Some paths
Altiplano Option
Siano S0,..,Sn gli n componenti del basket, t0,..,tm+1 una serie di date dove t0
rappresenta la data di start dell’opzione, t1,..,tm le date di fixing e tm+1 la data di
scadenza dell’opzione. Definendo K1,..,Kn i Fixing iniziali dei sottostanti e B il
livello di barriera, l’opzione paga un coupon C per se almeno un asset Si ed
almeno una data di fixing tj, il prezzo del sottostante P al tempo tj è tale che:

P Si,t j
Ki
altrimenti paga 0.
 B
Altiplano Option
0 .0 5 5
price
0 .0 5
0 .0 4 5
0 .0 4
0 .0 3 5
42%
50%
58%
s pot
67%
75%
83%
-1
-0 .5
0
c orrelation
0 .5
1
Everest Option
Definiamo una serie di istanti t0,..,tM dove t0 è la data di partenza
dell’opzione e tM la data di scadenza, ed una serie di N sottostanti S1,..,SN.
L’Everest è un’opzione che ad ogni data di fixing ti definisce una cedola C
pari a:
 Sti1  St10
Stij  St j0
StiN  StN0 
C  p% * min 
,..,
,..,

1
j
N
S
S
S
t0
t0
t0


dove:
p = coefficiente di partecipazione espresso in punti percentuali
Sij = prezzo dell j-mo asset al tempo i
S0j = prezzo dell j-mo asset al tempo iniziale (strike j)
Everest Option
-0 .3 8
-0 .4
-0 .4 2
price
-0 .4 4
-0 .4 6
-0 .4 8
-0 .5
-0 .5 2
-0 .5 4
-0 .5
0
c orrelation
0 .5
Asian Rainbow Option
L’opzione Asian Rainbow è una opzione multi asset con un unico flusso
pagabile alla data di scadenza.
Siano S0,..,Sn gli n componenti del basket, t0,..,tm+1 una serie di date dove
t0 rappresenta la data di start dell’opzione, t1,..,tm le date di fixing e tm+1 la
data di scadenza dell’opzione. Definendo F1,..,Fn i Fixing iniziali dei
sottostanti e K la moneyness dell’opzione, si calcolano, per ogni asset, le
medie delle performance realizzate nelle m date di resets secondo la
seguente formula:
i
i
1 m S t j   K * F
Performancei 

m j 1
Fi
dove Si(tj) è il valore dell’i-mo sottostante alla data tj.
L’opzione paga, alla data di scadenza, la somma pesata delle n
performances realizzate:
n


max 0,  Weight i * Performancei 
 i 1

Asian Rainbow Option
Cos’è la correlazione?
i , j  cov(i ,  j ) /  i j 
( i ,  j )
( i ,  i )( j ,  j )
E’ una misura di co-relazione (!) LINEARE
Problemi con la correlazione 1
•Che correlazione va usata nelle formule di
pricing? (quella del modello..)
– La storica
•Calcolata (anzi, stimata) come?
– Quella di mercato  cos’è ?
–Correlazione implicita:
 1

  21

 31
12
1
32
13   1
 
 23    
1   

1




1 
in modo da replicare i prezzi di mercato
Qualche serie di dati
Correlazioni
Autovalori
Problemi con la correlazione 2
•
•
•
..peccato che le correlazioni storiche sono abbastanza
diverse da quelle di mercato !
I prezzi possono risultare molto fuori mercato se si
usano le correlazioni storiche.
Tipicamente la correlazione implicita tiene conto di
– Liquidita’ del prodotto
– Difficoltà di hedging
– Incertezza/mancanza di robustezza dei modelli
Perturbazioni
Positività semi-definita:
Una matrice di correlazione deve essere semi-definita
positiva:
( x, Cx)  0 x  IR n
Automatico se le serie storiche sono lunghe
abbastanza (esercizio!). Problemi se si usano pesi nel
calcolo di C – ad esempio con EWMA (RiskMetrics
™)
Cambiando i coefficienti di correlazione si rischia di
“romperla”! (si perde la definita positività)
La forma della correlazione..
(non-diagonal part of  33 )
Facial structure
 nn
On the facial structure of the set of correlation matrices,
M.Laurent, S. Poljak ...
“..it turns out that the spectrum of face dimensions is lacunary and
that  nn has polyhedral faces of dimentions up to  2n “
If F is a proper face of
i.
 44
 44
the following holds:
dim(F)=0 (extreme element)
ii. F is an element joining two cut matrices, so dim(F)=1. There
8
are  2  =28 such faces.
iii. F has dim=2
iv. There are 8 faces isomorphic to
 33 (dim(F)=3)
Lo Zen e l’arte della manutenzione..
Se la matrice di correlazione (stimata) NON è una matrice di correlazione
(non e’ definita positiva) come si procede? (Lucas – Higham 2001)
Matrici random
Una matrice random?
Parametrizzazioni
Pinheiro-Bates, Unconstrained parametrizations for
variance-covariance matrices
• Cholesky and log-Cholesky
• Spherical
•Spectral (logarithmic, Givens..) COOL!!!
Vantaggi: finalmente possiamo giocare con le C senza
timore di “romperle”, price search, risk management(?)
Svantaggi: non c’è una interpretazione chiara dei
parametri, troppi parametri!
Finger’s trick - Mixing the time series
Average

1 n
 i
n i
i
 i   i  (1   )    
i , j 
( i ,  j )
( i ,  i )( j ,  j )


1
1
Convessità
Si potrebbe pensare di utilizzare il fatto che l’insieme delle
matrici di correlazione  nn è convesso e compatto 
(Krein-Milman) ogni punto è rappresentabile come
combinazione convessa dei punti estremali.
Svantaggi: i punti estremali sono troppi.. (vedi prima –
facial structure)
I vertici “propri” sono 2n-1 .. E le facce sono “curve”
Provare selezionando “opportunamente” (che vuol
dire?) i punti estremali.
Vantaggi: combinazione LINEARE convessa
Un problema equivalente
Riferimenti (in ordine.. casuale)
M. Overhaus, Himalaya options, Risk, March 2002 – see also the other articles in the
“Masterclass with Deutsche Bank” series
B. H. Boyer, M. S. Gibson, M. Loretan, Pitfalls in tests for changes in
correlations, Board of Governors of the Federal Reserve System, International
Finance Discussion Papers, Number 597, March 1999
C. Mounfield, P. Ormerod, Market Correlation and Market Volatility in US Blue
Chip Stocks, Volterra Consulting internal report.
http://www.volterra.co.uk/docs/correlus.pdf
J.-P. Bouchaud, L. Laloux, P Cizeau, M Potters, Random matrix theory
and financial correlations, International Journal of Theoretical and Applied
Finance Vol. 3, No. 3 (2000) 391-397
J.-P. Bouchaud, L. Laloux, P Cizeau, M Potters, Noise Dressing of Financial
Correlation Matrices, Physical Review Letters, Vol. 83, No. 7 (1999) 1467-1470
Riferimenti – segue
V. Plerou, P. Gopikrishnan, B. Rosenow, L. A. N. Amaral, T. Guhr, H. E.
Stanley, A Random Matrix Approach to Cross-Correlations in Financial
Data, http://uk.arxiv.org/pdf/cond-mat/0108023
P.J. Rousseeuw, G. Molenberghs, The shape of correlation matrices, The
American statistician, 48(1994), p. 276-279
M. Laurent, S. Poljak, On the facial structure of the correlation matrices,
SIAM J. Matrix Anal. Appl., 17(3):530--547, 1996
http://www.cwi.nl/ftp/CWIreports/BS/BS-R9501.pdf
c, Master Thesis, University of Manchester, Oct. 2001
N. J. Higham, Computing the nearest correlation matrix-a problem from
finance, IMA Journal of Numerical Analysis,Volume 22, Issue 3, July 2002:
pp. 329-343
P. Embrechts, A.J. McNeil, D. Straumann, Correlation: pitfalls and
alternatives. RISK, May 1999: pages 69-71
http://www.math.ethz.ch/~mcneil/ftp/risk.pdf
Riferimenti – segue
P. Embrechts, A.J. McNeil, D. Straumann, Correlation and dependence in risk
management: properties and pitfalls . In Risk management: value at risk and
beyond, edited by Dempster M, published by Cambridge University Press,
Cambridge http://www.math.ethz.ch/~mcneil/ftp/pitfalls.pdf
C. Finger, A methodology to stress correlations, J.P.Morgan’s RiskMetrics
Monitor 4th Quarter 1997- http://www.riskmetrics.com/pdf/journals/rmm4q97.pdf
J.C. Pinheiro, D.M. Bates., Unconstrained Parametrizations for VarianceCovariance Matrices, Statistics and Computing, 6, (1996) 289-296