GEOMETRIA SOLIDA o
STEREOMETRIA
POSTULATI
Assiomi di appartenenza
• Per tre punti non allineati nello spazio passa uno e un solo
piano
• Una retta passante per due punti di un piano giace
interamente in quel piano
• Lo spazio contiene infiniti piani, infinite rette e infiniti punti.
Assioma di partizione di un piano:
Una retta giacente in un piano lo divide in due regioni tali che
– Ogni segmento che congiunge due punti appartenenti a una
stessa regione non incontra la retta r e giace interamente in tale
regione
– Ogni segmento che congiunge due punti appartenenti a regioni
diverse incontra la retta in un punto.
Le due regioni si chiamano SEMIPIANI D’ORIGINE r e si dicono
OPPOSTI.
Prime deduzioni
• Se due piani hanno tre punti non allineati in
comune allora
………………………………………………………………………
• Per una retta e un punto esterno ad essa passa
……………………………………………………………………..
• Per due rette incidenti passa
……………………………………………………………………..
• Se due piani hanno in comune due punti A e B,
allora ……………………………………………………………..
• Se due piani hanno in comune un punto, allora
hanno in comune ……………………………………………
Assioma di partizione dello spazio
• Un piano  divide lo spazio in due regioni
diverse tali che:
– Ogni segmento che congiunge due punti
appartenenti a una stessa regione non incontra il
piano  e giace interamente in tale regione
– Ogni segmento che congiunge due punti
appartenenti a regioni diverse incontra il piano 
in un punto.
Le due regioni si chiamano SEMISPAZI che hanno
come ORIGINE il piano  e si dicono OPPOSTI.
Retta – piano e retta - retta
a - giace nel piano
b – incidente in un sol punto il piano
c – parallela al piano
Nella figura a lato per le rette b
ed a NON ESISTE ALCUN PIANO
CHE LE CONTENGA ENTRAMBE,
pertanto si dicono SGHEMBE
seconde deduzioni
• Se due piani hanno in comune due punti A e B,
allora ……………………………………………………………..
………………………………………………………………………….
• Se due piani hanno in comune un punto, allora
hanno in comune
……………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
Piano – piano nello spazio
Piani che non hanno
punti in comune si
dicono PARALLELI
Si dice distanza di due
piani
paralleli
il
segmento
da
essi
individuato su una
qualsiasi
retta
perpendicolare ai piani
Piani che hanno una
retta in comune di
dicono INCIDENTI e la
retta
si
chiama
INTERSEZIONE DEI DUE
PIANI
Per una retta nello spazio
passano infiniti piani che
costituiscono un FASCIO DI PIANI
di cui la retta si dice SOSTEGNO o
ASSE
Rette e piano perpendicolari
Nello spazio, per un punto P di una retta r, si possono condurre infinite
perpendicolari
alla
retta
stessa,
una
per
ognuno
…………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………....
Il luogo delle rette perpendicolari a una retta in un suo punto è un piano,
o meglio, è il piano perpendicolare alla retta nel punto di intersezione che
viene detto PIEDE della perpendicolare.
Una retta che interseca un piano senza essergli perpendicolare si dice
OBLIQUA.
Rette e piano perpendicolari
Il luogo delle rette perpendicolari a una retta in un suo punto è un piano,
o meglio, è il piano perpendicolare alla retta nel punto di intersezione
Diremo che una retta r è perpendicolare ad un
piano in un punto P se è perpendicolare a tutte
Le rette del piano che passano per P.
Il punto P viene detto PIEDE della perpendicolare.
Una retta che interseca un piano senza essergli perpendicolare si dice
OBLIQUA.
TEOREMA: Dato un piano , per un punto P qualunque si può condurre
UNA ed UNA SOLA retta perpendicolare ad un piano .
Proiezioni ortogonali su un piano
a) Di un punto
b) Di una retta
c) Definizione di angolo
formato tra la retta e
un piano.
Angolo Diedro
Si dice ANGOLO DIEDRO
ciascuna delle due parti
in cui due semipiani
aventi la stessa origine
dividono lo spazio,
inclusi i semipiani stessi.
La retta origine dei due
semipiani si dice
SPIGOLO del diedro, i
due semipiani si dicono
FACCE.
Dell’angolo diedro possiamo dire
• Diedro piatto, se le facce sono
semipiani opposti
• Diedro giro, se le facce sono
semipiani coincidenti e contiene
tutti i punti dello spazio
• Diedro nullo, se le facce sono
semipiani coincidenti e non
contiene alcun punto dello spazio
•
•
•
•
•
Diedro convesso o concavo
Diedri consecutivi
Diedri adiacenti
Semipiano bisettore
Diedro retto, la metà di un diedro
piatto grazie al semipiano
bisettore.
• Angoli opposti allo spigolo
Sezione normale o obliqua
Si dice SEZIONE di un diedro
l’intersezione tra il diedro e
un piano incidente al suo
SPIGOLO.
Se il piano è PERPENDICOLARE
allo spigolo si parla di
sezione NORMALE,
altrimenti di sezione si dice
OBLIQUA
PIANI PERPENDICOLARI
Due piani si dicono PERPENDICOLARI se,
intersecandosi, formano quattro diedri
congruenti e quindi RETTI.
ANGOLOIDE
Preso un poligono F e un punto P
che non appartiene al piano di
F, tracciamo tutte le semirette
che partono da P e
intersecano i lati del poligono
F: si costruisce una superficie
piramidale.
Si dice angoloide la parte dello
spazio
delimitata
dalla
superficie piramidale che
contiene il poligono F.
Si dice angoloide:
• Regolare se le facce sono
tutte uguali
• Convesso o concavo se il
poligono F è convesso o
concavo.
VERTICE
spigolo
faccia