SOLUZIONE DELLO STRATO LIMITE SU UNA PARETE PIANA
Si consideri il seguente scenario
1. Un Moto a potenziale stazionario presenta una velocità longitudinale
costante pari a U.
2. Una lastra infinitamente sottile è posizionata all’interno di tale moto
in direzione parallela alla velocità U (0 angolo di incidenza).
La viscosità dovrebbe ritardare il flusso, così creando uno strato limit su
entrambi i lati in maniera simmetrica. Il moto si assume laminare.
La teoria dello strato limite permette di calcolare l’attrito sulla piastra.
U
U
y
u
x
d
1
plate
Un moto a potenziale rettilineo e stazionario presenta
pressione nulla ovunque
Un moto a potenziale stazionario e rettilineo è descritto dalle seguenti
relazioni


  Ux , u 
U , v 
0
x
y
Secondo il terorema di Bernoulli applicato ai moti a potenziale, la
pressione dinamica ppd è legata al campo di moto secondo
ppd 
1
(u2  v 2 )  const
2
Dalle due ultime equazioni allora si ottiene
ppd ppd

0
x
y
U
y
U
u
x
d
2
plate
Le equazioni approssimate dello strato limite allora diventano:
u
u
 2u
u v
 2
x
y
y
u v

0
x y
u
u
1 dppds
 2u
u v

 2
x
y
 dx
y
u v

0
x y
u y 0  0 ,
v y 0  0
, u y  U
Condizioni al contorno
U
U
y
u
x
d
3
plate
Spessore nominale dello strato limite
Nel seguito d indicherà lo spessore nominale dello strato limite, che è
definito come il valore di y per il quale u = 0.99 U, cioè
u = 0.99 U
u(x, y) y d  0.99 U
U
u
U
y
u
x
plate
d
U
y
d
x
4
Variazione longitudinale dello strato limite
Si consideri una piastra lunga L. Basandosi sulle precedenti stime si
può scrivere
d
~ (Re)1/ 2
L
, Re 
UL

oppure
1/ 2
1/ 2
 L 
d~ 
U
or
 L 
d  C 
U
dove C è una costante. Secondo il medesimo ragionamento lo
spessore nominale dello strato limite fino ad una distanza x  L dal
bordo è pari
1/ 2
1/ 2
 x 
 x 
U
d~ 
or d  C  
U
U
U
y
u
x
plate
L
d
5
Soluzioni autosimili
Si supponga che la soluzione ha la proprietà che quando u/U è
diagrammata in funzione di y/d (dove d(x) è lo spessore nominale dello
strato limite) allora si ottiene una funzione universale, in cui non compare
nessun’altra dipendenza da x. Tale soluzione è detta soluzione autosimile.
U
y
U
U
u
u
x
x1
d
x2
plate
1
1
profile at x1
Soluzione
autosimile
y/d
profiles at
x1 and x2
y/d
Soluzione no
autosimile
0
0
0
0
u/U
1
u/U
profile at x2
1
6
Per una soluzione autosimile del profilo di velocità si deve avere
u
 y 
 g1 

U
 d(x ) 
dove g1 è una funzione universale, indipendente da x (posizione lungo la
piastra). Poichè abbiamo ragione di credere
1/ 2
 x 
d~ 
U
1/ 2
or
 x 
d  C 
U
dove C è una costante, è possibile riscrivere la soluzione autosimile come
u
y
U
 g() ,  

y
1/ 2
U
x
 x 
 
U
Si noti che  è una variabile adimensionale.
7
Ma il nostro problema ammette soluzioni autosimili?
Il problema è:
u
u
 2u
u v
 2
x
y
y
u y 0  0 ,
,
u v

0
x y
v y 0  0 , u y    U
Questo problema può essere ridotto usando le funzioni di corrente (u =
/y, v = - /x) alla seguente equazione:
 
 
 3

 3
2
y xy x y
y

0 ,
y y0

0 ,
x y0

U
y y
8
Metodo per tentativi
Noi vogliamo che la funzione di corrente fornisca la velocità u = /y
soddisfacente la forma autosimile
u
U
 g() ,   y
U
x
Così possiamo ipotizzare che
  f ()
dove f è un’altra funzione autosimile.
Ma questo non funziona. Infatti, usando l’apice per denotare la
derivazione rispetto a , se  = f() allora


u
 f ()
y
y
Ma


y
U
x
Così che
u
1

f ()
U
Ux
9
Cioè se assumiamo
  f ()
Allora otteniamo
non OK
OK
u
1

f ()
U
Ux
Da questo primo fallimento nella scelta è possibile capire qual’è la scelta
giusta
10
Un altro tentativo
Se assumiano
  Ux f ()
Allora si ottiene
quindi


U
u
 Ux f ()
 Ux f ()
 Uf ()
y
y
x
u
 g() , g()  f ()
U
Così abbiamo trovato una forma di  che soddisfa la condizione di
autosimilitudine per la velocità! Dobbiamo ora risolvere la funzione f().
11
Riduzione da equazione alle derivate parziali a
equazione alle derivate ordinarie
Il nostro obiettivo è ridurre l’equazione alle derivate parziali
 
 
 3

 3
2
y xy x y
y

0 ,
y y0

0 ,
x y0

U
y y
ad un equazione alle derivate ordinarie per f(), dove
U
  Ux f () ,   y
x
Per fare ciò è necessario ricavare le seguenti relazioni


y
U
x

1 U 3 / 2
1
 y
x

x
2

2x
12
Il passo successivo è ricavare I termini dell’equazione
 
 
 3

 3
2
y xy x y
y
Cioè abbiamo bisogno di conoscere /y, 2/y2, 3/y3, /x and
2/yx, dove
  Ux f ( ) ,   y
U
x


y
U
x
,

1

x
2x
Inoltre sappiamo già che:

 Uf ()
y
Così
 2

U



U
f
(

)

U
f ()
2
y
y
x
 3
U

U




U
f
(

)

U
f ()
3
y
x
y
x
13
Usando di nuovo
U
  Ux f () ,   y
x


y
U
x
,

1

x
2x
Risolviamo le due rimanenti derivate:
 
1 U


Ux f () 
f ()  Ux f ()

x x
2 x
x
1 U
f ()  f ()
2 x

 2
      1 U
f ()  f () 




xy y  x  y  2 x

 1 U
 
1U
f ()  f ()  f ()    f (y)

y 
2x
2 x
14
Ricapitolando,
U
  Ux f () ,   y
x


y
U
x
,

1

x
2x

 Uf ()
y
 2
U

U
f ()
2
y
x
 3
U

U
f ()
3
y
x
 1 U
f ()  f ()

x 2 x
 2
1U

f (y)
xy
2x
15
Ora, sostituendo
 2
U

U
f ()
2
y
x

 Uf ()
y
 1 U
f()  f ()

x 2 x
in
 3
U

U
f ()
3
y
x
 2
1U

f (y)
xy
2x
 
 
 3

 3
2
y xy x y
y
si ottiene
1 U2
1 U2
U2

f f  
(f  f )f  
f 
2 x
2 x
x
che equivalente a scrivere
2f   ff   0
16
Condizini al contorno
Dalla Slide 9, le condizioni al contorno sono

0 ,
y y0

0 ,
x y0

U
y y
Ma abbiamo già dimostrato che

 Uf ()
y
 1 U
f ()  f ()

x 2 x
 y
U
x
Inoltre poichè  = 0 quando y = 0, le condizioni al contorno si riducono a
f (0)  0 ,
f (0)  0 ,
f ()  1
Così si hanno tre condizioni al contorno per una equazione differenziale
del terzo ordine
2f   ff   0
17
SOLUZIONE
Vi sono diversi modi per risolvere tale equazione numericamente
2f   ff   0
f (0)  0 ,
f (0)  0 ,
f ()  1
La soluzione è riportata sotto graficamente
Blasius Solution, Laminar Boundary Layer
6
5
f'()
4
f()

f''()
3
2
1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
f, f', f''
3
3.5
4
4.5
18
Spessore nominale dello strato limite
Si ricorda che lo spessore nominale d è definito in modo che u = 0.99 U
quando y = d. Poichè u = 0.99 U quando  = 4.91 e  = y[U/(x)]1/2, segue
che la relazione per lo spessore nominale dello strato limite è
d
U
 4.91
x
Oppure
1/ 2
 x 
d  C 
U
, C  4.91
In questo modo è stata determinata la costante C introdotta nella Slide 5.
19
Calcolo della forza di trascinamento sulla piastra
Si consideri una piastra di lunghezza L e larghezza b:
b
L
Lo sforzo tangenziale o (forza di trascinamento per unintà di superficie)
agente su una faccia della piastra è dato
o  
u
u
 
y y0
y y0
Poichè il campo di moto è assunto uniforme in direzione laterale, la forza
totale di trascinamento (su una sola faccia) è data a
L
FD   odA  b  ody
0
Il termine u/y = 2/y2 è dato dalla Slide 17 come
u  2
U
 2 U
f ()
y y
x
20
Lo sforzo di taglio o(x) sulla piastra è allora dato
o  U
U
U
f (0)  U
f (0)
x
x
Dalla soluzione di f si ottiene f’’(0) = 0.332, quindi
o
1/ 2

0
.
332
(
Re
)
x
U2
, Rex 
Ux

Così lo sforzo alla parete varia come x-1/2. Un esempio è riportato nella
slide successiva per il caso U = 10 m/s,  = 1x10-6 m2/s, L = 10 m e
 = 1000 kg/m3 (acqua).
21
o  0.332U
U
x
U = 0.04 m/s
L = 0.1 m
 = 1.5x10-5 m2/s
 = 1.2 kg/m3
(aria)
Boundary Shear Stress
0.0003
Si noti che o =  per x = 0.
o (Pa)
0.0002
0.0001
0
0
0.02
0.04
0.06
x (m)
0.08
0.1
22
In realtà la forza di trascinamento converge ad un valore finito:
L
L
0
0
FD  b  odx  0.332bU U  x 1/ 2dx

L
0
x 1/ 2dx  2L1/ 2
FD  0.664 U U bL1/ 2
Noi possiamo esprimere le medesime relazioni in forma adimensionale
definendo un coefficiente adimensionale di attrito cD come
FD
cD 
U2bL
Quindi segue che
cD  0.664 (Re)
1/ 2
UL
, Re 

Per valori di U, L,  E  della precedente slide, e b = 0.05 m, si ottiene che
ReL = 267, cD = 0.0407 e FD = 3.90x10-7 Pa.
23
La relazione
cD  0.664 (Re)
1/ 2
UL
, Re 

è riportata sotto.
Blasius Drag Law for Laminar Flow over Flat Plate
cD
1
0.1
0.01
10
100
1000
ReL
24
REFERENCE
La soluzione qui presentata è la soluzione di Blasius-Prandtl per lo strato
limite su una lastra piana. Maggiori dettagli sono forniti da:
Schlichting, H., 1968, Boundary Layer Theory, McGraw Hill, New York, 748
p.
25