,
f(x) si avvicina a
un valore l che
non è f(x0).
f(x) non si avvicina
ad alcun valore
determinato.
LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO
1. LA DEFINIZIONE
ESEMPIO
La condizione per avere
Cosideriamo la funzione:
è
.
Che cosa succede ai valori di f(x)
quando x si avvicina a 3?
x
2,9
2,99
2,999
2,9999
f(x)
5,8
5,98
5,998
5,9998
x
3,1
3,01
3,001
3,0001
6
f(x)
6,2
6,02
6,002
6,0002
Cioè, per ogni
numero reale
positivo e,
se
,
allora
.
|f(x) – 6| < e
|x – 3| <
.
LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO
1. LA DEFINIZIONE
DEFINIZIONE
Limite finito per x che tende a x0
Si dice che la funzione f (x) ha per limite
il numero reale l per x che tende a x0,
e si scrive
,
quando, comunque si scelga un numero
reale positivo f, si può determinare un
intorno completo I di x0 tale che risulti
per ogni x appartenente a I, diverso (al
più) da x0.
In simboli
.
LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO
2. IL SIGNIFICATO DELLA DEFINIZIONE
Qual è il significato intuitivo
della definizione?
L’esistenza del limite assicura che:
se x si avvicina indefinitamente a x0,
f(x) si avvicina indefinitamente a l .
In simboli
Fissiamo
Se riduciamo
e > 0.
e, Individuiamo
troviamo un intorno
un intorno
di x0I di
piùx0
tale
piccolo.
che
per ogni
.
.
LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO
3. LA VERIFICA
ESEMPIO
Verifichiamo che
.
Per ogni e troviamo l’insieme dei valori
di x che soddisfano la condizione
e verifichiamo che contenga un intorno
di 2.
Quindi
cioè
,
da cui si ricava
.
In temini di intervalli:
,
che è un intorno di 2.
LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO
4. LE FUNZIONI CONTINUE
DEFINIZIONE
Funzioni continue in intervalli reali
Una funzione f è continua in x0
se x0 appartiene al dominio di f
e il limite in x0 coincide con f(x0),
cioè:
La funzione costante
f(x) = k, continua in tutto R.
.
La funzione polinomiale
f(x) = a0xn + a1xn-1+…+an-1x+an, continua in tutto R.
La funzione radice quadrata
, continua in R+ U {0}.
DEFINIZIONE
Una funzione f è continua nel suo
dominio D, se è continua in ogni punto
di D.
Se una funzione è continua in un punto,
il valore del limite in quel punto è
semplicemente il valore della funzione.
Le funzioni goniometriche (esempi)
f(x) = sen(x), continua in tutto R.
f(x) = cotg(x), continua in R – {kp,
}.
La funzione esponenziale
f(x) = ax, con a > 0, continua in tutto R.
La funzione logartimica
f(x) = logax, con a > 0,
, continua in R+.
LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO
5. IL LIMITE PER ECCESSO E IL LIMITE PER DIFETTO
DEFINIZIONE
ESEMPIO
Se la funzione f è tale che
Verifichiamo che
e assume, in un intorno di x0, sempre
valori maggiori di l,
si dice che f(x) tende a l per eccesso
e si scrive:
Fissato e > 0, cerchiamo le x per cui
0 < (4x2 – 3) – (–3) < e ,
ossia
0 < 4x2 < e .
.
.
La prima relazione, 0 < 4x2, dà
.
2
La seconda, 4x < e , è soddisfatta per
.
Se x si avvicina indefinitamente a x0,
f(x) si avvicina indefinitamente a l, ma
da valori maggiori.
IlLa
limite
funzione
esistetende
e valea3.
3
Inoltre, in da
un valori
intorno
digrandi.
0 (lo 0
più
escluso) la funzione assume
sempre valori maggiori di 3.
LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO
5. IL LIMITE PER ECCESSO E IL LIMITE PER DIFETTO
DEFINIZIONE
Se la funzione f è tale che
e assume, in un intorno di x0, sempre
valori minori di l,
si dice che f(x) tende a l per difetto
e si scrive:
.
Se x si avvicina indefinitamente a x0,
f(x) si avvicina indefinitamente a l, ma
da valori minori.
LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO
6. IL LIMITE DESTRO E IL LIMITE SINISTRO
DEFINIZIONE
DEFINIZIONE
Si scrive
Si scrive
e si dice che l è il limite destro di f in
x0, se soddisfa una speciale condizione
di limite applicata agli intorni destri di x0.
e si dice che l è il limite sinistro di f in
x0, se soddisfa una speciale condizione
di limite applicata agli intorni sinistri di
x0.
A differenza della definizione standard
di limite, la disuguaglianza
deve essere soddisfatta nell’intorno
destro di x0,
.
Se x si avvicina indefinitamente a x0 da
valori più grandi, f(x) si avvicina
indefinitamente a l.
A differenza della definizione standard
di limite, la disuguaglianza
deve essere soddisfatta nell’intorno
sinistro di x0,
.
Se x si avvicina indefinitamente a x0 da
valori più piccoli, f(x) si avvicina
indefinitamente a l.
LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO
6. IL LIMITE DESTRO E IL LIMITE SINISTRO
ESEMPIO
Consideriamo la funzione
Limite destro
Verifichiamo se |f(x) – 3| < e è
soddisfatta in un intorno destro di 1.
e verifichiamo che
,
.
| (2x + 1) – 3 | < e
- e < 2x – 2 < e
Soddisfatta in
.
Limite sinistro
Verifichiamo se |f(x) – 2| < e è
soddisfatta in un intorno sinistro di 1.
| (3x – 1) – 2 | < e
- e < 3x – 3 < e
Soddisfatta in
.
ma
LE FUNZIONI
CONTINUE
LE FUNZIONI CONTINUE
1. STESSO LIMITE, VALORI DIVERSI
Le due funzioni hanno lo stesso limite per x che tende a x0 = 1.
Il valore del limite è l = 2.
Nel primo caso il valore del limite coincide con quello della funzione in x0 :
Nel secondo caso il valore di f non coincide con quello del limite.
La prima funzione è continua in x = 1, la seconda è discontinua.
f(x0) = l.
LE FUNZIONI CONTINUE
2. LA DEFINIZIONE DI FUNZIONE CONTINUA
DEFINIZIONE
Funzione continua in un punto
Siano f(x) una funzione definita in un
intervallo [a; b] e x0 un punto interno
all’intervallo. La funzione f(x) si dice
continua nel punto x0 quando esiste il
limite di f(x) per
e tale limite è
uguale al valore f(x0) della funzione
calcolata in x0 :
.
ESEMPIO
y = 1 – x4 è continua in x0 = 2,
non è continua in x0 = 1.
Se una funzione è continua in un
punto, allora il valore del limite in quel
punto è semplicemente il valore della
funzione.
LE FUNZIONI CONTINUE
2. LA DEFINIZIONE DI FUNZIONE CONTINUA
DEFINIZIONE
DEFINIZIONE
f(x) è continua a destra in x0, se f(x0)
coincide con il limite destro di f(x)
per x che tende a x0 :
Funzione continua in un
intervallo
Una funzione definita in [a; b] si
dice continua nell’intervallo [a; b]
se è continua in ogni punto
dell’intervallo.
.
DEFINIZIONE
f(x) è continua a sinistra in x0, se f(x0)
coincide con il limite sinistro di f(x)
per x che tende a x0 :
.
Una funzione può essere definita
continua anche negli estremi
dell’intervallo di definizione [a; b].
ESEMPIO
La funzione
non è continua in x0 = 1,
non è continua nell’intervallo [0;1],
ma è continua nell’intervallo [1;2].
LE FUNZIONI CONTINUE
3. LA CONTINUITÀ DELLE FUNZIONI COMPOSTE
Data una funzione composta y = g(f(x)) , si può dimostrare che,
allora anche y = g(f(x)) è continua in x0.
se f è continua in x0, e g in f(x0),
ESEMPIO
y = sen 4x è composta da
Anche g(f(x)) = sen 4x è continua in R.
Ad esempio,
z = f(x) = 4x, continua in R,
y = g(z) = sen z, continua in R.
.
LE FUNZIONI CONTINUE
4. I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE
DEFINIZIONE
Teorema di Weierstrass
Se f è una funzione continua in un
intervallo limitato e chiuso [a; b],
allora essa assume, in tale intervallo,
il massimo assoluto e il minimo
assoluto.
Controesempi
Funzione continua in
]2;5[, [1;3]
tutto
nell’intervallo
intervallo
tranne
illimitato
aperto.
x = 2.
[1;
[.
Non possiede
minimo
un
Possiede
un massimo
massimo ma
assoluto
assoluto,
non un
massimo.
né un minimo assoluto.
minimo.
LE FUNZIONI CONTINUE
4. I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE
DEFINIZIONE
Teorema dei valori intermedi
Se f è una funzione continua in un
intervallo limitato e chiuso [a; b],
allora essa assume, almeno una
volta, tutti i valori compresi tra il
massimo e il minimo.
LE FUNZIONI CONTINUE
4. I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE
DEFINIZIONE
Teorema di esistenza degli zeri
Se f è una funzione continua in un
intervallo limitato e chiuso [a; b], e
negli estremi di tale intervallo
assume valori di segno opposto,
allora esiste almeno un punto c,
interno all’intervallo, in cui f si
annulla.
Controesempi
discontinua
Funzione continua
in tutto
nell’estremo
[–4;3]
trannesinistro
x = –1.x = 1.
Non possiede uno zero.
LE FUNZIONI CONTINUE
5. ESERCIZI: I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE
LE FUNZIONI CONTINUE
5. ESERCIZI: I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE
LA DERIVATA
DI UNA FUNZIONE
LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
1. IL PROBLEMA DELLA TANGENTE
Come si determina la retta tangente a
una curva in un punto P ?
Per una circonferenza, la tangente è la retta
che interseca la curva solo in P.
Ma, in generale, questa definizione non basta.
La tangente dipende dalle proprietà locali della curva in un intorno di P.
DEFINIZIONE
Retta tangente a una curva
La retta tangente t a una curva in un
punto P è la posizione limite, se esiste,
della secante PQ al tendere (sia da
destra sia da sinistra) di Q a P.
LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
2. IL RAPPORTO INCREMENTALE
DEFINIZIONE
Rapporto incrementale
Dati una funzione y = f (x), definita in
un intervallo [a; b] , e due numeri reali
c e c + h interni all’intervallo,
si chiama rapporto incrementale
di f (relativo a c) il numero:
.
Il rapporto incrementale di f relativo a c è il coefficiente angolare della retta
passante per A e B.
LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
2. IL RAPPORTO INCREMENTALE
ESEMPIO
Data la funzione
y = f(x) = 2x2 – 3x ,
e fissati il punto A di ascissa 1
e un incremento h,
determiniamo il rapporto incrementale.
f (1 + h) = 2(1 + h)2 – 3(1 + h) =
= 2(1 + 2h + h2) – 3 – 3h =
= 2 + 4h + 2 h2 – 3 – 3h =
= – 1 + h + 2 h2 ,
f (1) = – 1 ,
.
LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
3. LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
DEFINIZIONE
Derivata di una funzione
Data una funzione y = f (x), definita in
un intervallo [a; b],
si chiama derivata della funzione nel
punto c interno all’intervallo, e si
indica con f ' (c),
il limite, se esiste ed è finito, per h che
tende a 0, del rapporto incrementale di
f relativo a c:
.
La derivata di una funzione in un punto c rappresenta il coefficiente angolare
della retta tangente al grafico della funzione nel suo punto di ascissa c.
LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
3. LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
Condizione di esistenza della
derivata
La derivata di f esiste in c se:
- la funzione è definita in un intorno di c;
- esiste il limite del rapporto
incrementale per h tendente a 0;
- il limite è un numero finito.
Rapporto incrementale e derivata
Nel processo di limite il rapporto
incrementale diventa il coefficiente
angolare della retta tangente.
LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
4. CALCOLO DELLA DERIVATA
ESEMPIO
ESEMPIO
Calcoliamo il valore della derivata
della funzione:
y = x2 – x
in x = 3.
Calcoliamo la funzione derivata della
funzione:
y = 4x2 .
.
.
.
.
LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
5. LA DERIVATA SINISTRA E LA DERIVATA DESTRA
DEFINIZIONE
ESEMPIO
Derivata sinistra
La derivata sinistra di una funzione in
un punto c è
.
Calcoliamo le derivate destra e sinistra
della funzione:
y = |x|
nel punto x = 0.
,
DEFINIZIONE
Derivata destra
La derivata destra di una funzione in un
punto c è
.
Una funzione è derivabile in c se la
derivata destra e la derivata sinistra
esistono in c e sono uguali.
.
I valori non coincidono:
la derivata completa non è definita in 0.
LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
5. LA DERIVATA SINISTRA E LA DERIVATA DESTRA
DEFINIZIONE
Funzione derivabile in un intervallo
Una funzione y = f (x) è derivabile in un
intervallo chiuso [a; b]
se è derivabile in tutti i punti interni di
[a; b]
e se esistono e sono finite la derivata
destra in a e la derivata sinistra in b.
ESEMPIO
Riprendiamo la funzione
e verifichiamo la derivabilità in
y = |x|
[0; 2] .
Dal calcolo precedente, sappiamo che
esiste la derivata destra in 0;
nel resto dell’intervallo la funzione è
derivabile perché y = x è derivabile in R.
La funzione y = |x| è derivabile in [0; 2] .
LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
6. ESERCIZI: IL RAPPORTO INCREMENTALE
LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
6. ESERCIZI: IL RAPPORTO INCREMENTALE
LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
7. ESERCIZI: LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
7. ESERCIZI: LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA
DELLE EQUAZIONI
LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI
1. SOLUZIONI ESATTE E SOLUZIONI APPROSSIMATE
x2 – 2x – 8 = 0
Risolviamo:
.
x = –2 v x = 4
Approssimativamente:
Nessuna soluzione esatta.
ma possiamo migliorare ancora
l’approssimazione.
Sappiamo che:
•
è crescente,
• il codominio è tutto R,
• per x = 0, y è positivo (y = 1),
una sola soluzione, x < 0 .
Se non esiste una soluzione
esatta,
riduciamo l’indeterminazione
della x entro un margine dato.
LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI
2. LA SEPARAZIONE DELLE RADICI
Separare le radici
Per trovare le radici approssimate,
è necessario anzitutto
determinare gli intervalli che
contengono soltanto uno zero.
TEOREMA
Teorema di esistenza degli zeri
Se f è una funzione continua
nell’intervallo [a; b] limitato e chiuso
e negli estremi assume valori di segno
,
opposto, cioè se
allora esiste almeno un punto c interno
ad [a; b] in cui la funzione si annulla,
ossia:
.
LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI
2. LA SEPARAZIONE DELLE RADICI
TEOREMA
Primo teorema di unicità dello zero
Se f è una funzione continua
nell’intervallo [a; b] limitato e chiuso,
derivabile con derivata prima diversa
da 0 nei suoi punti interni
e, inoltre,
,
allora esiste un solo punto c interno
ad [a; b] in cui la funzione si annulla,
ossia:
(esiste uno e un solo c in ]a;b[ tale che f(c) = 0).
LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI
2. LA SEPARAZIONE DELLE RADICI
TEOREMA
Secondo teorema di unicità dello zero
Se f è una funzione continua
nell’intervallo [a; b],
derivabile due volte nei suoi punti interni,
e se
e f ''(x) < 0, oppure f ''(x) > 0,
,
allora esiste un solo punto c interno ad
[a; b] in cui la funzione si annulla,
ossia:
.
Se f ''(x) cambia di segno, la funzione
può avere più di uno zero anche se
.
LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI
2. LA SEPARAZIONE DELLE RADICI
ESEMPIO
ESEMPIO
Verifichiamo gli zeri di y = x5 – 3x – 1
nell’intervallo [0; 2] .
Separiamo le radici dell’equazione
lnx – x2 + 2 = 0 .
f è continua e doppiamente derivabile in tutto R.
E, in particolare:
y' = 5x4 – 3 ,
y'' = 20x3 ,
cioè y'' > 0 in ]0; 2[.
Confrontiamo i grafici di
Inoltre
y(0) y(2) = – 25.
Si applica il
secondo teorema di
unicità.
La funzione si
annulla 1 volta in
[0; 2].
g(x) = lnx ,
h(x) = x2 – 2 .
I grafici hanno due
intersezioni
(e l’equazione ha due
soluzioni): x1 in [0; 1] ,
x2 in [ ; 2] .
Si verifica applicando il
teorema di esistenza e il
primo teorema di unicità
negli intervalli: [0,1; 1] ,
[ ; 2] .
Perché non [0; 1] ?
LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI
3. IL METODO DI BISEZIONE
Risolviamo:
x3 – x – 1 = 0 ,
con approssimazione migliore di
Dx = 0,3 .
c è compreso tra aa3210==–1,5
–2 ee e
–1,5
bb103b=2 =
0.
–1.
–1,25.
–1.
Con i teoremi di esistenza e unicità,
o confrontando i grafici di
g(x) = x3 , h(x) = x + 1,
verifichiamo che l’intervallo [–2; 0]
contiene una sola radice c.
L’approssimazione
richiesta è raggiunta.
Miglioriamo l’approssimazione:
b3 e a3 approssimano c con
.
un’indeterminazione di 0,25.
Con i teoremi
il metodo
grafico,
c=o
–1,25
(o –1,5),
Dx = 0,25 .
verifichiamo che
verfichiamo
che l’intervallo
l’intervallo [a
[m
b201]]
[a20;1;;m
m
contiene la radice c.
Distanza di c dall’estremo b3210 (o a3210):
alalpiù,
al
più,
più,
e3e2=e=10b=
b
b–10aa
–
a=100,25
=
0,5
2.
1
3 2–
3 2=
LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI
4. IL METODO DELLE SECANTI
Consideriamo:
f(x) = 0 ,
e supponiamo che ammetta una
sola radice c nell’intervallo [a0; b0].
Tracciamo AB . Determiniamo x1 e B1.
Tracciamo AB1 . Determiniamo x2 e B2.
Tracciamo AB2 .
Determiniamo x3 ...
x1, x2, x3, … converge a c .
Se la concavità ha lo stesso verso in
tutto l’arco AB,
esistono formule di ricorrenza.
Se
x 0 = b0 ,
(come nella figura),
.
Se
x 0 = a0 ,
,
.
LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI
4. IL METODO DELLE SECANTI
Se f ''(x) cambia segno in [a0; b0] ,
la successione x1, x2, x3, … non è
monotòna.
Le formule di ricorrenza non valgono,
ma x1, x2, x3, … converge ancora a c.
Il metodo delle secanti fornisce ancora
la soluzione approssimata.
Confronto
Rispetto al metodo di bisezione,
il metodo delle secanti converge alla
soluzione più rapidamente;
cioè raggiunge una data precisione in
un numero di iterazioni inferiore.
LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI
5. IL METODO DELLE TANGENTI O DI
NEWTON-RAPHSON
Consideriamo:
f(x) = 0 ,
supponiamo che ammetta una sola
radice c nell’intervallo [a0; b0]
e che in [a0; b0] f ''(x) sia continua
e non cambi segno.
Tangente in B.
Tangente in B1.
Tangente in B2.
Ricaviamo x1 e B1.
Ricaviamo x2 e B2.
Ricaviamo x3 ...
x1, x2, x3, … converge a c .
Formula di ricorrenza
.
Confronto
Rispetto al metodo delle secanti,
il metodo delle tangenti richiede un
minor numero di iterazioni,
ma ogni iterazione richiede il calcolo di
due funzioni ( f ed f ' ).
Il metodo delle tangenti conviene
quando f ' (xn) è facile da calcolare.
LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI
6. IL METODO ITERATIVO O DEL PUNTO UNITO
Consideriamo:
f(x) = 0 .
Equivale a trovare le soluzioni di:
, con g(x) = f(x) + x .
Sia a la soluzione ricercata.
Scegliamo un valore iniziale x0 vicino ad a
e alterniamo spostamenti verticali e orizzontali
da una curva all’altra.
Sotto certe condizioni,
x1, x2, x3, … converge ad a .
Formula di ricorrenza
xn+1 = g(xn) .
Può essere verificata direttamente sul grafico.
Punto unito
Si definisce punto unito di h(x), il valore
xu del dominio di h tale che h(xu) = xu .
La soluzione a del problema proposto è
punto unito di g.
Il metodo iterativo è una tecnica per
trovare il punto unito di g.
LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI
6. IL METODO ITERATIVO O DEL PUNTO UNITO
Casistica
x1, x2, x3, … non è monotona.
x1, x2, x3, … non converge.
TEOREMA
Condizione sufficiente di convergenza
Data un’equazione della forma x = g(x), se è possibile determinare un intervallo [a; b] in cui g è
derivabile, ed esiste un numero m, con 0 < m < 1, tale che
, allora :
a) la successione x1 = g(x0), x2 = g(x1), ..., xn = g(xn-1), ... converge qualunque sia il punto iniziale
;
b) il limite
è l’unica soluzione dell’equazione data, nell’intervallo [a; b].
MASSIMI, MINIMI, FLESSI
ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA
MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA
1. I PUNTI DI MASSIMO O DI MINIMO RELATIVO
DEFINIZIONE
TEOREMA
Punto stazionario
Dati una funzione derivabile y = f (x) e
un suo punto x = c, se f ' (c) = 0,
allora x = c si dice punto stazionario.
Data una funzione y = f (x), definita in
un intervallo [a; b] e derivabile in ]a; b[ ,
se f (x) ha un massimo o un minimo
relativo nel punto x0, interno ad [a; b],
la derivata della funzione in quel punto
si annulla, cioè: f ' (x0) = 0.
MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA
1. I PUNTI DI MASSIMO O DI MINIMO RELATIVO
Massimi e minimi hanno derivata nulla.
Viceversa, la derivata nulla non
assicura la presenza di massimi o
minimi.
f ' (0) = 0,
ma in x = 0 non ci sono massimi né minimi.
Massimi e minimi interni ad [a; b]
hanno derivata nulla.
Viceversa,
massimi e
minimi
negli
estremi a
eb
possono
avere
derivata
non nulla.
MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA
1. I PUNTI DI MASSIMO O DI MINIMO RELATIVO
Controesempi
Massimi e minimi hanno derivata nulla,
se f è derivabile in ]a; b[.
Viceversa, se f non è derivabile ovunque,
massimi e minimi possono avere derivata
non nulla.
MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA
2. LA RICERCA DEI MASSIMI E MINIMI RELATIVI CON
LA DERIVATA PRIMA
TEOREMA
La funzione y = f (x) sia definita e continua in un intorno completo Ix0 del punto x0 e
derivabile nello stesso intorno per ogni
.
Se per ogni x dell’intorno
si ha:
f ' (x) > 0 quando x < x0,
f ' (x) < 0 quando x > x0,
allora x0 è un punto di
massimo relativo.
Se per ogni x dell’intorno
si ha:
f ' (x) < 0 quando x < x0,
f ' (x) > 0 quando x > x0,
allora x0 è un punto di
minimo relativo.
Se il segno della derivata
prima è lo stesso per
ogni
dell’intorno,
allora x0 non è un punto
estremante.
MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA
2. LA RICERCA DEI MASSIMI E MINIMI RELATIVI CON
LA DERIVATA PRIMA
ESEMPIO
Determiniamo massimi e minimi della
funzione
y = f(x) = x3 – 3x .
f è continua in R.
La derivata è
Studiamone il segno:
x2 – 1 > 0
f ' (x) = 3x2 – 3 .
3x2 – 3 > 0
x < –1 v x > 1 .
MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA
2. LA RICERCA DEI MASSIMI E MINIMI RELATIVI CON
LA DERIVATA PRIMA
ESEMPIO
Studiamo la funzione
y = |x2 –1| ,
cioè
f è continua in R.
La derivata è
e non è definita per x = –1 , x = 1 .
Segno di y' :
.
MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA
2. LA RICERCA DEI MASSIMI E MINIMI RELATIVI CON
LA DERIVATA PRIMA
ESEMPIO
Studiamo la funzione
.
f è continua in R.
La derivata è
se
,
e non è definita per x = 0.
Segno di y' :
y' < 0 se x < 0,
y' > 0 se x > 0.
MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA
2. LA RICERCA DEI MASSIMI E MINIMI RELATIVI CON
LA DERIVATA PRIMA
ESEMPIO
ESEMPIO
ESEMPIO
y' < 0 se x < 0,
y' > 0 se x < 1,
y' > 0 se x < 0,
y' > 0 se x > 0.
Ma f ha un massimo in x = 1.
y' > 0 se x > 1.
Ma 1 è un punto di minimo.
y' < 0 se x > 0.
Ma 0 non è un punto estremante.
MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA
3. I PUNTI STAZIONARI DI FLESSO ORIZZONTALE
TEOREMA
Data la funzione y = f (x) definita e continua in un intorno completo Ix0 del punto x0 e
derivabile nello stesso intorno,
x0 è un punto di flesso orizzontale se sono soddisfatte le seguenti condizioni:
• f ' (x0) = 0;
• il segno della derivata prima è lo stesso per ogni
dell’intorno Ix0 .
Casi possibili
Funzione
crescente
in
Funzione
decrescente
in
MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA
4. RIEPILOGO
Massimo
relativo
Mimimo
relativo
Flesso
orizzontale
discendente
Flesso
orizzontale
ascendente
MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA
5. ESERCIZI
L’INTEGRALE
INDEFINITO
L'INTEGRALE INDEFINITO
1. LE PRIMITIVE
DEFINIZIONE
Primitiva di una funzione
Una funzione F(x) si dice primitiva
della funzione f(x) definita
nell’intervallo [a;b] se F(x) è
derivabile in tutto [a;b] e la sua
derivata è f(x).
Ogni funzione del tipo y = x2 + c
ha per derivata 2x
quindi è una primitiva di y = 2x.
L'INTEGRALE INDEFINITO
1. LE PRIMITIVE
Se F (x) è una primitiva di f (x), allora le funzioni F (x) + c , con c numero
reale qualsiasi, sono tutte e sole le primitive di f (x).
Ovvero:

se F(x) è una primitiva di f (x),
allora anche F(x) + c lo è;

se F(x) e G(x) sono entrambe
primitive di F(x), allora
G(x) - F(x) = c .
I grafici di queste funzioni sono traslati di un vettore del tipo (0; c).
Tutte le funzioni hanno la stessa derivata perché nei
punti con la stessa ascissa hanno tangente parallela.
L'INTEGRALE INDEFINITO
2. L’INTEGRALE INDEFINITO
DEFINIZIONE
Integrale indefinito
Si chiama integrale indefinito
della funzione f(x), e si indica
con  f ( x ) dx, l’insieme di tutte
le primitive F(x) + c di f(x),
con c numero reale qualunque.
ESEMPIO
L’integrale indefinito di cos x è
l’insieme delle primitive di cos x, cioè
sen x + c.
L'INTEGRALE INDEFINITO
2. L’INTEGRALE INDEFINITO
ESEMPIO
derivazione
L’integrazione di una funzione
agisce come operazione
inversa della derivazione.
sen x + c
cos x
x2 + c
2x
ex + c
ex
integrazione
L'INTEGRALE INDEFINITO
2. L’INTEGRALE INDEFINITO
TEOREMA
Condizione sufficiente di integrabilità
Se una funzione è continua in [a; b], allora ammette primitive nello stesso
intervallo.
L'INTEGRALE INDEFINITO
3. LE PROPRIETÀ DELL’INTEGRALE INDEFINITO
PROPRIETÀ
Prima proprietà di linearità
L’integrale indefinito di una somma di funzioni integrabili è uguale alla
somma degli integrali indefiniti delle singole funzioni:
 f ( x )  g ( x )dx   f ( x ) dx   g ( x ) dx
ESEMPIO
L'INTEGRALE INDEFINITO
3. LE PROPRIETÀ DELL’INTEGRALE INDEFINITO
PROPRIETÀ
Seconda proprietà di linearità
L’integrale del prodotto di una costante per una funzione integrabile è
uguale al prodotto della costante per l’integrale della funzione:
 k  f ( x ) dx  k   f ( x ) dx
ESEMPIO