MATEMATICA PER
L’ECONOMIA
CORSO SERALE
I° MODULO
Prof.ssa Angela Ghiraldini
ARGOMENTI del MODULO






EQUAZIONI di I° e II° GRADO
DISEQUAZIONI di I° e II° GRADO
MATRICI e DETERMINANTI
SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI
FUNZIONI REALI ad UNA VARIABILE REALE
RICERCA OPERATIVA
concetti genrali
programmazione lineare
metodo grafico
metodo del simplesso

A. Ghiraldini
MATRICI e DETERMINANTI

GENERALITA’ sulle MATRICI
Si definisce matrice di ordine mxn e si indica con una lettera maiuscola,
l’insieme di m∙n numeri reali disposti in m righe e n colonne ordinate
Con il termine ordine si indica la dimensione della matrice
Con la scrittura aij si indica quel numero reale, elemento della matrice, che è
posizionato nella i-esima riga e nella j-esima colonna della matrice stessa
Una matrice di ordine mxn si dice rettangolare se m≠n
Una matrice di ordine mxn si dice quadrata se m=n
Gli elementi aij , per cui vale i = j , formano la diagonale principale
A. Ghiraldini
MATRICI e DETERMINANTI
esempi
3
56
11
12
97
-9
32
3
85
22
-3
45
48
22
76
8
5
0
2
3
42
3
89
8
74
-5
53
70
2
33
34
2
56
66
38
-32
0
3
9/2 -1
89
54
31
75
75
48
-9
2
67
55
-1
4
-57 4/5
68
3
-8
6
7
31
43
0
matrice rettangolare
5x8
-34
45
2
matrice quadrata
5x5
MATRICI e DETERMINANTI

GENERALITA’ sulle MATRICI
Una matrice quadrata si dice diagonale se: aij = 0 per ogni i ≠ j
aij ≠ 0 per ogni i = j
Una matrice quadrata si dice triangolare superiore
elementi al di sotto della diagonale principale
se sono nulli tutti gli
Una matrice quadrata si dice triangolare inferiore
elementi al di sopra della diagonale principale
se sono nulli tutti gli
Una matrice diagonale è triangolare superiore e inferiore
A. Ghiraldini
MATRICI e DETERMINANTI
1/2
-3
49
0
9
52
0
0
-87
esempi
rettangolare
superiore
46
0
0
78
5
0
-6
2/9
-5
rettangolare
inferiore
4
0
0
0
0
-6
0
0
0
0
0
0
9/4
0
diagonale
0
4/2
MATRICI e DETERMINANTI

GENERALITA’ sulle MATRICI
Data una matrice A di ordine mxn, si dice trasposta di A, e si indica con AT
la matrice di ordine nxm ottenuta da A scambiando le righe con le colonne
Una matrice si dice simmetrica se A = AT
Una matrice quadrata si dice identica o unitaria se: aij = 1 per i = j
aij = 0 per i ≠ j
A. Ghiraldini
MATRICI e DETERMINANTI
esempi
trasposta
45
2/7
45
-3
11
9
6
=A
2/7
-3
9
11
6
= AT
simmetrica
43
-5
0
11
-5
7
-2
4
0
-2
-5
64
11
4
64
0
MATRICI e DETERMINANTI

GENERALITA’ sui DETERMINANTI
Si chiama determinante di una matrice quadrata A,
e si indica con la scrittura detA , oppure |A|,
un numero ad essa associato
Se n = 1 , cioè A = (a11), allora detA =|a11 |= a11
Se n = 2 , cioè A =
a11
a12
a21
a22
allora detA =
a11
a12
a21
a22
= a11a22 – a12a21
A. Ghiraldini
MATRICI e DETERMINANTI
esempi:
2/3
20
2/3
determinanti 2x2
20
=A
-3
6
11
11
3/2
-5
=B
= detA =(2/3)11-(-3)20= 202/3
-3
11
6
3/2
11
-5
= detB = 6(-5)-11(-3/2) = -93/2
MATRICI e DETERMINANTI

GENERALITA’ sui DETERMINANTI
a11 a12 a13
Se n = 3 , cioè A =
a21 a22 a23
allora
a31 a32 a33
detA =
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a31a22a13 - a11a32a23 - a21a12a33
oppure
REGOLA DI SARRUS
Se n = 3, detA si può ottenere sommando i prodotti delle diagonali principali e
sottraendo i prodotti delle altre diagonali della tabella ottenuta aggiungendo, alla
destra di A, le sue prime due colonne
A. Ghiraldini
MATRICI e DETERMINANTI
esempio determinante 3x3
6
-2
5
-3
1
-2
2
½
10
6
-2
5
-3
1
-2
2
½
10
=A
= detA = 6∙1∙10 + (-2)(-2)2 + 5(-3)1/2 +
- [2∙1∙5 + (-3)(-2)10 + 6(1/2)(-2)]= -7/2
MATRICI e DETERMINANTI
esempio regola di Sarrus
6
-2
5
-3
1
-2
2
½
10
6
-2
5
6
-2
-3
1
-2
-3
1
10
2
2
1/2
1/2
=A
detA = 6∙1∙10 + (-2)(-2)2 + 5(-3)(1/2) +
-[2∙1∙5 + (1/2)(-2)6 + 10(-3)(-2)] =
= 60 + 8 – 15/2 – 10 + 6 – 60 = -7/2
MATRICI e DETERMINANTI

GENERALITA’ sui DETERMINANTI
Vediamo ora un criterio generale che consente di calcolare il determinante
di una matrice quadrata, qualsiasi sia il suo ordine :
Sia A una matrice quadrata di ordine n ≥ 2, definiamo minore complementare
di un elemento aij , e lo indichiamo con Aij , il determinante della matrice (n-1)x(n-1),
ottenuta da A , eliminando la i-esima riga e la j-esima colonna
Sia A una matrice quadrata di ordine n ≥ 2 e sia aij un elemento qualsiasi, si chiama
complemento algebrico di aij il minore complementare di aij , preso con il segno positivo
se i+j è pari, negativo se i+j è dispari
Data una matrice quadrata A di ordine n ≥ 2, il suo determinante si ottiene sommando i
prodotti di tutti gli elementi di una qualsiasi riga (o colonna) per i rispettivi
complementi algebrici
A. Ghiraldini
MATRICI e DETERMINANTI
esempio
6
3
7
-7
7
-3
8
2
8
-4
2
-3
5
-4
9
2
minore complementare
=A
6
7
-7
8
5
2
9
-3 = A22 = 6∙2∙2 + 7(-3)5 + 8∙9(-7) - 5∙2(-7) - 8∙7∙2 - 6∙9(-3) =
2
= 24 - 105
- 504 + 70
- 112 - 162 = -789
MATRICI e DETERMINANTI
esempio
3
2
1
-5
-1
2
1
-3
5
-1
2
4
3
1
-1
5
= detA =
2 1 -3
-1 1 -3
-1 2 -3
-1 2 1
= 3 -1 2 4 - 2 5 2 4 + 1 5 -1 4 + 5 5 -1 2
1 -1 5
3 -1 5
3 1 5
3 1 -1
dove
2 1 -3
2 4
-1 4
-1 2
-1 2 4 = 2 -1 5 - 1 1 5 - 3 1 -1 = 28 + 9 + 3 = 40
1 -1 5
-1 1 -3
2 4
5 4
5 2
5 2 4 = - 1 -1 5 - 1 3 5 - 3 3 -1
3 -1 5
-1 2 -3
-1 4
5 -1 4 = -1 1 5
3 1 5
= -14 -13 + 33 = 6
5 4
5 -1
- 2 3 5 - 3 3 1 = 9 – 26 – 24 = -41
-1 2 1
-1 2
5 2
5 -1
5 -1 2 = - 1 1 -1 - 2 3 -1 + 1 3 1 = 1 + 22 + 8 = 31
3 1 -1
detA = 3∙40 - 2∙6 + 1∙(-41) + 5∙31 =
detA = 222
MATRICI e DETERMINANTI

PROPRIETA’ dei DETERMINANTI

Se tutti gli elementi di una riga o di una colonna di A sono nulli
=> detA = 0

Se due righe (o
detA cambia segno

Se gli elementi di due righe (o col.) sono uguali o proporzionali
=> detA = 0
colonne)
vengono
scambiate
=>
A. Ghiraldini
MATRICI e DETERMINANTI
esempi
6
-3
2
-6
-3
2
-2
0
1
0 = 6∙1∙0+(-2)∙0∙2+(-3)∙(1/2)∙0-2∙1∙0-(1/2)∙0∙6-(-3)(-2)∙0=0
½
0
-----------------------------------------------2
5
1
2 = 6∙1∙10+(-2)∙2∙2+(-3)∙ ½ ∙5-2∙1∙5- ½ ∙2∙6-(-3)(-2)∙10=
½ 10 = 60 8
15/2 - 10 6 - 60 = -63/2
6
-3
2
5
2
10
-2
1 = 6∙2∙ ½ +5∙1∙2+(-2)∙(-3)∙10-2∙2(-2)-10∙1∙6-(-3)5∙ ½ =
½
= 6
+ 10 + 60
+ 8
- 60 + 15/2 = +63/2
6
6
2
-2
-2
½
5
5 = 6(-2)∙10+(-2)5∙2+5∙6∙½ -2(-2)5-6(-2)∙10-½∙5∙6 =
10 = -120 - 20
+ 15 + 20 + 120 - 15
=0
MATRICI e DETERMINANTI

PROPRIETA’ dei DETERMINANTI

Se si moltiplicano tutti gli elementi di una riga (o col.) per k
reale => kdetA

detA = detAT

Se una riga (o col.) di A di ordine n , è somma di due n-ple (bi) e (ci) =>
detA = detB + detC ,
dove B e C sono le matrici ottenute da A sostituendo la riga ( o col.)
in questione rispettivamente con (bi) e con (ci)
A. Ghiraldini
MATRICI e DETERMINANTI
esempi
6
-3
2
-2
1
½
12 -4
-3
1
2 ½
5 = detA =
2 = 6∙1∙10 +(-2)∙2∙2 + (-3)∙½∙5 -2∙1∙5 - ½ ∙2∙6 - (-3)(-2)∙10 =
10
= 60 8
15/2 - 10 6 - 60 = -63/2
10
2 = 12∙1∙10+(-4)∙2∙2+(-3)∙½∙10 -2∙1∙10 - ½∙2∙12 - (-3)(-4)∙10=
10
= 120 16
15
- 20
- 12
- 120 = -63
= 2detA
6 -3 2 = detAT =
-2 1 ½ = 6∙1∙10 + 5(-3)½+ 2∙2(-2) - 5∙1∙2 – (-2)(-3)∙10 - 6∙2∙ ½ =
5
2 10
= 60 - 15/2 - 8
- 10
- 60
- 6 = -63/2
MATRICI e DETERMINANTI
esempi
5
-3
4
-1
8
7
3
10
2
=detA= 5∙8∙2 + (-3)7∙3 + (-1)10∙4 - 3∙8∙4 – (-1)(-3)2 - 10∙7∙5=
= 80 - 63
- 40
- 96 - 6
- 350=
= - 475
-475 = -302 -173
5
-1
4
-1
3
7
3
7
2
5
-2
4
-1
5
7
3
3
2
=detB= 5∙3∙2 + (-1)7∙3 + (-1)7∙4 - 3∙3∙4 – (-1)(-1)2 - 5∙7∙7 =
= 30
-
21
-
28
-
36
-
2
- 245 = - 302
=detC= 5∙5∙2 + (-2)7∙3 + (-1)3∙4 - 3∙5∙4 – (-1)(-2)2 - 3∙7∙5 =
=
50
-
42
-
12
-
60
-
4
- 105 = -173
MATRICI e DETERMINANTI

PROPRIETA’ dei DETERMINANTI

Se A è triangolare di ordine n => detA = a11∙a22∙a33∙…∙aii∙…∙ann

Se a tutti gli elementi di una riga (o col.) di A vengono sommati i
corrispondenti elementi di un’altra riga (o col.) di A moltiplicati per una
costante k => il valore di detA non cambia

La somma dei prodotti degli elementi di una riga (o col.) di A per
i complementi algebrici dei corrispondenti elementi di un’altra riga (o col.)
parallela è nulla
(LAPLACE)
A. Ghiraldini
MATRICI e DETERMINANTI
esempi
½ -3 49
0 9 52 = ½∙9(-87) + (-3)52∙0 + 0∙0∙0 - 0∙9∙49 - 0∙52∙½ - 0(-87)(-3)=
0 0 -87 = - 783/2 +
0
+ 0 - 0
0
- 0 = -783/2
5 -3 4
-1 8 7 = detA = 5∙8∙2 + (-3)7∙3 + (-1)10∙4 - 3∙8∙4 – (-1)(-3)2 - 10∙7∙5=
3 10 2
= 80 - 63
- 40
- 96 - 6
- 350=
= - 475
5+(4∙2) -3 4
13 -3 4
-1+(7∙2) 8 7 = 13 8 7 =13∙8∙2+(-3)7∙7+4∙13∙10-7∙8∙4-10∙7∙13-2∙13(-3)=
3+(2∙2) 10 2
7 10 2 =208 – 147 + 520 - 224 – 910 + 78 = -475
MATRICI e DETERMINANTI
esempio
Laplace
= 3
3
2
1
-5
-1
2
1
-3
5
-1
2
4
3
1
-1
5
2 1 -5
3 1 -5
2 1 -3 - 2 -1 1 -3
1 -1 5
3 -1 5
=A
3 2 -5
3 2 -5
+ 1 -1 2 -3 + 5 -1 2 1 =
3 1 5
3 1 -1
= 3 [(10-3+10)-(-5+10+6)] - 2 [(15-9-5)-(-15-5+9)] +
+ 1 [(30-18+5)-(-30-9-10)] + 5 [(-6+6-15)-(-30+2+3)] =
= 3 (-23-11) – 2 (1+11) +1 (27+49) + 5 (-15+25) =
=
-102
- 24
+ 76
+ 50
= 0
MATRICI e DETERMINANTI

CARATTERISTICA di una MATRICE
Data una matrice A di ordine mxn, è possibile estrarre da essa delle
sottomatrici quadrate, di ordine massimo r, pari al min(m , n),
i cui determinanti vengono detti minori
Se esiste almeno una sottomatrice di ordine r tale che il suo minore risulti non nullo
allora si dice che A ha caratteristica r (dove r = m oppure r = n)
Se tutti i minori di ordine r sono nulli si procede con sottomatrici di ordine via via
più basso fino a quando si individua un minore non nullo , l’ordine della
sottomatrice di cui risulta essere il minore è la caratteristica di A
Si definisce caratteristica di una matrice A, e si indica con k(A),
l’ordine massimo dei minori, relativi a sottomatrici estratte da A, non nulli
A. Ghiraldini
MATRICI e DETERMINANTI
esempio
caratteristica di A
-1 3 2 5
6 -2 4 3 =A
-2 6 4 10
3
-2
6
2 5
4 3 =0
4 10
-1 2 5
6 4 3 =0
-2 4 10
-1 3 5
6 -2 3 =0
-2 6 10
-1 3 2
6 -2 4 =0
-2 6 4
Tutti i minori di ordine 3 risultano nulli perché la 1° e 3° riga sono proporzionali
-1
esiste un minore di ordine 2 non nullo
Quindi k(A) = 2
6
3
-2 = 2 – 18 = -16
MATRICI e DETERMINANTI

RANGO di una MATRICE
Si chiama rango per riga di una matrice A, e si indica con r(A), il massimo numero
di righe di A che risultano linearmente indipendenti
Si chiama rango per colonna di una matrice A, e si indica con r’(A), il massimo
numero di colonne di A che risultano linearmente indipendenti
Se A è una matrice di ordine mxn, allora k(A) = r(A) = r’(A), cioè la caratteristica
di A uguaglia sia il rango per righe che il rango per colonne
A. Ghiraldini