k03 3 k31 1 k12 k01 4 k14 k21 k42 2 k04 q 1 k 01 k 21 k 31 q1 k 12 q 2 k 14 q 4 u 1 q k k q k q 2 12 42 2 21 1 q 3 k 03 q 3 k 31 q1 q 4 k 04 k 14 q 4 k 42 q 2 u 2 k 12 0 k 01 k 21 k 31 k 21 k 12 k 42 0 A k 31 0 k 03 0 k 42 0 1 0 B 0 0 0 0 0 1 C 0 0 0 dq A q B u dt y Cq k03 3 k31 1 1 V4 k 14 0 0 k 04 k 14 k01 4 k14 k12 k21 k42 2 k04 4 q1 t i x 1i e dq i t dt i 1 4 q 2 t i x 2 i e n i t q( t ) i x i e i t i 1 i 1 4 q 3 t i x 3i e q 4 t i x 4 i e i 1 k03 i t i 1 4 A q 1 i t 3 k31 k01 4 k14 k12 k21 k42 2 k04 q1(0) = u1 q2(0) = q3(0) = q4(0) = 0 q 4 t y1 t V4 u 4 1i x 4i e i 1 1 q 4 t y 2 t V4 u 4 2i x 4i e i 1 2 k03 q4(0) = u2 q1(0) = q2(0) = q3(0) = 0 3 k31 1 k01 4 k14 k12 k21 k42 2 i t k04 i t k12 0 k14 k 01 k 21 k 31 k k k 0 0 21 12 42 A I k 31 0 k 03 0 0 k 0 k k 42 04 14 dq dt A q Ax x A I x 0 k03 3 k31 1 k01 4 k14 k12 k21 k42 2 k04 k12 0 k14 k 01 k 21 k 31 k k k 0 0 21 12 42 A I k 31 0 k 03 0 0 k 0 k k 42 04 14 Det A I k 03 k03 k12 k 01 k 21 k 31 3 k14 k31 Det k 21 k12 k 42 0 4 k14 1 0 k 42 k12 k 04 k14 k01 k21 k42 2 k04 Det A I k 03 k 01 k 21 k 31 k12 k 42 k 04 k14 0 k 21 k12 k 04 k14 k14 k 42 k 03 0 1 k 03 k03 3 2 k 01 k 04 k12 k14 k 21 k 31 k 42 k31 3 k 01k 04 k 01k12 k 01k14 k 01k 42 k 04k12 k 04k 21 k 04k 31 k 04k 42 4 k14 1 k12k14 k12k 31 k14k 21 k14k 31 k14k 42 k12k 21k 42 k 31k 42 k 01k 04k12 k 01k 04k 42 k 01k12k14 k 01kk0114kk42 k42 k 04k 21k 42 21 k 04k12k 31 k 04k 31k 42 k12k14k 31 k14k 31k 42 0 2 k04 A i I x i 1 k 03 k 03 k 01 k 21 k 31 k 21 k 31 0 0 x 11 x 21 0 x 31 0 k 03 k 04 k 14 x 41 k 12 0 k 03 k12 k 42 0 0 0 k 42 k 14 0 0 k 03 k 01 k 21 k 31 x11 k12 x 21 k14 x 41 0 k x k k k x 0 21 11 03 12 42 21 3 k31 k 31 x11 0 k14 k 42 x 21 k 03 k 04 k14 x 41 0 1 k12 k01 x11=0 x21=0 x41=0 k21 k03 4 k42 2 k04 1 k 03 0 0 x1 1 0 q 4 t y1 t V4 u 4 1 q 4 t y 2 t V4 u 2 i 1 4 x11=0 x21=0 x41=0 k21 k03 4 k42 2 2i x 4i e i t i 1 k 03 k 01 k 21 k 31 x11 k12 x 21 k14 x 41 0 k x k k k x 0 21 11 03 12 42 21 3 k31 k 31 x11 0 k14 k 42 x 21 k 03 k 04 k14 x 41 0 1 k12 k01 1i x 4i e i t k04 k21 2 1 k12 k01 k02 dq1 dt k 01 k 21 q1 k12 q 2 q 0 t t 0 dq 2 k 21 q1 k 02 k12 q 2 dt y1 q1 a e 1 t t 0 b e 2 t t 0 V1 k12 k 02 k 21 k 01 2 4 k 21k 02 k 01k12 k 01k 02 a q0 2 2 V1 k12 k 02 k 21 k 01 4 k 21k 02 k 01k12 k 01k 02 k 21 k 01 k12 k 02 k12 k 02 k 21 k 01 2 4 k 21k 02 k 01k12 k 01k 02 b q0 2 V1 k12 k 02 k 21 k 01 2 4 k 21k 02 k 01k12 k 01k 02 k 12 k 02 k 21 k 01 k12 k 02 k 21 k 01 2 4 k 21k 02 k 01k12 k 01k 02 k12 k 02 k 21 k 01 1 2 2 k 12 k 02 k 21 k 01 k12 k 02 k 21 k 01 2 4 k 21k 02 k 01k12 k 01k 02 2 k21 10 k12 k01 k02 Concentrazione nel comp. 1 (u.a.) 2 1 8 set 1 set 2 dati sperimentali 6 4 2 0 0 y1 q1 a e 1 t t 0 b e 2 t t 0 V1 2 4 6 8 10 k21 10 k12 k01 k02 Concentrazione nel comp. 1 (u.a.) 2 1 8 set 1 set 2 dati sperimentali 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 y1 q1 a e 1 t t 0 b e 2 t t 0 V1 Concentrazione nel compart. 2 (u.a.) 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 0 2 4 6 Tempo (minuti) 8 10 Stomach 1 k21 2 Small intestine k02 k32 3 Transfer compartment k03 k 32 f1 k 32 k 02 k43 k34 4 Organs & tissues Un parametro pi si dice NON IDENTIFICABILE nell’intervallo [t0,T] se esiste un numero INFINITO di soluzioni. Se un modello ha anche un solo parametro NON IDENTIFICABILE, allora l’intera struttura si dice NON IDENTIFICABILE. Un parametro pi si dice IDENTIFICABILE nell’intervallo [t0,T] se esiste un numero FINITO di soluzioni (diverse da quella identicamente nulla). Se tutti i parametri sono IDENTIFICABILI, allora l’intera struttura si dice IDENTIFICABILE. Un parametro pi si dice UNIVOCAMENTE IDENTIFICABILE nell’intervallo [t0,T] se esiste UNA E UNA SOLA soluzione. Se tutti i parametri sono UNIVOCAMENTE IDENTIFICABILI, allora l’intera struttura si dice UNIVOCAMENTE IDENTIFICABILE. Se anche un solo parametro non è UNIVOCAMENTE IDENTIFICABILE, allora l’intera struttura si dice NONUNIVOCAMENTE IDENTIFICABILE. METODO DELLA MATRICE DI MARKOV Cp Bp Cp Ap Bp J p 2 n 1 p Bp C p A J1 p 1 J 2 n p1 J1 p p J 2 n p p 2n sottomatrici di ordine mxr p derivate per ogni termine di ogni sottomatrice 2nxmxrxp derivate!!!!! n = numero compartimenii r = numero input m = numero output p = numero parametri METODO DELLA MATRICE DI MARKOV Cp Bp Cp Ap Bp J p 2 n 1 p Bp C p A J1 p 1 J 2 n p1 J1 p p J 2 n p p Il modello è identificabile se e solo se IL RANGO DELLA MATRICE DELLE DERIVATE è uguale a p per ogni possibile valore del vettore p. n = numero compartimenii r = numero input m = numero output p = numero parametri METODO DELLA MATRICE DELLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO Ly i ( t, p) 1 H(s, p) C(p)sI A(p) B(p) L u j ( t ) i1,m j1,r mxr termini n L( y i t, p) Yi s, p n k 1 A ijk p s k p ijk p s k 1 k 1 sk n ijk p s k 1 k 1 Lyi t , p Yi s, p Hij s, p L u t 1 j n = numero compartimenii r = numero input m = numero output p = numero parametri METODO DELLA MATRICE DELLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO 11 1 p1 11 n p1 G p mr 1 p1 mr n p 1 p p 11 n p p mr 1 p p mr n p p 11 1 2nxmxrxp derivate!!!!! Il modello è identificabile se e solo se IL RANGO DELLA MATRICE G(p) è uguale a p per ogni possibile valore del vettore p. n = numero compartimenii r = numero input m = numero output p = numero parametri CONDIZIONI NECESSARIE PER L’IDENTIFICABILITA’ il sistema dev’essere “input-“ e “output-connectable” (OGNI COMPARTIMENTO E’ RAGGIUNGIBILE DA ALMENO UN INPUT ED E’ COLLEGATO AD ALMENO UN OUTPUT) k03 3 k31 1 4 k14 k12 k01 k21 k42 2 k04 CONDIZIONI NECESSARIE PER L’IDENTIFICABILITA’ il sistema dev’essere “input-“ e “output-connectable” (OGNI COMPARTIMENTO E’ RAGGIUNGIBILE DA ALMENO UN INPUT ED E’ COLLEGATO AD ALMENO UN OUTPUT) 1 Stomach k21 2 Small intestine k02 k32 3 Transfer compartment k03 k43 k34 4 Organs & tissues CONDIZIONI NECESSARIE PER L’IDENTIFICABILITA’ nu ne dove nu è il numero di parametri incogniti, e ne è dato dall’espressione: n e n n ' n=numero di compartimenti k r h m k r h m k 1 k 1 w hk z hk h 1 h 1 n’=numero di sottosistemi chiusi whk = numero di compartimenti del sistema hk meno la lunghezza del percorso più breve (se l=0, si prende comunque =1) zhk = si riferisce alle comuni parti in cascata; è uguale al numero dei compartimenti comuni meno la lunghezza del percorso più breve meno 1 Percorso 1->6: lunghezza 2 2 percorsi 1->4: lunghezza 2 e 3 2 Compartimenti input connectable: 1,2,3,4,5,6,8 8 Compartimenti output connectable: 1,2,3,4,5,6,7 4 Sottosistema h=1, k=1: [1,2,3,6] 1 Sottosistema h=2, k=1: [1,2,3,4,5] 3 Sottosistemi chiusi: [6], [4,5] 5 7 Parti comuni in cascata: [1,2,3] 6 n e n n ' k r h m k r h m k 1 k 1 w hk z hk h 1 h 1