Cooperation in deterministic
and stochastic inventory models
with continuous review
15 Aprile 2010
Michela Chessa
Inventory costs
• Le compagnie necessitano di effettuare degli
ordini della merce che rivendono. Tali ordini
devono essere effettuati in tempo per
garantire un alto livello di servizio al cliente.
• Revisioni continue
• Domanda stocastica
Sommario
•
•
•
•
•
•
•
Inventory system
Teoria dei Giochi
Modello non-cooperativo
Gioco a 2 giocatori
Gioco a 3 giocatori
Allocazione dei costi
Confronto tra modello deterministico e
stocastico
Il modello
•
N  1,, n Insieme dei giocatori
•
ri , Qi 
•
ri Livello di ri-ordine
•
Qi Quantità da ri-ordinare
Strategia per ogni giocatore

tempo di riordino posto uguale a zero
ri  0 i  N
Costi
• Costi d’ordine
• Costi di trasporto
• Costi di stoccaggio
Parametri
•
a
Costi fissi di riordino
•
hi
Costi di trasporto
•
di
Domanda (stocastica)
Modello non-cooperativo
Funzione dei costi
ad i 1
K i Qi  
 hi Qi  1
Qi 2
con minimo in
2ad i
Q 
hi
*
i
 
ci  : K i Q
*
i
Cooperazione tra 2 giocatori (1)
Cooperazione tra 2 giocatori (2)
G  K Q1 , Q2   ad1  d 2 
Q2 
Q2  1

h1Q1  h2
I1 p Q2  1, Q1 


1 p 
2 
h1 p

Q2 Q2  1I1 p Q2  2, Q1  1
2
21  p 
Q1  Q1  1

 h1
 h2Q2  I p Q1  1, Q2 
p 
2

h2 1  p 

Q1 Q1  1I p Q1  2, Q2  1
2
2p
Cooperazione tra 2 giocatori (3)
dove
Q2
Q1
GQ1 , Q2  
I1 p Q2  1, Q1   I p Q1  1, Q2 
1 p
p
e
d1
p
d1  d 2
Cooperazione tra 2 giocatori (4)
Possiamo definire

c1,2 : K Q , Q


*
1
*
2

dove Q1* ,Q2* minimizza la funzione dei costi.
Cooperazione tra 3 giocatori (1)
Cooperazione tra 3 giocatori (2)
d1  d 2  d 3
G
z3  Q1  z 2  z3 ! Q1 z2
Q1 Q2 1Q3 1 Q1  1
z2 


z3



h

h
Q


h
Q

p
q
1

p

q




 1 2
2
2
3
3
 Q !z !z !
G z2 0 z3 0 
2
2




1 2 3
K Q1 , Q2 , Q3   a
Q
 2
G
 
z3  z1  Q2  z3 ! z1 Q2
z1 
Q2  1

z3


h
Q


h

h
Q

p
q
1

p

q



3 3
 1 1 2  2 2
2


 z1!Q2 ! z3!
z1  0 z3  0  
Q1 1 Q3 1
Q3 Q1 1Q2 1 
Q3  1 z1  z2  Q3 ! z1 z2
z1 
z2 

Q3



h
Q


h
Q


h
p
q
1

p

q




  1 1 2  2  2 2  3 2  z ! z !Q !
G z1 0 z2 0  

1 2
3
Cooperazione tra 3 giocatori (3)
dove
d1
p
d1  d 2  d 3
d2
q
d1  d 2  d 3

z1  z 2  z3 ! z z
z
G 
p q 1  p  q 
Q1 1 Q2 1Q3 1
1
z1  0 z 2  0 z3  0
z1! z 2 ! z3!
2
3
Cooperazione tra 3 giocatori (4)
La funzione dei costi assume una forma molto
complicata. Cerchiamo il minimo calcolando il
valore della funzione nelle terne di interi
Q1 , Q2 , Q3 
In un intervallo di interesse.
Cooperazione tra 3 giocatori (5)
Possiamo definire

c1,2,3 : K Q , Q , Q

*
1
*
2
*
3

*
1
*
2
*
3

dove Q , Q , Q minimizza la funzione dei costi.
Es: i tre team di Formula 1
a 3
d1 , d 2 , d3
d1  4
h1  0.5
d2  4
h2  0.4
d3  2
h3  0.6
parametri delle Poisson che
descrivono le domande
Il gioco (1)
G  N , c 
c
gioco di costo cooperativo
funzione costo definita da
c1  3.7143
c1,2  6.0691
c1,3  5.9642
c2  3.3000
c2,3  5.5612
c3  3
c1,2,3  3.5094
Il gioco (2)
vS   vT   vS  T   vS  T  S  T
• convesso
• non monotono
• non semplice
• coesivo
vS   vT  S  T
vS 0,1 S  N
S1 ,, Sk  partizione di N ,  vSi   vN 
k
i 1
• superadditivo
vS  T   vS   vT  S , T  N , S  T  
Allocazione dei costi
• Valore di Shapley
• Valore di Proporzionalità
• Equal Charge Allocation
• Alternative Cost Avoided
• Cost Gap Allocation
Valore di Shapley
Il vettore  c  è tale che ogni i c  è la media
dei contributi marginali del giocatore i tra tutte
le possibili permutazioni dei giocatori
1
i c    cP , i   
i   cP , i 
n! 
con n  N
 una permutazione di N
P , i  l’insieme dei giocatori prima di i nella
permutazione 
Valore di Proporzionalità
Dividiamo i costi della grande coalizione
proporzionalmente alla domanda d i
Pi 

di
d
iN i
c N 
Costi separabili e non-separabili
mi  cN   cN  
i  costo separabile per il
giocatore i
g N   cN   iN mi costo non-separabile
le allocazioni che andiamo a vedere differiscono per
il modo in cui suddividono il costo non-separabile
Equal Charge Allocation: ECA
Il costo non-separabile è diviso in parti uguali
tra i giocatori
1
ECAi  mi  G N 
n
Alternative Cost Avoided: AGA
Il costo non-separabile è diviso tra i giocatori alla
differenza del costo di ogni giocatore e del suo
costo separabile.
ri  ci   mi
alternate cost avoided
ACAi  mi 

ri
r
jN j
g N 
Cost Gap Allocation: CGA
g S   cS   iS mi
costo separabile per la
coalizione S
g i  min g S  | i  S 
S
CGAi  mi 

gi
g
j
jN
g N 
Risultati (1)
Risultati (2)
Nucleo e soluzioni in coordinate baricentriche
Risultati (3)
Soluzioni in coordinate baricentriche
ACA-CGA
ECA
Shapley
Proportional
Stocastico e deterministico
stocastico
deterministico